2015惠州事业单位行测备考辅导：同余问题基础知识及精选习题
初等数论§3同余
这时，有40 46(mod6), 但20 23(mod6)不成立！
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⑥ a b c(mod m ) a c b(mod m )
证：a b c(mod m ) m c a b
m (c b ) a a (c b)(mod m ).
由71 1(mod4), 72 1(mod4), 76 1(mod4), 7 1 3(mod4)， r3
7
所以7 7r 7 3 7 2 7 ( 1) ( 3) 3(mod10).
77
即7 的个位数是3.
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77
13
一般地，求a 对模m的同余的步骤如下：
—— 7|a 7|a2a1a0 a5a4a3
7 11 13 1001 1000 1(mod7)
a n a n 1
a 0 a n a n 1
a3 1000 a2a1a0 a6
a2a1a0 anan1
(mod7).
a3 a2a1a0 a5a4a3 anan1
① 求出整数k，使ak 1 (mod m)；
bc
② 求出正整数r，r < k，使得bc r (mod k)；
——减小幂指数
③ a a (mod m )
r bc
练习：若a Z , 证明 10|a1985 a1949 . 提示： a 5 a(mod10)
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例4
3、9 的整除特征
——各位上的数字之和能被3（9）整除 10i 1mod(3)
2017国考行测点拨：如何巧解同余问题
2017国考行测点拨：如何巧解同余问题国家公务员考试行测数量关系以难度大、单题分值高而著称，也是考生最为头疼的部分。
很多考生想在有限的时间内全面掌握最常考的知识点。
很多考生对于基础的数论知识，如：数的奇偶性、质合性、余数不够重视，确实这些数的基本性质很少直接命题，但理解清楚数的基本性质有助于考生快速解题。
今天中公教育专家就着重来谈一谈同余的问题。
余数定义：若37÷7=5……2，37和5不能够整除，2为余数。
同余定义：若几个数除以同一个数，得到的余数相同，也就是说这几个数关于这个除数同余，如37÷7=5……2，44÷7=6……2，就说37和44关于7同余。
同余特性：(1)余数的和(或者差)决定和(或者差)的余数;(2)余数的乘积决定乘积的余数;(3)余数的幂决定幂的余数。
同余特性的主要作用是用于求一些不能直接求解的数的余数。
【例1】已经a除以7余3，b除以7余2，求a+b的和除以7余几?【答案】5。
根据同余特性的第一条，3+2=5。
【例2】已知a除以7余3，b除以7余2，求3a+4b的和除以7余几?【答案】3。
根据同余特性的第一条和第二条，3a除以7余9，4b除以7余8，(3a+4b)除以7余17，17除以7余3。
【例4】学校组织同学参加义务劳动，7位班主任和5位学校领导带队，原计划每位领导带的学生人数相同且为质数，每位班主任带的人数相同且大于每位领导所带人数。
后来由于领导有事不能参加，全部由班主任带队，每位班主任带的学生人数相同且为质数，则最少有多少名学生参加义务劳动?A.77B.84C.91D.102【答案】C。
设原来每位班主任带的学生为x人，原来每位领导带的学生为y人，后来每位班主任带的学生为z人，根据题意可得：7x+5y=7z，7x可以被7整除，7z也可以被7整除，则5y能够被7整除，又由于y是质数，则y只能为7，将选项代入排除选择C选项。
2015年广东省县级公务员考试行测真题解析-数量关系
2015年广东省县级公务员考试行测真题解析-数量关系三、数量关系36. 3、10、31、94、( )A.125B.188C.283D.2914【知识点】二级等差【答案】C【解析】二级作差数列，做完差，呈现7,21,63，...，等比数列，所以答案为：94+63×3=283，因此答案选择C选项。
37. 2、10、30、68、130、( )A.222B.272C.300D.390【知识点】三级等差【答案】A【解析】这是一道三级作差数列，做完两次差，出现12,18,24，...等差数列，所以返回去连续做两次加法，得出答案为222，因此，本题答案为A选项。
38. 19、18、26、24、33、30、40、( )A.32B.34C.36D.38【知识点】等差数列【答案】C【解析】这道题是一道多重数列，属于交叉多重，交叉完发现，偶数项是一个公差为6的等差数列，奇数项是一个公差为7的等差数列，经计算答案为30+6=36，因此本题答案为C选项。
