旋转体体积公式

在传统立体几何中，各种旋转形体的侧（表）面积和体积计算方法是各自独立的，不便学习记忆。本文介绍一个适用于一切旋转形体的万能公式，简单，易学，好用。

一.基本概念

1.质量

空间图形（点，线，面，体）都可以看作是空间点的集合，一个具体的空间图形包含的点数是有限但不可数的。我们把一个空间图形包含的全部点数，称为该图形的质量。

由于图形包含的点数不可数，所以要用间接方式来表示图形的质量。我们可以用长度来表示线的质量，用面积来表示面的质量，用体积来表示体的质量。这就像，一堆小米的粒数是有限但不可数的。尽管这堆小米的粒数一定有一个确切的数字，但这个数字可能我们永远也不会知道，也不必知道，我们只需知道有几斗几升，或几斤几两就行了。

关于质量概念，存在着下面的事实：空间图形的质量，等于它各个部分的质量之和（质量公理）。

2.位量和重心

构成空间图形的点，都有各自的位置。在平面内，点的位置可以用它到参考直线的距离来表示。我们把构成一个空间图形的所有点的位置总和，称为该图形的位量；把构成空间图形的所有点的平均位置，称为该图形的重心，并以它作为整个图形的位置。显然，位量=重心*总点数。用W表示位量，用Z表示重心，用P表示质量，上式可以写成

.

W=Z*P

（1）

关于位量概念，也存在着下面的事实：空间图形的位量，等于它各个部分的位量之和（位量公理）。

3.旋转基图

旋转面和旋转体可统称为旋转形体。用过旋转轴的平面截切后，得到一个轴对称形的截面图，我们取旋转轴一侧的半图作为旋转基图。旋转面的基图是线，旋转体的基图是由闭合的线围成的面。

二.平面图形的位量和重心

要使用万能公式，需先计算旋转基图的位量，笔者提供以下判断和计算平面图形的位量和重心的方法：

1.形状规则图形的重心是它的几何中心。如圆，正多边形，中心对称图形等。

2.轴对称图形的重心在它的对称轴上

3.形状不规则的图形可以先分解成几个规则或简单的部分，分别求出各部分的位量后，再求总和。常见旋转形体的基图，总可以分解成以下四种图形：（抱歉，因发帖数量不够，无法上传示意图）

（1）直线段

直线段的重心是它的中点

（2）圆弧线

如图1，位于位置参考线一侧且圆心在参考线上的圆弧线，其位量等于它在参考线上的投影

长度与弧半径的乘积，即W=h*R。

（3）三角形面

三角形面的重心是三个顶点的平均位置，即重心到参考线的距离等于三个顶点分别到参考线距离的平均值。

（4）弓形面

如图2，圆心在位置参考线上，弓弦与参考线平行的弓形面的位量，是弦长立方的十二分之一，即W=a*a*a/12。

如图3，弓弦与参考线不平行的弓形面，可以看作是上述弓形面绕圆心旋转一定角度所得，它的位量还与旋转的角度有关。即W=cosθ*a*a*a/12

4.如果一个图形的位量是W0，质量是P，则当它的重心改变了Z△后，其位量变为W=W0+Z△*P

三.旋转形体质量计算的万能公式

在旋转基图中，以旋转轴作为位置参考线，则基图的位量，重心和质量可以分别表示为Wj，Zj，Pj。

已知，圆周长等于半径的2π倍，据此可以推导出旋转形体质量计算的统一方法。

定理：旋转形体的质量，等于它的基图位量的2π倍。

证明：如图4，旋转基图由有限但不可数的许多空间点构成，它们到旋转轴的距离分别为

r1,r2,r3,......,rn。每个点经旋转一周后，都形成一条圆周线，旋转形体由所有圆周线构成。根据质量公理，旋转形体的质量，就是所有圆周线质量的总和。即

P旋=2πr1+2πr2+2πr3+...2πrn=2π*(r1+r2+r3+...rn)=2π*Wj=2π*Zj*Pj

(证毕)

