多年经典高数考研试题
2024年考研高等数学一多元函数微分学历年真题
2024年考研高等数学一多元函数微分学历年真题在2024年考研高等数学一的多元函数微分学部分，历年真题一直是备考的重要资料。
通过复习历年真题，不仅可以熟悉考试题型，还能够理解题目的解题思路和考点要点。
本文将为大家呈现2024年考研高等数学一多元函数微分学的历年真题，供大家参考复习备考。
第一节：选择题1. 设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微分，且对任意 $t$ ，有$f(tx_0,ty_0)=tf(x_0,y_0)$ ，则 $\frac{\partial z}{\partialx}|_{(x_0,y_0)}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}|_{(x_0,y_0)}$ 的关系是（）。
A. $\frac{\partial z}{\partial x}|_{(x_0,y_0)}+2\frac{\partial z}{\partial y}|_{(x_0,y_0)}=0$B. $\frac{\partial z}{\partial x}|_{(x_0,y_0)}-2\frac{\partial z}{\partial y}|_{(x_0,y_0)}=0$C. $\frac{\partial z}{\partial x}|_{(x_0,y_0)}+3\frac{\partial z}{\partial y}|_{(x_0,y_0)}=0$D. $\frac{\partial z}{\partial x}|_{(x_0,y_0)}-3\frac{\partial z}{\partial y}|_{(x_0,y_0)}=0$2. 设函数 $f(x,y)$ 具有二阶连续偏导数， $df(x,y)$ 是其全微分，下列说法错误的是（）。
A. $df(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partialy}dy$B. $df(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}|_{(x,y)}dx+\frac{\partialf}{\partial y}|_{(x,y)}dy$C. $df(x,y)=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy$D. $df(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partialy}dy+\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}dxdy$第二节：简答题1. 证明函数 $z=2x^2+3xy$ 在点 $(1, 2)$ 处的全微分为$dz=8dx+7dy$ 。
考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编32(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编32(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．具有特解y1=e－x，y2=2xe－x，y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是( )A．y”‘－y”－y’+y=0。
B．y”‘+y”－y’－y=0。
C．y”‘－6y”+11y’－6y=0。
D．y”‘－2y”－y’+2y=0。
正确答案：B解析：由特解y1=e－x，y2=2xe－x，对照常系数线性齐次微分方程的特征方程、特征根与解的对应关系知道，r2=－1为特征方程的二重根；由y3=3ex可知，r1=1为特征方程的单根，因此特征方程为(r－1)(r+1)2=r3+r2－r－1=0，由常系数齐次线性微分方程与特征方程的关系，得该微分方程为y”‘+y”－y’－y=0。
知识模块：常微分方程2．微分方程y”+y=x2+1+sinx的特解形式可设为( )A．y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)。
B．y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)。
C．y*=ax2+bx+c+Asinx。
D．y*=ax2+bx+c+Acosx。
正确答案：A解析：对应齐次方程y”+y=0的特征方程为λ2+1=0．特征根为λ=±i，对于y”+y’=x2+1=e0(x2+1)，0不是特征根，从而其特解形式可设为：y*1=ax2+bx+c。
对于y”+y=sinx，i为特征根，从而其特解形式可设为y*2=x(Asinx+Bcosx)，从而y”+y=x2+1+sinx的特解形式可设为y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)。
知识模块：常微分方程3．函数y=C1ex+C2e－2x+xex满足的一个微分方程是( )A．y”－y’－2y=3xex。
B．y”－y’－2y=3ex。
C．y”+y’－2y=3xex。
D．y”+y’－2y=3ex。
