悬臂梁分析

有限元法悬臂梁分析

算例：

如下图所示的悬臂梁，受均布载荷q ＝1N ／mm 2作用。E ＝2．1×105N ／mm 2, μ＝0.3厚度h ＝10mm 。现用有限元法分析其位移及应力。

梁可视为平面应力状态，先按图示尺寸划分为均匀的三角形网格，共有8×10＝80个单元，5×ll ＝55个节点，坐标轴以及单元与节点的编号如图。将均布载荷分配到各相应节点上，把有约束的节点5l 、52、53、54、55视作固定铰链，建立如图所示的离散化计算模型。

程序计算框图：

（续左）

（接右）

函数功能介绍

1. LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,xi,yi,xj,yj,xm,ym)――该函数用于计算平面应力情况下弹性模量为E 、泊松比为NU 、厚度为t 、第一个节点坐标为(xi,yi)、第二个节点坐标为(xj,yj)、第三个节 开 始 输入材料参数 计算具有代表性的单元刚阵 K<=0 将各单元刚阵按整体编号集成到整体刚阵 处理根部约束，修改【K 】【Q 】 求解[K][δ]＝[Q] 整理[δ] 并画图

计算单元应力，并输出

结束

点坐标为(xm，ym)时的线性三角形元的单元刚度矩阵.该函数返回6×6的单位刚度矩阵k.

2. LinearTriangleAssemble(K,k,i,j,m)――该函数将连接节点i,j,m的线性三角形元的单元刚度矩阵k集成到整体刚度矩阵K。每集成一个单元，该函数都将返回2N×2N的整体刚度矩阵K.

3. LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xi,yi,xj,yj,xm,ym,u)-- 该函数计算在平面应力情况下弹性模量为E、泊松比为NU、厚度为t、第一个节点坐标为(xi,yi)第二个节点坐标为(xj,yj)、第三个节点坐标为(xm，ym)以及单元位移矢量为u时的单元应力。该函数返回单元应力矢量。

函数源代码：

function y = LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,xi,yi,xj,yj,xm,ym)

A = (xi*(yj-ym) + xj*(ym-yi) + xm*(yi-yj))/2;%三角形单元面积，单元节点应该按逆时针排序，保证每个三角形单元的面积都为正值（也可作为一个小函数：LinearTriangleElementArea）

betai = yj-ym;betaj = ym-yi;betam = yi-yj;gammai = xm-xj;

gammaj = xi-xm;gammam = xj-xi;

B = [betai 0 betaj 0 betam 0 ;

0 gammai 0 gammaj 0 gammam ;

gammai betai gammaj betaj gammam betam]/(2*A);

%B为应变矩阵，其中betai=yi-ym,betaj=ym-yi,betam=yi-yj.

gammai=xm-xj, gammaj=xi-xm, gammam=xj-xi.

D = (E/(1-NU*NU))*[1 NU 0 ; NU 1 0 ; 0 0 (1-NU)/2];

%D为弹性矩阵，分为平面应力问题和平面应变问题

对于平面应力问题D = (E/(1-NU*NU))*[1 NU 0 ; NU 1 0 ; 0 0 (1-NU)/2];

对于平面应变问题E1=E/（1-NU*NU），NU1=NU/（1-NU）

y = t*A*B'*D*B;%单元刚度矩阵

function y = LinearTriangleAssemble(K,k,i,j,m)

K(2*i-1,2*i-1) = K(2*i-1,2*i-1) + k(1,1); K(2*i-1,2*i) = K(2*i-1,2*i) + k(1,2);

K(2*i-1,2*j-1) = K(2*i-1,2*j-1) + k(1,3); K(2*i-1,2*j) = K(2*i-1,2*j) + k(1,4);

K(2*i-1,2*m-1) = K(2*i-1,2*m-1) + k(1,5); K(2*i-1,2*m) = K(2*i-1,2*m) + k(1,6);

K(2*i,2*i-1) = K(2*i,2*i-1) + k(2,1); K(2*i,2*i) = K(2*i,2*i) + k(2,2);

K(2*i,2*j-1) = K(2*i,2*j-1) + k(2,3); K(2*i,2*j) = K(2*i,2*j) + k(2,4);

K(2*i,2*m-1) = K(2*i,2*m-1) + k(2,5); K(2*i,2*m) = K(2*i,2*m) + k(2,6);

K(2*j-1,2*i-1) = K(2*j-1,2*i-1) + k(3,1); K(2*j-1,2*i) = K(2*j-1,2*i) + k(3,2);

K(2*j-1,2*j-1) = K(2*j-1,2*j-1) + k(3,3); K(2*j-1,2*j) = K(2*j-1,2*j) + k(3,4);

K(2*j-1,2*m-1) = K(2*j-1,2*m-1) + k(3,5); K(2*j-1,2*m) = K(2*j-1,2*m) + k(3,6);

K(2*j,2*i-1) = K(2*j,2*i-1) + k(4,1); K(2*j,2*i) = K(2*j,2*i) + k(4,2);

K(2*j,2*j-1) = K(2*j,2*j-1) + k(4,3); K(2*j,2*j) = K(2*j,2*j) + k(4,4);

K(2*j,2*m-1) = K(2*j,2*m-1) + k(4,5); K(2*j,2*m) = K(2*j,2*m) + k(4,6);

K(2*m-1,2*i-1) = K(2*m-1,2*i-1) + k(5,1); K(2*m-1,2*i) = K(2*m-1,2*i) + k(5,2);

K(2*m-1,2*j-1) = K(2*m-1,2*j-1) + k(5,3); K(2*m-1,2*j) = K(2*m-1,2*j) + k(5,4);

K(2*m-1,2*m-1) = K(2*m-1,2*m-1) + k(5,5); K(2*m-1,2*m) = K(2*m-1,2*m) + k(5,6);

K(2*m,2*i-1) = K(2*m,2*i-1) + k(6,1); K(2*m,2*i) = K(2*m,2*i) + k(6,2);

K(2*m,2*j-1) = K(2*m,2*j-1) + k(6,3); K(2*m,2*j) = K(2*m,2*j) + k(6,4);

K(2*m,2*m-1) = K(2*m,2*m-1) + k(6,5); K(2*m,2*m) = K(2*m,2*m) + k(6,6);

y = K;%对号入座，如前所述，每集成一次都将返回2N×2N的整体刚度矩阵K.此题为110×110

function y = LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xi,yi,xj,yj,xm,ym,u)

A = (xi*(yj-ym) + xj*(ym-yi) + xm*(yi-yj))/2;

betai = yj-ym;betaj = ym-yi;betam = yi-yj;gammai = xm-xj;gammaj = xi-xm;gammam = xj-xi;

B = [betai 0 betaj 0 betam 0 ;

0 gammai 0 gammaj 0 gammam ;

gammai betai gammaj betaj gammam betam]/(2*A);

D = (E/(1-NU*NU))*[1 NU 0 ; NU 1 0 ; 0 0 (1-NU)/2];%平面应力和平面应变问题两种情况

y = D*B*u;%单元应力计算