大学物理(下)：8自感与互感

n1
n2
为 n1 、n2，求两线圈的 互感系数。
4
解：
l
设线圈 1 中的电流为 I1，
磁感应强度为
S
B1=μn1I1
I1 n1
线圈 1 在线圈 2 中产生的磁链：
n2 I2
21 N 2 m 21 ln 2 B1S ln 2 n1 I1S
线圈 1 在线圈 2 中产生的互感系数：
M 21
21
L dI IR
dt
求解上式：
L dI ( IR)
dt
RL
1
2
16
L dI ( IR)
dt
求解上式：
dI
R dt
( / R I ) L
I
(1
e
R L
t
)
当开关打到 2 时， R
L dI IR dt
解为：I
I
0e
R L
t
R
e
R L
t
IR表示电阻上的电压，电阻的功
率为 LI dI I 2R
dt
I
R
t
RL
1
2
17
LI dI I 2R dt
改写为： LIdI I 2Rdt dW
电阻上消耗的能量为
W
I 2Rdt
0
LIdI
I0
1 2
LI02
显然这个能量是由电感提供的。即电感具有能量为
Wm
1 2
LI 2
18
线圈能量为：
Wm
W
1 LI 2
2
二、磁场的能量
由于载流线圈中具有磁场，所以线圈的能量也可
§12-4
互感与自感
1
一、互感现象
相邻的两个电流回路， 当一个回路中的电流发 生变化时会在另一个回 路中激发出电动势。这 种现象称为互感。
N1 K
N2 如上图：线圈 1 在线圈 2 中 产生的电动势计算如下：
B如1 上 图：4线0 I圈1drl13产r生的I 1磁感应强度计算如下：
m21 B1 dS2 I 1
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1.演示实验
在下面的实验中，两并联支路中的电阻与电感的 纯电阻相同，当电键 K闭合时，灯泡 1 立刻点亮，而 灯泡 2 为渐亮过程。
这是由于电键 K 闭合瞬间， 电路中电流发生变化，在线 圈 L 中产生自感电动势，阻 止支路中的电流变化，电流 是渐变的。
R L
K 11
播放动画
12
2、自感系数L
12
M12
dI2 dt
可以证明两线圈的互感系数相等：
M 21 M 12 M
3
单位：亨利H [W/A] 豪亨 1H=103mH
注意： 互感系数与两线圈的大小、形状、磁介质和
相对位置有关。
例1： 长为 l、横截面积
l
为 S 的长直螺线管，插
有磁导率为 的磁介质，
S
磁介质上绕有两组线圈， 两线圈的线圈密度分别
线圈中的自感系数L为：
L N m N nIS ln nIS
II
I
I
其中匝数 N ln
则自感系数 L n 2lS
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4、自感系数的计算 ①假设线圈中的电流 I ；
L
I
②求线圈中的磁通量 m ；
③由定义求出自感系数 L。
对于上述的由一个线圈构成的电子元件称为电感。
5、电感的暂态过程
当开关拨到1 时，回路的电压
I
0lI ln a b 2I a
0l ln a b 2 a
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二、自感现象
对于单一的线圈，当线圈 中电流发生变化时，线圈中的 磁通量也会发生变化，并在线 圈中产生电动势。把这种现象 称为自感。自感电动势有阻止 线圈两端的电流变化的趋势。
dI 0 dt
这是由于线圈中的电流在线圈周围产生一个磁场，电 流变化时，磁场也发生变化。并在线圈中激发感应电 动势。
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三、磁场的能量密度wm
磁场能量只能反映空间体积 V 内的总能量，不能 反映磁场的能量分布情况。须引入描写磁场分布的物理 量----能量密度。由：
Wm
1
2
B 2V体
1.能量密度wm 单位体积内的磁场能量。
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wm
Wm V体
磁链为：21 N 2m 21
线圈2的电动势为：
M 21I1
21 M 21
dI1 dt
2
21 M 21 I 1
21
M 21
dI1 dt
定义：线圈 1 对线圈 2 的互感系数M21
M 21
21
I1
同样的线圈2的电流变化，也在线圈1中产生电动势。
磁链为： 12 M12 I2
线圈1的电 动势为：
以说是磁场的能量。
以载流长直螺线管为例：长直螺线管中插有磁导率为
的磁介质，管内磁感应强度为：
B nI
长直螺线管的自感系数为：
l
L n 2lS
S
Wm
1 2
n2lSI 2
1 2
(n I )2
Sl
n
I
19
磁场能量为
Wm
1 B 2 lS
2
B2
2
V
体
l
S nI
从上式中可看出磁场的能量只与磁场强度和磁场分布 的空间有关。
1.磁链数
定义：线圈的匝数与线圈中的磁通量乘积。
N m N B dS
2.自感系数 L 线圈的磁链与线圈中的电流 I 成正比。
I
写成等式： LI
3.定义：自感系数
L
I
自感系数为线圈中磁链与线圈中的电流之比。 13
L
I 4.注意:
单位： 亨利，H 毫亨， mH 1H=103mH
自感系数与线圈的大小、形状、磁介质、线圈密度有 关，而与线圈中电流无关。
I1
n1n2lS
设线圈 2 中的电流为 I2 ，B2=μn2I2
线圈 2 在线圈 1 中产生的磁链： 12 ln1n2I2S 5
12 ln1n2I2S
l
线圈 2 在线圈 1 中产生的
互感系数：
S
M 12
12
I2
n1n2lS
I2
n1
n2
M 21
21
I1
n1n2lS
由此可看出，两线圈的互感系数相等。
3、自感电动势
由法拉第电磁感应定律可知：
i
N
d m
dt
d
dt
当线圈自感系数不变时，自感电动势
i
L
dI dt
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例：一长直螺线管，线圈 密度为 n，长度为 l，横截
面积为 S，插有磁导率为
的磁介质，求线圈的自感
l
S
系数 L 。
nI
解： 设线圈中通有电流 I ，线圈中的磁通量为：
m BS nIS
M 21 M 12 M n1n 2lS
由于互感计算有一定的灵活性，应选择易算的来计算。
6
4、互感系数的计算 ①先假设任一线圈中有电流 I ；
M 21 12
I1 I2
②求电流 I在另一线圈中的磁通量 m ；
③由定义求出互感系数 M。
对于上述的由两个线圈构成的电子元件称为变压器或 电流互感器。
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例3： 在长直导线旁距 a
放置一长为 l、宽为 b、 的
矩形导线框，求两导体的 互感系数。
解：设直导线中通有电 I
流I，
m B dS
o
a b
a
0 I 2x
ldx
0 Il ln a b
2
a
L
l
x
dx
ab
x
8
m
0 Il ln 2
a b a
互感系数： 本例中N=1
M 21
21
I1
Nm