2019高三复习备考：三角函数专题复习及建议.doc

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高考三角函数复习备考策略

高考三角函数复习备考策略1.重视基础知识的学习和掌握三角函数的基本概念和性质是你进一步学习和理解三角函数的基础。

需要仔细学习正弦、余弦、正切等基本概念，掌握它们在单位圆上的几何意义和性质。

2.熟悉常用的三角函数公式三角函数的公式在解决问题中起到了至关重要的作用。

需要掌握和熟悉三角函数的诱导公式、和差化积公式、倍角和半角公式等重要的公式，能够快速地应用到问题中解决。

3.注重解题方法和技巧的学习掌握一些解题方法和技巧可以帮助你更高效地解决三角函数的问题。

例如，对于复杂数值问题，可以使用三角函数的周期性和对称性进行简化；对于解三角方程的问题，可以使用换元法、观察法等解题技巧。

4.多做例题和习题通过多做例题和习题，可以帮助你更好地理解和掌握三角函数的知识和技巧。

可以选择一些经典的例题和习题，进行深入的分析和思考，并找出解题思路和方法的共性和规律。

5.注意记忆和理解相关的定理和定论数学中有一些重要的定理和定论与三角函数密切相关，例如，三角函数的奇偶性、周期性等。

需要注重记忆和理解这些定理和定论，同样能够帮助你解决问题。

6.注意总结和归纳三角函数的难点和易错点在复习的过程中，需要注意总结和归纳三角函数的难点和易错点，例如，对角公式的忘记、角度和弧度的转化等。

针对这些难点和易错点，进行有针对性的巩固和训练，减少错误的发生。

7.学会查缺补漏和纠正错误在复习的过程中，可能会发现自己在一些知识点或技巧上存在漏洞或错误。

需要及时进行查缺补漏，强化薄弱环节，并纠正错误，避免在考试中再次犯同样的错误。

8.做好试卷分析和错题整理在做完一套试卷后，要进行细致的试卷分析，找出自己在解题过程中的弱点和不足。

同时，还需要对做错的题目进行整理和总结，找出错误的原因和解题方法，加以纠正和巩固。

总之，高考三角函数的复习备考策略需要注重基础知识的学习和掌握，熟悉常用公式，掌握解题方法和技巧，做好例题和习题的训练，记忆和理解相关的定理和定论，注意总结和归纳常见的错误和易错点，以及做好试卷分析和错题整理。

2019年《·高考总复习》数学：第三章第5讲两角和与差及二倍角的三角函数公式

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考点 1 给角求值问题
例 1：(1)(2015 年新课标Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°
＝( )
A.－
3 2
3 B. 2
C.－12
1 D.2
解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.故
选 D.
答案：D
2019年8月10日
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身体健康，学业有成，金榜题名！
14
考点 2 给值求值问题例 2：(1)(2016 年新课标Ⅰ)已知 θ 是第四象限角，且 sinθ＋π4＝35，则 tanθ－π4＝________.
2019年8月10日
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身体健康，学业有成，金榜题名！
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解析：由题意 sinθ＋π4＝35，
得
cos
θ＋π4 ＝
4 5
.∴
cos
π4－θ
＝
sin
θ＋π4＝
3 5
，
sin
π4－θ ＝
cosθ＋π4＝45.∴tanθ－π4＝－tanπ4－θ＝－csoinsπ4π4－－θθ＝－3545＝
101°－＋cos3s8i0n°10°＝
2cos10°－60° 2sin240°
＝
2cos 50°＝ 2sin 40°
2.
答案： 2
2019年8月10日
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身体健康，学业有成，金榜题名！
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(4)计算：tan 20°＋tan 40°＋ 3tan 20°tan 40°＝________. 解析：tan(20°＋40°)＝1t－ant2a0n°2＋0°ttaann4400°°，可得 3－ 3tan 20°tan 40°＝tan 20°＋tan 40°，移项，可得 tan 20°＋tan 40° ＋ 3tan 20°tan 40°＝ 3.

专题19三角函数值--角未知也要求-备战2019年高考高三数学一轮热点难点一网打尽

考纲要求:在三角函数的解答题中，经常要解决求未知角的三角函数值，此类问题的解决方法大体上有两个，一是从角本身出发，利用三角函数关系列出方程求解，二是向已知角（即三角函数值已知）靠拢，利用已知角将所求角表示出来，再利用三角函数运算公式展开并整体代换求解，这里着力介绍第二种方法的使用和技巧.基础知识回顾:与三角函数计算相关的公式：（1）两角和差的正余弦，正切公式：①③sinsi n cos si n coscoscos cos si n si n②④sin si n cos si n coscoscos cos si n si n⑤tantan tan1tan tan⑥tantan tan1tan tan（2）倍半角公式：①sin22sin cos②cos2cos2sin22cos2112sin2③tan 22tan 1 tan2（3）辅助角公式：a s in b cos a2b2sin ，其中tan b a应用举例:类型一、利用两角和差正余弦公式求值【例1】【名校联盟2018年高考第二次适应与模拟】已知的值是A．B．C．D．【答案】B ，，则【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．【例2】【黑龙江省2018届高三高考仿真模拟(三)】已知，，则A．B．C．D．【答案】D类型二、齐次式相关的求值问题【例3】【广东省佛山市南海区南海中学2018届高三考前七校联合体高考冲刺交流】已知（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】，则先由题得【详解】，再化简，即得解.由题得,所以故答案为：C【点睛】.(1)本题主要考查三角化简求值，考查同角的关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2)本题解题的关键是.【例4】【宁夏石嘴山市2018届高三4月适应性测试（一模）】若A．B．1C．D．【答案】B ，这里利用了“1”的变式，，则类型三、利用二倍角求值【例5】【广西南宁市第三中学2019届高三上学期第一次月考（开学考试）】已知（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】，则由题意首先求得【详解】的值，然后利用二倍角公式整理计算即可求得最终结果.由题意结合诱导公式可得：，则.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.【例 6】【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学 2018 届高三第三次模拟考试】已知（ )A ．B ．C ．D ．【答案】B，则 =方法、规律归纳:1、解决此类问题的方法步骤：（1）考虑用已知角表示未知角，如需要可利用常用角进行搭配（2）等号两边同取所求三角函数，并用三角函数和差公式展开（3）利用已知角所在象限和三角函数值求出此角的其他函数值（4）将结果整体代入到运算式即可2、确定所涉及角的范围：当已知角的一个三角函数值求其他三角函数值时，角的范围将决定其他三角函数值的正负，所以要先判断角的范围，再进行三角函数值的求解。

2019版高考数学总复习第三章三角函数、解三角形3.5两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件文

