2019学年高中数学 第三章 直线与方程章末检测试题 新人教A版必修2
2019高中数学 第三章 第2课时 两直线的交点坐标、两点间的距离(习题课)检测 新人教A版必修2
第2课时 两直线的交点坐标、两点间的距离（习题课）[A 级 基础巩固]一、选择题1．已知点A (1，－2)，B (m ，2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1解析：因为线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0， 所以线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋12，0在直线x ＋2y －2＝0上，解得m ＝3.答案：C2．两条直线2x －my ＋4＝0和2mx ＋3y －6＝0的交点在第二象限，则m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2 D ．(2，＋∞)解析：解出两直线的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫6m －122（3＋m 2），6＋4m 3＋m 2，由交点在第二象限，得⎩⎪⎨⎪⎧6m －122（3＋m 2）<0，6＋4m3＋m 2>0，解得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2.答案：C3．光线从点A (－2，3)射到x 轴上的B 点后，被x 轴反射，这时反射光线恰好过点C (1，23)，则光线BC 所在直线的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：点A (－2，3)关于x 轴对称的点为A ′(－2，－3)，由物理知识知k BC ＝k A ′C ＝23－（－3）1－（－2）＝ 3.所以光线BC 所在直线的倾斜角为60°.答案：B4．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＝0相交于一点，则k 的值等于( ) A ．－2B ．－12C ．2D.12解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.代入方程x ＋ky ＝0得－1－2k ＝0，所以k ＝－12.答案：B5．若直线ax ＋by －11＝0与3x ＋4y －2＝0平行，并过直线2x ＋3y －8＝0和x －2y ＋3＝0的交点，则a ，b 的值分别为( )A ．－3，－4B ．3，4C ．4，3D ．－4，－3解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －8＝0，x －2y ＋3＝0，得交点B (1，2)，代入方程ax ＋by －11＝0中，有a ＋2b －11＝0，①又直线ax ＋by －11＝0平行于直线3x ＋4y －2＝0，所以－a b ＝－34，②由①②，得a ＝3，b ＝4. 答案：B 二、填空题6．已知点A (5，2a －1)，B (a ＋1， a －4)，当|AB |取最小值时，a ＝________． 解析：|AB |＝（5－a －1）2＋（2a －1－a ＋4）2＝（a －4）2＋（a ＋3）2＝a 2－8a ＋16＋a 2＋6a ＋9 ＝2a 2－2a ＋25 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋492，所以当a ＝12时，|AB |取最小值．答案：127．直线ax ＋by －2＝0，若满足3a －4b ＝1，则必过定点________． 解析：由3a －4b ＝1，解出b ，代入ax ＋by －2＝0，得a (4x ＋3y )＝y ＋8.令⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝0，y ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－8.答案：(6，－8)8．已知A (2，1)，B (1，2)，若直线y ＝ax 与线段AB 相交，则实数a 的取值范围是________． 解析：如图，直线y ＝ax 的斜率为a 且经过原点O ，因为直线y ＝ax 与线段AB 相交，所以实数a 的最小值为OA 的斜率，最大值为OB 的斜率，OA 的斜率为12，OB 的斜率为2，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 三、解答题9．已知△ABC 的一个顶点A (－1，－4)，∠B ，∠C 的平分线所在直线的方程分别为l 1：y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋1＝0，求边BC 所在直线的方程．解：设点A (－1，－4)关于直线y ＋1＝0的对称点为A ′(x 1，y 1)，则x 1＝－1，y 1＝2×(－1)－(－4)＝2，即A ′(－1，2)，且A ′在直线BC 上．再设点A (－1，－4)关于l 2：x ＋y ＋1＝0的对称点为A ″(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋4x 2＋1×（－1）＝－1，x 2－12＋y 2－42＋1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝0，即A ″(3，0)也在直线BC 上．由直线方程的两点式得y －20－2＝x ＋13＋1，即边BC 所在直线的方程为x ＋2y －3＝0.10．已知△ABC 是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM |＝12|BC |. 证明：以Rt △ABC 的直角边AB ，AC 所在的直线为坐标轴，建立如右图所示的平面直角坐标系，设B ，C 两点的坐标分别为(b ，0)，(0，c )．因为斜边BC 的中点为M ， 所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0＋b 2，0＋c 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，c 2.由两点间的距离公式，得|BC |＝（0－b ）2＋（c －0）2＝b 2＋c 2. |AM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝12b 2＋c 2 即|AM |＝12|BC |.B 级 能力提升1．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ ，的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D.23解析：依题意，设点P (a ，1)，Q (7，b )，由中点坐标公式知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－3. 从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.答案：B2．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |＝________． 解析：易知A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，25，所以|AB |＝（0＋1）2＋⎝⎛⎭⎪⎫－2－252＝135. 答案：1353．为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图)，另外△AEF 内部有一文物保护区域不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ．应如何设计才能使草坪面积最大？解：如图建立平面直角坐标系，则E (30，0)，F (0，20)．所以线段EF 的方程是x 30＋y20＝1(0≤x ≤30)．在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，作PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为S ，则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n )．又因为m 30＋n20＝1(0≤m ≤30)，所以n ＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 30，所以S ＝(100－m )⎝ ⎛⎭⎪⎫80－20＋23m ＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)．于是当m ＝5时，S 有最大值． 这时|EP ||PF |＝30－55＝5.故当矩形草坪的两边在BC ，CD 上，一个顶点在线段EF 上，且|EP ||PF |＝5时，草坪的面积最大．。
2019-2020学年高中数学必修二《第3章直线与方程》章节测试卷及答案解析
2019-2020学年高中数学必修二《第3章直线与方程》章节测试卷一．选择题（共59小题）1．斜率为2的直线经过（3，5）、（a，7）、（﹣1、b）三点，则a、b的值是（）A．a＝4，b＝0B．a＝﹣4，b＝﹣3C．a＝4，b＝﹣3D．a＝﹣4，b＝3 2．若直线x+by+9＝0经过直线5x﹣6y﹣17＝0与直线4x+3y+2＝0的交点，则b等于（）A．2B．3C．4D．53．直线y＝﹣2x﹣3的斜率与y轴上的截距分别为（）A．﹣2，3B．﹣2，﹣3C．2，﹣3D．2，34．直线的倾斜角为（）A．120°B．90°C．60°D．不存在5．过点A（0，1）与直线y＝x﹣1平行的直线方程是（）A．x+y﹣1＝0B．x﹣y﹣1＝0C．x+y+1＝0D．x﹣y+1＝06．直线y+2＝k（x+1）恒过点（）A．（2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，﹣2）D．（1，2）7．点（0，0）到直线x+y﹣1＝0的距离是（）A ．B ．C．1D ．8．以A（1，3）和B（﹣5，1）为端点的线段AB的中垂线方程是（）A．3x﹣y+8＝0B．x﹣3y+8＝0C．3x+y+8＝0D．3x+y+4＝09．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为A（﹣3，0），B（2，﹣2），C（5，2），则第四个顶点D的坐标不可能是（）A．（10，0）B．（0，4）C．（﹣6，﹣4）D．（6，﹣1）10．在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”，则下列命题中：①若A（﹣1，3），B（1，0），则有d（A，B）＝5；②到原点的“折线距离”等于1的所有点的集合是一个圆；③若C点在线段AB上，则有d（A，C）+d（C，B）＝d（A，B）；④到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线x＝0．真命题的个数为（）第1 页共33 页。
2019-2020年高中数学 第三章 直线与方程习题课(二)新人教A版必修2
2019-2020年高中数学 第三章 直线与方程习题课（二）新人教A 版必修21．两直线的平行与垂直．(1)l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2；l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.(2)l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0；l 1⊥l 2⇒A 1A 2＋B 1B 2＝0.2．若l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0)，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0)．当A 1A 2≠B 1B 2，即A 1B 2≠A 2B 1时，l 1与l 2相交；当A 1B 2＝A 2B 1且A 1C 2≠A 2C 1时，l 1∥l 2；当A 1B 2＝A 2B 1且A 1C 2＝A 2C 1时，l 1与l 2重合．3．定点问题．含有一个待定系数(参数)的二元一次方程过定点问题的解法为：(1)特殊值法．利用不论参数取何值，方程都有解，给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x ，y 的两个方程，从中解出的x ，y 的值，即为所求定点的坐标．(2)分离参数法．将方程整理为m (A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则该方程表示的直线一定过直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点，而交点就是定点． 将含有参数的直线方程写成点斜式y －y 0＝m (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)．一、选择题1．直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是(C )A ．(－6，－2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：解法一 联立两直线方程求交点，其横、纵坐标均为正解出k 范围． 解法二 取值检验排除法，取k ＝0符合，故可排除A 、B 、D.2．直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为(C )A.13B.43C.23D.53解析：求y ＝2x ＋10与y ＝x ＋1交点，代入y ＝ax －2，解出a ＝23. 3．方程(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0(a ∈R)所表示的直线(A )A ．恒过定点(－2，3)B ．恒过定点(2，3)C ．恒过点(－2，3)和点(2，3)D ．都是平行直线解析：将方程整理为：a (x ＋2)－x －y ＋1＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，－x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3. 4．两条直线mx ＋y －n ＝0和x ＋my ＋1＝0互相平行的条件是(D )A ．m ＝1B ．m ＝±1C.⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ≠－1 D.⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ≠－1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1n ≠1 (提示：小心两直线不能重合)5．若直线x ＋ay －a ＝0与直线ax －(2a －3)y －1＝0垂直，则a 的值为(C )A ．2B ．－3或1C ．2或0D ．1或06．直线ax ＋3y －9＝0与直线x －3y ＋b ＝0关于原点对称，则a ，b 的值依次是(B )A ．1，9B ．－1，－9C ．1，－9D ．－1，9解析：ax ＋3y －9＝0关于原点对称直线为－ax －3y －9＝0.即ax ＋3y ＋9＝0与x －3y ＋b ＝0表示同一直线．∴a 1＝3－3＝9b，∴a ＝－1，b ＝－9. 7．直线l 与直线x －3y ＋10＝0，2x ＋y －8＝0分别交于点M ，N ，若MN 的中点是(0，1)，则直线l 的方程是(A )A ．x ＋4y －4＝0B ．4x ＋y －4＝0C ．x －4y ＋4＝0D ．x －4y －4＝08．在坐标平面内，与点A (1，2)距离为1，且与点B (3，1)距离为2的直线共有(B )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：∵|AB |＝5，∴A 、B 必在直线的同侧，共有2条．二、填空题9．点P (2，3)关于直线l ：x －y －4＝0的对称点Q 为______．解析：设P 关于l 对称点为P ′(x 0，y 0)，则y 0－3x 0－2×1＝－1且x 0＋22－y 0＋32－4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝7，y 0＝－2， 故所求点：(7，－2)．答案：(7，－2)10．直线x －y －2＝0关于直线3x －y ＋3＝0对称的直线方程为：____________． 答案：7x ＋y ＋22＝011．已知a ，b ∈R ，且a ＋b ＋1＝0，则(a －2)2＋(b －3)2的最小值是________． 答案：1812．顺次连接A (－4，3)，B (2，5)，C (6，3)，D (－3，0)所组成的图形是________． 答案：直角梯形三、解答题13．a 为何值时，三条直线l 1：ax －3y －5＝0，l 2：3x ＋4y －2＝0，l 3：2x ＋y ＋2＝0不能围成三角形？解析：①若l 2与l 3的交点P (－2，2)在l 1上，则a ＝－112. ②若l 1∥l 2，则a ＝－94，若l 1∥l 3，则a ＝－6， 故欲使l 1，l 2，l 3围不成三角形，则a ＝－112或－94或－6.14．(1)求证：不论m 为何实数，直线(2＋m )x ＋(1－2m )y ＋4－3m ＝0必过定点；(2)过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线的方程．(1)证明：直线方程可写成 m (x －2y －3)＋2x ＋y ＋4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －3＝0，2x ＋y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2. ∴点(－1，－2)适合方程(2＋m )x ＋(1－2m )y ＋4－3m ＝0，因此，直线(2＋m )x ＋(1－2m )y ＋4－3m ＝0过定点(－1，－2)．(2)解析：设过点(－1，－2)所引的直线与x 轴、y 轴分别交于A (a ，0)、B (0，b )点， ∵(－1，－2)是线段AB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋02＝－1，0＋b 2＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－4. 故所求直线方程为2x ＋y ＋4＝0.。
2019-2020学年高中数学 阶段质量检测(三)直线与方程(含解析)新人教A版必修2
