高中数学必修四导学案：2.1.2向量的加法
北师大版数学必修四：《向量的加法与减法》导学案(含解析)
第2课时向量的加法与减法1.理解向量加法的含义,掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则,会用向量加法的交换律与结合律进行向量运算.2.掌握向量的减法运算,并理解其几何意义,会作两个向量的差向量.理解相反向量的概念及向量加法与减法的逆运算关系.3.经历向量的概念、法则的建构过程,通过观察、实验、类比、归纳等方法培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.向量的运算能反映出一些物理规律,从而加深学科之间的联系,提高应用能力.长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输,一艘船从长江南岸出发,以大小为v1的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度向东,且大小为v2(v1>v2),那么船的实际速度的大小和方向怎么求呢?问题1:相反向量及其性质,向量的加、减法运算.的运算,叫作向量的加法,两个向量的和是向量(简称);长度相同、方向相反的两个向量互为相反向量,a与互为相反向量,-(-a)= ;零向量的相反向量是;任一向量与它的相反向量的和是,a+(-a)= ;如果a、b互为相反向量,则a= ,b= ,a+b= ;向量a加上b的相反向量,叫作a与b的差,即a-b=a+ ,求两个向量差的运算叫作向量的.问题2:向量加法法则.(1)三角形法则如图,在平面内任取一点A,作错误！未找到引用源。
=a,错误！未找到引用源。
=b,连接AC,则错误！未找到引用源。
=a+b.这种求向量和的方法,叫向量加法的三角形法则,它的特点是首尾相连,即从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段.(2)平行四边形法则如图,在平面内任取一点A,作错误！未找到引用源。
=a,错误！未找到引用源。
=b,以AB、AD为边作平行四边形ABCD,连接AC,则.这种求向量和的方法,叫向量加法的平行四边形法则.问题3:实数的加法满足交换律与结合律,向量的加法是否也满足?(1)交换律:a+b= ;(2)结合律:(a+b)+c=a+ =a+b+c.问题4:向量减法法则.若向量a与b有相同的起点,则a-b可以表示为从向量b的向量a的终点的向量.(1)三角形法则如图,作错误！未找到引用源。
高中数学必修四(人教新A版)教案14向量的加法运算几何意义
则向量 AC 叫做 a 与ｂ的和，记作 a＋ｂ，即 a＋ｂ AB BC AC ，
a
a
a
C
b
b
ａ
a+b
ｂ
A ＋a ｂ
a+b
ｂ
B
教
学
(2)平行四边形法则（不适用与共线向量）
过 以同一点 O 为起点的两个已知
向量 a,b 为邻边作平行四边形
O
a
A
程 OACB，则以 O 为起点的对角线
b
及 OC 就是 a 与 b 的和
a
b
b
a B
方
C
法
规定：
a + 0-= 0 + a
说明：两相向量的和仍是一个向量
例 1：课本 81 页例 1
3.探究： a b a b
当向量 a 与 b 不共线时，a + b 、a 、2b 不同向，且| a + b |<| a |+| b |；
当 a 与 b 同向时，高则中a +数b 、学a必、 b修同四向，课且时| a教+ b案|=| a |+| b |；
教
问题与情境及教师活动
学生活动
当 a 与 b 反向时，若| a |>| b |，则 a + b 的方向与 a 相同，且
| a + b |=| a |-| b |；若| a |<| b |，则 a + b 的方向与 b 相
2
同，且| a +b|=| b |-| a |.