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π 1 5 ． (2018· 广州模拟 ) 已知 cos(θ ＋ π) ＝－ 3 ，则 sin 2θ＋2 ＝ ________.
π 1 1 解析： cos(θ＋π)＝－3，所以 cosθ＝3， sin2θ＋2＝cos2θ＝2cos2θ 7 －1＝－9. 7 答案：－9
[小题热身] 1．(2018· 西安质检)sin45° cos15° ＋cos225° sin165° ＝( 1 A ．1 B.2 3 1 C. 2 D．－2
)
解析： sin45° cos15°＋ cos225° sin165°＝ sin45° · cos15°＋ ( － 1 cos45° )sin15° ＝sin(45° －15° )＝sin30° ＝2. 答案：B
3．公式的常用变形 (1)tanα± tanβ＝tan(α± β)(1∓tanαtanβ)； 1＋cos2α 1－cos2α 2 2 (2)cos α＝，sin α＝； 2 2 (3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2， 1－sin2α＝(sinα－cosα)2， π . sinα± cosα＝ 2sinα± 4
2 2 ＝ sinα ＋ cosα ，又解析： cos α ＋ sin α 2 2 49 π 2 ∵(sinα ＋ cosα) ＝ 1 ＋ 2sinαcosα ＝ 1 ＋ sin2α ＝ 25 ， 0<α< 2 ， ∴sinα ＋ 7 cosα＝5，故选 D. 答案：D π 2 cos 4－α ＝
6．(2018· 贵阳摸底)设 sinα＝2cosα，则 tan2α 的值为________． sinα 解析：由题可知，tanα＝cosα＝2， 2tanα 4 ∴tan2α＝ 2 ＝－ . 3 1－tan α 4 答案：－3

2019-2020学年高考数学专题复习三角函数学案5.doc

2019-2020学年高考数学专题复习三角函数学案5一、三角函数的图像与性质[考情分析] 高考对本部分内容的考查，一般主要是小题，即利用三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系进行求值、变形，或是利用三角函数的图像及其性质进行求值、参数、值域、单调区间及图像判断等，而大题常常在综合性问题中涉及三角函数的定义、图像、诱导公式及同角三角函数关系的应用等． [例1] 已知点33(sin,cos )44P ππ落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π4 [思路点拨] 由三角函数定义求出tan θ值，再由θ的范围，即可求得θ的值． [解析] tan θ＝cos 34πsin 34π＝－cos π4sin π4＝－1，又sin 3π4>0，cos 3π4<0，所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝7π4.[答案] D[冲关集训]1．(辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22 C.22D ．1解析：选A 由sin α－cos α＝2sin ()4πα-＝2，α∈(0，π)，解得α＝3π4，所以tan α＝tan 3π4＝－1.2．已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝a1log 3a(a >0，且a ≠1)，则cos 3()2πα+的值为( ) A.1010 B ．－1010 C.31010 D ．－31010解析：选B 由题意可知tan(3π＋α)＝13，所以tan α＝13，cos 3()2πα+＝cos ()2πα-＝sin α.∵α∈(－π，0)，∴sin α＝－1010. 二、三角函数图像变换及函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式[考情分析] 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像的平移和伸缩变换以及根据图像确定A 、ω、φ问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中低档，主要考查识图、用图能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力． [例2] (陕西高考)函数f (x )＝A sin ()6x πω-＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈(0,)2π，f ()2α＝2，求α的值．[思路点拨] (1)利用最值求出A 的值．再利用函数图像相邻两条对称轴之间的距离求出周期，从而得出ω＝2，进而得解；(2)结合已知条件得出关于角α的某一个三角函数值，再根据α的范围易求得α的值． [解] (1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π.∴ω＝2.∴函数f (x )的解析式为y ＝2sin (2)6x π-＋1.(2)∵f ()2α＝2sin ()6πα-＋1＝2，∴sin ()6πα-＝12.∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3.∴α－π6＝π6，∴α＝π3.[冲关集训]3．(济南一模)将函数y ＝cos ()3x π-的图像上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图像的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π6C ．x ＝πD ．x ＝π2解析：选D y ＝cos ()3x π-―――――――――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝cos 1()23x π-――――――→向左平移π6个单位y ＝cos 1[()]263x ππ+-，即y ＝cos 1()24x π-.因为当x ＝π2时，y ＝cos 1()224ππ⨯-＝1，所以对称轴可以是x ＝π2.4．(天津高考)将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度，所得图像经过点3(,0)4π，则ω的最小值是( )A.13 B ．1 C.53 D ．2解析：选D 将函数f (x )＝sin ωx 的图像向右平移π4个单位长度，得到的图像对应的函数解析式为f (x )＝sin ω(x －π4)＝sin(ωx －ωπ4)．又因为函数图像过点(3π4，0)，所以sin(3ωπ4－ωπ4)＝sin ωπ2＝0，所以ωπ2＝k π，即ω＝2k (k ∈Z )，因为ω>0，所以ω的最小值为2.5．(衡水模拟)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图像如图所示，M ，N 分别是这段图像的最高点与最低点，且OM ·ON ＝0，则A ·ω＝( )A.π6 B.7π12 C.7π6 D.7π3解析：选C 由题中图像知T 4＝π3－π12，所以T ＝π，所以ω＝2.则M (,)12A π，N 7(,)12A π-，由OM ·ON ＝0，得7π2122＝A 2，所以A ＝7π12，所以A ·ω＝7π6.三、三角函数的性质[考情分析] 三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属中低档；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法． [例3] (北京高考)已知函数f (x )＝x －cos x xsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期；(2)求f (x )的单调递增区间． [思路点拨] 先化简函数解析式，再求函数的性质．[解] (1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )，故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }．因为f (x )＝x －cos x xsin x＝2cos x (sin x －cos x )＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin (2)4x π-－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为[2,2]()22k k k Z ππππ-+∈．由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为[,]8k k πππ-和3[,]()8k k k Z πππ+∈. [类题通法]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题． [冲关集训]6．(石家庄模拟)下列函数中，周期为π且在[0,]2π上是减函数的是( )A ．y ＝sin ()4x π+B ．y ＝cos ()4x π+ C ．y ＝sin 2x D ．y ＝cos 2x 解析：选D 因为y ＝cos 2x 的周期T ＝2π2＝π，而2x ∈[0，π]，所以y ＝cos 2x 在[0,]2π上为减函数．7．(山东高考)函数y ＝2sin ()63x ππ-(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：选A 当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin ()63x ππ-≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3. 8．(广州调研)已知函数f (x )＝sin 3(2)2x π+(x ∈R )，给出下面四个命题： ①函数f (x )的最小正周期为π；②函数f (x )是偶函数；③函数f (x )的图像关于直线x ＝π4对称；④函数f (x )在区间[0,]2π上是增函数．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 函数f (x )＝sin 3(2)2x π+＝－cos 2x ，则其最小正周期为π，故①正确；易知函数f (x )是偶函数，②正确；由f (x )＝－cos 2x 的图像可知，函数f (x )的图像关于直线x ＝π4不对称，③错误；由f (x )的图像易知函数f (x )在[0,]2π上是增函数，故④正确．9．设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ()2x πω-，x ∈R .(1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应的x 的集合；(2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0<ω<10，求f (x )的单调递增区间．解：(1)f (x )＝sin ωx ＋sin ()2x πω-＝sin ωx －cos ωx ，当ω＝12时，f (x )＝sin x 2－cos x2＝2sin ()24x π-，又－1≤sin ()24x π-≤1，所以f (x )的最大值为2，此时，x 2－π4＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝3π2＋4k π，k ∈Z ，相应的x 的集合为{x |x ＝3π2＋4k π，k ∈Z }．(2)法一：因为f (x )＝2sin ()4x πω+，所以，x ＝π8是f (x )的一个零点⇔f ()8π＝2sin ()84ωππ-＝0，即ωπ8－π4＝k π，k ∈Z ，整理，得ω＝8k ＋2，k ∈Z ，又0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，－14<k <1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，f (x )＝2sin (2)4x π-，由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为3[,]88k k ππππ-++，k ∈Z . 法二：x ＝π8是f (x )的一个零点⇔f ()8π＝sin ωπ8－cos ωπ8＝0，即tan ωπ8＝1.所以ωπ8＝k π＋π4，k ∈Z ，整理得ω＝8k ＋2，k ∈Z 又0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，－14<k <1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，f (x )＝2sin (2)4x π-.以下同法一．四、创新题型[典例] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图像如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0<x <π，且方程f (x )＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和．[思路点拨] 利用转化思想把方程问题化为函数问题，再利用数形结合法求解．[解] (1)由图像知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，则T ＝π，所以ω＝2，又图像过点(,2)6π，所以2×π6＋φ＝π2.即φ＝π6.所以所求的函数的解析式为f (x )＝2sin (2)6x π+.(2)在同一坐标系中画出y ＝2sin (2)6x π+和y ＝m (m ∈R )的图像，如图所示，由图可知，当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，故m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2. 当－2<m <1时，两根之和为4π3；当1<m <2时，两根之和为π3. [高考预测]函数f (x )＝sin πx ＋cos πx ＋|sin πx －cos πx |对任意的x ∈R 都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 2－x 1|的最小值为________．解析：依题意得，当sin πx －cos πx ≥0，即sin πx ≥cos πx 时，f (x )＝2sin πx ；当sin πx －cos πx <0，即sin πx <cos πx 时，f (x )＝2cos πx .令f (x 1)、f (x 2)分别是函数f (x )的最小值与最大值，结合函数y ＝f (x )的图像可知，|x 2－x 1|的最小值是34.答案：34[配套课时作业]1．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.1[2-B.1[]2-C.1[,2-D.1[]2解析：选A 记α＝∠POQ ，由三角函数的定义可知，Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos α＝cos23π＝－12，y ＝sin α＝sin 23π＝32.2．(江西高考)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( )A.15B.14C.13D.12解析：选D 法一：∵tan θ＋1tan θ＝1＋tan 2θtan θ＝4，∴4tan θ＝1＋tan 2θ，∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2 θ＋cos 2 θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2tan θ4tan θ＝12. 法二：∵tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2sin 2θ∴4＝2sin 2θ，故sin2θ＝12.3．