阶段质量检测（三） 直线与方程(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知直线l 的方程为y ＝－x ＋1，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．135°解析：选D 由题意可知，直线l 的斜率为－1，故由tan 135°＝－1，可知直线l 的倾斜角为135°.2．已知过点M (－2，a )，N (a,4)的直线的斜率为－12，则|MN |＝( )A ．10B ．180C ．6 3D ．6 5解析：选D 由k MN ＝a －4－2－a ＝－12，解得a ＝10，即M (－2,10)，N (10,4)，所以|MN |＝(－2－10)2＋(10－4)2＝65，故选D.3．已知直线nx －y ＝n －1和直线ny －x ＝2n 的交点在第二象限，则实数n 的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：选C 由题意，知当n ＝1时，两直线平行，当n ＝－1时，两直线重合，故n ≠±1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧nx －y ＝n －1，ny －x ＝2n ，得x ＝nn －1，y ＝2n －1n －1.∴n n －1＜0且2n －1n －1＞0，解得0＜n ＜12. 4．已知直线l 1：(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5＝0的斜率与直线l 2：x －y ＋1＝0的斜率相同，则实数m 等于( )A ．2或3B ．2C ．3D ．－3解析：选C 直线l 1的斜率为2m 2－5m ＋2m 2－4，直线l 2的斜率为1，则2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，即2m 2－5m ＋2＝m 2－4，整理得m 2－5m ＋6＝0，解得m ＝2或3.当m ＝2时，2m 2－5m ＋2＝0，－(m 2－4)＝0，不符合题意，故m ＝3.5．若直线(m 2－1)x －y －2m ＋1＝0不经过第一象限，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1B.⎝⎛⎦⎥⎤－1，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 解析：选D 若直线(m 2－1)x －y －2m ＋1＝0不经过第一象限，则直线经过第二、四象限或第三、四象限或第二、三、四象限，所以直线的斜率和截距均小于等于0.直线方程变形为y ＝(m 2－1)x －2m ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1≤0，－2m ＋1≤0，解得12≤m ≤1.6．已知直线mx ＋ny ＋1＝0平行于直线4x ＋3y ＋5＝0，且在y 轴上的截距为13，则m ，n的值分别为( )A ．4和3B ．－4和3C ．－4和－3D ．4和－3解析：选C 由题意知：－m n ＝－43，即3m ＝4n ，且有－1n ＝13，∴n ＝－3，m ＝－4.7．两点A (a ＋2，b ＋2)和B (b －a ，－b )关于直线4x ＋3y ＝11对称，则a ，b 的值为( ) A ．a ＝－1，b ＝2 B ．a ＝4，b ＝－2 C ．a ＝2，b ＝4D ．a ＝4，b ＝2解析：选D A 、B 关于直线4x ＋3y ＝11对称，则k AB ＝34，即b ＋2－(－b )a ＋2－(b －a )＝34，①且AB 中点⎝⎛⎭⎪⎫b ＋22，1在已知直线上，代入得2(b ＋2)＋3＝11，②解①②组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2.8．直线l 1与直线l 2：3x ＋2y －12＝0的交点在x 轴上，且l 1⊥l 2，则直线l 1在y 轴上的截距是( )A ．－4B ．4C ．－83D.83解析：选C 设直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则k 2＝－32.∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，∴k 1＝－1k 2＝－1－32＝23.设直线l 1的方程为y ＝23x ＋b ，直线l 2与x 轴的交点为(4,0)．将点(4,0)代入l 1方程，得b ＝－83.9．光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经反射以后经过点B (2，10)，则光线从A 到B 的路程为( )A ．5 2B ．2 5C ．510D ．10 5解析：选C 点A (－3,5)关于x 轴的对称点为A ′(－3，－5)，则光线从A 到B 的路程即A ′B 的长，|A ′B |＝(－5－10)2＋(－3－2)2＝510.10．数学家欧拉在1765年提出定理，三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高线的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点B (－1,0)，C (0,2)，AB ＝AC ，则△ABC 的欧拉线方程为( )A ．2x －4y －3＝0B ．2x ＋4y ＋3＝0C ．4x －2y －3＝0D ．2x ＋4y －3＝0解析：选D 本题考查欧拉线方程，∵B (－1,0)，C (0,2)，∴线段BC 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，线段BC 所在直线的斜率k BC ＝2，则线段BC 的垂直平分线的方程为y －1＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即2x＋4y －3＝0.∵AB ＝AC ，∴△ABC 的外心、重心、垂心都在线段BC 的垂直平分线上，∴△ABC 的欧拉线方程为2x ＋4y －3＝0.故选D.11．已知点M (1,0)和N (－1,0)，直线2x ＋y ＝b 与线段MN 相交，则b 的取值范围为( ) A ．[－2,2]B ．[－1,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12， 12 D ．[0,2]解析：选A 直线可化成y ＝－2x ＋b ，当直线过点M 时，可得b ＝2；当直线过点N 时，可得b ＝－2，所以要使直线与线段MN 相交，b 的取值范围为[－2,2]．12．若直线l 1：y －2＝(k －1)x 和直线l 2关于直线y ＝x ＋1对称，那么直线l 2恒过定点( )A ．(2,0)B ．(1，－1)C ．(1,1)D ．(－2,0)解析：选C ∵l 1：kx ＝x ＋y －2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x ＋y －2＝0，得l 1恒过定点(0,2)，记为点P ，∴与l 1关于直线y ＝x ＋1对称的直线l 2也必恒过一定点，记为点Q ，且点P 和Q 也关于直线y＝x ＋1对称．令Q (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ＋22＝m 2＋1，n －2m ×1＝－1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝1，即Q (1,1)，∴直线l 2恒过定点(1,1)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知点A (2,1)，B (－2,3)，C (0,1)，则△ABC 中，BC 边上的中线长为________． 解析：BC 中点为(－1,2)，所以BC 边上中线长为(2＋1)2＋(1－2)2＝10. 答案：1014．直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 22＝－1，又y 1＝1，∴y 2＝－3，代入方程x －y －7＝0，得x 2＝4，即B (4，－3)，又x 1＋x 22＝1，∴x 1＝－2，即A (－2,1)，∴k AB ＝－3－14－(－2)＝－23.答案：－2315．已知点M (a ，b )在直线3x ＋4y ＝15上，则 a 2＋b 2的最小值为________． 解析：a 2＋b 2的最小值为原点到直线3x ＋4y ＝15的距离：d ＝|0＋0－15|32＋42＝3. 答案：316．在△ABC 中，已知C (2,5)，角A 的平分线所在的直线方程是y ＝x ，BC 边上的高所在的直线方程是y ＝2x －1，则顶点B 的坐标为________．解析：依题意，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，则A (1,1)．因为角A 的平分线所在的直线方程是y ＝x ，所以点C (2,5)关于直线y ＝x 的对称点C ′(5,2)在边AB 所在的直线上， 所以边AB 所在的直线方程为y －1＝2－15－1(x －1)，整理得x －4y ＋3＝0.又边BC 上的高所在的直线方程是y ＝2x －1， 所以边BC 所在的直线的斜率为－12，所以边BC 所在的直线方程是y －5＝－12(x －2)，整理得x ＋2y －12＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，x ＋2y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝52，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，52.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫7，52 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知直线l 经过点P (－2,1)，且与直线x ＋y ＝0垂直． (1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与直线l 平行且点P 到直线m 的距离为2，求直线m 的方程． 解：(1)由题意得直线l 的斜率为1，故直线l 的方程为y －1＝x ＋2，即x －y ＋3＝0. (2)由直线m 与直线l 平行， 可设直线m 的方程为x －y ＋c ＝0，由点到直线的距离公式得|－2－1＋c |2＝2，即|c －3|＝2，解得c ＝1或c ＝5.故直线m 的方程为x －y ＋1＝0或x －y ＋5＝0.18．(本小题满分12分)已知两条直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0，当m 为何值时，l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)重合．解：当m ＝0时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，∴l 1∥l 2. 当m ＝2时，l 1：x ＋4y ＋6＝0，l 2：3y ＋2＝0， ∴l 1与l 2相交．