重积分的计算方法与例题

重积分的计算方法：

三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分(一重积分)和一个二重积分。从顺序看：

z

2

如果先做定积分 f (x, y, z)dz，再做二重积分F(x, y)d ，就是“投z1 D

影法”，也即“先一后二”。步骤为：找及在xoy 面投影域D。多D 上一点( x,y )“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步(定积分)；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完z2

成“后二”这一步。 f (x , y, z)dv [ f (x, y, z)dz]d

D z1

再做定积分 F (z)dz ，就是“ 截面 D z c1 c

2 如果先做二重积分 f (x,y,z)d

法”，也即“先二后一” 。步骤为：确定位于平面z c1与z c2之间，即z [c1,c2]，过z 作平行于xoy 面的平面截，截面D z。区域D z 的边界曲面都是z 的函数。计算区域D z 上的二重积分 f (x, y, z)d ，完成

D

z

c

2 了“先二”这一步(二重积分) ；进而计算定积分 F (z)dz，完成“后c1

c

2

一”这一步。f(x,y,z)dv [ f ( x, y, z)d ]dz

c1 D z

当被积函数f(z)仅为z 的函数(与x,y 无关)，且D z的面积(z)

容易求出时，“截面法”尤为方便。为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。

可以按以下几点考虑：将积分区域投影到xoy 面，得投影区域D(平面)

1)D是X型或Y 型，可选择直角坐标系计算(当的边界曲

面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算)

( 2) D是圆域(或其部分) ，且被积函数形如f(x2y2), f(y)时，x 可选择柱面坐标系计算(当为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算)

(3) 是球体或球顶锥体，且被积函数形如 f (x2 y2 z2)时，可选择球面坐标

系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。对向其它坐标面投影

或不易作出的情形不赘述。

三重积分的计算方法小结：

1. 对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域及被积函数

f(x,y,z) 的情况选取。

一般地，投影法(先一后二)：较直观易掌握；截面法(先二后一)：

D z是在z处的截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些。

特殊地，对D z积分时，f(x,y,z) 与x,y 无关，可直接计算S D z。因而

中只要z [a,b], 且f(x,y,z) 仅含z 时，选取“截面法”更佳。

2. 对坐标系的选取，当为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它

曲面所围成的形体；被积函数为仅含z 或zf(x2 y 2 )时，可考虑用

柱面坐标计算。

三重积分的计算方法例题：

补例1：计算三重积分I zdxdydz，其中为平面x y z 1 与三个坐标面x 0,y 0,z 0 围成的闭区域。

解 1 “投影法” 1. 画出及在xoy 面投影域 D. 2. “穿线” 0 z 1 x y

3. 计算

xy

0 x 1

X 型 D ：

0 y 1x

0 x 1

∴ ： 0

y

1x

0 z 1 x y

zdz 12 [(1 x)2 y 2

1

3 1 x

3y ] 0 dx

1 1 3

1 32

3

1 4 1

1

(1 x)3

dx [x x x x ]0

6

0 6 2

40

24

zdxdydz 过点 z 作垂直于

z 轴的平面截 得 D z 。 z(21 xy)dz 0

2

补例 2：计算 x 2 y 2 dv ，其中

解 2 “截面法” 1. 画出

D z 是两直角边为 x,y 的直角三角形， x 1 z,y 1 z

3. 计算

1 1 1

I zdxdydz [ zdxdy] dz z[ dxdy]dz zS D z

dz

0 D z

0 D z 0

0z 1

2(1 0

z)dz 1 1 (z 2z 2

2

z 3

)dz 1

24

z 2 和 z=1 围成的闭区

域。

解 1 “投影法”

2y 2

消去 z ，

1. 画出 及在 xoy 面投影域 D.

得 x 2 y 2 1

即

D ： x 2 y 2 1

2. “穿线” x 2 y 2 z 1，

X

型 D ：

1x1 2

x

1 x 2

y

1

1 x1

∴

:1

2 xy1

2

x

2

2

y z 1

x 2

3. 计算

1 1 x 1

1

1 x 2

x 2

y 2

dv

dx dy

22

xy

dz

dx

2 2 2 2

x y (1 x y )dy

1 x 2

6

1 1 x 2

x 2

2

y

1

注：可用柱坐标计算。

解 2 “截面法”

3. 计算

f ( x, y, z) dxdydz 为三次积分，其中

z x 2 2y 2及z 2 x 2所围成的闭区域

解： 1.画出 及在 xoy 面上的投影域 D.

z x 2 2y 2

z 2 x 2

消去 z ，得 x 2 y 2 1

1. 画出 。

2. z

[0,1] 过点 z 作垂直于 z 轴的平面截 得 D z ：

D z ：

用柱坐标计算

x 2 y 2dv

1

[ x 2

0 D z

12

2

y dxdy ]dz

[

00

z

r 2dr]dz

2 [31r 3]0z dz

1

z 3dz

6

补例 3：化三重积分 I