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[0,]3π上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，则ω＝( )A.23 B.32C ．2D ．3解析：选B 由于函数f (x )＝sin ωx 的图像经过坐标原点，根据已知并结合函数图像，可知π3为这个函数的四分之一周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.4．(福州质检)将函数f (x )＝sin 2x (x ∈R )的图像向右平移π4个单位后，所得到的图像对应的函数的一个单调递增区间是( ) A.[,0]4π-B.[0,]2πC.3[,]24ππ D.3[,]4ππ解析：选 B 将函数f (x )＝sin 2x (x ∈R )的图像向右平移π4个单位后得到函数g (x )＝sin 2()4x π-＝－cos 2x 的图像，则函数g (x )的单调递增区间为[,]2k k πππ+，k ∈Z ，而满足条件的只有B.5．(山西考前适应性训练)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(0<ω<5,0≤φ≤π2)的图像经过点，且f ()4π＝－1，则ω＝( )A.113 B ．4 C.133 D.143解析：选 D 依题意得，f (0)＝sin φ＝32，又0≤φ≤π2，因此φ＝π3.由f ()4π＝sin ()43ππω⨯+＝－1得ω×π4＋π3＝2k π－π2，ω＝8k －103，k ∈Z ；又0<ω<5，于是有0<8k －103<5，512<k <2524，k ∈Z ，因此k ＝1，ω＝143.6．已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ．设a ＝f ()7π，b ＝f ()6π，c ＝f ()3π，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a 解析：选B 法一：f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ()3x π+，因为函数f (x )在[0，π6]上单调递增，所以f ()7π<f ()6π，而c ＝f ()3π＝2sin 2π3＝2sin π3＝f (0)<f ()7π，所以c <a <b .法二：f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ()3x π+，显然f (x )的最小正周期T ＝2π，一个对称轴为x ＝π6.因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪π6－π6<⎪⎪⎪⎪⎪⎪π7－π6<⎪⎪⎪⎪⎪⎪π3－π6，所以f ()3π<f ()7π<f ()6π，即c <a <b .7．(江西高考)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.解析：r ＝x 2＋y 2＝16＋y 2，且sin θ＝－255，所以sin θ＝y r＝y16＋y2＝－255，所以θ为第四象限角，解得y ＝－8.答案：－8 8．函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在[0,]4π上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω等于________．解析：∵f (x )在[0,]4π上为增函数，且f (x )的最大值是3<2，∴f ()4π＝3，即sin π4ω＝32， ∴π4ω＝π3，∴ω＝43.答案：439．函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x －1，给出下列四个命题： ①函数在区间5[,]88ππ上是减函数；②直线x ＝π8是函数图像的一条对称轴；③函数f (x )的图像可由函数y ＝2sin 2x 的图像向左平移π4个单位长度而得到；④若x ∈[0,]2π，则f (x )的值域是[]－1，2.其中所有正确命题的序号是________．解析：∵f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x －1＝cos 2x ＋sin 2x ＝2sin (2)4x π+，令2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得：k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，即f (x )的递减区间为5[,]88k k ππππ++(k ∈Z )．∴命题①正确．又∵x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，∴x ＝π8是函数图像的一条对称轴，∴命题②正确．又∵f (x )可由y ＝2sin 2x 的图像向左平移π8个单位长度而得到，∴命题③错误．又∵x ∈[0,]2π时，2x ＋π4∈5[,]44ππ，∴2sin(2x ＋π4)∈[－1， 2 ]，即f (x )∈[－1，2 ]，∴命题④正确．答案：①②④10．(天津高考)已知函数f (x )＝sin (2)3x π+＋sin (2)3x π-＋2cos 2x －1，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝sin 2x ·cosπ3＋cos 2x ·sin π3＋sin 2x ·cos π3－cos 2x ·sin π3＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin (2)4x π+ 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)法一：因为f (x )在区间[,]48ππ-上是增函数，在区间[π8，π4]上是减函数，又f ()4π-＝－1，f ()8π＝2，f ()4π＝1，故函数f (x )在区间[,]44ππ-上的最大值为2，最小值为－1.法二：由(1)知f (x )＝2sin (2)4x π+，因为－π4≤x ≤π4，则－π2≤2x ≤π2，则－π4≤2x＋π4≤3π4. 所以－22≤sin (2)4x π+≤1，即－1≤2sin (2)4x π+≤ 2. 所以f (x )在区间[,]44ππ-上的最大值为2，最小值为－1.11．已知定义在区间3[,]2ππ-上的函数y ＝f (x )图像关于直线x ＝π4对称，当x ≥π4时，f (x )＝－sin x .(1)作出y ＝f (x )的图像；(2)求y ＝f (x )的解析式．解：(1)y ＝f (x )的图像如图所示． (2)任取x ∈[,]4ππ-，则π2－x ∈3[,]42ππ，因函数y ＝f (x )图像关于直线x ＝π4对称，则f (x )＝f ()2x π-，又当x ≥π4时，f (x )＝－sinx ，则f (x )＝f ()2x π-＝－sin ()2x π-＝－cos x ，即f (x )＝cos ,[,]43sin ,[,]42x x x x ππππ⎧-∈-⎪⎪⎨⎪-∈⎪⎩12.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图像的一部分如右图所示． (1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈2[6,]3--时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．解：(1)由图像知A ＝2，T ＝8，∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4.又图像经过点(－1,0)，∴2sin ()4πϕ-+＝0.又∵|φ|<π2，∴φ＝π4.∴f (x )＝2sin ()44x ππ+. (2)y ＝f (x )＋f (x ＋2)＝2sin ()44x ππ+＋2sin ()424x πππ++＝22sin ()42x ππ+＝22cos π4x ，∵x ∈2[6,]3--，∴－3π2≤π4x ≤－π6.∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最大值6；当π4x ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最小值为－22.第二节三角变换与解三角形1．“死记”两组三角公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ①sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. ②cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. ③tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式 ①sin 2α＝2sin αcos α.②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. ③tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 2．“熟记”两个定理 (1)正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .(2)余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .[考情分析] 三角恒等变换的灵活运用．高考对该内容的考查，一般多以选择题、填空题的形式考查三角变换在求值、化简等方面的简单应用，解答题往往与向量交汇命题．[例1] (2011·广东高考)已知函数f (x )＝2sin 1()36x π-，x ∈R ..(1)求f (0)的值； (2)设α，β∈[0,]2π，f ()6π-＝1013，f (3β＋2π)＝65，求sin(α＋β)的值．[思路点拨] (1)可以直接代入求值．(2)首先要化简条件得sin α，cos β，然后用和角公式sin(α＋β)计算． [解] (1)f (0)＝2sin ()6π-＝2×1()2-＝－1. (2)由f (3)2πα+＝1013，即2sin α＝1013，所以sin α＝513.由f (3β＋2π)＝65，得2sin ()2πβ+＝65，即2cos β＝65，所以cos β＝35.∵α，β∈[0,]2π，∴cos α＝1－sin 2α＝1213，sin β＝1－cos 2β＝45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝513×35＋1213×45＝6365. [类题通法]三角函数恒等变换的基本策略(1)常值代换．特别是“1”的代换，如1＝cos 2θ＋sin 2θ＝tan 45°等．(2)项的分拆与角的配凑．如分拆项：sin 2x ＋2cos 2x ＝(sin 2x ＋cos 2x )＋cos 2x ＝1＋cos 2x ；配凑角：α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2等．(3)降次与升次，即半角公式降次与倍角公式升次．(4)化弦(切)法．将三角函数利用同角三角函数的基本关系化成弦(切)．(5)引入辅助角．a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2sin(θ＋φ)，这里辅助角φ所在的象限由a ，b 的符号确定，φ的值由tan φ＝b a确定．[冲关集训]1．(2012·深圳调研)已知直线l ：x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝( )A ．－73B.73C.57D ．1解析：选D 依题意得，tan α＝2，－3tan β＝1，即tan β＝－13，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1.2．(2012·哈师大附中模拟)设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝( )A.2525B.255 C.2525或255D.55或525 解析：选A 依题意得sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin2α＋β＝±45；又α，β均为锐角，因此0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)，注意到45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525.3．(2012·德州模拟)已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域； (2)若α为第二象限角，且f ()3πα-＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值．解：(1)∵f (x )＝2cos 2x2－3sin x＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴周期T ＝2π，f (x )的值域为[－1,3]． (2)∵f ()3πα-＝13，∴1＋2cos α＝13，即cos α＝－13.∵α为第二象限角，∴sin α＝223.∴cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α ＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23＝1－222.[考情分析] 个热点问题．高考对该内容的考查可以是选择题或填空题，直接利用正弦定理和余弦定理的公式去求解三角形问题，多属于中档题；也可以是解答题，多是交汇性问题，常常是与三角函数或平面向量结合．[例2] (2012·新课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为 3，求b ，c .[思路点拨] (1)由题设以及正弦定理得到关于A 的三角函数值，进而求得A 的值．(2)由面积公式以及余弦定理得到b 与c 的方程组，进而求得b 与c 的值．[解] (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ()6A π-＝12.又0＜A ＜π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2. [类题通法] 解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A ，B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a ，b . (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a ，b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a ，b ，c ，可应用余弦定理求A ，B ，C .[冲关集训]4．(2012·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725B ．－725C ．±725D.2425解析：选A 由C ＝2B 得sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，由正弦定理及8b ＝5c 得cos B ＝sin C 2sin B ＝c 2b ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725. 5．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________．解析：由正弦定理可知sin ∠B ＝b sin ∠A a ＝3sinπ33＝12，所以∠B ＝π6或5π6(舍去)，所以∠C ＝π－∠A －∠B ＝π－π3－π6＝π2.答案：π26．(2012·江西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3cos(B －C )－1＝6cos B cos C .(1)求cos A ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，c . 解：(1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ，得3(cos B cos C －sin B sin C )＝－1，即cos(B ＋C )＝－13，从而cos A ＝－cos(B ＋C )＝13.(2)由于0<A <π，cos A ＝13，所以sin A ＝223.又S △ABC ＝22，即12bc sin A ＝22，解得bc ＝6.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2＝13.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧bc ＝6，b 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝2.[测量问题、航海问题等常常是高考的热点，其主要要求是：会利用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题．[例3] 某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值； (3)是否存在v ，使得小艇以v 海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v 的取值范围；若不存在，请说明理由．[思路点拨] 第(1)步设相遇时小艇航行的距离为S ，利用余弦定理把S 表示为关于t 的函数，利用二次函数求解S 的最小值，并求解此时的速度；第(2)步利用余弦定理表示出v ，t 的关系式，并利用函数知识求解；第(3)步把问题转化为二次函数根的分布问题．[解] (1)设相遇时小艇航行距离为S 海里，则S ＝900t 2＋400－2·30t－＝900t 2－600t ＋400 故当t ＝13时，S min ＝103，v ＝303，即小艇以每小时303海里的速度航行，相遇时距离最小．(2)若轮船与小艇在B 处相遇，由题意可得：(vt )2＝202＋(30t )2－2·20·(30t )·cos(90°－30°)，化简得v 2＝400t 2－600t＋900＝400213()4t -＋675，由于0<t ≤12，即1t ≥2，所以当1t ＝2时，v 取得最小值1013，即小艇航行速度的最小值为1013海里/小时．(3)由(2)知v 2＝400t 2－600t ＋900，令1t＝μ(μ>0)，于是有400μ2－600μ＋900－v 2＝0，小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇等价于上述方程有两个不等正根，所以222(600)1600(900)09000v v ⎧-->⎪⎨->⎪⎩ 解得：153<v <30，所以v 的取值范围为(153，30)． [类题通法]应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．[冲关集训]7.如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米．解析：在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，BC sin 45°＝CD sin 30°，BC ＝CD sin 45°sin 30°＝10 2.在Rt △ABC中，tan 60°＝AB BC，AB ＝BC ta n 60°＝10 6.答案：10 68．(2012·郑州模拟)郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC 、△ABD ，经测量AD ＝BD ＝7米，BC ＝5米，AC ＝8米，∠C ＝∠D .(1)求AB 的长度；(2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由)，最低造价为多少？(2＝1.414，3＝1.732)解：(1)在△ABC 中，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝82＋52－AB 22×8×5，①在△ABD 中，由余弦定理得cos D ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝72＋72－AB 22×7×7，②由∠C ＝∠D 得cos C ＝cos D ，③ 解得AB ＝7，所以AB 的长度为7米． (2)小李的设计使建造费用最低．理由如下：易知S △ABD ＝12AD ·BD sin D ，S △ABC ＝12AC ·BC sin C ，因为AD ·BD >AC ·BC ，且∠C ＝∠D ，所以S △ABD >S △ABC . 故选择△ABC 的形状建造环境标志费用较低．因为AD ＝BD ＝AB ＝7，所以△ABD 是等边三角形，∠D ＝∠C ＝60°.故S △ABC ＝12AC ·BC sin C ＝103，所以所求的最低造价为5 000×103＝50 0003≈86 600元．透视三角函数的求值、求角问题许多考生对三角函数恒等变换中的求值、求角问题一筹莫展，其原因在于：①未能牢记三角公式；②不知如何根据三角函数的形式选择合适的求值、求角的方法．三角函数的求值、求角问题包括：(1)“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值； (2)“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值； (3)“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角． [典例] (2011·天津高考)已知函数f (x )＝tan (2)4x π+，(1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)设α[0,]4π∈，若f ()2α＝2cos 2α，求α的大小．[思路点拨] (1)根据正切函数的有关概念和性质求解；(2)根据三角函数的有关公式进行变换、化简求值．[解] (1)由三角函数的定义得2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，即x ≠π8＋k π2，k ∈Z .∴f (x )的定义域为{x |x ≠π8＋k π2，k ∈Z }，f (x )的最小正周期为π2.(2)由f ()2α＝2cos 2α，得tan ()4πα+＝2cos 2α，即sin()4cos()4παπα++＝2(cos 2α－sin 2α)，整理得：sin α＋cos αsin α－cos α＝2(sin α＋cos α)(sin α－cos α)．∵α[0,]4π∈，∴sin α＋cos α≠0.∴(sin α－cos α)2＝12.∴sin 2α＝12.由α[0,]4π∈，得2α[0,]2π∈，∴2α＝π6，α＝π12.[名师支招]利用三角恒等变换求值与求角，其实质是对两角和与差以及二倍角的正弦、余弦、正切公式的应用．求解此类问题，不仅对公式的正用、逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉，同时要善于拆角、拼角，注意角的范围．总之，“变”是三角恒等变换的主题，在三角恒等变换中，角的变换、名称的变换、次数的变换、表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化“变”的意识是关键，但要注意其中的不变，即公式不变、方法不变，最好能够将习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律，这样才能以不变应万变．[高考预测]已知向量OA ＝(cos α，sin α)(α∈[－π，0])，向量m ＝(2,1)，n ＝(0，－5)，且m ⊥(OA －n )．(1)求向量OA ； (2)若cos(β－π)＝210，0<β<π，求cos(2α－β)．解：(1)∵OA ＝(cos α，sin α)， ∴OA －n ＝(cos α，sin α＋5)， ∵m ⊥(OA －n )，∴m ·(OA －n )＝0，即2cos α＋(sin α＋5)＝0，① 又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②联立方程解得cos α＝－255，sin α＝－55，∴OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，－55.(2)∵cos(β－π)＝210，∴cos β＝－210，又∵0<β<π，∴sin β＝7210，且π2<β<π.又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝45， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×45－1＝35，∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－210＋45×7210＝25250＝22.[配套课时作业]1．(2012·威海模拟)已知α3(,)2ππ∈，cos α＝－55，则tan 2α＝( )A.43 B ．－43C ．－2D ．2解析：选B 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，cos α＝－55，所以sin α＝－1－cos 2α＝－255.所以tan α＝2.则tan 2α＝2tan α1－tan α＝－43. 2．若α∈[0,]2π，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )A.22B.33C. 2D. 3解析：选D 由二倍角公式可得sin 2α＋1－2sin 2α＝14，sin 2α＝34，又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝32.即α＝π3，所以tan α＝tan π3＝ 3. 3．设sin α＝35()2παπ<<，tan(π－β)＝12，则tan(α－2β)＝( )A ．－247B ．－724C.247D.724解析：选D ∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos α＝－45，∴tan α＝－34.又∵tan(π－β)＝12，∴tan β＝－12，∴tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝－43， ∴tan(α－2β)＝tan α－tan 2β1＋tan αtan 2β＝－34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－431＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43 ＝724. 4．(2012·重庆高考)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32解析：选C 原式＝＋－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝12.5．已知sin ()3πα+＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos 2()3πα+等于( ) A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选D 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝32sin α＋32cos α ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－435.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6 ＝45. 6．(2012·湖北高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C ，3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4解析：选D 由题意可得a >b >c ，且为连续正整数，设c ＝n ，b ＝n ＋1，a ＝n ＋2(n >1，且n ∈N *)，则由余弦定理可得3(n ＋1)＝20(n ＋2)·n ＋2＋n 2－n ＋22n n ＋，化简得7n2－13n －60＝0，n ∈N *，解得n ＝4，由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4.7．