考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编18(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编18(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(94年)二元函数f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数fx’(x0，y0)，fy’(x0，y0)存在是f(x，y)在该点连续的A．充分条件而非必要条件．B．必要条件而非充分条件．C．充分必要条件．D．既非充分条件又非必要条件．正确答案：D解析：多元函数在一点上连续性与偏导数存在之间没有直接关系，即“连续”未必“偏导数存在”；“偏导数存在”亦未必“连续”．所以D．知识模块：高等数学2．(96年)已知为某函数的全微分，则a等于A．一1．B．0．C．1．D．2．正确答案：D解析：令由于Pdx+Qdy为某个函数的全微分，则即(a一2)x-ay=一2y，(a一2)x=(a一2)y仅当a=2时，上式恒成立．知识模块：高等数学3．(97年)二元函数f(x，y)=在点(0，0)处A．连续，偏导数存在．B．连续，偏导数不存在．C．不连续，偏导数存在．D．不连续，偏导数不存在．正确答案：C解析：令y=kx，则当k不同时，不存在，因而f(x，y)在(0，0)点处不连续，但根据偏导数的定义知同理可得fy’(0，0)=0由此可见，在点(0，0)处f(x，y)的偏导数存在．知识模块：高等数学4．(01年)设函数f(x，y)在点(0，0)附近有定义，且fx’(0，0)=3，fy’(0，0)=1，则A．dz|(0,0)=3dx+dy．B．曲面z=f(x，y)在点(0，0，f(0，0))的法向量为{3．1，1}．C．曲线在点(0，0，f(0，0))的切向量为{1，0，3}．D．曲线在点(0，0，f(0，0))的切向量为{3，0，1}．正确答案：C解析：则该曲线在(0，0，f(0，0))的切向量为{1，0，fx’(0，0)}={1，0，3} 知识模块：高等数学5．(02年)考虑二元函数的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用表示可由性质P推出性质Q，则有A．B．C．D．正确答案：A解析：由于f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续是f(x，y)在点(x0，y0)处可微的充分条件，而f(x，y)在点(x0，y0)可微是f(x，y)在点(x0，y0)处连续的充分条件，故A．知识模块：高等数学6．(03年)已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且则A．点(0，0)不是f(x，y)的极值点．B．点(0，0)是f(x，y)的极大值点．C．点(0，0)是f(x，y)的极小值点．D．根据所给条件无法判断点(0，0)是否为f(x，y)的极值点．正确答案：A解析：由f(x，y)在点(0，0)的连续性及知f(0，0)=0．则f(x，y)一xy+(x2+y2)2+α(x2+y2)2令y=x，得f(x，x)=x2+4x4+4αx4=x2+o(x2)令y=一x,得f(x，一x)=一x2+4x4+4αx4=一x2+o(x2)从而f(x，y)在(0，0)点的邻域内始终可正可负，又f(0，0)=0，由极值定义可知f(x，y)在(0，0)点没有极值，故(A)．知识模块：高等数学7．(05年)设函数u(x，y)=φ(x+y)+φ(x-y)+∫x-yx+yφ(t)dt，其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有A．B．C．D．正确答案：B解析：令φ(x)=x2，ψ(x)≡0，则u(x，y)=(x+y)2+(x—y)2=2x2+2y2从而则(A)(C)(D)均不正确，故(B)．知识模块：高等数学8．(05年)设有三元方程xy—zlny+exx=1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程A．只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x，y)．B．可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x，z)和z=z(x，y)．C．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和z=z(x，y)．D．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和y=y(x，z)．正确答案：D解析：令F(x，y，z)=xy—zlny+exz一1显然，F(x，y，z)在点(0，1，1)的邻域内有连续一阶偏导数，且F(0，1，1)=0，Fx’(0，1，1)=2≠0，Fy’(0,1，1)=一1≠0，由隐函数存在定理知方程xy—zlny+exz=1可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和y=(x，z)，故(D)．知识模块：高等数学9．(06年)若f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0。
考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编19(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编19(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(10年)设函数z=z(x，y)由方程确定，其中F为可微函数，且F2’≠0，则A．x．B．z．C．一x．D．一z．正确答案：B解析：由隐函数求导公式得知识模块：高等数学2．(11年)设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)＞0，f’(0)=0，则函数z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是A．f(0)＞1，f”(0)＞0．B．f(0)＞1，f”(0)＜0．C．f(0)＜1，f”(0)＞0．D．f(0)＜1，f”(0)＜0．正确答案：A解析：则AC—B2＞0,故(A)．知识模块：高等数学3．(12年)如果f(x，y)在(0，0)处连续，那么下列命题正确的是A．若极限存在，则f(x，y)在(0，0)处可微．B．若极限存在，则f(x，y)在(0，0)处可微．C．若f(x，y)在(0，0)处可微，则极限D．若f(x，y)在(0，0)处可微，则极限正确答案：B 涉及知识点：高等数学4．(13年)曲面x2+cos(xy)+yz+x=0在点(0，1，一1)处的切平面方程为A．x—y+z=一2．B．x+y+z=0．C．x一2y+z=一3．D．x—y—z=0．