当m ≠0且m ≠2时，由1m －2＝m23m 得m ＝－1或m ＝3，由1m －2＝62m，得m ＝3. 故(1)当m ≠－1且m ≠3且m ≠0时，l 1与l 2相交． (2)当m ＝－1或m ＝0时，l 1∥l 2. (3)当m ＝3时，l 1与l 2重合．19．(本小题满分12分)等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3x －y ＝0，一条直角边所在的直线l 的斜率为12，且经过点(4，－2)，若此三角形的面积为10，求此直角三角形的直角顶点的坐标．解：设直角顶点为C ，点C 到直线y ＝3x 的距离为d ， 则12d ·2d ＝10，∴d ＝10. ∵直线l 的斜率为12，且经过点(4，－2)，∴直线l 的方程为y ＋2＝12(x －4)．即x －2y －8＝0.设直线l ′是与直线y ＝3x 平行且距离为10的直线， 则直线l ′与l 的交点就是C 点， 设直线l ′的方程是3x －y ＋m ＝0， ∴|m |32＋(－1)2＝10，∴m ＝±10，∴直线l ′的方程是3x －y ±10＝0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －8＝0，3x －y －10＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －8＝0，3x －y ＋10＝0，得点C 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫125，－145或⎝⎛⎭⎪⎫－285，－345.20．(本小题满分12分)如图，已知点A (2,3)，B (4,1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积．解：(1)由题意可知，E 为AB 的中点， ∴E (3,2)，且k CE ＝－1k AB＝1，∴CE 所在直线方程为：y －2＝x －3，即x －y －1＝0. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0，得C (4,3)，∴|AC |＝|BC |＝2，AC ⊥BC ，∴S △ABC ＝12|AC |·|BC |＝2.21．(本小题满分12分)已知三条直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510. (1)求a 的值．(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5. 若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由． 解：(1)直线l 2的方程等价于2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋(－1)2＝7510，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72.又因为a ＞0，解得a ＝3. (2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)，若点P 满足条件②，则点P 在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋125，解得c ＝132或116， 所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0.若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 得|2x 0－y 0＋3|5＝25·|x 0＋y 0－1|2， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0.若点P 满足条件①，则3x 0＋2＝0不合适． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋132＝0，x 0－2y 0＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12.不符合点P 在第一象限，舍去．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718.符合条件①.所以存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718同时满足三个条件．22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，如图，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上．(1)若折痕所在直线的斜率为k ，试求折痕所在直线的方程； (2)当－2＋3≤k ≤0时，求折痕长的最大值．解：(1)①当k ＝0时，A 点与D 点重合，折痕所在的直线方程为y ＝12.②当k ≠0时，将矩形折叠后A 点落在线段DC 上的点记为G (a,1)， ∴A 与G 关于折痕所在的直线对称， 有k OG ·k ＝－1⇒1a·k ＝－1⇒a ＝－k .故G 点坐标为(－k,1)，从而折痕所在直线与OG 的交点坐标(即线段OG 的中点)为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，12. 故折痕所在的直线方程为y －12＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 2，即y ＝kx ＋k 22＋12. 由①②得折痕所在的直线方程为y ＝kx ＋k 22＋12.(2)当k ＝0时，折痕的长为2.当－2＋3≤k ＜0时，折痕所在直线交直线BC 于点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k ＋k 22＋12，交y 轴于点N ⎝⎛⎭⎪⎫0，k 2＋12.则|NE |2＝22＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋k 22＋122＝4＋4k 2≤4＋4(7－43)＝32－16 3. 此时，折痕长度的最大值为32－163＝2(6－2)． 而2(6－2)＞2，故折痕长度的最大值为2(6－2)．。
2019高中数学 专题03 直线与方程专题复习和测试 新人教A版必修2
专题03 直线与方程专题复习和测试一．高考命题方向和趋势高考考查重点是能够正确写出直线方程，考查两直线平行和垂直的充要条件的应用，考查直线中的对称问题，注意和三角函数、线性规划等知识的交汇，考查使用数形结合思想、分类讨论思想等思想方法。
考查直线方程与一次函数关系，考查直线方程与二次函数的交汇等。
直线与方程一般出现在客观题中或者解答题某一部分出现。
难度不大。
二．重难点归纳在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式与点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.解答完后应检验不适合直线方程的情形是否也满足已知条件．在求直线方程的过程中，若有以直线为载体的求面积、距离的最值的问题，则可先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.与已知直线垂直及平行的直线系的设法：与直线22(00)Ax By C A B ＋＋＝＋垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：0Bx Ay m －＋＝；(2)平行：0Ax By n ＋＋＝.平行或者垂直的两条直线之间的斜率关系要倍加注意.转化思想是解决对称问题中的关键：对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法． 三．典例剖析 1.求直线方程例1. 已知两点A （0，1），B （4，3），则线段AB 的垂直平分线方程是 ．【分析】先求出中点的坐标，再求出垂直平分线的斜率，点斜式写出线段AB 的垂直平分线的方程，再化为一般式．【答案】2x+y ﹣6=0．【解析】两点A （0，1），B （4，3），中点坐标为：（2，2），直线AB 的斜率为：=，AB 垂线的斜率为：﹣2，线段AB 的垂直平分线方程是：y ﹣2=﹣2（x ﹣2），即：2x+y ﹣6=0，故答案为2x+y ﹣6=0．【点评】本题考查两直线垂直的性质，线段的中点坐标公式，以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法． 2.两直线平行于垂直例2.直线l 1：2x ﹣y ﹣1=0与直线l 2：mx+y+1=0互相垂直的充要条件是（ ）A．m=﹣2 B．m=﹣C．m= D．m=2【分析】由两直线ax+by+c=0与mx+ny+d=0垂直⇔am+bn=0解得即可．【答案】C【解析】直线l1：2x﹣y﹣1=0与直线l2：mx+y+1=0⇔2m﹣1=0⇔m=．故选C．【点评】本题主要考查两直线垂直的条件，同时考查充要条件的含义．例3在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，则直线xsinA+ay+c=0与直线bx﹣ysinB+sinC=0的位置关系是（）A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直【分析】利用正弦定理和直线的斜率的关系判断两直线的位置关系．【答案】B【点评】本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意正弦定理的合理运用．例4.已知直线l1：ax﹣y+1=0，l2：x+y+1=0，l1∥l2，则a的值为，直线l1与l2间的距离为．【分析】利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．【答案】﹣1；．【解析】直线l1：ax﹣y+1=0，l2：x+y+1=0，分别化为：y=ax+1，y=﹣x﹣1，∵l1∥l2，∴a=﹣1，1≠﹣1．两条直线方程可得：x+y﹣1=0，x+y+1=0．直线l1与l2间的距离d==．故答案分别为：﹣1；．【点评】本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.直线的对称问题例5已知点A（1，3），B（﹣5，1），直线L关于A、B对称，则L的方程是（）A．3x﹣y﹣8=0 B．3x+y+4=0 C．3x﹣y+6=0 D．3x+y+2=0【分析】由题意，即求AB的垂直平分线方程．【答案】B【解析】由题意，即求AB的垂直平分线方程，AB的中点坐标为（﹣2，2），AB的斜率为=，∴L 的方程是y ﹣2=﹣3（x+2），即3x+y+4=0，故选：B ． 【点评】本题考查直线方程，考查学生的计算能力，比较基础．例6已知点A （0，1），直线l 1：x ﹣y ﹣1=0，直线l 2：x ﹣2y+2=0，则点A 关于直线l 1的对称点B 的坐标为 ，直线l 2关于直线l 1的对称直线方程是 ．【分析】设点A （0，1）关于直线x ﹣y ﹣1=0的对称点B 的坐标为（a ，b ），利用垂直及中点在轴上这两个条件，求出a 、b 的值，可得答案；利用到角公式可求得直线l 的斜率，再求得直线l2与L1的交点（直线l 过该点），利用直线的点斜式即可求得l 的方程。