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.解析：代入余弦定理公式得：b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，解得b ＝4.答案：48．(2012·烟台模拟)若α∈[0,]2π，且cos 2α＋sin ()2πα+＝12，则tan α＝________.解析：因为cos 2α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝12，即cos 2α＋cos 2α＝12，所以cos 2α＋2cos 2α－1＝12.整理得3cos 2α＝32，所以cos α＝22(因α为锐角，所以取正)．又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＝π4，tan α＝1. 答案：19．在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝(cos C,2a －c )，b ＝(b ，－cos B )且a ⊥b ，则B ＝________.解析：由a ⊥b ，得a ·b ＝b cos C －(2a －c )cos B ＝0，利用正弦定理，可得sin B cos C －(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ＋cos B sin C －2sin A cos B ＝0，即sin(B ＋C )＝sin A ＝2sin A cos B ，故cos B ＝12，因此B ＝π3.答案：π310．(2012·安徽名校模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(4，－1)，n ＝2(cos,cos 2)2A A ，且m ·n ＝72.(1)求角A 的大小；(2)若b ＋c ＝2a ＝23，试判断△ABC 的形状．解：(1)∵m ＝(4，－1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2A 2，cos 2A ，∴m ·n ＝4cos 2A 2－cos 2A ＝4·1＋cos A 2－(2cos 2A －1)＝－2cos 2A ＋2cos A ＋3.又∵m ·n ＝72，∴－2cos 2A ＋2cos A ＋3＝72，解得cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a ＝3， ∴(3)2＝b 2＋c 2－2bc ·12＝b 2＋c 2－bc .①又∵b ＋c ＝23，∴b ＝23－c ，代入①式整理得c 2－23c ＋3＝0，解得c ＝ 3 ，∴b ＝3，于是a ＝b ＝c ＝3，即△ABC 为等边三角形．11．已知复数z 1＝sin 2x ＋λi ，z 2＝m ＋(m －3cos 2x )i(λ，m ，x ∈R )，且z 1＝z 2. (1)若λ＝0且0<x <π，求x 的值；(2)设λ＝f (x )，已知当x ＝α时，λ＝12，试求cos (4)3πα-的值．解：(1)∵z 1＝z 2，∴⎩⎨⎧sin 2x ＝m ，λ＝m －3cos 2x .∴λ＝sin 2x －3cos 2x .若λ＝0，则sin 2x －3cos 2x ＝0，得tan 2x ＝ 3. ∵0<x <π，∴0<2x <2π. ∴2x ＝π3或2x ＝4π3.∴x ＝π6或2π3.(2)∵λ＝f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x －32cos 2x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x cos π3－cos 2x sin π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，又∵当x ＝α时，λ＝12，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝14. ∴cos(4α－2π3)＝1－2sin 2(2α－π3)＝1－2×116＝78.12.在南沙某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分测得船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速为多少？解：由题意，得轮船从C 到B 用时80分钟，从B 到E 用时20分钟．又船始终匀速前进，所以BC ＝4EB .设EB ＝x ，则BC ＝4x .由已知，得∠BAE ＝30°，∠EAC ＝150°. 在△AEC 中，由正弦定理，得EC sin ∠EAC ＝AEsin C，所以sin C ＝AE ·sin∠EAC EC ＝5sin 150°5x ＝12x.在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin 120°＝ABsin C，∴AB ＝BC ·sin Csin 120°＝4x ·12x 32＝433.在△ABE 中，由余弦定理，得BE 2＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE ·cos 30°＝163＋25－2×433×5×32＝313，故BE ＝313. 所以船速v ＝BE t＝31313＝93(km/h)．所以该船的速度为93 km/h.第三节平面向量1．掌握两个定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．2．熟记平面向量的两个充要条件若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则： (1)a ∥b ⇔a ＝λb (λ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3．活用平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2 )，则 |AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22.[考情分析]填空题的形式出现，有时解答题的题设条件也以向量的形式给出，考查线性运算的运算法则及其几何意义以及两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等，具有考查形式灵活，题材新颖，解法多样等特点．[例1] (2012·海淀模拟)如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF ＝( )A.12AB －13AD B.14AB ＋12AD C.13AB ＋12DA D.12AB －23AD [思路点拨] 利用三角形法则和共线向量定理求解．[解析] 在△CEF 中，有EF ＝EC ＋CF ，因为点E 为DC 的中点，所以EC ＝12DC .因为点F 为BC 的一个三等分点，所以CF ＝23CB .所以EF ＝12DC ＋23CB ＝12AB ＋23DA＝12AB －23AD . [答案] D [类题通法]平面向量的线性运算包括向量的加法、向量的减法及实数与向量的积，在解决这类问题时，经常出现的错误有：忽视向量的起点与终点，导致加法与减法混淆；错用数乘公式．对此，要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．[冲关集训]1．(2012·武汉适应性训练)已知OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则( )A ．a －b ＋c －d ＝0B ．a －b －c ＋d ＝0C ．a ＋b －c －d ＝0D ．a ＋b ＋c ＋d ＝0解析：选A 依题意得，AB ＝DC ，故AB ＋CD ＝0，即OB －OA ＋OD －OC ＝0，即有OA －OB ＋OC －OD ＝0，则a －b ＋c －d ＝0.2．(2012·四川高考)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a|＝b|b|成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a∥bC ．a ＝2bD ．a∥b 且|a|＝|b|解析：选C 对于A ，当a ＝－b 时，a |a |≠b |b |；对于B ，注意当a ∥b 时，a |a |与b|b |可能不相等；对于C ，当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b|b |；对于D ，当a ∥b ，且|a|＝|b|时，可能有a ＝－b ，此时a |a |≠b |b |.综上所述，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是a ＝2b .[考情分析]对向量的数量积及运算律的考查多为选择题或填空题；另外作为工具在考查三角函数、立体几何、平面解析几何等内容时经常用到．[例2] (2012·北京高考)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为________；DE ·DC 的最大值为________．[思路点拨] 建立平面直角坐标系，将向量数量积运算转化为向量的坐标运算求解．[解析]如图所示，以AB 、AD 所在的直线分别为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，由于正方形边长为1，故B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)．又E 在AB 边上，故设E (t,0)(0≤t ≤1)，则DE ＝(t ，－1)，CB ＝(0，－1)．故DE ·CB ＝1. 又DC ＝(1,0)，∴DE ·DC ＝(t ，－1)·(1,0)＝t . 又0≤t ≤1，∴DE ·DC 的最大值为1. [答案] 1 1 [类题通法](1)准确利用两向量的夹角公式cos 〈a ，b 〉＝a·b|a ||b |及向量模的公式|a |＝a·a .(2)在涉及数量积时，向量运算应注意： ①a·b ＝0，未必有a ＝0，或b ＝0； ②|a·b |≤|a ||b |；③a (b·c )与(a·b )c 不一定相等． [冲关集训]3．(2012·河南三市调研)已知单位向量α，β，满足(α＋2β)·(2α－β)＝1，则α与β夹角的余弦值为( )A ．－13B.13C.12D.15解析：选B 记α与β的夹角为θ，则依题意得2α2－2β2＋3α·β＝2×12－2×12＋3×1×1×cos θ＝1，cos θ＝13，即α与β的夹角的余弦值是13.4．(2012·重庆高考)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c, b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5D ．10解析：选B 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝0，－4－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.故a ＋b ＝(3，－1)，|a ＋b |＝10.5．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．解析：∵α⊥(α－2β)，∴α·(α－2β)＝0，∴α2－2α·β＝0，∴α·β＝12，∴|2α＋β|2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋2＋4＝10，∴|2α＋β|＝10.答案：10[考情分析] 高考对本部分的考查，主要是选择题和填空题，即利用平面向量的运算去解决向量的模、向量的坐标或平面几何中的向量的线性表示等，而解答题多为向量与解析几何、三角函数、平面几何中相结合的应用问题．题目多为中低档题，一般不会出现高难度的问题．[例3] 已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π.(1)若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值；(2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan 2α的值．[思路点拨] (1)应用向量的数量积公式可得f (x )的三角函数式，然后利用换元法将三角函数式转化为二次函数式，由此可解得函数的最小值及对应的x 值．(2)由夹角公式及a ⊥c 可得关于角α的三角函数等式，通过三角恒等变换可得结果． [解] (1)∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4， ∴f (x )＝b ·c ＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )．令t ＝sin x ＋cos x (π4<x <π)，则2sin x cos x ＝t 2－1，且－1<t < 2.则y ＝t 2＋2t －1＝2(2t +－32，－1<t <2，∴t ＝－22时，y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22，即2sin ()4x π+＝－22，∵π4<x <π，∴π2<x ＋π4<54π，∴x ＋π4＝76π， ∴x ＝11π12.∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12.(2)∵a 与b 的夹角为π3，∴cos π3＝a ·b |a |·|b |＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(x －α)．∵0<α<x <π，∴0<x －α<π，∴x －α＝π3.∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0， ∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0，即sin (2)3πα+＋2sin 2α＝0.∴52sin 2α＋32cos 2α＝0，∴tan 2α＝－35. [类题通法]在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三。

