人教版高中数学高一必修4(新人教)课后强化训练 第三章综合检测题

第三章综合检测题

本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．已知0＜α＜π2＜β＜π，又sinα＝35，cos(α＋β)＝－4

5，则sinβ＝( )

A ．0

B ．0或24

25

C.2425 D ．±2425

[答案] C

[解析] ∵0＜α＜π2＜β＜π且sinα＝35，cos(α＋β)＝－4

5，

∴cosα＝45，π2＜α＋β＜32π，∴sin(α＋β)＝±3

5，

当sin(α＋β)＝3

5时，sinβ＝sin[(α＋β)－α]

＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα

＝35×4

5－⎝⎛⎭⎫－45×35＝2425； 当sin(α＋β)＝－3

5时，

sinβ＝－35×45－⎝⎛⎭⎫45×3

5

＝0.

又β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sinβ＞0，故sinβ＝2425

. [点评] (1)可用排除法求解，∵π

2

＜β＜π，∴sinβ＞0.故排除A ，B ，D.

(2)由cos(α＋β)＝－45及sinα＝35可得sinβ＝4

3(1＋cosβ)代入sin2β＋cos2β＝1中可解得cosβ＝

－1或－725，再结合π

2

<β<π可求sinβ.

2．若sinθ＜0，cos2θ＜0，则在(0,2π)内θ的取值范围是( ) A ．π＜θ＜3π

2

B.5π4＜θ＜7π4

C.3π

2

＜θ＜2π

44[答案] B

[解析] ∵cos2θ＜0，∴1－2sin2θ＜0，即sinθ＞22或sinθ＜－22

， 又已知sinθ＜0，∴－1≤sinθ＜－

2

2

， 由正弦曲线得满足条件的θ取值为5π4＜θ＜7π

4

.

3．函数y ＝sin2x ＋cos2x 的图象，可由函数y ＝sin2x －cos2x 的图象( )

A ．向左平移π

8个单位得到

B ．向右平移π

8个单位得到

C ．向左平移π

4个单位得到

D ．向右平移π

4个单位得到

[答案] C

[解析] y ＝sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π

4)

＝2sin2(x ＋π

8

)

y ＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)＝2sin2(x －π

8)

其中x ＋π8＝(x ＋π4)－π

8

∴将y ＝sin2x －cos2x 的图象向左平移π

4个单位可得y ＝sin2x ＋cos2x 的图象．

4．下列各式中，值为3

2

的是( ) A ．2sin15°cos15° B ．cos215°－sin215° C ．2sin215°－1 D ．sin215°＋cos215° [答案] B

[解析] 2sin15°cos15°＝sin30°＝1

2，排除A.

cos215°－sin215°＝cos30°＝

3

2，故选B. 5．cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值是( ) A.

6

2

4C.3

2 D.23

[答案] B

[解析] 原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°

＝1＋12sin30°＝1＋12×12＝54.

6．若f(x)＝2tanx －2sin2x

2－1

sin x 2cos x

2，则f ⎝⎛⎭⎫

π12的值是( ) A ．－433

B ．－4 3

C ．4 3

D ．8

[答案] D

[解析] f(x)＝2tanx ＋cosx

1

2sinx ＝2⎝⎛⎭⎫sinx cosx ＋cosx sinx ＝2·1sinx·cosx ＝4sin2x ，∴f(π12)＝4

sin π

6

＝8.

7．若－π2≤x≤π

2，则函数f(x)＝sinx ＋3cosx 的最大值和最小值分别是( )

A ．1，－1

B ．1，－1

2

C ．2，－1

D ．2，－2 [答案] C

[解析] ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，∴x ＋π

3∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， ∵f(x)＝sinx ＋3cosx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π

3， ∴f(x)最小值为－1，最大值为2.

8．设函数f(x)＝2cos2x ＋3sin2x ＋a(a 为实常数)在区间⎣⎡⎦⎤0，π

2上的最小值为－4，那么a 的值等于( )

A ．4

B ．－6

C ．－3

D ．－4 [答案] D

[解析] f(x)＝cos2x ＋3sin2x ＋1＋a

＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π

6＋a ＋1 ∵0≤x≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π

6，

∴－1

2

≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， ∴f(x)min ＝2×⎝⎛⎭

⎫－12＋a ＋1＝－4，∴a ＝－4. 9．(09·重庆理)设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sinA ，sinB)，n ＝(cosB ，3

cosA)，若m·n ＝1＋cos(A ＋B)，则C ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6

[答案] C [解析] ∵m·n ＝3sinAcosB ＋sinB·3cosA ＝3sin(A ＋B)＝3sinC ＝1－cosC ，

∴sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝12， 又∵0

.

10．已知等腰△ABC 的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是( ) A.3

2

B. 3

C.158

D.

157

[答案] D

[解析] 如图，令BD ＝1，则AB ＝4，AD ＝15，tanθ＝115

， tanA ＝tan2θ＝2tanθ1－tan2θ

＝2151－115

＝15

7，故选D.