高中数学必修四（人教新课标 A 版）教学设计
的和向量，培养数形结合解决问题的能力；
标
情感态度价值观 会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法
人教A版高中数学必修4 2.2.1向量加法运算及其几何意义 ( 导学案)
2.2.1《向量加法运算及其几何意义》导学案（学生版）必修四P80-83 2.2.1向量加法运算及其几何意义(例2除外）内容要求：1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义与几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练运用这两个法则作两个向量的加法运算(重、难点).3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性(难点)．自学--知识点1 向量的加法1．定义：求两个向量和的运算．2．运算法则：3．规定：对于零向量与任意向量a，规定a+0＝0+a＝a．【预习评价】思考三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同？自学--知识点2向量加法的运算律1．交换律：a＋b＝b＋a．2．结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．图示几何意义向量求和的法则三角形法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB→＝a，BC→＝b，则向量AC→叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB→＋BC→＝AC→平行四边形法则已知两个不共线向量a，b，作OA→＝a，OB→＝b，则O，A，B三点不共线，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则对角线上的向量OC→＝a＋b题型一 向量的加法法则【例1】 (1)如图①所示，求作向量和a ＋b ； (2)如图②所示，求作向量和a ＋b ＋c ．．【训练1】 如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，指出与下列向量相等的向量：(1)OA →＋OC →= (2)BC →＋FE →= (3)OA →＋FE →=题型二 向量的加法及运算律【例2】 化简：(1)BC →＋AB →= (2)DB →＋CD →＋BC →=(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →=【训练2】 已知正方形ABCD 的边长等于1，则|AB →＋AD →＋BC →＋DC →|＝________．自学达标1．已知四边形ABCD 是菱形，则下列等式中成立的是( )A ．AB →＋BC →＝CA → B ．AB →＋AC →＝BC → C ．AC →＋BA →＝AD →D ．AC →＋AD →＝DC →2．正方形ABCD 的边长为1，则|AB →＋AD →|为( ) A ．1 B ． 2 C ．3 D ．2 23．化简AE →＋EB →＋BC →等于( ) A ．AB → B ．BA →C ．0D ．AC → 4．根据图示填空，其中a ＝DC →，b ＝CO →，c ＝OB →，d ＝BA →．(1)a ＋b ＋c ＝________； (2)b ＋d ＋c ＝________．5．若a 表示“向东走8 km ”，b 表示“向北走8 km ”，求：(1)|a ＋b |；(2)指出向量a ＋b 的方向．6．如图所示，在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 为( )A ．矩形B ． 正方形C ．平行四边形D ．菱形7．如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →等于( )A ．BD →B ．DB →C ．BC →D ．CB →8．在边长为1的等边三角形ABC 中，|AB →＋BC →|＝________，|AB →＋AC →|＝________．9．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中错误的是( )A ．FD →＋DA →＋DE →＝0B ．AD →＋BE →＋CF →＝0C ．FD →＋DE →＋AD →＝AB → D ．AD →＋EC →＋FD →＝BD →10．如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于( )A ．0B ．BE →C ．AD →D ．CF →11．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝______ ．12．(思考题)如图所示，在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线和反向延长线上取点F ，E ，使BE ＝DF ．求证：四边形AECF 是平行四边形．自学反思：课外练习： P84 1. 2. 3. 4. 课外作业： P91 1. 4.。
苏教版高中数学必修4《向量的加法》参考学案
总 课 题 平面向量 分 课 题向量的加法教学目标 理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和，掌握加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量的运算。
重点难点 向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
向量加法的交换律和结合律。
引入新课问题1、利用向量的表示，从景点O 到景点A 的位移为OA ，从景点A 到景点B 的位移为AB ，那么经过这两次位移后游艇的合位移是（如图）这里，向量，AB ，三者之间有什么关系？1、向量加法的定义____________________________________________2、向量加法的三角形法则________________________________________ 具体步骤：（1）把两个向量平移后，使两个向量的一个起点与另一个起点相连。
（2）将剩下的起点与终点相连，并指向终点，则该向量为两个向量的和。