2019届文理通用高考数学大二轮复习第1部分专题3三角函数及解三角形第1讲三角函数的图象与性质讲义

5．(2018·全国卷Ⅲ，15)函数 fx＝cos3x＋π6在0，π的零点个数为__3___. [解析] 令 f(x)＝cos3x＋π6＝0，得 3x＋π6＝π2＋kπ(k∈Z)，即 x＝π9＋13kπ(k∈Z)，当 k＝0 时，x＝π9∈[0，π]，当 k＝1 时，x＝49π∈[0，π]，当 k＝2 时，x＝79π∈[0， π]，所以 f(x)＝cos3x＋π6在[0，π]上零点的个数为 3.
• 2．重要图象变换顺序
• 在图象变换过程中，注意分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．
3．忽视 A，ω 的符号在求 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要特别注意 A 和 ω 的符号，若 ω<0，需先通过诱导公式将 x 的系数化为正的． 4．易忽略对隐含条件的挖掘，扩大角的范围导致错误．
2．(文)(2018·全国卷Ⅱ，10)若 f(x)＝cosx－sinx 在[0，a]上是减函数，则 a 的最
大值是( C )
A．π4
B．π2
C．34π
D．π
[解析] f(x)＝cosx－sinx＝ 2cosx＋π4在－π4，34π上单调递减，所以[0，a]⊆－π4，34π，故 0<a≤34π.
(理)(2018·全国卷Ⅱ，10)若 f(x)＝cosx－sinx 在[－a，a]上是减函数，则 a 的最
大值是( A )
A．π4
B．π2
C．34π [解析]
D．π f(x)＝cosx－sinx＝ 2cosx＋π4在－π4，34π上单调递减，所以[－a，a]
⊆－π4，34π，故－a≥－π4且 a≤34π，解得 0<a≤π4.

高考数学复习方法大全玩转三角函数-2019年精选教育文档

2019高考数学复习方法大全--玩转三角函数无人不知无人不晓，三角函数是高中数学中基本的初等函数之一，该部分内容历来是高考重点热点之一，再不学会三角函数你就垮了！别担心，一大波福利正赶来...花几分钟读完这篇文章吧，轻轻松松玩转三角函数不是梦，新技能get。

三角函数的学习要分为不同的方面，如三角函数的重要的性质、三角函数那些恒等变化等。

学习三角函数的时候，一定要特别注意对它的化简、计算以及证明的恒等变形的方法的积累与应用。

以下便是我对解密三角函数的一些技巧方法的具体介绍。

起源印度数学家对三角函数做出了较大的贡献，然后从古希腊到阿拉伯，紧接着就是弦表的发明，到明朝年间传入中国。

公式积化和差公式：等号左边的若异名，等号右边全是sin，等号左边同名，等号右边全是cos,可总结为同名函数取余弦，异名函数取正弦。

和差化积公式：若等号左边全是sin，则右边异名，若等号左边全是cos，则等号右边同名；等号左边中间的正负号决定了右边第二项，若是正，则是cos，若是负，则是sin，然后可以根据第一条原则写出完整的右边式子，最后记得cos-cos要添一个负号。

性质三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：sin上正下负；cos右正左负；tan奇正偶负．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．恒等变形的基本思路一角二名三结构。

即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心；第二看函数名称之间的关系，通常切化弦；第三观察代数式的结构特点。

（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换。

（2）三角函数名互化(切割化弦)。

（3）公式变形使用和三角函数次数的降升。

（4）式子结构的转化，包括角、函数名、式子结构化同。

数形结合的思想把抽象的数和直观的形双向联系与沟通,使抽象思想与形象思维有机地结合起来化抽象为形象，这一块呢主要是一些看起来很难的问题，当你画出图形，就会变得简单许多。

2019年高考数学三角函数模块高考备考

10
四、高考真题分考点解读
考点一、三角函数的图像和性质
11
☻ 借助图象考查三角函数函数的单调性、对称性、最值、零点（难度：中）
☻ 从函数的一般性质（导数、单调性、最值、极值等）的角度考查三角函数（难度：中偏难） ☻ 考查周期和图像变换(难度：易）
四、高考真题分考点解读
☻ 借助图象考查三角函数函数的单调性、对称性、最值、零点（难度：中）
例题 15（2017 全国三•理科 17）
ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，已知 sinA
a 2 7,b 2。 3 cos A 0 ，
（Ⅰ）求 c ；（Ⅱ）设 D 为 BC 边上一点，且 AD AC ，求 ABD 的面积。
四、高考真题分考点解读
三是异名变换，例如：由 y sinx 变到 y cos x 。教材必修四 P32 就异名变换有这样的叙述：由 y cos x sin x

，所以只要将函数 2
y sinx 的图象向左平移

2
个单位长度而得到。在异名变换中，学生容易有这样的变形：
cos x sin x ，然后再设法将 y sinx 变成 y sin x ，由于 1 ，只有 2 2
2016全国一.文12
（A） 1,1
1 （B） 1, 3
1 1 （C） , 3 3
1 1, （ D） 3
四、高考真题分考点解读
☻ 从函数的一般性质（导数、单调性、最值、极值等）的角度考查三角函数（难度：中偏难）
14
5（2018 全国一•理科 16）例题 4. 已知函数 f x 2 sin x sin 2 x ，则 f x 的最小值为_______

2019年高考数学(文)一轮复习第3章三角函数、解三角形第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数学案精编.doc

第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数 [考纲传真] 1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．

(对应学生用书第39页) [基础知识填充] 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

(2)分类 按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)公式

角α的弧度数公式 |α|＝lr(弧长用l表示)

角度与弧度的换算 ①1°＝π180 rad； ②1 rad＝180π° 弧长公式弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝12lr＝12|α|r2 3.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切

定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么

y叫做α的正弦，记作sin α x叫做α的余弦，记

作cos α

x叫做α的正切，记作

tan α 各象限符号 Ⅰ ＋＋＋

Ⅱ ＋－－ Ⅲ －－＋ Ⅳ －＋－

三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线 [知识拓展] 1．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．任意角的三角函数的定义(推广)

设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝yr，

cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0)． [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)小于90°的角是锐角．( ) (2)锐角是第一象限角，反之亦然．( ) (3)角α的三角函数值与终边上点P的位置无关．( ) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2．(2017·西宁复习检测(一))若cos θ＞0，且sin 2θ＜0，则角θ的终边所在象限为( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D [由cos θ>0，sin 2θ＝2sin θ cos θ＜0得sin θ＜0，则角θ的终边在第四象限，故选D．]

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时，g（t）为减函数，当住[—1] 2019高三复习备考：三角函数专题复习及建议