2019_2020学年高中数学第三章直线与方程3.1.2两条直线平行与垂直的判定课时作业含解析新人教A版必修2
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下列命题中，正确的是( ) A ．斜率相等的两条直线一定平行B ．若两条不重合的直线l 1，l 2平行，则它们的斜率一定相等C ．直线l 1：x ＝1与直线l 2：x ＝2不平行D ．直线l 1：(2－1)x ＋y ＝2与直线l 2：x ＋(2＋1)y ＝3平行解析：A 错误，斜率相等的两条直线还可能重合．B 错误，当两条不重合的直线l 1，l 2平行时，它们的斜率可能相等，也可能不存在．C 错误，直线l 1与l 2的斜率都不存在，且1≠2，所以两直线平行．D 正确，由于直线l 1：(2－1)x ＋y ＝2与直线l 2：x ＋(2＋1)y ＝3的斜率分别为k 1＝1－2，k 2＝－12＋1＝1－2，则k 1＝k 2，所以l 1∥l 2. 答案：D2．由三条直线l 1：2x －y ＋2＝0，l 2：x －3y －3＝0和l 3：6x ＋2y ＋5＝0围成的三角形是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形解析：kl 2＝13，kl 3＝－3，∴kl 2·kl 3＝－1，∴l 2⊥l 3.答案：A3．若两条直线y ＝ax －2和y ＝(2－a )x ＋1互相平行，则a 等于( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1解析：因为两条直线平行，则a ＝2－a ，得a ＝1. 答案：B4．如果直线l 1的斜率为a ，l 1⊥l 2，则直线l 2的斜率为( ) A.1aB ．aC ．－1aD ．－1a或不存在解析：当a ≠0时，由l 1⊥l 2得k 1·k 2＝a ·k 2＝－1，∴k 2＝－1a；当a ＝0时，l 1与x 轴平行或重合，则l 2与y 轴平行或重合，故直线l 2的斜率不存在．∴直线l 2的斜率为－1a或不存在．答案：D5．下列直线中，与已知直线y ＝－43x ＋1平行，且不过第一象限的直线的方程是( )A ．3x ＋4y ＋7＝0B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0解析：先看斜率，A 、D 选项中斜率为－34，排除掉；直线与y 轴交点需在y 轴负半轴上，才能使直线不过第一象限，只有B 选项符合．答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．[2019·山东省济南市校级月考]若经过两点A (2,3)，B (－1，x )的直线l 1与斜率为1的直线l 2平行，则x ＝________.解析：设直线l 1的斜率为k ，则k ＝3－x 3.∵l 1∥l 2，∴k ＝1＝3－x3，∴x ＝0.答案：07．已知在平行四边形ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)，则点D 的坐标为____________．解析：设D (a ，b )，由平行四边形ABCD ，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC，即⎩⎪⎨⎪⎧0－25－1＝b －4a －3b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝6，所以D (－1,6)．答案：(－1,6)8．已知直线l 过点(－2，－3)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程为________． 解析：直线2x －3y ＋4＝0的斜率为23，又直线l 与该直线垂直，所以直线l 的斜率为－32.又直线l 过点(－2，－3)，因此直线l 的方程为3x ＋2y ＋12＝0. 答案：3x ＋2y ＋12＝0三、解答题(每小题10分，共20分)9．根据给定的条件，判断直线l 1与直线l 2的位置关系．(1)l 1平行于y 轴，l 2经过点P (0，－2)，Q (0,5)；(2)l 1经过点E (0,1)，F (－2，－1)，l 2经过点G (3,4)，H (2,3)； (3)l 1经过点A (－1,6)，B (1,2)，l 2经过点M (－2，－1)，N (2,1)．解析：(1)由题意知l 1的斜率不存在，且l 1不是y 轴，l 2的斜率也不存在，l 2恰好是y 轴，所以l 1∥l 2.(2)由题意知k 1＝－1－1－2－0＝1，k 2＝3－42－3＝1，虽然k 1＝k 2，但是k EG ＝4－13－0＝1，即E ，F ，G ，H 四点共线，所以l 1与l 2重合．(3)直线l 1的斜率k 1＝2－61－－＝－2，直线l 2的斜率k 2＝1－－2－－＝12，k 1k 2＝－1，故l 1与l 2垂直．10．当m 为何值时，过两点A (1,1)，B (2m 2＋1，m －2)的直线： (1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直； (3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行． 解析：(1)由k AB ＝m －32m 2＝－1，得2m 2＋m －3＝0，解得m ＝－32或1. (2)由－7－20－3＝3及垂直关系，得m －32m 2＝－13，解得m ＝32或－3.(3)令m －32m 2＝9＋3－4－2＝－2，解得m ＝34或－1. 经检验m ＝－1，m ＝34均符合题意．[能力提升](20分钟，40分)11．直线l 1的倾斜角为α，l 1⊥l 2，则直线l 2的倾斜角不可能为( ) A ．90°－α B ．90°＋α C ．|90°－α| D ．180°－α解析：(1)当α＝0°时，l 2的倾斜角为90°(如图1) (2)当0°<α<90°时，l 2的倾斜角为90°＋α.(如图2) (3)当α＝90°时，l 2的倾斜角为0°.(如图3)(4)当90°<α<180°时，l 2的倾斜角为α－90°.(如图4)答案：D12．已知A (2,3)，B (1，－1)，C (－1，－2)，点D 在x 轴上，则当点D 坐标为________时，AB ⊥CD .解析：设点D (x,0)，因为k AB ＝－1－31－2＝4≠0，所以直线CD 的斜率存在． 则由AB ⊥CD 知，k AB ·k CD ＝－1， 所以4·－2－0－1－x ＝－1，解得x ＝－9.答案：(－9,0)13．已知△ABC 的顶点分别为A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，求m 的值．解析：若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，∴k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5×1＋11－5＝－1，解得m ＝－7；若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即1＋11－5×m －12－1＝－1，解得m ＝3；若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，∴k AC ·k BC＝－1，即m ＋12－5×m －12－1＝－1，解得m ＝±2.综上，m 的值为－7，－2,2或3.14．已知四点A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定图形ABCD 的形状．解析：由题意知A ，B ，C ，D 四点在坐标平面内的位置如图所示，由斜率公式可得k AB ＝5－32－－＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13，k AD ＝0－3－3－－＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12.所以k AB ＝k CD ，由图可知AB与CD 不重合，所以AB ∥CD ，因为k AD ≠k BC ，所以AD 与BC 不平行．又因为k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，所以AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形．。
2019年高中数学第三章直线与方程3.1.2两条直线平行与垂直的判定课时作业解析版新人教A版必修2