简记为“首尾相连，首是首，尾是尾”3、向量加法的平行四边形法则_______________________________________4、对于零向量和任一向量a有a a a=+=+00，对于相反向量有()()0 =+-=-+a a a a 5、向量加法的运算律交换律____________________________ 结合律______________________________OBA6、如果平面内有n 个向量依次首尾连接组成一条封闭折线，那么这n 个向量的和是什么？例题剖析例1、作出下列向量的和：例2、如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量：（1）+ （2）+ （3）FE +例3、在长江南岸某渡口处，江水以h km /5.12的速度向东流，渡船的速度为h km /25。
渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？a bbbaa(1)(2)(3)OEFCD巩固练习1、化简 =++++FA BC CD DF AB ________________________________。
高中数学人教A版必修四2.2.1向量加法运算及其几何意义 学案
2.2平面向量的线性运算§2.2.1向量加法运算及其几何意义（学案）2.2平面向量的线性运算§2.2.1向量加法运算及其几何意义（学案）【学习目标】：（1）掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；（2）会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；（3）通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，我们掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法。
【学习重点】:会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作几个向量和的运算。
【学习难点】:理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则的异同点。
【学习方法】:合作探究、类比联想，动脑动手 【学习过程】:〖复习提问〗:（1）什么叫向量？请你举出物理中所学过的向量。
（2）什么叫向量的模？（3）什么是零向量和单位向量？（4）什么叫共线向量？什么是相等向量？〖情景设置1〗：2008年前由于内地和台湾没有直航，因此春节探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和是什么？ 位移是向量还是数量？ 〖引出课题〗：由物理中的矢量--位移可以进行合成引入向量的加法运算 现在我们学习向量的加法一、 定义： 叫做向量的加法。
注：两个向量的和仍然是一个 ，简称和向量。
二、向量的加法——法则1．三角形法则： 规律：练习1：PM MC += 〖情景设置2〗：请同学们回顾物理实验两个力的合力实验：橡皮条在力F 1与F 2的作用下,从E 点伸长到了O 点；同时橡皮条在力F 的作用下也从E 点伸长到了O 点.〖思考〗:实验中合力F 与力F 1、F 2有怎样的关系？AD DE +=力F 对橡皮条产生的效果，与力F 1和F 2共同作用产生的效果相同，物理学中把力F 叫做F 1和F 2的合力.物理学中力的合成用到的是什么方法？2.平行四边形法则： 。
规律：例题1、已知向量,a b ，求作向量作法一：（1）.（2）.（3）.作法二：（1）（2）练习2：（1）已知向量,a b ，用向量加法的三角形法则作向量 a b+平行四边形法则作图三角形法则作图a b +ab（2）已知向量,a b ，用向量加法的平行四边形法则作向量〖思考〗如何表示两个非零共线向量的和向量？ 方向相同 方向相反〖探究〗向量模的关系？讨论向量,a b 的位置关系： ；； 。
高一数学人教B版必修4课件：2-1-2 向量的加法
→ |＝60， 在△ADC 中，∠ADC＝90° ，|DC → |＝ |AD―→|2＋|DC―→|2 所以|AC ＝ (20 3)2＋602＝40 3(n mile)． → |＝2|AD → |，所以∠CAD＝60° 因为|AC .
答： 轮船此时位于 A 港东偏北 60° ， 且距 A 港 40 3n mile 的 C 处．
• (3)对于向量求和的三角形法则与平行四边
形法则，要注意它们的应用条件．当两个 向量不共线时，它们是一致的．但当两个 向量共线时，三角形法则仍然适用，而平 行四边形法则就不适用了．向量加法遵循 三角形法则和平行四边形法则，因此，向 量加法的三角形法则和平行四边形法则实 际上就是向量加法的几何意义． • (4)向量加法适合交换律和结合律，这两个 运算律可以推广到多个向量的加法运算．
)
→ A.BC → C.AB
→ B.DA → D.AC
[解析]
→ ＝AB → ，∴DC → ＋BA → ＝0，故选 A. ∵DC
• [答案] A
→ ＋BC → 等于( 3．若 C 是线段 AB 的中点，则AC → A.AB C．0 → B.BA D．以上均不正确
)
• [答案] C
→ 与BC → 模相等而方向相反，因此AC → ＋BC → ＝0. [解析] AC
• [例3] 轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了
→ → 分别表示轮船的两次位移， → [解析 ] 如图， AB 、 BC 则AC 40n mile( 海里 )到达 B处，再由B处沿正北方 向行驶40n mile 到达 处．求此时轮船关于 A → →C →. 表示轮船的和位移， AC ＝AB ＋ BC 港的相对位置． → |＝40， 在△ADB 中，∠ADB＝90° ，∠DAB＝30° ，|AB → |＝20，|AD → |＝20 3. 所以|DB
苏教版高中数学必修四学案向量的加法及其几何意义
§2 .2 平面向量的线性运算 §2．2.1向量的加法及其几何意义编者：刘凯【学习目标、细解考纲】1 通过实际例子，掌握向量的加法运算，并理解向量加法的平行四边形法则和三角形法则则其几何意义。
2 灵活运用平行四边形法则和三角形法则进行向量求和运算。
3 通过本节学习，培养多角度思考问题的习惯，提高探索问题的能力。
【知识梳理、双基再现】1、向量加法的三角形法则 ：已知非零向量v v,a b ，在平面内任取一点A ，作==u u vv u u u v v ,AB a BC b ，则向量__________叫做v a 与vb 的和，记作_____________，即+v va b =_______=__________这个法则就叫做向量求和的三角形法则。