四.应用举例

（抱歉，因发帖数量不够，无法上传例题示意图）

例1.如何理解圆周长公式？

答：圆周线是最简单的旋转形体，基图是一个点，其质量是1，它到旋转轴的距离是半径R，所以

C=2π*Wj=2π*Zj*Pj =2π*1*R=2πR

例2.求半径为r的圆的面积。

解：圆可以看作是最简单的旋转形体之一，基图是半径，质量为r，重心为r/2，所以

S=2π*Wj=2π*Zj*Pj =2π*r*r/2=π*r*r

例3.求半径为r，高为h的圆柱的侧面积和体积。

解：圆柱侧面的基图是一条线段，长度为h，重心距旋转轴为r，所以

S=2π*Wj=2π*Zj*Pj =2π *h*r

圆柱体的基图是一个矩形面，面积为h*r，重心距旋转轴为r/2，所以

V=2π*Wj=2π*Zj*Pj =2π*h*r*r /2=π*h*r*r

例4.求底半径为r，高为h，母线长为l的圆锥的侧面积和体积。

解：圆锥侧面的基图是一条线段，长度为l，重心距旋转轴为r/2，所以

S=2π*Wj=2π*Zj*Pj =2π*l*r/2=π*l*r

圆锥体的基图是一个三角形面，质量为S=r*h/2，重心距旋转轴为r/3，所以

V=2π*Wj=2π*Zj*Pj =2π*r*h/2 *r/3=1/3 *π*r*r*h

例5.求上底半径为r1，下底半径为r2，高为h，母线长为l的圆台的侧面积和体积。解：圆台侧面的基图是一条线段，长度为l，重心距旋转轴为（r1+r2）/2，所以

S=2π*Wj=2π*Zj*Pj =2π*l*（r1+r2）/2=π*l*（r1+r2）

圆台体的基图是一个梯形面，它可以分解成两个三角形面，所以

V=2πWj=2π(W1+W2)

=2π{[r1*h/2 *(r1+0+0)/3 ]+[r2*h/2 *(r1+r2+0)/3]}

=2π*h/6 *(r1*r1+r1*r2+r2*r2)

=π/3

*h*(r1*r1+r1*r2+r2*r2)

例6.求半径为r的圆球体的表面积和体积。

解：圆球面的基图是一条半圆弧线，圆球体的基图是一个半圆形面，所以

S=2πWj=2π*2r*r=4π*r*r

V=2πWj=2π*(2r*2r*2r/12)

=4/3 *π*r*r*r

例7.求球半径R，底半径为r，高为h的球缺的侧面积和体积。

解：球缺的侧面是球冠，基图是一条圆弧线；球缺体的基图可以分解成一个弓形面和一个三角形面，弓形面的位量为W=cosθ*a*a*a/12=(r*r+h*h)*h/12,所以

S=2πWj=2π*h*R

V=2πWj=2π*(W三角形+W弓形)=2π*[r*h/2*r/3+(r*r+h*h)*h/12]

=2π*h/12* （2r*r+r*r+h*h）

=π/6*h*(3r*r+h*h)

由于R*R--r*r=(R--h)*(R--h)

r*r=2Rh--h*h,所以

V=π/6*h*(3r*r+h*h)

=π/3*h*h*(3R--h)

例8.求球半径R，上，下底半径分别为r1，r2，高为h的球台的侧面积和体积。

解：球台的侧面是球带，基图是一条圆弧线；球台体的基图可以分解成一个弓形面和一个梯形面，所以

S= 2πWj=2π*h*R

W（弓形面）=1/12*[（r2-r1)*（r2-r1)+h*h]*h

W（梯形面）=h/6*(r1*r1+r1*r2+r2*r2)

V= 2πWj=2π[W（弓形面）+W（梯形面）]

=π*h/6*(3r1*r1+3r2*r2+h*h)

例9.在一个球体上过圆心车了一个长度为a圆柱形孔洞，求剩余部分的体积。

解：本题用传统方法非常棘手，因为只有孔洞长度这一个条件。但用万能公式却是再简单不过。球体剩余部分的