大学物理7-8章答案详解

第七章 真空中的静电场

7－1 在边长为a 的正方形的四角，依次放置点电荷q,2q,-4q 和2q ，它的几何中心放置一个单位正电荷，求这个电荷受力的大小和方向。

解：如图可看出两2q 的电荷对单位正电荷的在作用力 将相互抵消，单位正电荷所受的力为

)41()2

2(

420+=

a q F πε＝,252

0a

q

πε方向由q 指向-4q 。 7－2 如图，均匀带电细棒，长为L ，电荷线密度为λ。（1）

求棒的延长线上任一点P 的场强；(2)求通过棒的端点与棒垂直上任一点Q 的场强。

解：（1）如图7－2 图a ，在细棒上任取电荷元dq ，建立如图坐标，dq ＝?d ?，设棒的延长线上任一点P 与坐标原点0的距离为x ，则

2

02

0)(4)(4ξπεξ

λξπεξ

λ-=

-=

x d x d dE

则整根细棒在P 点产生的电场强度的大小为

＝

)

(40L x x L

-πελ方向沿?轴正向。

（2）如图7－2 图b ，设通过棒的端点与棒垂直上任一点Q 与坐标原点0的距离为y

2

04r dx

dE πελ=

θπελcos 42

0r

dx

dE y =

， 因θ

θθθcos ,cos ,2y

r d y dx ytg x =

==， 代入上式，则

)cos 1(400θπελ

--=y

＝)11(42

2

0L

y y

+--

πελ，方向沿x 轴负向。

00sin 4θπελy =

＝2204L

y y L

+πελ

7－3 一细棒弯成半径为R 的半圆形，均匀分布有电荷q ，求半圆中心O 处的场强。

q

2q

-4q

2q 习题7－1图

dq ?

d ?

P

习题7－2 图a

x θ

θπελ

θd y dE E x x ⎰⎰-=

-=0

0sin 40

dq x

dx

P

习题

7－2 图b y

dE

?

y Q

?0

解：如图，在半环上任取d l =Rd ?的线元，其上所带的电荷为dq=?Rd ?。对称分析E y =0。

θπεθ

λsin 42

0R

Rd dE x =

2

022R

q

επ=

，如图，方向沿x 轴正向。

7－4 如图线电荷密度为λ1的无限长均匀带电直线与另一长度为l 、线电荷密度为λ2的均匀带电直线在同一平面内，二者互相垂直，求它们间的相互作用力。

解：在λ2的带电线上任取一dq ，λ1的带电线是无限长，它在dq 处产生的电场强度由高斯定理容易得到为，

x

E 01

2πελ=

两线间的相互作用力为

,ln 2021a

l

a +πελλ如图，方向沿x 轴正向。 7－5 两个点电荷所带电荷之和为 Q ，问它们各带电荷多少时，相互作用力最大？

解：设其中一个电荷的带电量是q ，另一个即为Q －q ，若它们间的距离为r ，它们间的相互作用力为

相互作用力最大的条件为 由上式可得：Q=2q ，q=Q/2

7－6 一半径为R 的半球壳，均匀带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小。

解：将半球壳细割为诸多细环带，其上带电量为 dq 在o 点产生的电场据（7－10）式为

3

04R ydq

dE πε=

，θcos R y =

20

sin (sin )2d π

σθθε=⎰

20

2

02

sin 2π

θ

εσ=

4εσ

=

。如图，方向沿y 轴负向。

7－7 设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面对称轴平行，计算通过此半球面电场强度的通量。

解：如图，设作一圆平面S 1盖住半球面S 2， 成为闭合曲面高斯，对此高斯曲面电通量为0， 即

7－8 求半径为R ，带电量为q 的空心球面的电场强度分布。

d ?

?

?

dE

x

y

习题7－3图

R

a λ1 λ2

习题7－4图

x

dq y

? r

习题7－6图

o

S 1 S 2

E

习题7－7图

解： 由于电荷分布具有球对称性，因而它所产生的电场分布也具有球对称性，与带电球面同心的球面上各点的场强E 的大小相等，方向沿径向。在带电球内部与外部区域分别作与带电球面同心的高斯球面S 1与S 2。对S 1与S 2，应用高斯定理，即先计算场强的通量，然后得出场强的分布，分别为

04d 21

==⋅=⎰r E S πψS E

得 0=内E （r

r

r

ˆ2

04q πε=

外E (r>R) 7－9 如图所示，厚度为d 的“无限大”均匀带电平板，体电荷密度为ρ，求板内外的

电场分布。

解:带电平板均匀带电，在厚度为d/2的平分街面上电场强度为零，取坐标原点在此街面上，建立如图坐标。对底面积为A ，高度分别为x d/2的高斯曲面应用高斯定理，有

1

d ερψAx

EA S =

=⋅=⎰S E 得 )2

( 01d

x i x E <= ερ 7－10 一半径为R 的无限长带电圆柱，其体电

荷密度为

)(0R r r ≤=ρρ，ρ0为常数。求场强分布。

解： 据高斯定理有

R r ≤时：

⎰'''=r r ld r r k rl E 0022πεπ⎰''=r r d r lk 02

2επ R r >时：⎰'''=

R

r ld r r k

rl E 0

22πεπ⎰

''=

R

r d r lk

20

2επ

7－11 带电为q 、半径为R 1的导体球，其外同心地放一金属球

壳，球壳内、外半径为R 2、R 3。

（1）球壳的电荷及电势分布；

（2）把外球接地后再绝缘，求外球壳的电荷及球壳内外电势分布； （3）再把内球接地，求内球的电荷及外球壳的电势。 解：（1）静电平衡，球壳内表面带－q ，外表面带q 电荷。 据（7－23）式的结论得：),)(111(

413

210

1R r R R R q V ≤+-=

πε );)(111(4213

202R r R R R r q

V ≤≤+-=

πε r

R 习题7－18图

d 习题7－9图

x

E 习题7－10图

r

o

o

R 1

R 2

q -q q