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定1.直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则直线l2的斜率为( D )(A) (B)a(C)- (D)-或不存在解析:若a=0,则l2的斜率不存在;若a≠0,则l2的斜率为-.故选D.2.若l1与l2为两条直线,它们的倾斜角分别为α1,α2,斜率分别为k1,k2,有下列说法:(1)若l1∥l2,则斜率k1=k2;(2)若斜率k1=k2,则l1∥l2;(3)若l1∥l2,则倾斜角α1=α2;(4)若倾斜角α1=α2,则l1∥l2.其中正确说法的个数是( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:需考虑两条直线重合的特殊情况,(2),(4)都可能是两条直线重合,(1),(3)正确.3.已知A(m2+2,m),B(m+1,-1),若直线AB与斜率为2的直线平行,则m的值为( B )(A) (B)或1(C)1 (D)-1解析:由题知k AB=2,即==2,整理得2m2-3m+1=0,解得m=或m=1.4.若A(0,1),B(,4)在直线l1上,且直线l1⊥l2,则l2的倾斜角为( C )(A)-30° (B)30°(C)150° (D)120°解析:因为==,所以l1的倾斜角为60°.因为两直线垂直,所以l2的倾斜角为60°+90°=150°.故选C.5.以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是( C )(A)锐角三角形(B)钝角三角形(C)以A点为直角顶点的直角三角形(D)以B点为直角顶点的直角三角形解析:如图所示,易知k AB==-,k AC==,由k AB·k AC=-1知三角形是以A点为直角顶点的直角三角形,故选C.6.已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,若顺次连接A,B,C,D四点,则四边形ABCD的形状是( D )(A)平行四边形(B)矩形(C)菱形 (D)直角梯形解析:因为k AB==,k CD==,k AD==-3,k BC==-,所以AB∥CD,AD⊥AB,所以四边形ABCD为直角梯形.7.已知直线l1的斜率为2,l2过点A(-1,-2),B(x,6),若l1∥l2,则lox等于( D )(A)3 (B) (C)2 (D)-解析:由题意得=2,得x=3,所以lo3=-.8.已知点A(-2,-5),B(6,6),点P在y轴上,且∠APB=90°,则点P的坐标为( C )(A)(0,-6) (B)(0,7)(C)(0,-6)或(0,7) (D)(-6,0)或(7,0)解析:由题意可设点P的坐标为(0,y).因为∠APB=90°,所以AP⊥BP,且直线AP与直线BP的斜率都存在.又k AP=,k BP=,k AP·k BP=-1,即·(-)=-1,解得y=-6或y=7.所以点P的坐标为(0,-6)或(0,7),故选C.9.直线l平行于经过两点A(-4,1)和B(0,-3)的直线,则直线l的倾斜角是.解析:直线l的斜率k==-1,所以倾斜角为135°.答案:135°10.已知直线l1的斜率k1=3,直线l2过点A(3,-1),B(4,y),C(x,2),且l1∥l2,则x= ,y= .解析:由题知解得答案:4 211.已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(2,2),B(0,1),C(4,3),点D(m,1)在BC的高所在的直线上,则实数m= .解析:由题意知k AD·k BC=-1,即×=-1,解得m=.答案:12.若A(-4,2),B(6,-4),C(12,6),D(2,12),则给出下面四个结论:①AB∥CD,②AB⊥CD,③AC∥BD,④AC⊥BD.其中正确结论的序号是.解析:因为k AB=-,k CD=-,k AC=,k BD=-4,所以k AB=k CD,k AC·k BD=-1,所以AB∥CD,AC⊥BD.答案:①④13.当m为何值时,过两点A(1,1),B(2m2+1,m-2)的直线:(1)倾斜角为135°;(2)与过两点(3,2),(0,-7)的直线垂直;(3)与过两点(2,-3),(-4,9)的直线平行.解:(1)由k AB==-1,解得m=-或1.(2)显然m≠0,由k AB=,且=3,得=-,解得m=或-3.(3)令==-2,解得m=或-1.14.已知△ABC的顶点坐标为A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC为直角三角形,试求m的值. 解:k AB==-,k AC==-,k BC==m-1.若AB⊥AC,则有-·(-)=-1,所以m=-7;若AB⊥BC,则有-·(m-1)=-1,所以m=3;若AC⊥BC,则有-·(m-1)=-1,所以m=±2.综上可知,所求m的值为-7,±2,3.15.在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0.试判断四边形OPQR的形状.解:由斜率公式得k OP==t,k QR===t,k OR==-,k PQ===-.所以k OP=k QR,k OR=k PQ,从而OP∥QR,OR∥PQ.所以四边形OPQR为平行四边形.又k OP·k OR=-1,所以OP⊥OR,故四边形OPQR为矩形.16.已知两点A(2,0),B(3,4),直线l过点B,且交y轴于点C(0,y),O是坐标原点,有O,A,B,C 四点共圆,那么y的值是( B )(A)19 (B) (C)5 (D)4解析:由题意知AB⊥BC,所以k AB·k BC=-1,即×=-1,解得y=,故选B.17.已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则必有 ( C )(A)b=a3(B)b=a3+(C)(b-a3)(b-a3-)=0(D)|b-a3|+|b-a3-|=0解析:若以O为直角顶点,则B在x轴上,则a必为0,此时O,B重合,不符合题意;若∠A=,则b=a3≠0.若∠B=,根据垂直关系可知a2·=-1,所以a(a3-b)=-1,即b-a3-=0.以上两种情况皆有可能,只有C满足条件.故选C.。
(浙江专版)2019-2020学年高中数学 阶段质量检测(三)直线与方程 新人教A版必修2.doc
（浙江专版）2019-2020学年高中数学 阶段质量检测（三）直线与方程 新人教A 版必修2一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．经过A (2,0)，B (5,3)两点的直线的倾斜角为( ) A ．45° B ．135° C ．90°D ．60°解析：选A ∵A (2,0)，B (5,3)， ∴直线AB 的斜率k ＝3－05－2＝1.设直线AB 的倾斜角为θ(0°≤θ<180°)， 则tan θ＝1，∴θ＝45°.故选A.2．点F (3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为( ) A. 3 B.3m C ．3D ．3m 解析：选A 由点到直线的距离公式得点F (3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为3·3m ＋33m ＋3＝ 3.3．和直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 设所求直线上的任一点为(x ，y )，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x ，－y )，因为点(x ，－y )在直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x ＋4y ＋5＝0.4．如果直线l 过(－2，－2)，(2,4)两点，点(1 344，m )在直线l 上，那么m 的值为( ) A ．2 014 B ．2 015 C ．2 016D ．2 017解析：选D 由两点式，得y ＋24＋2＝x ＋22＋2，∴当x ＝1 344时，m ＝2 017，故选D.5．已知▱ABCD 的三个顶点的坐标分别是A (0,1)，B (1,0)，C (4,3)，则顶点D 的坐标为( ) A ．(3,4) B ．(4,3) C ．(3,1)D ．(3,8)解析：选A 设D (m ，n )，由题意得AB ∥DC ，AD ∥BC ，则有k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，∴⎩⎪⎨⎪⎧0－11－0＝3－n 4－m ，n －1m －0＝3－04－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝4，∴点D 的坐标为(3,4)．6．直线l 过点A (3,4)且与点B (－3,2)的距离最远，那么l 的方程为( ) A ．3x －y －13＝0 B ．3x －y ＋13＝0 C ．3x ＋y －13＝0D ．3x ＋y ＋13＝0解析：选C 由已知可知，l 是过A 且与AB 垂直的直线，∵k AB ＝2－4－3－3＝13，∴k l ＝－3，由点斜式得，y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0.7．等腰直角三角形ABC 的直角顶点为C (3,3)，若点A (0,4)，则点B 的坐标可能是( ) A ．(2,0)或(4,6) B ．(2,0)或(6,4) C ．(4,6)D ．(0,2)解析：选A 设B 点坐标为(x ，y )，根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧k AC ·k BC ＝－1，|BC |＝|AC |，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－43－0×y －3x －3＝－1，x －2＋y －2＝－2＋－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6.8．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( ) A ．