39 .A. 31/967B. 35/1208C. 159/2282D. 187/4830【知识点】分数数列【答案】D【解析】这是一道分数数列，属于整体观察法的题目：特征(1)前一个分子分母的乘积等于后一个分数的分母，所以，空缺项的分母为23×210=4830;特征(2)前一个分母分子之差等于后一个分数的分子，所以空缺项的分子为：210—23=187，因此，本题答案为D选项。
40.A.11，7B.13，5C.17，9D.21，3【知识点】其他图形【答案】B【解析】这是一道16宫格的题目，横着、竖着加和都是148，因此，本题答案为B 选项。
41.阅览室有100本杂志，小赵借阅过其中75本，小王借阅过70本，小刘借阅过60本，则三人共同借阅过的杂志最少有( )本。
A.5B.10C.15D.30【知识点】反向构造【答案】A【解析】这是一道多集合反向构造的题目。
6年级同余问题
同余问题一、学习目标：掌握同余问题的基本性质，并能够解决问题。
二、基础知识：几个正整数A、B、C……除以同一个正整数D，如果所得的余数都相同。
我们就说这几个正整数A、B、C……对正整数D同余。
同余定义：若两个整数a、b被自然数m（m≠0）除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b（modm）. 读作： a和b对于模m同余。
解答好此类题的前提是要很好地理解和掌握整除、公约数的一些知识，这样运用起来才能得心应手。
一个结论：试一试求2008除以7的余数。
可以先去掉7的倍数1400余608，再去掉7的倍数560还余下48，再去掉7的倍数42最后余下6.这个过程可简单地记成： 2008→608→48→6.从这几个数我们可以看出，它们除以7都余6。
因为2008、608、48、6除以7的余数相同，所以2008-608、608-48、2008-6、608-6这几个算式的结果能被7整除。
结论：如果若干个数被同一个数除余数相同，那么这若干个数两两之差（大减小）必能被这个数整除。
即这个数是这些差的公约数。
例1：有一个大于1的整数，它除1000，2001,967得到相同的余数（不为0），那么这个整数是多少？已知三个数59，101，45除以一个数D，所得余数相同,且D为两位数，求这个数D。
例2：甲、乙、丙、丁四个学校分别有69人、85人、93人、97人旅行.现在要把这四校学生分别进行分组，每组学生相等，并使每组的人数尽可能多，以便乘车参观游览.已知甲、乙、丙三个学校分组后，所剩的人数相同，问丁校分组后还剩下几个人？同余的性质：※性质1：甲，乙，丙三个整数，如甲和乙同余，乙和丙同余，那么甲和丙一定同余。
若a≡b（modm），b≡c（modm），则a≡c（modm）。
※性质2：甲和乙同余，丙和丁同余，那么甲与丙的和与乙与丁的和一定同余。
（若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m））※性质3：甲和乙同余，丙和丁同余，那么甲与丙的积与乙和丁的积一定同余。
公务员考试：你要知道的“中国剩余定理”
公务员考试：你要知道的“中国剩余定理”中国古代著名数学著作《孙子算经》记载，“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”此问题为中国剩余定理的原型。
在没有学习剩余定理之前往往只能采用枚举法或代入排除法来解决，而这些方法是比较繁琐的，在行测考试中时间对于大家来说就是生命，因此掌握此种题型的解题方法对大家在做题准确率以及做题速度上都有很大帮助。
下面将结合贵州省公务员行测考试特点，介绍中国剩余定理在解决实际问题中的应用。
一、剩余问题的通用形式一个数除以a余x，除以b余y,除以c余z,其中a、b、c两两互质，求满足该条件的最小数。
二、剩余问题的解法1.特殊情况(1)余同加余如果用一个数除以几个不同的数，余数相同，那么这个被除数的值等于这些除数的最小公倍数的倍数加上余数。
【例题1】某学校六年级共3个班的学生排队，每排4人，5人或6人，最后一排都只有3人，这个学校六年级有( )名学生。
A.120B.121C.122D.123答案：D。
【解析】根据题目信息，可知该校六年级的学生人数除以4、5、6均余3，余数相同，属于余同，因此该班学生人数满足通项公式X=60N+3 ，(N=0,1,2,3……)，当N=2时，X=123，选择D项。
(注：n前面的系数60是取4、5、6三个除数的最小公倍数)(2)和同加和如果用一个数除以几个不同的数，除数和余数的和相同，那么这个被除数的值等于除数的最小公倍数的倍数加上除数和余数的和。