正确答案：A解析：令F(x，y，z)=x2+cos(xy)+yz+x，则n={2x—ysin(xy)+1，一xsin(xy)+x，y)|(0,1,-1)={1，一1，1}则所求切平面方程为x一(y一1)+(z+1)=0即x—y+2=一2 知识模块：高等数学5．(88年)设有空间区域Ω1：x2+y2+z2≤R2，z≥0；及Ω2：x2+y2+z2≤R2，x≥0，y≥0，z≥0，则A．B．C．D．正确答案：C解析：由于(C)选项中的被积函数f(x，y，z)=z既是x的偶函数，也是y的偶函数，而积分域Ω1既关于yOz坐标面前后对称，又关于xOz坐标面左右对称，则知识模块：高等数学6．(91年)设D是xOy平面上以(1，1)，(一1，1)和(一1，一1)为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限的部分，则(xy+cosxsiny)dxdy等于A．B．C．D．正确答案：A解析：如图2．8，△OAB所围区域记为D2，△OBC所围区域记为D3．由于xy关于x是奇函数，积分域D2关于y轴对称，则又cosxsiny是y的奇函数，D3关于x轴对称，则又cosxsiny是x的偶函数，D2关于y轴对称，则从而有知识模块：高等数学填空题7．(11年)设函数F(x，y)=正确答案：4解析：知识模块：高等数学8．(12年)正确答案：(1，1，1)．解析：知识模块：高等数学9．(14年)曲面z=x2(1一siny)+y2(1一sinx)在点(1，0，1)处的切平面方程为______．正确答案：2x—y—z=1．解析：由z=x2(1一siny)+y2(1一sinx)得zx’=2x(1一siny)一y2cosx，zx’(1，0)=2zy’=一x2cosy+2y(1一sinx)，zy’(1，0)=一1所以，曲面z=x2(1一siny)+y2(1一sinx)在点(1，0，1)处的法向量为[*738]=(2，一1，一1)，该点处切平面方程为2(x一1)一y一(z一1)=0,即2x—y—z=1．知识模块：高等数学10．(15年)若函数z=z(x，y)由方程ez+xyz+z+cosx=2确定，则dz|(0,1)=_______．正确答案：一dx．解析：将x=0，y=1代入ez+xyz+x+cosx=2中得ez+1=2，则z=0方程ez+xyz+x+cosx=2两端微分得ezdz+yzdx+xzdy+xydz+dx—sinxdx=0将x=0，y=1，z=0代入上式得dx+dz=0则dz|(0,1)=一dx 知识模块：高等数学11．(16年)设函数f(u，v)可微，z=z(x，y)由方程(x+1)z-y2=x2f(x-z，y)确定，则dz|(0,1)=________，正确答案：一dx+2dy．解析：由原方程知，当x=0，y=1时，z=1．方程(x+1)z—y2=x2f(x—z，y)两边求全微分zdx+(x+1)dz一2ydy=2xf(x—z，y)dx+x2[f1’.(dx—dz)+f2’dy]将x=0，y=1，z=1代入上式得dz|(0,1)=一dx+2dy 知识模块：高等数学12．(87年)设L为取正向的圆周x2+y2=9，则曲线积分(2xy一2y)dx+(x2一4x)dy的值是______.正确答案：一18π．解析：由格林公式可知知识模块：高等数学13．(89年)向量场u(x，y，z)=xy2i+yezj+xln(1+x2)k在点P(1，1，0)处的散度divu=_____．正确答案：2解析：由散度计算公式其中u=Pi+Qj+Rk得知识模块：高等数学14．(89年)设平面曲线L为下半圆周则曲线积分∫L(x2+y2)ds=_______．正确答案：π解析：由于下半圆周上的点(x，y)也满足x2+y2=1，则知识模块：高等数学15．(90年)积分∫02dx∫x2的值等于______．正确答案：解析：交换累次积分次序得知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编7
考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编7(总分：88.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设有直线则L 1与L 2的夹角为（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：直线L 1的方向向量 S 1 ={1，一2，1)，直线L 2的方向向量从而直线L 1和L 2的夹角φ的余弦为因此3.设有直线Lπ：4x-2y+z-2=0，则直线L（分数：2.00）A.平行于πB.在π上．C.垂直于π．√D.与π斜交．解析：解析：由于交成直线L的两平面的法向量与π的法向量均垂直，即{1，3，2}⊥{4，一2，1} {2，一1，一10}⊥{4，一2，1} 故π的法向量与L的方向向量平行，因此直线L垂直于π．4.在曲线x=t，y=一t 2，z=t 3的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线（分数：2.00）A.只有1条．B.只有2条．√C.至少有3条．D.不存在．解析：解析：曲线x=t，y=一t 2，z=t 3的切线向量为τ={1，一2t，3t 2 ) 而平面x+2y+z=4的法线向量为 n={1，2，1} 由题设知τ⊥n，则τn=1-4t+3t 2 =0．此方程只有两个实根，所以所求切线只有两条．5.二元函数f(x，y)在点(x 0，y 0 )处两个偏导数f x "(x 0，y 0 )，f y "(x 0，y 0 )存在是f(x，y)在该点连续的（分数：2.00）A.充分条件而非必要条件．B.必要条件而非充分条件．C.充分必要条件．D.既非充分条件又非必要条件．√解析：解析：多元函数在一点上连续性与偏导数存在之间没有直接关系，即“连续”未必“偏导数存在”；“偏导数存在”亦未必“连续”，所以应选(D)．6.a等于（分数：2.00）A.一1．B.0．C.1．D.2．√解析：解析：令由于Pdx+Qdy为某个函数的全微分，(a-2)x一ay=一2y，(a一2)x=(a-2)y 仅当a=2时，上式恒成立．7.(0，0)处（分数：2.00）A.连续，偏导数存在．B.连续，偏导数不存在．C.不连续，偏导数存在．√D.不连续，偏导数不存在．解析：解析：令y=kx，则当k不同时，便不同，故极限不存在，因而f(x，y)在(0，0)点处不连续，但根据偏导数的定义知同理可得 f y "(0，0)=0 由此可见，在点(0，0)处f(x，y)的偏导数存在．8.设函数f(x，y)在点(0，0)附近有定义，且f x "(0，0)=3，f y "(0，0)=1，则（分数：2.00）B.曲面z=f(x，y)在点(0，0，f(0，0))的法向量为{3，1，1}．C.(0，0，f(0，0))的切向量为{1，0，3}．√D.(0，0，f(0，0))的切向量为{3，0，1}．解析：解析：曲线的参数方程为(0，0，f(0，0))的切向量为 {1，0，f x "(0，0))={1，0，3}9.考虑二元函数的下面4条性质：①f(x，y)在点(x 0，y 0 )处连续；②f(x，y)在点(x 0，y 0 )处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微；④f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数存在．若用“P→Q”表示可由性质P推出性质Q，则有（分数：2.00）A.②→③→①√B.③→②→①C.③→④→①D.③→①→④解析：解析：由于f(x，y)在点(x 0，y 0 )处的两个偏导数连续是f(x，y)在点(x 0，y 0 )处可微的充分条件，而f(x，y)在点(x 0，y 0 )可微是f(x，y)在点(x 0，y 0 )处连续的充分条件，故应选(A)．10.已知函数f(x，y)在点(0，0)（分数：2.00）A.点(0，0)不是f(x，y)的极值点．√B.点(0，0)是f(x，y)的极大值点．C.点(0，0)是f(x，y)的极小值点．D.根据所给条件无法判断点(0，0)是否为f(x，y)的极值点．解析：解析：由f(x，y)在点(0，0)的连续性及知f(0，0)=0．且f(x，y)一xy+(x 2+y 2 ) 2 +a(x 2 +y 2 ) 2令y=x，得 f(x，x)=x 2 +4x 4 +4ax 4 =x 2 +o(x 2 ) 令y=一x，得 f(x，一x)=一x 2 +4x 4 +4ax 4 =一x 2 +o(x 2 ) 从而f(x，y)在(0，0)点的邻域内始终可正可负，又f(0，0)=0，由极值定义可知f(x，y)在(0，0)点没有极值，故应选(A)．二、填空题(总题数：11，分数：22.00)11.与两直线及 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：x-y+z=0．）一1*(x—0)+1*(y—0)一1*(z—0)=0 即 x—y+z=012.过点M(1，2，一1)垂直的平面方程是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：x一3y一z+4=0）解析：解析：{一1，3，1}．该向量是所求平面的一个法向量，所求平面过点M(1，2，一1)，则所求平面为一(x一1)+3(y一2)+(z+1)=0 即 x一3y—z+4=013.已知两条直线的方程是L 1且平行于L 2的平面方程是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：x一3y+z+2=0．）解析：解析：平面过直线L 1，则过L 1上的点(1，2，3)；平面的法向量n既垂直于L 1，又垂直于L 2，则可取则所求平面为 (x一1)一3(y一2)+(z一3)=0 即 x一3y+z+2=014.设(a×b)·c=2，则[(a+b)×(b+c)]·(c+a)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：[(a+b)×(b+c)]*(c+a)=[(a+b)×b]*(c+a)+[(a+b)×c]*a=(a×b)*c+(b×c)*a=(a×b)*c+(a×b)*c=415.设一平面经过原点及(6，一3，2)，且与平面4x—y+2z=8垂直，则此平面方程为 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2x+2y一3z=0．）解析：解析：设M(x，y，z)是所求平面上任一点，则向量{x，y，z}，{6，一3，2)以及向量{4，一1，2)即 2x+2y一3z=016.点(2，1，0)到平面3x+4y+5z=0的距离d= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）17.已知曲面z=4一x 2一y 2上点P处的切平面平行于平面2x+2y+z一1=0，则点P的坐标是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：(1，1，2)．）解析：解析：设P点的坐标为(x 0，y 0，z 0 )，则曲面在P点的法向量为 n={一2x 0，一2y 0，一1}又因为切平面平行于平面2x+2y+z-1=0，则从而可得x 0 =1，y 0 =1．代入曲面方程解得z 0 =2．18.z=z(x，y)在点(1，0，一1)处的全微分dz= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由隐函数求导法求出19.由曲线绕y 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：旋转面方程为3(x 2 +z 2 )+2y 2 =12 令 F(x，y，z)=3(x 2 +z 2 )+2y 2一12=0 则 F x "=6x，F y "=4y，F z "=6z 从而所得旋转面在点处向外侧的法向量为20.曲面z—e x +2xy=3在点(1，2，0)处的切平面方程为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2x+y一4=0）解析：解析：令F(x，y，z)=z—e z +2xy一3 则 F x "=2y，F z "=1一e z，F y "=2x 曲面z—e z +2xy=3在点(1，2，0)处的法向量为 n={4，2，0} 故所求切平面方程为4(x一1)+2(y一2)=0 即 2x+y一4=021.设，则在点 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）三、解答题(总题数：22，分数：46.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