2、向量加法的平行四边形法则以同一点O 为起点的两个已知向量v a ，v b （==u u vv u u v u v,OA a OB B ）为邻边作四边形OACB ，则以O 为起点对角线___________，就是v a 与vb 的和。
这个法则就叫做两个向量求和的平行四边形法则。
3、对于零向量与任一向量v a ，我们规定v a +vo =___________=_______.4、我们知道，数的加法满足交换律和结合律，即对任意实数a,b ，有a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)那么对于任意向量v a ，vb 向量加法的交换律是：______________________ 结合律____________________________。
【小试身手、轻松过关】1、已知正方形ABCD 的边长为1，===u u vv u u u v v u u u v v ,, AB a AC c BC b ，则++v v v||a b c 为（ ）A ．0B ．3CD ．2、在平行四边形ABCD 中，下列各式中成立的是（ ） A ．+=u u v u u u v u u v AB BC CA B ．+=u u v u u u v u u u vAB AC BC C ．+=u u u v u u vu u v AC BA AD D ．+=u u u v u u v u u u vAC AD DC3、已知△ABC 中，D 是BC 的中点，则++u u vu u u v u u v32AB BC CA =（ ）A 、u u v ADB 、u u v 3ABC 、u v OD 、u u v2AD4、若C 是线段AB 的中点，则+u u u v u u u vAC BC =（ ）A 、u u vAB B 、u u vBA C 、vO D 、O【基础训练、锋芒初显】5、在平行四边形ABCD 中，++u u u vu u v u u vBC CD DA 等于（ ） A ．u u vBD B ．u u u vAC C ．u u v AB D ．u u rBA6、向量++++u u r u u r u u r u u u r u u r()()AB MB BO BC OM 化简后等于（ ） A ．u r BC B ．u u r AB C ．u u u r AC D ．uu u vAM 7、在矩形ABCD 中，u u u vAC 等于（ ）A ．+u u u v u u v BC BAB ．+u u v u u v AB DAC ．+u u v u u vAD CD D ．8、在矩形ABCD ，==u u v u u u v ||4,||2AB BC ，则向量++u u v u u v u u u vAB AD AC 的长度等于（ ）A ．B ．C ．12D ．69、已知向量v v //a b 且，>>v v ||||0a b ，则a b +r r的方向（ ） A ．与向量v a 方向相同 B ．向量va 方向相反 C ．与向量vb 方向相反 D ．与向量vb 方向相反10、向量v a ，vb 皆为非零向量，下列说法不正确的是（ ）A ．向量v a 与v b 反向，且>v v ||||a b ，则向量+v v a b 的方向与va 的方向相同。
苏教版高中数学必修四第课时向量的加法导学案
问题1、利用向量的表示，从景点O 到景点A 的位移为OA ，从景点A 到景点B 的位移为AB ，那么经过这两次位移后游艇的合位移是OB （如图）这里，向量OA ，AB ，OB 三者之间有什么关系？1、向量加法的定义________________________________________________________2、向量加法的三角形法则___________________________________________________ 具体步骤：（1）把两个向量平移后，使两个向量的一个起点与另一个起点相连。
（2）将剩下的起点与终点相连，并指向终点，则该向量为两个向量的和。
简记为“首尾相连，首是首，尾是尾”3、向量加法的平行四边形法则_______________________________________4、对于零向量和任一向量a有a a a00，对于相反向量有 0 a a a a 5、向量加法的运算律交换律____________________________ 结合律______________________________6、如果平面内有n 个向量依次首尾连接组成一条封闭折线，那么这n 个向量的和是什么？例题剖析例1、作出下列向量的和：OBA abb baa(1)(2)(3)例2、如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量：（1）OC OA （2）FE BC （3）FE OA例3、在长江南岸某渡口处，江水以h km /5.12的速度向东流，渡船的速度为h km /25。
渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？巩固练习1、化简 FA BC CD DF AB ________________________________。
2、已知点O 是平行四边形ABCD 对角线的交点，则下面结论中正确的是 （ ） A 、AC CB ABB 、AC AD AB C 、BD CD ADD 、0OD OB CO AO3、在△ABC 中，求证；0AC BC AB4、一质点从点A 出发，先向北偏东 30方向运动了cm 4，到达点B ，再从点B 向正西方向运动了cm 3到达点C ，又从点C 向西南方向运动了cm 4到达点D ，试画出向量CD BC AB ,,以及CD BC AB 。
[新版]人教版高中数学必修四《向量加法运算及其几何意义》教案_[精]
教师：这是我们祖国地图，重庆位于中国内陆西南部，是座美丽的山城．我的一个好朋友的家在冰雪之城黑龙江，他邀请我去参观他们那边的冰雪节.于是乎，我查了乘车的路线:一条是：乘火车先从重庆到北京，然后再转车到黑龙江；另一条是:乘飞机直飞黑龙江．
问题1：从路程来看，一样吗?
学生：答案是不一样的
【设计意图】通过对引例中的位移三角形的观察，让学生明白为了画出和位移，重点是要抓住两个分位移的位置，向量也是如此．
●活动③学生探究归纳，并进行提炼向量加法的概念
问题4：对于给定的两个向量，向量a和向量b，如何求解它们的和呢?(小组探究，学生代表回答)
生：将向量b的起点平移到向量a的终点，连接起点和终点，方向指向终点．
●活动②学生探究归纳总结位移加法的本质
问题3：为了进一步得到位移的和，两次分位移的位置应满足什么位置关系?在这种位置关系下，如何作出和位移?