【例题1】某个数除以5余3，除以6余2，除以7余1，求在0至500内满足这样的自然数有多少个?A.3B.2C.4D.5答案：A。
【解析】根据题目信息，可知除数与余数的和相加均为8，则该自然数应满足X=210N+8(N=0,1,2……)因此在0至500以内满足题干条件的自然数有8,218,428三个数，选择A项。
(3)差同减差如果用一个数除以几个不同的数，除数和余数的差相同，那么这个被除数的值等于除数的最小公倍数的倍数减去除数和余数的差。
应用同余解题
中级奥数教程同余解题【知识点与基本方法】讲同余之前，我们来思考这样一个问题：2001年元旦是星期一，问20年后的元旦是星期几？由于每年有365天，20年共有20×365=7300天，但每四年有一个闰年，20年中有5个闰年，故20年有7305天。
7305=7×1043+4，说明20年中有1043周，外加4天，我们关心的其实不是20年中有多少周，而是1043周以后的那4天，因为经过1043周以后那天的是星期一，再往后数4天，即20年后的元旦是星期五。
生活中我会经常遇到与余数有关的问题，再比如：某年级有将近400名学生。
有一次演出节目排队时出现：如果每8人站成一列则多余1人；如果改为每9人站成一列则仍多余1人；结果发现现成每10人结成一列，结果还是多余1人；同学们你们知道该年级共有学生多少名吗？假设有一名学生不参加演出，则结果一定是不管每列站8人或9人或10人都将刚好站齐。
因此此时学生人数应是8、9、10公倍数，而8、9、10的最小公倍数是360，因此可知该年级共有361人。
1、同余的定义:两个整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即 a≡b（modm）研究与余数有关的问题，能帮助我们解决很多较为复杂的问题，下面给出同余一般理论。
2、同余的重要性质:〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）；〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm）〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）；〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm）〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）；〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm）其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性"注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类：〈1〉用2来将整数分类，分为两类：1，3，5，7，9，......（奇数）；0，2，4，6，8，......（偶数）〈2〉用3来将整数分类，分为三类：0，3，6，9，12，......（被3除余数是0）1，4，7，10，13，......（被3除余数是1）2，5，8，11，14，......（被3除余数是2）〈3〉在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是：0（mod6）：0，6，12，18，24，......1（mod6）：1，7，13，19，25，......2（mod6）：2，8，14，20，26，......3（mod6）：3，9，15，21，27，......4（mod6）：4，10，16，22，29，......5（mod6）：5，11，17，23，29，......我们已初步学习了同余的有关知识．同余在解答竞赛题中有着广泛的应用．在这一讲中，我们将深入理解同余的概念和性质，悟出它的一些运用技巧和方法．【例题精选】例1：求437×309×1993被7除的余数。
2017事业单位备考：同余特性解方程
2017事业单位备考：同余特性解方程【导读】中公事业单位为帮助各位考生顺利通过事业单位招聘考试！今天为大家带来事业单位行政职业能力测试题。
在国考和事业单位行测考试中的数学运算中，我们常常会碰到一些要求解多元不定方程，同余特性作为一种常用且能快速解题的方法也为大家所知，但往往碰到一些稍微复杂一点的，大家反而不能够灵活的运用，下面我们通过一些例题的详细介绍，帮助大家进一步的理解同余特性解方程的方法和本质，以便大家能够灵活的运用同余特性。
希望对大家能够有所帮助。
一、同余特性通常特性一、二、三用于求解不定方程，二特性四特性用于求解日期中的星期问题。