[考研类试卷]考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编20.doc
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[考研类试卷]考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编20一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 (00年)设S：x2+y2+z2=a2(z≥0)，S1为S在第一卦限中的部分，则有二、填空题2 (93年)设数量场则div(gradu)=________．3 (94年)设区域D为x2+y2≤R2，则4 (98年)设l是椭圆其周长记为a，则(2xy+3x2+4y2)ds=_______．5 (01年)设则div(gradr)|(1,-2,2)=________．6 (01年)交换二次积分的积分次序：∫-10dy∫21-y f(x，y)dx=______．7 (04年)设L为正向圆周x2+y2=2在第一象限中的部分，则曲线积分∫L xdy一2ydx 的值为______三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
8 (91年)在过点O(0，0)和A(π，0)的曲线族y=asinx(a＞0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从O到A的积分∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy 的值最小．9 (92年)计算曲面积分其中∑为上半球面的上侧．10 (92年)在变力F=yzi+xzj+xyk的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面=1上第一卦限点M(ξ，η，ζ)，问当ξ，η，ζ取何值时，力F所作的功W最大?并求出W的最大值．11 (93年)计算2xzdydz+yzdzdx-z2dxdy。
其中∑是由曲面z=所围立体表面的外侧．12 (94年)计算曲面积分，其中S是由曲面x2+y2=R2及两平面z=R，z=-R(R＞0)所围成立体表面的外侧．13 (95年)设函数f(x)在区间[0，1]上连续，并设∫01f(x)dx=A，求∫01dx∫x1f(x)f(y)dy．14 (95年)计算曲面积分其中∑为锥面在柱体x2+y2≤2x内的部分．15 (95年)设函数Q(x，y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分∫L2xydx+Q(x，y)dy与路径无关，并且对任意t恒有∫(0,0)(t,1)2xydx+Q(x，y)dy=∫(0,0)(1,t)2xydx+Q(x，y)dy 求Q(x，y)．16 (96年)计算曲面积分(2x+z)dydz+zdxdy，其中S为有向曲面z=x2+y2(0≤z≤1)，其法向量与z轴正向的夹角为锐角．17 (97年)计算I=(x2+y2)dv，其中Ω为平面曲线绕z轴旋转一周形成的曲面与平面z=8所围成的区域．18 (97年)计算曲线积分(z一y)dx+(x—z)dy+(x—y)dz，其中c是曲线从z轴正向往z轴负向看c的方向是顺时针方向．19 (98年)确定常数λ，使在右半平面x＞0上的向量A(x，y)=2xy(x4+y2)λi—x2(x4+y2)λj为某二元函数u(x，y)的梯度，求u(x，y)．20 (98年)计算其中∑为下半球面的上侧，a为大于零的常数．21 (99年)求I=∫L(e x siny一b(x+y))dx+(e x cosy—ax)dy，其中a，b为正的常数,L为从点A(2a，0)沿曲线y=到点O(0，0)的弧．22 (99年)设S为椭球面的上半部分，点P(x，y，z)∈S，π为S在点P处的切平面，ρ(x，y，z)为点O(0，0，0)到平面π的距离，求23 (00年)计算曲线积分其中L是以点(1，0)为中心、R为半径的圆周(R＞1)取逆时针方向．24 (00年)设有一半径为R的球体，P0是此球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P0距离的平方成正比(比例常数k＞0)，求球体的重心位置．25 (01年)设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程z=h(t)一(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0．9)，问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少小时?26 (01年)计算I=(y2一z2)dx+(2z2一x2)dy+(3x2一y2)dz，其中L是平面x+y+z=2与柱面|x|+|y|=1的交线，从z轴正向看去，L为逆时针方向．27 (02年)计算二重积分，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}．28 (02年)设函数f(x)在(一∞，+∞)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y＞0)内的有向分段光滑曲线，其起点为(a，b)，终点为(c，d)．记(1)证明曲线积分I与路径L无关；(2)当ab=cd时，求I的值．29 (03年)已知平面区域D=((x，y)|0≤x≤π，0≤y≤π}，L为D的正向边界．试证：30 (03年)设函数f(x)连续且恒大于零，其中Ω(t)={(x，y，z)|x2+y2+z2≤t2}，D(t)={(x，y)|x2+y2≤t2}，(1)讨论F(t)在区间(0，+∞)内的单调性．(2)证明当t＞0时，F(t)＞。
高数考研真题及答案
高数考研真题及答案考研是很多学子们为了继续深造而迈出的大步，而高数作为考研数学科目中的重点，是许多考生们的难点和挑战。
为了帮助考生更好地备战高数考试，本文将提供一些高数考研真题及答案，供考生们参考和复习。
一、选择题1. 已知函数 f(x) = x³ - 3x² + 2x + 4，求其在 x = 2 处的导数。