2x ＋3y －18＝0 B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0解析：选D 依题意，设直线l ：y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0， 则有|－5k ＋2|k 2＋1＝|k ＋6|k 2＋1，因此－5k ＋2＝k ＋6，或－5k ＋2＝－(k ＋6)， 解得k ＝－23或k ＝2，故直线l 的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中的横线上)9．已知点M (5,3)和点N (－3,2)，若直线PM 和PN 的斜率分别为2和－74，则点P 的坐标为________．解析：设P (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧y －3x －5＝2，y －2x ＋3＝－74，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－5.答案：(1，－5)10．若过点P (1－a,1＋a )与点Q (3,2a )的直线的倾斜角是钝角，则实数a 的取值范围是________．解析：k ＝2a －1＋a 3－1－a ＝a －1a ＋2<0，得－2<a <1.答案：(－2,1)11．已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l 的方程为________________．解析：设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，∴12|ab |＝3，且－b a ＝16，解得a ＝－6，b ＝1或a ＝6，b ＝－1，∴直线l 的方程为x －6＋y ＝1或x6－y ＝1，即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0. 答案：x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝012．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则m ＝________，n ＝________.解析：依题意得：直线3x －y ＝33的斜率为3，∴其倾斜角为60°.∴－3n ＝－3，－mn＝tan 120°＝－3，得m ＝3，n ＝1.答案： 3 113．设两直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m 与l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8，若l 1∥l 2，则m ＝____________；若l 1⊥l 2，则m ＝____________.解析：由l 1∥l 2得(3＋m )(5＋m )－4×2＝0，解得m ＝－1或m ＝－7，当m ＝－1时，两直线重合，舍去．由l 1⊥l 2得(3＋m )×2＋4×(5＋m )＝0，解得m ＝－133.答案：－7 －13314．已知直线x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线x ＋ny －3＝0互相平行，且它们间的距离是5，则m ＝______________，n ＝______________.解析：由题意，所给两条直线平行，∴n ＝－2.由两条平行直线间的距离公式，得d ＝|m ＋3|12＋－2＝|m ＋3|5＝5，解得m ＝2或m ＝－8(舍去)． 答案：2 －215．已知直线l 的倾斜角为135°，且经过点P (1,1)，则求直线l 的方程为________，点A (3,4)关于直线l 的对称点A ′的坐标为________．解析：∵k ＝tan 135°＝－1， ∴l ：y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. 设A ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －3－＝－1，a ＋32＋b ＋42－2＝0，解得a ＝－2，b ＝－1，∴A ′的坐标为(－2，－1)． 答案：x ＋y －2＝0 (－2，－1)三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)在x 轴的正半轴上求一点P ，使以A (1,2)，B (3,3)及点P 为顶点的△ABP 的面积为5.解：设点P 的坐标为(a,0)(a >0)，点P 到直线AB 的距离为d .由已知，得S △ABP ＝12|AB |·d＝12－2＋－2·d ＝5，解得d ＝2 5.由已知易得，直线AB 的方程为x －2y ＋3＝0， 所以d ＝|a ＋3|1＋－2＝25，解得a ＝7或a ＝－13(舍去)， 所以点P 的坐标为(7,0)．17．(本小题满分15分)一条光线从点A (2,3)出发，经y 轴反射后，通过点B (4，－1)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．解：点A (2,3)关于y 轴的对称点为A ′(－2,3)，点B (4，－1)关于y 轴的对称点为B ′(－4，－1)．则入射光线所在直线的方程为AB ′：y ＋13＋1＝x ＋42＋4，即2x －3y ＋5＝0.反射光线所在直线的方程为A ′B ：y ＋13＋1＝x －4－2－4，即2x ＋3y －5＝0.18．(本小题满分15分)已知点A (m －1,2)，B (1,1)，C (3，m 2－m －1)． (1)若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值； (2)若AB ⊥BC ，求实数m 的值．解：(1)因为A ，B ，C 三点共线，且x B ≠x C ，则该直线斜率存在，则k BC ＝k AB ，即m 2－m －22＝1m －2，解得m ＝1或1－3或1＋ 3. (2)由已知，得k BC ＝m 2－m －22，且x A －x B ＝m －2.①当m －2＝0，即m ＝2时，直线AB 的斜率不存在，此时k BC ＝0，于是AB ⊥BC ； ②当m －2≠0，即m ≠2时，k AB ＝1m －2， 由k AB ·k BC ＝－1，得1m －2·m 2－m －22＝－1，解得m ＝－3.综上，可得实数m 的值为2或－3.19．(本小题满分15分)直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：①△AOB 的周长为12；②△AOB 的面积为6.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解：设直线方程为x a ＋yb＝1(a >0，b >0)，由条件①可知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12.由条件②可得12ab ＝6.又直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2，∴43a ＋2b ＝1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋a 2＋b 2＝12，12ab ＝6，43a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3.∴所求直线方程为x 4＋y3＝1.20．(本小题满分15分)已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点O 的距离为2的直线的方程；(2)求过点P 且与原点O 的距离最大的直线的方程，并求出最大距离；(3)是否存在过点P 且与原点O 的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)①当直线的斜率不存在时，方程x ＝2符合题意． ②当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.根据题意，得|2k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.则直线方程为3x －4y －10＝0.故符合题意的直线方程为x －2＝0或3x －4y －10＝0.(2)过点P 且与原点的距离最大的直线应为过点P 且与OP 垂直的直线． 则其斜率k ＝2，所以其方程为y ＋1＝2(x －2)， 即2x －y －5＝0. 最大距离为 5.(3)不存在．理由：由于原点到过点(2，－1)的直线的最大距离为5，而6>5，故不存在这样的直线．。
【精准解析】数学人教A版必修2章末综合测评3 直线与方程
14．若点 A(4，－1)在直线 l1：ax－y＋1＝0 上，则 l1 与 l2：2x－y－3＝0 的位
置关系是________．
l1⊥l2 [将 A(4，－1)点的坐标代入 ax－y＋1＝0，
得
a＝－1，则 2
kl1·kl2＝－12×2＝－1，∴l1⊥l2.]
-3-
15．已知点 M(a，b)在直线 3x＋4y＝15 上，则 a2＋b2的最小值为________． 3 [ a2＋b2的最小值为原点到直线 3x＋4y＝15 的距离：d＝|0＋302＋－4125|＝3.] 16．若直线 l 被直线 l1：x－y＋1＝0 与 l2：x－y＋3＝0 截得的线段长为 2 2， 则直线 l 的倾斜角θ(0°≤θ<90°)的值为________． 15°或 75° [易求得平行线 l1，l2 之间的距离为|1－3|＝ 2. 画示意图(图略)可
章末综合测评(三) 直线与方程
(满分：150 分 时间：120 分钟) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线 x－y＝0 的倾斜角为( )
A．45°
B．60°
C．90°
D．135°
A [因为直线的斜率为 1，所以 tan α＝1，即倾斜角为 45°.故选 A.]
解得
x＝2或 y＝0
x＝4，所以 y＝6
B(2，0)或
B(4，6).]