二、同余特性解不定方程的核心同余特性解不定方程的核心为消元，而消元的本质为除以其系数的公约数，通常为最大公约数。
三、经典例题详解云南事业单位考试网提供云南事业单位招聘和云南事业单位考试资讯、真题资料【例1】已知3a+8b=104， 求a;‚求bA.8B.9C.10D.11【答案】•A。
‚C。
解析：•该方程为不定方程，可以用同余特性求解。
求a，则考虑要将b消去，即整个式子同除以8，则8b除以8余数为0，104除以8余数为0，根据和数的余数决定余数的和的特性可知3a除以8余数为0，又因为3不能被8整除，所以a一定能被8整除，所以选A。
‚求b，则要消去a，即除以3，3a除以3余数为0，104除以3余数为2，所以8b除以3余数为2，因为8除以3余2，根据同余特性余数的积决定积的余数，所以b除以3余数应为1，所以选择C。
【例2】已知4a+10b+c=43，求a+b+c.A.8B.9C.10D.11【答案】C。
解析：该方程为不定方程，可以用同余特性求解。
题干要求a+b+c，可将其看做一个整体未知数，对原式进行拆分构造，即4a+10b+c=(a+b+c)+3a+9b=43，要求a+b+c，则要消去3a+9b，即除以其系数3和9的公约数3，此时3a+9b除以3余0，43除以3余1，根据同于特性余数的和决定和的余数可知(a+b+c)除以3余数为1，再用排除法可以排除A、B、D，所以选择C。
2016上海事业单位考试行测备考：同余特性巧解数量关系
2016上海事业单位考试行测备考：同余特性巧解数量关系同余特性：
一、余数的和决定和的余数(和的余数=余数和的同余余数)
例如：23,16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1;23、24除以5的余数分别是3和4，所以23+24除以5的余数等于余数和7，正余数为2.
二、余数的差决定差的余数
例如：23,16除以5的余数分别是3和1，所以23-16=7除以5的余数等于2，即两个余数的和3-1;
三、余数的积决定积的余数
例如：23,16除以5的余数分别是3和1，所以23×16=39除以5的余数等于3×1;
【答案】C
【中公解析】：此题考察点为最小公倍数。
则下次三人还能同时去图书馆的时间，需要我们去寻找15、16、17 三者的最小公倍数，因为三者互质，即 15×16×17，然后除以7 找余数，但是这样计算会比较麻烦，所以根据余数的积决定积的余数，可以分别寻找15除以7余1， 16 除以7余2， 17 除以 7余3，所以 15×16×17 的余数为 1×2×3=6，所以下次三者相遇的时间为周一往后数六天，即周日。
结合以上两题，中公教育专家帮助大家从开始的头疼数量关系，甚至是有放弃数量关系的想法，到熟练掌握应答数量关系的技巧，快速地解答数量关系的题目，从而在事业单位测考试中取得理想的成绩，笑傲群雄，脱颖而出。
有余数的除法
1.数11，1(2007个1)，被13除余多少
分析：根据整除性质知:13能整除111111,而2007十6后余3,所以答案为7.
2.求下列各式的余数：
(1)2461X135X6047-11 (2)2123-6
分析:(1)5;(2)6443-19=339,, 2,212=4096 ,4096-19余11 ,所以余数是11.
解答：解：因为一个数字m如果能被13除余1的话，它就可以写成m=13n+1这种形式.
那么根据题意它再乘以2之后就是26m+2，
这个数被13除后的余数显然是2，又会跟第一个数的余数相同了.
所以这个数对应的次方就是余数变化的一个周期.
首先从2开始，2除以13的余数是2;2的2次方是4，余数是4;按照这个方法一直找 下去，
2.（第十三届迎春杯决赛）已知一个两位数除1477,余数是49.那么,满足那样条件的所 有两位数是.
分析：1477-49=1428是这两位数的倍数，又1428=2X2X3X7X17=51X28=68X2仁84X17,因此所求的两位数51或68或84.
数论专题：余数问题解析
1.有一个大于1的整数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数.
转化成整数倍问题后，可以帮助理解相关的性质.
数论专题：余数问题解析
1.(美国长岛小学数学竞赛)写出所有的除109后余数为4的两位数.
分析：还是把带有余数的问题转化成整除性的问题，也就是要找出能整除(109-4)的所有 的两位数.进一步，要找出能整除1 05的两位数，很简单的方法就是把1 05分解质因数，从所得 到的质因子中去凑两位数.109-4=105=3X5X7.因此这样的两位数是：15;35;21.
选调生考试行测备考：中国剩余定理
选调生考试行测备考：中国剩余定理作为储备干部培养的公务员之选调生已经陆续出公告，各省考试时间和内容有所不同，以行测、申论、综合知识为主；中公教育选调生课程也是结合考试大纲专业专项设置的。
由于选调生考试内容比较广泛，复习方向不太好把握，所以对于广大考生来说复习难度也越来助！更多针对性问题解决您可以>>>在线咨询。
在选调生行测考试中我们有时会遇到这样的问题，一个数除以不同的数得到对应的余数，然后让我们求这个数，这类问题其实就是需要运用中国剩余定理解决的问题。
以下中公选调生考试网为大家详细讲解，助大家轻松备战选调生考试。
一、余同加余一个数除以不同的数得到相同的余数，那么这个数等于这几个除数的最小公倍数的整数倍再加上他们相同的余数，记做余同加余。
例：三位的自然数N满足：除以6余3，除以5余3，除以4也余3，则符合条件的自然数N有几个?A.8B.9C.15D.16【中公分析】本题是一个数除以不同的数得到相同的余数，让我们求这个数，根据中国剩余定理可以直接把这个数表示出来，4、5、6的最小公倍数是60，可以算出N=60n+3，根据题目已知的条件N是一个三位数，又因为n是整数，所以n可以取2到16的所有整数，共15个数，选答案C。
二、和同加和一个数除以不同的数得到不同余数，如果每个式子除数与余数的和相同，那么这个数等于这几个除数的最小公倍数的整数倍再加上除数与余数的和，记做和同加和。
例：某歌舞团在大厅列队排练，若排成7排则多2人，排成5排则多4人，排成6排则多3人，问该歌舞团共有多少人?A.102B.108C.115D.219【中公分析】本题可以明显发现有：除数与余数只和均为9，可以利用和同加和原理，7、5、6的最小公倍数是210，直接写出总人数的表达式210n+9，代入选项，选答案D。
三、差同减差一个数除以不同的数得到不同余数，如果每个式子除数减余数的差相同，那么这个数等于这几个除数的最小公倍数的整数倍再减去除数与余数的差，记做差同减差。
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惠阳中公教育
2015惠州事业单位行测备考辅导：同余问题基础知识及精选习题
同余问题作为职业能力测试需要考生掌握的内容，要求学习应用。下面中公事业单位招聘考试网为大家带来相关内容。
1.基础知识
(1)两个整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即
a≡b(modm)。
(2)同余的重要性质及举例
〈1〉a≡a(modm)(a为任意自然)
〈2〉若a≡b(modm)，则b≡a(modm)
〈3〉若a≡b(modm)，b≡c(modm)则a≡c(modm)
〈4〉若a≡b(modm)，则ac≡bc(modm)
〈5〉若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则ac=bd(modm)
〈6〉若a≡b(modm)则an≡bm(modm)
其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可
开方性"。
注意：一般地同余没有"可除性"，但是：
如果：ac=bc(modm)且(c，m)=1则a≡b(modm)
(3)整数分类：
〈1〉用2来将整数分类，分为两类：
1，3，5，7，9，……(奇数)
0，2，4，6，8，……(偶数)
〈2〉用3来将整数分类，分为三类：
0，3，6，9，12，……(被3除余数是0)
1，4，7，10，13，……(被3除余数是1)
2，5，8，11，14，……(被3除余数是2)
惠阳中公教育
〈3〉在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是：
0(mod6)：0，6，12，18，24，……
1(mod6)：1，7，13，19，25，……
2(mod6)：2，8，14，20，26，……
3(mod6)：3，9，15，21，27，……
4(mod6)：4，10，16，22，29，……
5(mod6)：5，11，17，23，29，……
2.精选例题
【例题】求437×309×1993被7除的余数。
思路分析：如果将437×309×1993算出以后，再除以7，从而引得到，即437×309×1993=269120769，此数被7除的余
数为1。但是能否寻找更为简便的办法呢?
473≡3(mod7)
309≡1(mod7)
由"同余的可乘性"知：
437×309≡3×1(mod7)≡3(mod7)
又因为1993≡5(mod7)
所以：437×309×1993≡3×5(mod7)
≡15(mod7)≡1(mod7)
即：437×309×1993被7除余1。