A. -1B. 0C. 1D. 2答案：C解析：对函数 f(x) 进行求导，得到 f'(x) = 3x² - 6x + 2，将 x = 2 代入f'(x)，得到 f'(2) = 3(2)² - 6(2) + 2 = 12 - 12 + 2 = 2，故选 C。
2. 设数列 {an} 的通项公式为 an = 1/(2^n)，则该数列的收敛性为：A. 收敛B. 发散C. 无法判断答案：A解析：当 n 趋向于无穷大时，2^n 无穷大，所以 an = 1/(2^n) 趋向于0，故该数列收敛，选 A。
二、填空题1. 设 f(x) = 2x^2 - kx + 5，若 f(x) 恰有一个实根，则 k 的取值范围为______。
答案：[-5, 5]解析：对于 f(x) 恰有一个实根的情况，根据韦达定理可知Δ = k^2 -4ac = 0，即 k^2 - 4(2)(5) = 0，解得k = ±√40，故 k 的取值范围为 [-√40, √40]，约化后得到 [-5, 5]。
2. 设二重积分∬D (x^2 + y^2) dxdy，其中 D 为x^2 + y^2 ≤ 4 的区域，求该二重积分的值为______。
答案：16π解析：将二重积分转换为极坐标形式，即∬D (x^2 + y^2) dxdy = ∫[0,2π] ∫[0, 2] (r^2)rdrdθ，计算积分得 16π。
三、解答题1. 求函数 f(x) = x^3 - 3x + 2 的驻点和拐点。
高数考研试题及答案
高数考研试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求其在x=1处的导数。
A. 1B. -1C. 3D. -3答案：C2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：B3. 以下哪个选项是洛必达法则的应用？A. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)B. 求导数 f'(x)C. 求不定积分∫f(x)dxD. 求定积分∫(a,b) f(x)dx答案：A4. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求lim(n→∞) an。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2+2x+3，求f(-1)的值为_________。
答案：22. 计算二重积分∬(D) xy dA，其中D为x^2+y^2≤1的区域。
答案：π/23. 已知级数∑(n=1 to ∞) 1/n^2收敛，求其和的上限为_________。
答案：π^2/64. 设矩阵A=| 1 2 |，B=| 3 4 |，求AB的乘积的行列式值为_________。
| 5 6 | | 7 8 |答案：-1三、解答题（每题30分，共60分）1. 求函数y=e^x - x^2在区间(0,1)上的最大值。
答案：首先求导数y'=e^x - 2x，令y'=0，解得x=ln2。
在x=0和x=1处，y'>0，说明函数在(0,ln2)上单调递增，在(ln2,1)上单调递减。
因此，函数在x=ln2处取得最大值，最大值为e^(ln2) - (ln2)^2 = 2 - ln2^2。
2. 求曲线y=x^3在点(1,1)处的切线方程。
答案：首先求导数y'=3x^2，代入x=1，得到y'|_(x=1)=3。
因此，切线的斜率为3。
利用点斜式方程y-y1=m(x-x1)，代入点(1,1)和斜率3，得到切线方程为y-1=3(x-1)，即3x-y-2=0。
考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．曲线A．没有渐近线．B．仅有水平渐近线C．仅有铅直渐近线．D．既有水平渐近线也有铅直渐近线．正确答案：D解析：因为，则原曲线有水平渐近线y=1，又，则原曲线有铅直渐近线x=0，所以应选(D)．知识模块：高等数学2．设f(x)==x3+x4，则当x→0时，f(x)是g(x)的A．等价无穷小．B．同阶但非等价无穷小．C．高阶无穷小．D．低阶无穷小．正确答案：B解析：则应选(B)．知识模块：高等数学3．设周期函数f(x)在(一∞，+∞)内可导，周期为4，又，则曲线y=f(x)在点(5，f(5))处的切线斜率为A．B．0．C．一1．D．一2．正确答案：D解析：则f’(1)=一2，由f’(x)周期性知，f’(5)=f’(1)=一2故应选(D)．知识模块：高等数学4．设在区间[a，b]上f(x)＞0，f’(x)＜0，f”(x)＞0，令S1=，S2=f(b)(b一a)，S3=则A．S1＜S2＜S3．B．S2＜S1＜S3．C．S3＜S1＜S2．D．S2＜S3＜S1．正确答案：B解析：由题设可知，在[a，b]上，f(x)＞0单调减，曲线y=f(x)上凹，如图1．4．S1表示y=f(x)和x=a，x=b及x轴围成曲边梯形面积，S2表示矩形abBC的面积，S3表示梯形AabB的面积．由图1．4可知，S2＜S1＜S3．故应选(B)．知识模块：高等数学5．若f(一x)=f(x)，(一∞＜x＜+∞)，在(一∞，0)内f’(x)＞0，且f”(x)＜0，则在(0，+∞)内A．f’(x)＞0，f”(x)＜0．B．f’(x)＞0，f”(x)＞0．C．f’(x)＜0，f’(x)＜0．D．f’(x)＜0，f”(x)＞0．正确答案：C解析：由f(-x)=f(x)知，f(x)为偶函数，而由在(一∞，0)内f’(x)＞0，且f”(x)＜0知在(一∞，0)内，y=f(x)的图形下凹单调增，则如图1．5可知，f(x)在(0，+∞)内，f’(x)＜0，f”(x)＜0，则应选(C)．知识模块：高等数学6．设随机变量X的密度函数是φ(x)，且φ(一x)=φ(x)，F(x)是X的分布函数，则对任意实数a，有A．B．C．F(一a)=F(a)．D．F(一a)=2F(a)一1．正确答案：B解析：由φ(一x)=φ(x)知，φ(x)为偶函数．其图形关于y轴对称，如图1．6由几何意义可知，F(一a)=S1 知识模块：高等数学7．设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0，1)和N(1，1)，则A．P{X+Y≤0}=B．P{X+Y≤1}=C．P{X—Y≤0)=D．