三角函数可以说是每年高考数学必考的重点，而在历年高考试题中，三角函数所点的比例很大，试题难度不一，那么考生如何在夏习过程中更好地复习三角函数这一重要内容呢？我认为在三角函数复习过程中，认真研兖考纲是复习中必不可少的环节，还要探究三角函数的答题规律和解题方法，多做典型例题多看其答案分析，更要多做多练，才能更好地答好高考中的三角函数试题。

一、研究考题，探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题，本章高考重点考查基础知识，仍将以容易题及中档为主，题目的难度保持稳定，估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出，考查主体亦发生了变化。偏重化简求值，三兑函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一•个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本，注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力，对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3. 对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。二、典例剖析

例1：函数/(x) = cos2 x-2cos2 —的一个单调增区间是

,71 2勿、 71、小〃、 / 兀 71、 A. (一,—) B. (—,—) C. (0,—) D.( ------ ,—) 3 3 6 2 3 6 6

【解析】函数f (x) = cos2 x-2 cos2 — = cos2 x - cos x -1 ,从

复合函数的角度看，原函数看作

g(t) = t2 -t-l > r=cosx,对于 g(t) = t2 -t-1,当住［T

JI 2勿 I | 时，gQ）为增函数，当*£（—,—）时，r = cosx减函数，且re（一一,一），二原函数此时 3 3 2 2

是单调增，选A

【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域：②确定复合过程；③根据外层函数f（u ）的单调性，确定6（x）的单调性；④写出满足。（X）的单调性的含有X的式子，并解出

X的范围；⑤ 得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断. (II)解―：cos 20 = cos2 0-sin2 0

cos2 ^-sin2 0 1-tan2 0 1-4 3 -------- zz = ----------------- cos2 +sin2 0 1 + tan2 0 1 + 4 5

例2、己知tan。= 2. 7T (I )求 tan — +。的值；

"4 )

(IT)求 cos 20 的值.

【解析】 (I ) tan 6 = 2, 71 八 z 、 tan — + tan 0

7i 4 tan — + 0 = -------- - ---------

‘4 )1 - tan — tan 0

1 + 2 今

= ---------=—3 • 1-1x2

八 c ” 2tan。 4 4 解二： tan 0 = 2, /. tan 20 = ----------- = ----- =—— l-tan26> 1-4 3

IT TT 又 tan。= 2,可知 kji + — < 0 < kv + — (k c Z〈, 4 2

71 从 2k7r^-<20<2k7r + 7r(keZ)

/. cos 20 = -1/ ------- ------- =—— Vl + tai?2。 5

【解后反思】因此涉及到计算型问题的时候，一定不能在计算上出问题，宁可慢些.错解2是较难发现其错误的，在求角的过程中，不自觉的扩大了角的范围，从而产生增根.可以灵活的选用和使用恰当的公式避开角的讨论，如要展开角的讨论，需要我们对角的范围更精确一些，角的范围不能有效的确定，往往是错误的根源.

例3：由函数/(x)=sin2.r的图象得到g(x)=cos(2.r— — )0tl图象，需要将必)的图象 ( )

TT TT A.向左平移一个单位 B.向左平移一个单位

3 6

TT 7T C.向右平移一个单位 D.向右平移一个单位

3 6

7T TT 【解析】g(x) = sin(2x + -) = sin2(x + -),要得到函数；U)=sin2x的图像，将加的图象向左平移 3 6

TT .个单位，答案B 6

【温馨提示】解题中必须仔细和认真，注意函数的名称是不一样的，并旦是将Rx)的图象进行平移得到g(x)的图像，认真读题，是解题的第一要求，图象变换的两种情况先周期变换后相位变换和先相位变换后周期变换，这两种.它们所移动的长度单位是不一样的.解答此类题目时应注意将自变量X的系数提取出来，紧紧抓住谁是变元这个关键一一函数图象平移变换是指自变量X 的改变程度.另外应记清：左“+”右“一”，上“+”下“一”的规律.

三、复习建议由此对于高中数学复习提出如下建议： 1、切实抓好“三基”，牢固打好数学基础。

%1 回扣课本，浓缩知识，巩固提高回扣课本是一次系统的复习，目的是迅速巩固原有复习效果，特点是速度快、记忆量大，准确度要求高。 %1 建立知识结构体系通过对反映相关数学理论的本质属性的许多重要的例题和习题类比、延伸、迁移、拓广，提出新的问题并加以解决，能有效地掌握基础知识，发展数学能力。 %1 重视数学思想方法的渗透基本数学思想方法是在知识的形成的过程中发展，数学能力是在知识、方法和技能的学习过程中提高， 2、突出应用。

解答数学应用问题，是创新意识和实践能力的重要表现。学会将实际问题抽象为数学问题总的来说：三角函数的考查会立足课本，落实基础，重视方法。基础知识、基本方法仍是高考的重点；创新型题型，探究型题型将加大考察力度；同步训练题

例 1、己知函数(1) /(x) = 31nx； (2) /(x) = 3ecosx；

(3) f(x) = 3ex； (4) f(x) = 3cosx,其中对于f (x)定义域内杜任意一个自变量明，都存在唯一一个

自变量互，使Jf(x"(X2)=3成立的函数是() A、(I) (2) (4) B、(2) (3) C、(3) D、(4) 分析：本题属新信息题，考查知识的迁移及应用能力；明确三角函数的图象与性质是求解本题的关键。

解析：(1)不符合要求，如当为=1时，一定不存在满足条件的可使得等式成立；(2)不符合要求，显然要使J7G57正5 = 3即为+COSE=0,由于y = cosx在定义域上不单调，故满足条件的实数不唯一；(3)符合，据题意只须玉+易=0,当给定易值时，显然巧唯一确定；(4)不符合要求，据题意要使COS玉・COS、2 =1，由三的函数知扬也是不唯一的。故选C. 2、已知函数/(x) = x• sinx的图象是下列两个图象中的一个，如图，请你选择后再根据图象作出 TT 7T 下面的判断：若e ，且/(Xj) < /(x2),则( ) X] > x2 B、Xj + x2 > 0 C、X] < x2

A. [-1,0] C. (-oo,0] D. [0,1] 分析：比较两个函数图象，m以从对称性的角度进行判断，从而确定函数的图象；再运用确定的函

数图象，结合给出的条件，理解其含义(如单调性，与原点的距离等)，从直观上给予判断。解：函数/(x) = x-sinx是偶函数，故其图象关于y轴对称，应选第二个图象，当 7F TT xe(-—,一)时，运用图象的特征可知，距y轴越远，f (x)的值越大。

因为/‘3)D. 3函数y = (sinx—o)2+1,当sinx = a时有最小值，当sinx= 1时有最大值，则。的取值

范围是( )

解析：..•函数y = ( sinx - a )2 +1当sinx = a时有最小值，所以对称轴应该在自变量的区域内，B|J A-lAa<0, /.-l点评：本题设计巧妙，首先需要具备两种重要的思想：数形结合、逆向思维，在sin_r =。时有最小值，说明对称轴在-l［-1,1］的中点的左侧，所以有at)。

A、

AY 7T

(2)