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线
上)
13．若过点 P(1－a，1＋a)与点 Q(3，2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数 a 的
取值范围是________．
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1 第三章 检测试题 (时间:120分钟 满分:150分) 【选题明细表】 知识点、方法 题号 直线的倾斜角和斜率 1,2 两条直线的位置关系 4,6,11,18 交点、距离问题 5,8,9,14 直线的方程 3,7,13,17 综合应用 10,12,15,16,19,20,21 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.若直线ax+my+2a=0(a≠0)过点(1,-),则此直线的斜率为( D )
(A) (B)- (C) (D)- 解析:因为直线ax+my+2a=0(a≠0)过点(1,-), 所以a-m+2a=0,
所以a=m,所以这条直线的斜率是k=-=-. 2.如图,在同一直角坐标系中,表示直线y=ax与y=x+a正确的是( C )
解析:当a>0时,A,B,C,D均不成立;当a<0时,只有C成立,故选C. 3.过点(-1,3)且与直线x-2y+3=0平行的直线方程为( A ) (A)x-2y+7=0 (B)2x+y-1=0 (C)x-2y-7=0 (D)x-2y-4=0 解析:设过点(-1,3)且与直线x-2y+3=0平行的直线方程为 x-2y+m=0(m≠3),把点(-1,3)代入直线方程得-1-2×3+m=0,m=7,故所求的直线方程为x-2y+7=0. 4.两条直线y=ax-2与y=(a+2)x+1互相垂直,则a等于( A ) (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 解析:由题意及直线相互垂直的条件可知a(a+2)=-1,解得a=-1.故 选A. 5.两条平行线l1:3x+4y-2=0,l2:ax+6y=5间的距离等于( A )
(A) (B) (C) (D) 解析:据题意两直线平行,则-=-⇒a=, 即l2:x+6y=5, 2
故l1:9x+12y-6=0, l2:9x+12y-10=0,
l1与l2间距离d==,故选A. 6.已知直线l1:x+2ay-1=0,与l2:(2a-1)x-ay-1=0平行,则a的值是( C )
(A)0或1 (B)1或 (C)0或 (D) 解析:由题
得a=0或a=. 7.若a,b满足a+2b=1,则直线ax+3y+b=0必过定点( B )
(A)(-,) (B)(,-) (C)(,) (D)(,-) 解析:当x=时,直线可化为a+3y+b=0,即a+2b+6y=0,得y=-,所以直线过定点(,-). 8.三条直线:y+2x-4=0,x-y+1=0与ax-y+2=0共有两个交点,则a等于( C ) (A)1 (B)2 (C)1或-2 (D)-1或2 解析:三条直线共有两个交点,一定有两条直线互相平行,并与第三条直线相交,而2x+y-4=0与x-y+1=0相交,故直线ax-y+2=0与2x+y-4=0平行或与x-y+1=0平行,所以a=1或a=-2.故选C. 9.直线l过点A(2,11),且与点B(-1,2)的距离最远,则直线l的方程为( D ) (A)3x-y-5=0 (B)3x-y+5=0 (C)x+3y+13=0 (D)x+3y-35=0
解析:当l⊥AB时符合要求,因为kAB==3, 所以l的斜率为-,所以直线l的方程为y-11=-(x-2), 即x+3y-35=0.故选D. 10.将一张坐标纸折叠一次,使点(10,0)与(-6,8)重合,则与点(-4,2)重合的点是( A ) (A)(4,-2) (B)(4,-3) 3
(C)(3,) (D)(3,-1) 解析:由已知知以(10,0)和(-6,8)为端点的线段的垂直平分线的方程为y=2x,则(-4,2)关于
直线y=2x的对称点即为所求点.设所求点为(x0,y0),则解得故选A. 11.已知点A(-2,1),B(3,-2),C(6,3),D(1,6),则以下四个结论:①AB∥CD;②AB⊥AD;③|AC|=|BD|;④AC⊥BD中,正确结论的个数为( D ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:因为kAB==-, kCD==-, 所以直线AB的方程为y-1=-(x+2), 即3x+5y+1=0, 因为点C(6,3),D(1,6)不在直线AB上, 所以AB∥CD,①正确.
又kAD==, 所以kAB·kAD=-1, 所以AB⊥AD,②正确.
|AC|==,
|BD|==, 所以|AC|=|BD|,③正确.
因为kAC==,kBD==-4, 所以kAC·kBD=-1,所以AC⊥BD,④正确.选D. 12.若在直线y=-2上有一点P,它到点A(-3,1)和B(5,-1)的距离之和最小,则该最小值为( B ) (A)2 (B)4 (C)5 (D)10 解析:如图所示,点B(5,-1)关于直线y=-2的对称点B′(5,-3),AB′交y=-2于点P,因为|PB|=|PB′|,所以|PA|+|PB|=|PA|+|PB′|. 4
其最小值即为|AB′|,即|AB′|==4,故选B. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知直线l经过点(7,1)且在两坐标轴上的截距互为相反数,则直线l的方程是 . 解析:当直线过原点,设直线为y=kx.
代入点(7,1),可得k=. 直线方程为x-7y=0,
当直线不过原点,设直线为+=1. 代入点(7,1),可得=1. 所以a=6. 从而直线方程为x-y-6=0. 故所求直线方程为x-7y=0或x-y-6=0. 答案:x-7y=0或x-y-6=0 14.设点P在直线x+3y=0上,且P到原点的距离与P到直线x+3y=2的距离相等,则点P的坐标为 . 解析:根据题意可设P(-3m,m),
所以=, 解得m=±, 所以P点坐标为(-,)或(,-). 答案:(-,)或(,-) 15.已知点A(1,1),B(-2,2),直线l过点P(-1,-1)且与线段AB始终有交点,则直线l的斜率k的取值范围为 . 解析:如图, 5
因为A(1,1),B(-2,2),直线l过点P(-1,-1), 则kPA=1,kPB==-3, 所以直线l的斜率k的取值范围为(-∞,-3]∪[1,+∞). 答案:(-∞,-3]∪[1,+∞) 16.点M(-1,0)关于直线x+2y-1=0的对称点M′的坐标是 . 解析:过点M(-1,0)与直线x+2y-1=0垂直的直线方程为2x-y=-2,可解得两垂直直线的交点坐
标为N(-,),则点M(-1,0)关于点N(-,)的对称点坐标为M′(-,). 答案:(-,) 三、解答题(本大题共5小题,共70分) 17.(本小题满分14分) 已知△ABC的三边所在直线的方程分别是lAB:4x-3y+10=0,lBC:y=2,lCA:3x-4y=5. (1)求∠BAC的平分线所在直线的方程; (2)求AB边上的高所在直线的方程. 解:(1)设P(x,y)是∠BAC的平分线上任意一点, 则点P到AC,AB的距离相等,
即=, 所以4x-3y+10=±(3x-4y-5).
又因为∠BAC的平分线所在直线的斜率在和之间, 所以7x-7y+5=0为∠BAC的平分线所在直线的方程. (2)设过点C的直线系方程为3x-4y-5+λ(y-2)=0, 即3x-(4-λ)y-5-2λ=0. 若此直线与直线lAB:4x-3y+10=0垂直, 则3×4+3(4-λ)=0,解得λ=8. 故AB边上的高所在直线的方程为3x+4y-21=0. 18.(本小题满分14分) 已知直线l的方程为2x-y+1=0. (1)求过点A(3,2),且与直线l垂直的直线l1的方程; (2)求与直线l平行,且到点P(3,0)的距离为的直线l2的方程. 解:(1)设l1的方程为x+2y+m=0, 把点A(3,2)代入可得3+2×2+m=0,解得m=-7. 6
所以直线l1方程为x+2y-7=0. (2)设l2的方程为2x-y+c=0(c≠1), 因为点P(3,0)到直线l2的距离为.
所以=, 解得c=-1或-11. 所以直线l2方程为2x-y-1=0或2x-y-11=0. 19.(本小题满分14分)
如图,在△ABC中,BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0,∠A的平分线所在的直线方程为y=0,若点B的坐标为(1,2),求: (1)点A和点C的坐标; (2)△ABC的面积.
解:(1)由得顶点A(-1,0),
所以AB的斜率kAB==1. 因为x轴是∠A的平分线. 所以AC的斜率为-1, AC所在直线的方程为y=-(x+1),① 因为BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0, 所以BC所在直线的斜率为-2, 所以BC所在直线的方程为y-2=-2(x-1),② 解由①②组成的方程组得顶点C的坐标为(5,-6).
(2)|BC|==4, 又直线BC的方程是2x+y-4=0,
A到直线BC的距离d==, 所以△ABC的面积为|BC|·d=×4×=12. 20.(本小题满分14分) 已知△ABC的三个顶点是A(1,1),B(-1,3),C(3,4). (1)求BC边的高所在直线l1的方程; (2)若直线l2过C点,且A,B到直线l2的距离相等,求直线l2的方程.