P{X—Y≤1}=正确答案：B解析：由于独立正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态，则由正态分布的几何意义知，正态分布的密度函数关于均值左右对称，则其小于均值的概率为，则故应选(B)．知识模块：高等数学8．设函数y=f(x)具有二阶导数，且f’(x)＞0，f”(x)＞0，△x为自变量x在点x0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则A．0＜dy＜△y．B．0＜△y＜dy．C．△y＜dy＜0．D．dy＜△y＜0．正确答案：A解析：令f(x)=x2，在(0，+∞)上，f’(x)=2x＞0，f”(x)=2＞0，以x0=1，则dy=2△x，△y=f(1+△x)一f(1)=(1+△x)2一12=2△x+(△x)2由于△x＞0，则0＜dy ＜△y，从而(B)(C)(D)均不正确，故应选(A)．知识模块：高等数学9．设函数u(x，y)=φ(x+y)+φ(x—y)+，其中φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有A．B．C．D．正确答案：B解析：令φ(x)=x2，ψ(x)≡0则u(x，y)=(x+y)2+(x—y)2=2x2+2y2．那么，由此可知，选项(A)(C)(D)均不正确，故应选(B)．知识模块：高等数学10．设f(x)为连续函数，F(t)=，则F’(2)等于A．2f(2)．B．f(2)．C．一f(2)．D．0．正确答案：B解析：令f(x)≡1，则F’(t)=2t—l—t=t一1，F’(2)=2—1=1显然(A)(C)(D)均不正确，故应选(B)．知识模块：高等数学11．设函数f(x)在区间(一δ，δ)内有定义，若当x∈(一δ，δ)时，恒有｜f(x)｜≤x2，则,x=0必是f(x)A．间断点．B．连续而不可导的点．C．可导的点，且f’(0)=0．D．可导的点，且f’(0)≠0．正确答案：C解析：令f(x)=x3，显然x∈(一δ，δ)时，｜f(x)｜=｜x3｜≤x3．且f’(x)=3x2，f’(0)=0，则(A)(B)(D)均不正确，故应选(C)．知识模块：高等数学12．已知f(x)在x=0某邻域内连续，且f(0)=0，=2，则在点x=0处f(x)A．不可导．B．可导且f’(x)≠0．C．取得极大值．D．取得极小值．正确答案：D解析：由于当x→0时，1一cosx～，所以令f(x)=x2，则f(x)符合原题设条件．而f(x)=x2在x=0处可导，f’(0)=0，取极小值，则(A)(B)(C)均不正确，故应选(D)．知识模块：高等数学13．设f(x)的导数在x=a处连续，又=一1，则A．x=a是f(x)的极小值点．B．x=a是f(x)的极大值点．C．(a，f(a))是曲线y=f(x)的拐点．D．x=a不是f(x)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点．正确答案：B解析：若取f’(x)=一(x一a)，即令f(x)=，则显然f(x)符合原题条件，f(x)=一(x一a)2在x=0取极大值，且(a，f(a))也不是y=一(x一a)2的拐点，则(A)(C)(D)均不正确，故应选(B)．知识模块：高等数学14．设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则A．当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数．B．当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数．C．当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数．D．当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数．正确答案：A解析：令f(x)=cosx+1，F(x)=sinx+x+1．显然f(x)是偶函数，周期函数，但F(x)不是奇函数，也不是周期函数，则(B)(C)均不正确．若令f(x)=x，F(x)=，则f(x)单调增，但F(x)不单调增，因此，(D)也不正确，故应选(A)．知识模块：高等数学15．设f(x)处处可导，则A．B．C．D．正确答案：A解析：令f(x)=x，则f’(x)≡1则(B)和(D)均不正确若令f(x)=x2，则f’(x)=2x 所以(C)也不正确，故应选(A)．知识模块：高等数学16．设f(x)有连续导数，f(0)=0，f’(0)≠0，F(x)=，且当x→0时，F’(x)与xk是同阶无穷小，则k等于A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：由f(0)=0，f’(0)≠0．取f(x)=x则F’(x)=x3．由x→0时，F’(x)与xk 是同阶无穷小，知k=3，从而，(A)(B)(D)均不正确，故应选(C)．知识模块：高等数学17．设f(x)在x=a处可导，则等于A．f’(a)．B．2f’(a)．C．0D．f’(2a)．正确答案：B解析：令f(x)=x，则但f’(x)=1，从而f’(a)=f’(2a)=1，则(A)(C)(D)均不正确，故应选(B)．知识模块：高等数学18．若连续函数f(x)满足关系式则f(x)等于A．exln2B．e2xln2．C．ex+ln2．D．e2x+ln2．正确答案：B解析：由f(x)=知f(0)=ln2 (1)f’(x)=2f(x) (2)显然(C)(D)选项不符合(1)式，(A)选项不符合(2)式，故应选(B)．知识模块：高等数学19．设f(x)和φ(x)在(一∞，+∞)内有定义，f(x)为连续函数，且f(x)≠0，φ(x)有间断点，则A．φ[f(x)]必有间断点．B．[φ(x)]2必有间断点．C．f[φ(x)]必有间断点．D．必有间断点．正确答案：D解析：令显然f(x)和φ(x)符合原题条件，而φ[f(x)]=1，φ2(x)=1，f[φ(x)]=2均无间断点，则(A)(B)(C)均不正确，故应选(D)．知识模块：高等数学20．若f(x)=一f(一x)，在(0，+∞)内，f’(x)＞0，f”(x)＞0，则f(x)在(一∞，0)内A．f’(x)＜0，f”(x)＜0B．f’(x)＜0，f”(x)＞0C．f’(x)＞0，f”(x)＜0D．f’(x)＞0，f”(x)＞0正确答案：C解析：由原题设可令f(x)=x3，显然f(x)符合原题条件，而在(一∞，0)内，f’(x)=3x2＞0，f”(x)=6x＜0．则(A)(B)(D)均不正确，故应选(C)．知识模块：高等数学21．设f’(x0)=f”(x0)=0，f’’’(x0)＞0，则下列选项正确的是A．f’(x0)是f’(x)的极大值．B．f(x0)是f(x)的极大值．C．f(x0)是f(x)的极小值．D．(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点．正确答案：D解析：由题设f’(x0)=f”(x0)=0，f’’’(x0)＞0．可令f(x)=(x—x0)3显然此f(x)符合原题条件，而f’(x)=3(x—x0)2显然f’(x0)是f’(x)极小值而不是极大值，则(A)不正确，又f(x0)=0，而在x0任何邻域内f(x)可正也可负，从而f(x0)不是f(x)的极值点，因此(B)和(C)也不正确，故应选(D)．知识模块：高等数学22．设f(x)连续，则=A．xf(x2)．B．一xf(x2)．C．2xf(x2)．D．一2xf(x2)．正确答案：A解析：令f(x)≡1，则=x显然(B)(C)(D)均不正确，故应选(A)．知识模块：高等数学23．设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(x)＞0，则方程=0在开区间(a，b)内的根有A．0个．B．1个．C．2个．D．无穷多个．正确答案：B解析：由题设条件，可令f(x)≡1，此时方程=0变为(x—a)+(x一b)=0，即2x一(a+b)=0．该方程在(a，b)内有且仅有一个实根x=，则(A)(C)(D)均不正确，故应选(B)．知识模块：高等数学24．设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f’(0)存在，则函数g(x)=A．在x=0处，左极限不存在．B．有跳跃间断点x=0．C．在x=0处，右极限不存在．D．有可去间断点x=0．正确答案：D解析：令f(x)=x，显然f(x)满足原题条件，而g(x)=．显然(A)(B)(C)均不正确，故应选(D)．知识模块：高等数学25．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则A．当m＞n时，必有行列式｜AB｜≠0B．当m＞n时，必有行列式｜AB｜=0C．当n＞m时，必有行列式｜AB｜≠0D．当n＞m时，必有行列式｜AB｜=0正确答案：B解析：用排除法：当m＞n时，若A=，B=[3，4]，则有｜AB｜==0，故(A)不对；当n＞m时，若A=[1 2]，B=，则有｜AB｜=0，故(C)不对；当n＞m时，若A=[1 2]，B=，则有｜AB｜=3≠0，故(D)不对；因此，只有(B)正确．知识模块：高等数学26．设有向量组α1=(1，一1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，一2，2，0)，α5=(2，1，5，10)．则该向量组的极大无关组是A．α1，α2，α3．B．α1，α2，α4．C．α1，α2，α5．D．α1，α2，α4，α5．正确答案：B解析：观察易知α3=3α1+α2，α5=2α1+α2故(A)(C)都是线性相关组，(A)(C)都不对．当(C)组线性相关时，(D)组也线性相关，故(D)也不对，于是只有(B)正确．知识模块：高等数学27．设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是矩阵A的伴随矩阵，则(A*)*等于A．｜A｜n-1A．B．｜A｜n+1A．C．｜A｜n-2A．D．｜A｜n+2A．正确答案：C解析：令A=，显然A符合原题条件，由伴随矩阵定义易知而｜A｜=2，则｜A｜n-1=2，｜A｜n+1=8，｜A｜n+2=16．故(A)(B)(D)均不正确，故应选(C)．知识模块：高等数学填空题28．=__________。
考研高数试题及答案
考研高数试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x，求f'(x)。
A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^3-3D. x^3+3答案：A2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：A3. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，求a_5。
A. 17B. 15C. 13D. 11答案：A4. 设函数f(x)=x^2+2x+3，求f(-1)。
A. 4B. 2C. 0D. 1答案：A5. 求极限lim(x→0) (sin x)/x。
A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B二、填空题（每题4分，共20分）6. 设函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f'(x)=______。
答案：3x^2-12x+117. 计算定积分∫(0,2) (x^2-2x+1) dx=______。
答案：48. 设数列{a_n}满足a_1=2，a_{n+1}=a_n+n，求a_5=______。
答案：159. 设函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(1)=______。
答案：-110. 求极限lim(x→∞) (1+1/x)^x=______。
答案：e三、解答题（每题10分，共60分）11. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=11/3。
当x<1或x>11/3时，f'(x)>0；当1<x<11/3时，f'(x)<0。
因此，x=1是极大值点，x=11/3是极小值点。
12. 计算定积分∫(1,3) (2x-1)/(x+1) dx。
答案：首先进行积分，∫(2x-1)/(x+1) dx = ∫(2-2/(x+1)) dx = 2x - 2ln|x+1| + C。