学生讨论，自主探究，得出以下结论：两次分位移首尾相连，和位移是由起点指向终点．
教师：位移是个物理量，如果抛开它的物理属性，它就是我们今天研究的向量．那么，我们受到位移求和的启发，能否类比此法找到求解向量之和的方法呢?
第二个学生活动——学生表述，老师辅助完成.师：同学很善于出难题!老师发现有同学是这么画的两个向量(同向共线)，我们能帮助他完成吗?
1．理解向量加法的定义．
2．恰当使用向量加法的三角形法则和平行四边形法则．
二、教学设计
（一）课前设计
1．预习任务
读一读：阅读教材第80页至第84页，填空：
①向量加法的定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法．
②三角形法则：已知向量a，b，在平面上任取一点A，作 ＝a， ＝b，再作向量 ，则向量 叫做a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝ ＋ ＝ .如图1，上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a.
高中数学必修四221向量的线性运算―向量的加法导学案
其次课时 向量的线性运算――向量的加法马林勇 陈天正 日期： 12/11【学习目标】理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法那么和平行四边形法那么作两个向量的和，把握加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量的运算。
【重点】向量加法的三角形法那么和平行四边形法那么。
向量加法的交换律和结合律。
【难点】向量加法法那么的运用。
【活动过程】活动一：问题情境，感受数学利用向量的表示，从景点O 到景点A 的位移为OA ，从景点A 到景点B 的位移为AB ，那么经过这两次位移后游艇的合位移是OB 〔如图〕这里，向量OA ，AB ，OB 三者之间有什么关系？活动二：小组合作，建构数学 1．向量加法的定义_______________________________________________________2．向量加法的三角形法那么_________________________________________________ 详细步骤：〔1〕把两个向量平移后，使两个向量的一个起点与另一个起点相连。
〔2〕将剩下的起点与终点相连，并指向终点，那么该向量为两个向量的和。
简记为：“首尾相连，首是首，尾是尾〞3．向量加法的平行四边形法那么_______________________________________ 4．对于零向量和任一向量a 有 a a a =+=+00，对于相反向量有()()0 =+-=-+a a a a5．向量加法的运算律交换律____________________________结合律______________________________6．假如平面内有n 个向量依次首尾连接组成一条封闭折线，那么这n 个向量的和是什么？活动三：学习展现，运用数学例1．作出以下向量的和：例2．如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出以下向量：O BAa b b b a a (1) (2) (3)〔1〕OC OA + 〔2〕FE BC + 〔3〕FE OA +例3．在长江南岸某渡口处，江水以h km /5.12的速度向东流，渡船的速度为h km /25。
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高中数学必修四
课题 2.1.2向量的加法 课型
探究课
学习目标
（一）知识与技能：
通过实例，掌握向量加法的运算，并理解其几何意义.
（二）过程与方法：
体验数形结合思想的指导作用。
（三）情感、态度与价值观：
例，体会向量语言或运算在解决数学问题和实际问题中的工具作用。
学习重点
向量加法的三角形法则、平行四边形法则
学习难点
对向量加法定义的理解
☆ 典例精析
例1： （1）已知向量ab、，用向量加法的三角形法则作出ab
① ②
(2) 已知向量ab、，用向量加法的平行四边形法则作出ab
① ②
a b a
b
a b b a
高中数学必修四
（3）已知,ab，用向量加法法则作出ab
（1） （2）
a a
b b
例2：化简：①ABBM
MQQPPN
☆ 巩固提高
1、 下列命题：
（1） 在△ABC中，一定有ABBCCA0 ；
（2） 若ABBCCA0 ，则A,B,C必为一个三角形的三个顶点 ；
（3） 若a+b=a,则b=0 ；
（4） 若a,b均为非零向量，则必有∣a+b∣＜∣a∣+∣b∣.
其中真命题的个数为（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3
2、在四边形ABCD中，ACABAD，则四边形ABCD（ ）
A . 一定是平行四边形 B. 一定是菱形
C. 一定是矩形 D. 一定是正方形
3、对于任意向量a,b，在下列各式中：
(1) a+b=b+a (2) (a+b)+c=b+(a+c)
(3) ∣a+b∣=∣a∣+∣b∣ (4) a+0=a
高中数学必修四
恒成立的个数为（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
☆ 归纳总结
反思：