《函数极值》PPT课件 (2)

如y = 2x
②函数的极值点必在定义域内；
③函数的极小值一定小于极大值。
（设极小值、极大值都存在）；
④函数的极小值（或极大值）不会多于一个。
注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义
的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间 上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来 说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。
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1、求可导函数f(x)极值的 步骤：
(1) 确定函数的定义域；
(2)求导数f '(x)；
(3)求方程f ’(x）=0的根；
(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格
检查f ’(x)在方程根左右的符号—— •如果左正右负（+ ~ -），
那么f(x)在这个根处取得极大值 •如果左负右正（- ~ +），
x (–∞, –3) f (x) + f (x) 单调递增
–3 (–3, 3)
0
–
54 单调递减
3 ( 3, +∞)
0
+
54 单调递增
所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ;
当 x = 3精时选课,件fpp(t x)有极小值 – 54 .
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练习：下图是导函数 y= f(x)的图象, 在标记的点中, 在哪
一点处
(1)导函数 y= f(x)有极大值?
x = x2
(2)导函数 y= f(x)有极小值?
x = x1或 x = x4
(3)函数 y= f (x)有极大值?
x = x3
(4)函数 y= f (x)有极小值?
大值、 ? 最小值 y 吗 y=fx
4、求可导函数y=f(x)在[a,b]
上的最值步骤如何？
o a x1 x2 x3 x4 x5
x6
x b
1、求y=f(x)在开区间（a,b)内所有使f ’(x）=0的点；
2、计算函数y=f(x)在精区选间课件内p使pt f ’(x）=0的所有点和端点的函数值11 ，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
那么f(x)在这个根处取得极小值；
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例2 求函数 y= 1x3 4x4的极值。 3
解：定义域为R，y′=x2-4 由y′=0可得x=-2或 x=2
当x变化时，y′, y的变化情况如下表：
x (-∞，-2） -2 (-2，2） 2
y′
+
0
－
0
(2，+∞） +
y
极大值
极小值
28/3
-4/3
练习
求下列函数的极值:
( 1 )f( x )= 6 x 2 x 2 ;
( 2 )f( x )= x 3 2 x ;7
解: (1 )f(x)=1x2 1 ,令
f(x)=0,
解得
x
=
1 12
.
列表:
x
( , 1 )
1
12Hale Waihona Puke Baidu
12
( 1 , ) 12
f ’(x)
–
0
+
f (x) 单调递减
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单调递增
x=x0是可导的，精选则课必件p有pt f (x0)=0
6
•导数为0的点不一定是极值点； 二、判断函数极值的方法
•若极值点处的导数存在，则一定为0
y
y=f(x) f (x)>0
f (x)<0
f (x)<0
f (x)>0
Oa
x1
x2
bx
已知函数f(x)在点x0处是连续的，且 f (x0)=0则
1、如果在x0附近的左侧f ’(x)>0，右侧f ’(x)<0， 则f (x0)是极大值；
（2）极大值不一定比极小值大。
（3）极值点不一定是最值点。
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观察与思考：极值与导数有何关系？
y y=f(x)
O a x1 x2
x3
f (x1)=0 f (x2)=0 f (x3)=0
b cx f (b)=0
在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的。
结论：设x=x0是y=f(x)的极值点，且f(x)在
3、最值和极值有什么联系和区别?
4、端点可能是极值点吗？
y y=fx
y
y=fx
a ob
x c de
f og
h
i
jx
图1.310
图1.311
练习：课本30精页选A课、件p1pt
4
（1）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而 言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大 值或极小值，而最值是对整体而言。
O a x1 x2 x3 x4
bx
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一、函数y的极值定义
y
ao
x0 b x
ao
x0
bx
已知 函数y=f(x)，设X0是定义域（a,b)内任一点，
•如果对X0附近的所有点X，都有f(x)<f(x0), 则称函数f(x)在点X0处取极大值， 记作y极大值= f(x0)；并把 X0称为函数f(x)的一个极大植点。
2、如果在x0附近的左侧f ’(x)<0，右侧f ’(x)>0， 则f (x0)是极小值；
点评：可导函数 y= f (x)在点x0取得极值的充分必要条
件是 f(xo)=0,且在点x精0选左课件侧ppt和右侧， f (x) 异号。7
练习:判断下面4个命题，其中是真命题序号为② 。
①可导函数必有极值；
因此，当x=-2时， y极大值==28/3
当x=2时， y极小值=－4/3
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2、思考与讨论：在区间[-3，5] 上， y=1x34x4 的最大值，
3
最小值分别是多少？[-3，3]
上呢？
y
fx=1x34x4
3
o2
2
x
3 .探你 究能y找 =fx在 出区 a 函 ,b 图 上 1.3间 数 12的最
利用导数研究函数 的极值
赤峰二中:朱明英
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例1
观察图像： 函数 y=f (x)在点x1 、x2 、x3 、x4处的
函数值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，与它们左右
近旁各点处的函数值，相比有什么特点?
y f (x1)
y=f(x) f(x3)
f(x2) f(x4)
•如果对X0附近的所有点X，都有f(x)>f(x0),
则称函数f(x)在点X0处取极小值，记作y极小值= f(x0)；并把X0称 为函数f(x)的一个极小植点。
◆函数的极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小 值点统称为极值点
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探究 1、图中有哪些极值点和最值点？
2、函数极值点可以有多个吗？极大值一定 比极小值大么？
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所以, 当 x = 1 时, f (x)精有选课极件p小pt 值 f ( 1 ) =49. 12
12
12 24
练习
求下列函数的极值:
( 1 )f( x )= 6 x 2 x 2 ;
( 2 )f( x )= x 3 2 x ;7
解: (2 )令 f(x)=3 x2 2= 7 0 ,解得 x1=3,x2=3.列表: