2021高三统考数学学案第11章第3讲几何概型含解析
10.5几何概型-2021届高三数学一轮复习考点突破课件(共40张PPT)
e＝2.718 28…)内随机选取两个数，则这两个数之积小于 e 的概率为
()
2 A.e
1 B.e
C.1－2e
D.1－1e
解：设随机选取的两个数为 x，y，由题意得00＜＜xy＜＜ee，，如图， 该不等式组在坐标系中对应的区域面积为 e2，
0＜x＜e， 又不等式组0＜y＜e，在坐标系中对应的区域如图阴影部分，
A.P1>P2
B.P1＝P2
C.P1<P2
D.P1 与 P2 的大小不确定
解：若 f(x)的值域为 R，则 Δ1＝a2－4≥0，得 a≤－2 或 a≥2. 故 P1＝－4－2－（（－－3）3）＋4－4（－－23）＝37. 若 f(x)的定义域为 R，则 Δ2＝a2－4<0，得－2<a<2.
故 P2＝42－－（（－－32））＝47.所以 P1<P2.故选 C.
所以正方形 OEFG 的面积为45，则阴影部分的面积为45－π16，
所以所求的概率为45－41π6＝1－56π4 .故填 1－56π4 .
5
(2)甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼
夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为 1 h，乙船停
泊时间为 2 h，则它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率
自查自纠
1．均等的 2．长度 面积 体积 几何概率模型 几何概型 3.试验构的成全事部件结A果的构区成域的的区长域度长（度面（积面或积体或积体）积）
1.(贵州省贵阳市 2020 届高三 8 月月考)某学校星期一至星期五每
天上午共安排五节课，每节课的时间为 40 分钟，第一节课上课的时间
为 7：50～8：30，课间休息 10 分钟.某同学请假后返校，若他在
2021高考数学复习专题 古典概型与几何概型 (文 精讲)
专题11.2 古典概型与几何概型【考情分析】1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；4.了解几何概型的意义. 【重点知识梳理】 知识点一 基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 知识点二 古典概型具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型. (1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果. (2)每一个试验结果出现的可能性相同.【特别提醒】如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝mn.知识点三 古典概型的概率公式 P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数.知识点四 几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.知识点五 几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性. 知识点六 几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.【典型题分析】高频考点一 古典概型的概率计算【例1】【2020·浙江卷】盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______，()E ξ=_______． 【变式探究】(2019·天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F .享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．(ⅰ)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ⅰ)设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率．【方法规律】有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键【变式探究】(1)(2019·全国卷ⅰ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A.23B.35C.25D.15(2)(2019·全国卷ⅰ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( ) A.16 B.14 C.13D.12【变式探究】(2019·江苏卷)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ．【举一反三】(2018·天津卷)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160. 现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．ⅰ试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；ⅰ设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率． 高频考点二 综合考查古典概型与其他知识【例2】（2020·河南省焦作模拟）从集合{1,2,3,4}中随机抽取一个数a ，从集合{1,2,3}中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(2,1)共线的概率为( )A.16B.13C.14D.12【变式探究】（2020·黑龙江省大庆模拟）将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为 ．【举一反三】（2020·江苏省宿迁模拟）已知a ＝log 0.55，b ＝log 32，c ＝20.3，d ＝⎝⎛⎭⎫122，从这四个数中任取一个数m ，使函数f (x )＝13x 3＋mx 2＋x ＋2有极值点的概率为( )A.14B.12C.34D ．1高频考点三 与长度、角度有关的几何概型【例3】（2020·浙江省舟山模拟）在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为 ( )A.16 B.13 C.23D.45【方法技巧】长度、角度等测度的区分方法(1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则把题中所表示的几何模型转化为长度，然后求解．解题的关键是构建事件的区域(长度)．(2)当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，应以角度的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．【变式探究】（2020·安徽省芜湖模拟）如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在ⅰDAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为 ．高频考点四 与体积有关的几何概型【例4】（2020·江西省南昌模拟）在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )A.6πB.32πC.3πD.233π 【方法技巧】与体积有关的几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用空间几何体的体积表示，则其概率的计算公式为： P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积，求解的关键是计算事件的总体积以及事件A 的体积．【变式探究】（2020·广东省江门模拟）在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为 ．高频考点五 与面积有关的几何概型【例5】（2020·山东省淄博模拟）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A.14B.18C.38D.316【变式探究】（2020·山东省滨州模拟）已知关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，2x ＋y －4≤0，x ≥0表示的平面区域为M ，在区域M 内随机取一点N (x 0，y 0)，则3x 0－y 0－2≤0的概率为( )A.56B.34C.35D.13【举一反三】（2020·陕西省宝鸡模拟）在区间(0,2)内随机取一个实数a ，则满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥0，x －a ≤0的点(x ，y )构成区域的面积大于1的概率是( )A.18B.14C.12D.34专题11.2 古典概型与几何概型【考情分析】1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；4.了解几何概型的意义. 【重点知识梳理】 知识点一 基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 知识点二 古典概型具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型. (1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果. (2)每一个试验结果出现的可能性相同.【特别提醒】如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝m n.知识点三 古典概型的概率公式 P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数.知识点四 几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.知识点五 几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性. 知识点六 几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.【典型题分析】高频考点一 古典概型的概率计算【例1】【2020·浙江卷】盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______，()E ξ=_______． 【答案】13，1 【解析】因为0ξ=对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以1111(0)4433P ξ==+⨯=，随机变量0,1,2ξ=，212111211(1)434324323P ξ==⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 111(2)1333P ξ==--=，所以111()0121333E ξ=⨯+⨯+⨯=.【变式探究】(2019·天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F .享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．(ⅰ)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ⅰ)设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率． 【解析】(1)由已知，老、中、青员工人数之比为6ⅰ9ⅰ10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人． (2)(ⅰ)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，E }，{D ，F }，{E ，F }，共15种．(ⅰ)由表格知，符合题意的所有可能结果为{A ，B }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，F }，{E ，F }，共11种．所以，事件M 发生的概率P (M )＝1115.【方法规律】有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键【变式探究】(1)(2019·全国卷ⅰ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A.23B.35C.25D.15(2)(2019·全国卷ⅰ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( ) A.16 B.14 C.13 D.12【答案】(1)B (2)D【解析】(1)设5只兔子中测量过某项指标的3只为a 1，a 2，a 3，未测量过这项指标的2只为b 1，b 2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a 1，a 2，a 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 1，b 1，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，(a 2，b 1，b 2)，(a 3，b 1，b 2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.故选B.(2)设两位男同学分别为A ，B ，两位女同学分别为a ，b ，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为1224＝12.故选D 。
2020-2021学年人教版数学必修3配套学案：3.3.1 几何概型含解析
3．3几何概型内容标准学科素养1.理解几何概型的定义及特点.2.掌握几何概型的计算方法和求解步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题.3.与长度、角度有关的几何概型问题. 提升数学运算发展数学抽象应用数学运算[基础认识]知识点几何概型预习教材P135－136，思考并完成以下问题每逢节假日，各大型商场竞相出招，吸引顾客，其中某商场设立了一个可以自由转动的转盘，规定顾客消费100元以上，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准①，②或③区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券(转盘被等分成20个扇形)，一位顾客消费了120元．(1)这位顾客获得100元购物券的概率与什么因素有关？提示：与标注①的小扇形个数多少(面积大小)有关．(2)在该实例试验中，试验结果有多少个？其发生的概率相等吗？提示：试验结果有无穷多个，但每个试验结果发生的概率相等．(3)如何计算该顾客获得100元购物券的概率？提示：用标注①的扇形面积除以圆的面积．知识梳理 1.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的特点：(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．3．几何概型的概率公式：P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.4．当X为区间[a，b]上的任意实数，并且是等可能的，我们称X服从[a，b]上的均匀分布，X为[a，b]上的均匀随机数．[自我检测]1．如图所示，有四个游戏盘，将它们水平放稳后，向上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()解析：A中奖概率为38，B中奖概率为14，C中奖概率为13，D中奖概率为13，故选A.答案：A2．X服从[3，40]上的均匀分布，则X的值不能等于()A ．15B ．25C ．35D ．45解析：由于X ∈[3，40]，则3≤X ≤40，则X ≠45.故选D.答案：D3．在区间[－1，2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为__________．解析：∵区间[－1，2]的长度为3，由|x |≤1得x ∈[－1，1]，而区间[－1，1]的长度为2，x 取每个值为随机的，∴在[－1，2]上取一个数x ，|x |≤1的概率P ＝23.答案：23授课提示：对应学生用书第61页探究一 与长度、角度有关的几何概型[阅读教材P 136例1]某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．方法步骤：第一步，表示出事件；第二步，分析是否满足几何概型的条件；第三步，计算．[例1] 在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 大于AC 的概率．[解析] 如图，点M 随机地落在线段AB 上，故线段AB 的长度为试验的全部结果所构成的区域长度，在AB 上截取AC ′＝AC ，当点M 位于线段C ′B 上时，AM >AC ， 故线段C ′B 即为构成事件的区域长度．∴P (AM >AC )＝P (AM >AC ′)＝C ′B AB ＝1－22.方法技巧 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率．延伸探究 本例条件不变．若求AM 不大于AC 的概率，结果有无变化？解析：结果不变．几何概型中，一点在线段上的长度视为0，包含与不包含一点，不改变概率的结果．探究二 与面积有关的几何概型[例2] 某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为__________．(用数字作答)[解析] 设小王到校时间为x ，小张到校时间为y ，则小张比小王至少早到5分钟时满足x －y ≥5.如图，原点O 表示7：30，在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为400，小张比小王至少早到5分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为12×15×15＝2252，故所求概率为P＝2252400＝932.[答案]9 32方法技巧与面积有关的几何概型问题的解法：(1)如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：P(A)＝构成事件A的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积.(2)求几何概型的概率的关键是：确定试验的全部结果所构成的图形及事件A对应的图形，并求出它们的面积．跟踪探究 1.一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率．解析：如图所示，区域Ω是长30 m、宽20 m的长方形，图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域Ω的面积为30×20＝600(m2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m2)．所以P(A)＝184600＝2375.即海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率为2375.探究三与体积有关的几何概型[例3]有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，求点P到点O的距离大于1的概率．[解析]圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝12×4π3×13＝2π3；则点P到点O的距离小于或等于1的概率为2π32π＝1 3.故点P到点O的距离大于1的概率为1－13＝2 3.方法技巧与体积有关的几何概型问题的解决：(1)如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，则其概率的计算公式为：P(A)＝构成事件A的体积试验的全部结果构成的体积.(2)解决此类问题一定要注意几何概型的条件，并且要特别注意所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆．跟踪探究 2.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取点M ，求使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率．解析：如图是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，设四棱锥M －ABCD 的高为h ，由13×S ABCD ×h ＜16，又S ABCD ＝1，∴h ＜12，即点M 在正方体的下半部分．∴所求概率P ＝12V 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1V 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1＝12. 授课提示：对应学生用书第63页[课后小结]1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型．2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目．3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）. [素养培优]几何度量(长度、角度、面积或体积)的选择错误如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M .求AM <AC 的概率．易错分析 错误的原因在于选择的观察角度有问题，题目中的条件是过C 作射线CM ，错解中先在AB 上取点，将问题转化为长度之比，从而导致错误． 自我纠正 在AB 上取AC ′＝AC ，则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°. 设事件A ＝{在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM <AC }， 则所有可能结果的区域角度为90°，事件A 的区域角度为67.5°，所以P (A )＝67.5°90°＝34.。
2021年高考数学一轮复习 11.3几何概型课时达标训练 文 湘教版
2021年高考数学一轮复习 11.3几何概型课时达标训练 文 湘教版一、选择题1．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率为( )A.14B.12C.34D.23【解析】 如图，当BM ＝14BA 时，△MBC 的面积为S4，而当P 在M 、A 之间运动时，△PBC 的面积大于S 4，而MA ＝34AB ，则△PBC 的面积大于S 4的概率P ＝34AB AB ＝34，故选C.【答案】 C2．已知一只蚂蚁在边长分别为5，12，13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为( )A.45B.35C.π60D.π3【解析】 由题意可知，三角形的边长的和为5＋12＋13＝30，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行，则它爬行的区域长度为3＋10＋11＝24，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为2430＝45.故选A.【答案】 A3．(xx·北京海淀区三模)如图所示，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω.向正方形内随机撒豆子，豆子在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m ，n ，则图形Ω面积的估计值为( )A.ma nB.na mC.ma 2nD.na 2m【解析】 由题知S ΩS 正方形≈mn，所以S Ω≈m n ·S 正方形＝ma 2n ，即图形Ω面积的估计值为ma 2n.故选C.【答案】 C4．如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，则BM <1的概率为( )A.15B.25C.35D.45【解析】 ∵∠B ＝60°，∠C ＝45°， ∴∠BAC ＝75°.在Rt △ADB 中，AD ＝3，∠B ＝60°， ∴BD ＝ADtan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ， 则BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生． 由几何概型的概率公式得P (N )＝30°75°＝25，故选B. 【答案】 B5．如图，A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为( )A.12B.32C.13D.14【解析】 当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝π3，由圆的对称性及几何概型得P＝2π32π＝13.【答案】 C6．(xx·广东调研)已知Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域Ω内随机投一点P，则点P落在区域A内的概率为( ) A.13B.23C.19D.29【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x－2y＝0，x＋y＝6得D(4，2)，区域Ω为△OAB，区域A为△OCD，所求概率P ＝S△OCDS△OAB＝12×4×212×6×6＝29.【答案】 D二、填空题7．(xx·厦门模拟)向边长为2 m的正方形木框ABCD内随机投掷一粒绿豆，记绿豆落在P点，则P点到A点的距离大于1 m，同时∠DPC∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2的概率为________．【解析】由题意知P点在以DC为直径的圆外，且在以A为圆心1为半径的圆外，即P 点在如图所示的阴影部分内，则概率为P＝2×2－34π×122×2＝1－3π16.【答案】1－3π168．在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P，Q，M，N分别是线段OA，OB，OC，OD的中点．在A，P，M，C中任取一点记为E，在B，Q，N，D中任取一点记为F.设G为满足向量OG＝OE＋OF的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外(不含边界)的概率为__________．【解析】基本事件的总数是4×4＝16，在OG＝OE＋OF中，当OG ＝OP ＋OQ ，OG ＝OP ＋ON ，OG ＝ON ＋OM ，OG ＝OM ＋OQ 时，点G 分别为该平行四边形的各边的中点，此时点G 在平行四边形的边界上，而其余情况中的点G 都在平行四边形外，故所求的概率是1－416＝34.【答案】 349．如图，已知正三棱锥SABC 的底面边长为a ，高为h ，在正三棱锥内取一点M ，则点M 到底面的距离小于h2的概率P ＝________.【解析】 在SA ，SB ，SC 上取点A 1，B 1，C 1，使A 1，B 1，C 1分别为SA ，SB ，SC 的中点，则当点M 位于面ABC 和面A 1B 1C 1之间时，点M 到底面的距离小于h2.由题意，三棱锥SABC 的体积为13Sh ，三棱台A 1B 1C 1ABC 的体积为 13Sh －13·S 4·h 2＝13Sh ·78， 故P ＝78.【答案】 7810．两个CB 对讲机(CB 即CitizenBand 民用波段的英文缩写)持有者，莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机的接收范围为20 km ，在下午3：00时莉莉正在基地正东距基地30 km 以内的某处向基地行驶，而霍伊在下午3：00时正在基地正北距基地40 km 以内的某地向基地行驶，则在下午3：00时他们能够通过对讲机交谈的概率为________．【解析】 设x 和y 分别代表莉莉和霍伊距基地的距离，于是0≤x ≤30，0≤y ≤40. 他们所有可能的距离的数据构成有序点对(x ，y )，这里x ，y 都在它们各自的限制范围内，则所有这样的有序数对构成的集合即为基本事件组对应的几何区域，每一个几何区域中的点都代表莉莉和霍伊的一个特定的位置， 他们可以通过对讲机交谈的事件仅当他们之间的距离不超过20 km 时发生(如图)，因此构成该事件的点由满足不等式x 2＋y 2≤20的数对组成，此不等式等价于x 2＋y 2≤400，右图中的方形区域代表基本事件组，阴影部分代表所求事件，方形区域的面积为1 200 km 2，而事件的面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫14×π×(20)2＝100π，于是有P ＝100π1 200＝π12.【答案】π12三、解答题11．已知等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°.(1)在线段BC 上任取一点M ，求使∠CAM <30°的概率； (2)在∠CAB 内任作射线AM ，求使∠CAM <30°的概率． 【解析】 (1)设CM ＝x ，则0<x <a .(不妨设BC ＝a )．若∠CAM <30°，则0＜x ＜33a ， 故∠CAM <30°的概率为 P ＝区间⎝⎛⎭⎪⎫0，33a 的长度区间（0，a ）的长度＝33.(2)设∠CAM ＝θ，则0°<θ<45°， 若∠CAM <30°，则0°<θ<30°， 故∠CAM <30°的概率为P ＝（0°，30°）的长度（0°，45°）的长度＝23.12．(1)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(x ，y )，若x ∈[－1，2]，y ∈[－1，1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率；(2)设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.若a 是从区间[0，3]上任取的一个数，b 是从区间[0，2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【解析】 (1)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a·b <0， 即2x ＋y <0，且x ≠2y .基本事件空间为Ω＝ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，－1≤y ≤1 ， B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，－1≤y ≤1，2x ＋y <0，x ≠2y ，则由图可知，P (B )＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32×23×2＝13，即向量a ，b 的夹角是钝角的概率是13.(2)设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b . 试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3，0≤b ≤2}，即如图矩形OBCD 及内部，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3，0≤b ≤2，a ≥b }，即如图矩形内阴影部分，所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.13．已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n .(1)设集合P ＝{－2，－1，1，2，3}和Q ＝{－2，3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数y ＝mx ＋n 是增函数的概率；(2)实数m ，n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n －1≤0，－1≤m ≤1，－1≤n ≤1，求函数y ＝mx ＋n 的图象经过第一、二、三象限的概率．【解析】 (1)抽取的全部结果所构成的基本事件为：Ω＝{(－2，－2)，(－2，3)，(－1，－2)，(－1，3)，(1，－2)，(1，3)，(2，－2)，(2，3)，(3，－2)，(3，3)}共10个基本事件．设使函数为增函数的事件为A ，则A ＝{(1，－2)，(1，3)，(2，－2)，(2，3)，(3，－2)，(3，3)}共6个基本条件．所以P (A )＝610＝35.(2)m 、n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n －1≤0，－1≤m ≤1，－1≤n ≤1的区域如图所示，使函数图象过第一、二、三象限的(m 、n )的区域为第一象限的阴影部分即m ＞0，n ＞0.所以所求事件的概率为P ＝1272＝17.T20879 518F 冏24005 5DC5 巅4I21688 54B8 咸35529 8AC9 諉24898 6142 慂23920 5D70 嵰40272 9D50 鵐39825 9B91 鮑< 6。
高三数学(文)一轮复习课件：11.3几何概型
4/17/2018
【解析】 (1)由题意可知：
n 1 ，解得 n＝2. 11 n 2
(2)将标号为 2 的小球记作 a1，a2 ①两次不放回抽取小球的所有基本事件为： (0,1)， (0， a1)， (0， a2)， (1,0)，(1，a1)，(1，a2)，(a1,0)，(a1,1)，(a1，a2)，(a2,0)，(a2,1)， (a2，a1)，共 12 个， 事件 A 包含的基本事件为：(0，a1)，(0，a2)，(a1,0)，(a2,0)，共 4 个. ∴P(A)＝
（r，a]的长度 a－r a］ ．所以 P . （A）＝ ＝ [0，a]的长度 a
4/17/2018
与面积有关的几何概型
1.与面积有关的几何概型问题有两种：一是与几何图形有关； 二是一些实际问题（如会面型）可转化为面积问题，解决这两 类问题的关键是对事件 A 构成区域形状及面积的计算， 数形结 合，直观明了. 2.概率公式
1 2
B.
3 5
C.
2 5
D.
2 3
【解析】与两端都大于 0.2 m 即空竹的运行范围为(1－0.2－0.2)m ＝0.6 m，记“空竹与两端距离都大于 0.2 m”为事件 A，则所求概 率满足几何概型，即 P(A)＝ 【答案】B
1 0.2 0.2 3 . 1 5
4/17/20Biblioteka 84．如图，有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗 玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中 奖机会，应选择的游戏盘的序号是________．
4 1 . 12 3
4/17/2018
【变式训练】
1.如图，平面上画了两
条平行且相距 2a 的平行线． 把一枚半径 r<a 的硬币任意投掷在这个平面上，假 设硬币一直在两平行线之间，求硬币不 与任一条平行线相碰的概率.
2021年高考数学总复习 第11章 第6节 几何概型课时跟踪检测 理(含解析)新人教版
2021年高考数学总复习 第11章 第6节 几何概型课时跟踪检测 理（含解析）新人教版1．(xx·宝鸡检测)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A.14 B.13 C.12D.23解析：选C 易知点P 在△ABC 中BC 边中线的中点处，∴S △PBC ∶S △ABC ＝12，即所求概率为12.2．(xx·湛江测试)在线段AB 上任取一点P ，以P 为顶点，B 为焦点作抛物线，则该抛物线的准线与线段AB 有交点的概率是( )A.13 B.12 C.23D.34解析：选B 由题意，要使该抛物线的准线与线段AB 有交点，则需使点P 在线段AB 的中点与B 之间，故由几何概型得，所求概率为P ＝12.故选B.3．(xx·石家庄模拟)现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7 527 0 293 7 140 9 857 0 347 4 373 8 6366 947 1 417 4 698 0 371 6 233 2 616 8 045 6 011 3 6619 597 7 424 7 610 4 281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A ．0.85 B ．0.8 C ．0.7D ．0.75解析：选D 因为射击4次至多击中2次对应的随机数组为7 140,1 417,0 371,6 011,7 610，共5组，所以射击4次至少击中3次的概率为1－520＝0.75，故选D.4．(xx·莆田模拟)任意画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正方形，依此类推，这样一共画了4个正方形，如图所示，若向图形中随机投一点，则所投点落在第四个正方形中的概率是( )A.24B.14 C.18D.116解析：选C 依题意可知，第四个正方形的边长是第一个正方形边长的24倍，所以第四个正方形的面积是第一个正方形面积的18倍，由几何概型可知，所投点落在第四个正方形中的概率为18，故选C.5．(xx·郑州质检)已知函数f (x )＝ax 2－bx －1，其中a ∈(0,2]，b ∈(0,2]，在其取值范围内任取实数a ，b ，则函数f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数的概率为( )A.12 B.13 C.23D.34解析：选D 由f ′(x )＝2ax －b ＞0得x ＞b 2a ，从而b2a ≤1，即b ≤2a .因为点集(a ，b )在区域a ∈(0,2]，b ∈(0,2]中，故可行区域的面积为S ＝4，而满足条件b ≤2a 的区域面积为S ′＝4－12×2×1＝3，从而所求概率为P ＝34.故选D.6.(xx·湖北七市联考)如图，矩形OABC 内的阴影部分由曲线f (x )＝sin x (x ∈(0，π))及直线x ＝a (a ∈(0，π))与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为316，则a 的值为( )A.7π12B.2π3C.3π4D.5π6解析：选B 依题意，阴影部分的面积为⎪⎪⎠⎛0asin x d x ＝－cos x a0＝－cos a ＋cos 0＝1－cos a ，由几何概型知1－cos a a ·8a＝316，整理得cos a ＝－12，而a∈(0，π)，故a ＝2π3.故选B . 7．在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率为________．解析：1－π6 半径为1的球的体积是43π，正方体的体积是8，故所求的概率是1－4π38＝1－π6.8．(xx·广州名校联考)已知△ABC 的面积等于S ，在△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积不小于S7的概率等于________．解析：67 依题意得，记当点P 0在边AB 上时，△P 0BC 的面积等于S 7，此时P 0B AB ＝17，因此要使△PBC 的面积不小于S 7，只要点P 位于点P 0与点A 之间即可，因此所求概率为67.9．(xx·湛江测试)点P 是圆x 2＋y 2＋2x －3＝0上任意一点，则点P 在第一象限内的概率为________．解析：16圆x 2＋y 2＋2x －3＝0化为标准方程是(x ＋1)2＋y 2＝4，如图所示．由cos ∠ACB＝OC BC ＝12，得∠ACB＝π3，故由几何概型得点P 在第一象限内的概率为P ＝π3×22π×2＝16. 10．已知集合Ω＝{(x ，y)|x ＋y≤6，x≥0，y≥0}，A ＝{(x ，y)|x≤4，y ＞0，x －y 2≥0}，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率是________．解析：827 因Ω的测度为S ＝12×6×6＝18，A 的测度为S′＝⎪⎪⎪⎠⎛04x d x ＝23x 3240＝163，故所求概率P ＝163÷18＝827. 11．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率． 解：(1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .基本事件空间为Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；其中事件A 包含2个基本事件，即(0,0)，(2,1)． 所以P (A )＝212＝16，即向量a ∥b 的概率为16.(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a ·b ＜0，即2x ＋y ＜0且x ≠2y .基本事件构成的平面区域为Ω＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2－1≤y ≤1， 事件B 包含的基本事件构成的平面区域为＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2－1≤y ≤12x ＋y ＜0x ≠2y， 由几何概型知P (B )＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32×23×2＝13，所以向量a ，b 的夹角是钝角的概率是13.12．已知集合A ＝{x |x 2＋3x －4＜0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋2x －4＜0. (1)在区间(－4,5)上任取一个实数x ，求“x ∈A ∩B ”的概率；(2)设(a ，b )为有序实数对，其中a ，b 分别是集合A ，B 中任取的一个整数，求“a －b ∈A ∪B ”的概率．解：(1)由已知，得A ＝{x |x 2＋3x －4＜0}＝{x |－4＜x ＜1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋2x －4＜0＝{x |－2＜x ＜4}，显然A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1}．设事件“x ∈A ∩B ”的概率为P 1，由几何概型的概率公式，得P 1＝39＝13.(2)依题意，(a ，b )的所有可能的结果一共有以下20种：(－3，－1)，(－3,0)，(－3,1)，(－3,2)，(－3,3)，(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(－1,3)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，又A ∪B ＝{x |－4＜x ＜4}，因此“a －b ∈A ∪B ”的所有可能的结果一共有以下14种：(－3，－1)，(－3,0)，(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)．所以“a －b ∈A ∪B ”的概率P 2＝1420＝710.1．如图所示，图2中实线围成的部分是长方体图1的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向图2中虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是________．解析：3 设题图1长方体的高为h ，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P ＝2＋4h 2h ＋22h ＋1＝14，解得h ＝3或h ＝－12(舍去)，故长方体的体积为1×1×3＝3.2．(xx·江门模拟)如图，在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内(含正方体表面)任取一点M，则AA→1·AM→≥1的概率P＝________.解析：34由AA→1·AM→＝2|AM→|cos ∠MAA1≥1，得|AM→|cos ∠MAA1≥12，它表示AM→在AA1上的正投影长大于或等于12，从而所求概率为P＝2×2×⎝⎛⎭⎪⎫2－122×2×2＝34.3.(xx·福建质检)如图所示，A1，A2，…，A m－1(m≥2)将区间 [0,1]m等分，直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝e x所围成的区域为Ω1，图中m个矩形构成的阴影区域为Ω2.在Ω1中任取一点，则该点取自Ω2的概率等于________．解析：1m e1m－1依题意，阴影区域Ω2的面积为：SΩ2＝1m(1＋e1m＋e2m＋…＋em－1m)＝1m·1－e1mm1－e1m＝e－1m e1m－1；区域Ω1的面积为：SΩ1＝⎠⎛1e x d x＝e－1，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率P＝SΩ2SΩ1＝e－1m e1m－1e－1＝1m e1m－1.4．某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一，高二，高三各代表队的人数分别为120,120，n.为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．(1)求n 的值；(2)把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a ，b ，c ，d ，e ，f ，现随机从中抽取2人上台抽奖，求a 和b 至少有一人上台抽奖的概率；(3)抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1]之间的均匀随机数x ，y ，并按如图所示的程度框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．解：(1)由题意，得6120＝20120＋120＋n，解得n ＝160.(2)设高二代表队6人中随机抽取2人的所有基本事件如下：(a ，b)，(a ，c)，(a ，d)，(a ，e)，(a ，f)，(b ，c)，(b ，d)，(b ，e)，(b ，f)，(c ，d)，(c ，e)，(c ，f)，(d ，e)，(d ，f)，(e ，f)，共15种．设“高二代表队中a 和b 至少有一人上台抽奖”为事件M ，其中事件M 的基本事件有9种，则P(M )＝915＝35.(3)由已知0≤x ≤1,0≤y ≤1，点(x ，y)落在如图所示的正方形OABC 内，由条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1≤0，0≤x ≤1，0≤y ≤1，得到的区域为图中的阴影部分．由2x －y －1＝0，令y ＝0，得x ＝12，令y ＝1，得x ＝1.所以在(x ，y )∈[0,1]时满足2x －y －1≤0的区域的面积S 阴＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12×1＝34.设“该代表获得奖品”为事件N ，则该代表获得奖品的概率为P (N )＝341＝34.28266 6E6A 湪40852 9F94龔20229 4F05 伅 34155 856B 蕫38004 9474 鑴 30498 7722 眢 M 35325 89FD 觽30583 7777 睷21206 52D6 勖8。
高考数学大一轮复习 第十一章 概率 11.3 几何概型教师用书 文 新人教版(2021年最新整理)
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新人教版1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型中，事件A的概率的计算公式P(A)＝错误!.3．几何概型试验的两个基本特点（1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；（2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．4．随机模拟方法（1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．（2）用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率f n（A）＝错误!作为所求概率的近似值．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×"）（1）在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √）（2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一点被取到的机会相等．（√）(3）在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．（√）（4）随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．（√）(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．（×）（6）从区间[1，10]内任取一个数，取到1的概率是P＝错误!.（×)1．(教材改编）在线段[0，3］上任投一点,则此点坐标小于1的概率为( ）A.错误! B。
[学案+作业]高三数学文科一轮 第十一章 概率 第72课 几何概型学案与教案(教师版)
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几何概型学案与教案1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度、面积、体积 ， 则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的特点 ①无限性每次试验的基本事件个数是的． ②等可能性每个事件的发生的概率是的． 3．几何概型的计算公式()A P A =构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）．考点1 与长度或角度有关的几何概型【例1】在ABC ∆中，60ABC ∠= ，2AB =，3BC =，在BC 上任取一点D ，使ABD∆为钝角三角形的概率为（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．23【答案】B【解析】如图，易求得11BA =， ∴113BA P BC ==． 【变式】（2013昌平二模）在区间[]0,π上随机取一个数x ，则事件“1tan cos 2x x ≥g ”发生的概率为（ ） A ．13 B ． 12 C ．23 D ． 34【答案】C【解析】∵1tan cos 2x x ⋅≥，∴1sin 2x ≥， ∵[]0,x π∈，∴5,]66x ππ∈[，∴52663P πππ-==． 考点2 与体积有关的几何概型【例2】有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱ABCDA 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为． 【答案】23【解析】221412231123P ππ⨯⨯=-=⨯⨯．【变式】(2013江门一模）如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -内（含正方体表面）任取一点M ，则11AA AM ⋅≥的概率P =． 【答案】43【解析】设1,AA AM θ<>= ，11AA AM ⋅≥，∴1cos 1AA AM θ⋅≥ ，1cos 2AM θ≥ ，∵cos AM θ 表示AM 在1AA 上的投影，点M 的轨迹如图阴影部分： ∴11111111322322224A B C D EFGH A B C D ABCDV P V --⨯⨯===⨯⨯． 考点3 与面积有关的几何概型【例3】（2013四川高考）节日里某家房前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯再以4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ） A ．14B ．12C ．34D ．78【答案】C【解析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，由题意可得04,04x y ≤≤≤≤，由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比， 由图可知所求的概率为：11622232164P -⨯⨯⨯==．【变式】设关于x 的一元二次函数2()41(,)f x ax bx a b R =-+∈．1C C 1A 1（1）设集合{1,2,4}P =和{1,1,2}Q =-，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为函数()f x 中a 和b 的值，求函数)(x f y =有且只有一个零点的概率；（2）设点(,)a b 是随机取自平面区域24000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的点，求函数()y f x =在区间(,1]-∞上是减函数的概率.【解析】（1）要使函数)(x f y =有且只有一个零点，当且仅当21640b a ∆=-=，即24a b =．分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，可以是(1,1),(1,1),-(1,2),(2,1),-(2,1),(2,2),(4,1),(4,1),(4,2)-共9个基本事件，其中满足24a b =的事件有(4,1),(4,1)-共2个， ∴所求事件的概率为29. （2） 函数14)(2+-=bx ax x f 的图象的对称轴为,2ab x =由函数()y f x =在区间(,1]-∞上是减函数，得2a b ≤且0a >， 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为240(,)00a b a b a b ⎧⎫+-≤⎧⎪⎪⎪>⎨⎨⎬⎪⎪⎪>⎩⎩⎭， 即三角形区域AOB .且点(2,0)A ，点(0,4)B ． 构成所求事件的区域为三角形区域BOC （如图）.由24084(,)255a b C a b+-=⎧⇒⎨=⎩，∴所求事件的概率为1844255422BOC AOBS P S ∆∆⨯⨯===⨯⨯．几何概型课后作业1．（2013海淀二模）如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω． 向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m ，n ，则图形Ω面积的估计值为（ ） A ．ma nB ．namC ．2ma nD ．2na m【答案】C2．（2013宁夏一模）在球内任取一点,则点在球的内接正方体中的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D3．（2013陕西高考）如图, 在矩形区域ABCD 的,A C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是（ ）A ．14π-B ．12π-C ．22π-D ．4π【答案】A【解析】211211214P ππ⋅=-=-⨯．4．(2013韶关一模）设不等式组002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，的概率是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】如图，可行域为阴影部分，∴所求的概率2141114222P ππ⨯=-=-⨯⨯．5．在ABC ∆中，60ABC ∠= ，2AB =，6BC =，在BC 上任取一点D ，使ABD ∆为钝角三角形的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】C【解析】∵sin 60BMAB=，∴1BM =， ∵cos 60BNAB=，∴4BN =， ∴2NC BC BN =-=，∴12BM NC P BC +==．6．（2013东莞一模）在区间[0,1]上任意取两个实数a ，b ，则函数31()2f x x ax b =+-在区间[1,1]-上有且仅有一个零点的概率为（ ） A ．18B ．14C ．78D ．34【答案】C 【解析】∵31()2f x x ax b =+-，∴23()2f x x a '=+， ∵[0,1]a ∈，∴[1,1]x ∈-时，()0f x '≥， ∴()f x 在区间[1,1]-上单调递增， ∵()f x 在区间[1,1]-上有且仅有一个零点，∴(1)0(1)0f f -≤⎧⎨≥⎩，即102102a b a b ⎧++≥⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩，∴102a b -+≥，如图，阴影部分为可行域，11(0,),(,1),(0,1),22A B C ，M CB A∴所求的概率111117222118P ⨯-⨯⨯==⨯． 7．（2013湖北高考）在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m ≤的概率为56，则m =______．【答案】3【解析】如图： 当2m =时，||x m ≤的概率为46，不合题意；∴2m >，满足||x m ≤的概率为为2566m +=，解得3m =． 8．（2013广州二模）如图3，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M （图中白色部分）．若在此三角形内随机取一点P ，则点P 落在区域M 内的概率为．【答案】14π-【解析】2211121441114222P πππ⨯+⨯⨯=-=-⨯⨯．9．已知关于x 的一元二次函数2()41f x ax bx =-+．（1）设集合{}1,2,3P =和{}1,1,2,3,4Q =-，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为M AB–1–21234Ca 和b ，求函数)(x f y =在区间[1,)+∞上是增函数的概率；（2）设点(,)a b 是区域⎪⎩⎪⎨⎧>>≤-+0008y x y x 内的随机点，求函数)(x f y =在区间[1,)+∞上是增函数的概率.【解析】（1）∵函数14)(2+-=bx ax x f 的图象的对称轴为2bx a=， 要使14)(2+-=bx ax x f 在区间),1[+∞上为增函数， 当且仅当0a >且21ba≤，即2b a ≤， 若1a =，则1b =-，若2a =，则1,1b =-， 若3a =，则1,1b =-，∴事件包含基本事件的个数是1225++=，∴所求事件的概率为51153=． （2）由（1）知当且仅当0a >且2b a ≤时，函数),1[14)(2+∞+-=在区是间bx ax x f 上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>>≤-+0008|),(b a b a b a 构成所求事件的区域为三角形部分．由802a b ab +-=⎧⎪⎨=⎪⎩，得交点坐标为168(,)33，故区域A 的面积为 S △POM ==，故所求的事件的概率为 P===．10．设函数2()f x x bx c =++，其中,b c 是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A “(1)5f ≤且(0)3f ≤”发生的概率． （1） 若随机数,{1,2,3,4}b c ∈；（2）已知随机函数Rand()产生的随机数的范围为{01}x x ≤≤,,b c 是算法语句4*Rand()b =和4*Rand()c =的执行结果．(注: 符号“*”表示“乘号”)【解析】由2()f x x bx c =++知，事件A “(1)5f ≤且(0)3f ≤”，即43b c c +≤⎧⎨≤⎩．（1）∵随机数,{1,2,3,4}b c ∈，∴共等可能地产生个数对(,)b c ，列举如下：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）． 事件A ：43b c c +≤⎧⎨≤⎩包含了其中个数对，即：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）． ∴63()168P A ==，即事件A 发生的概率为38． （2） 由题意，,b c 均是区间[0,4]中的随机数，产生的点(,)b c 均匀地分布在边长为4的正方形区域Ω中（如图），其面积()16S Ω=．166(,)bc事件A：43b cc+≤⎧⎨≤⎩所对应的区域为如图所示的梯形（阴影部分），其面积为：115 ()(14)322S A=⨯+⨯=．∴15()152()()1632S AP AS===Ω，即事件的发生概率为15 32．A。
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学必求其心得，业必贵于专精 2021高三统考北师大版数学一轮学案：第11章第3讲 几何概型含解析 第3讲 几何概型
基础知识整合
1．几何概型 (1）几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的□01长度（面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． (2）几何概型的两个基本特点
2．几何概型的概率公式 P（A)＝错误!错误!。
几种常见的几何概型 （1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关． （2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标学必求其心得，业必贵于专精 和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题． (3）与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．
1．（2019·大连模拟）在长为6 m的木棒上任取一点P，使点P到木棒两端点的距离都大于2 m的概率是（ )
A.14 B.错误! C.错误! D.错误!
答案 B 解析 将木棒三等分，当P位于中间一段（不包括两个三等分点)时，点P到木棒两端点的距离都大于2 m，∴P＝错误!＝错误!. 2．(2019·湖南长沙统一检测)某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台的整点报时，则他等待的时间不多于5分钟的概率为（ ） A.错误! B。错误! C.错误! D.错误!
答案 B 解析 设距离电台的整点报时还有x分钟，由题意可得,0≤x≤60,等待的时间不多于5分钟的概率为P＝错误!＝错误!，故选B。 学必求其心得，业必贵于专精 3．（2019·湖南株洲二模)如图，在边长为1的正方形内有不规则图形Ω，由电脑随机从正方形中抽取10000个点，若落在图形Ω内和图形Ω外的点分别为3335，6665，则图形Ω面积的估计值为( ） A.错误! B.错误! C。错误! D。错误!
答案 C 解析 设图形Ω的面积为S，则由几何概型及题意，得错误!＝错误!≈错误!，所以S≈错误!＝0.3335≈错误!，即图形Ω面积的估计值为错误!.故选C。 4．(2019·衡水中学调研)已知正方体ABCD－A1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体ABCD－A1B1C1D1内任取点M，点M在
球O内的概率是（ ) A。错误! B.错误! C。错误! D。错误!
答案 C 解析 设正方体的棱长为a，则正方体的体积为a3，内切球的体积为错误!×错误!3＝错误!πa3,故点M在球O内的概率为错误!＝错误!.
5．在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足｜x｜≤m的概学必求其心得，业必贵于专精 率为56，则m＝________。 答案 3 解析 由题意，知m>0，当0〈m<2时,－m≤x≤m,此时所求概率为错误!＝错误!，解得m＝错误!（舍去)； 当2≤m〈4时,所求概率为错误!＝错误!，解得m＝3;当m≥4时，概率为1,不符合题意，故m＝3。 6．(2020·保定调研）在区间［－1,1]内随机取两个实数x，y，则满足y≥x－1的概率是________． 答案 错误!
解析 点（x，y）分布在如图所示的正方形区域内，画出x－y－1≤0表示的区域（图中阴影部分)，可知所求的概率为1－错误!＝错误!。 核心考向突破 考向一 与长度有关的几何概型 例1 (1）（2020·上海模拟)在区间[－1,1］上随机取一个数k，则直线y＝k(x－2)与圆x2＋y2＝1有两个交点的概率为( ） 学必求其心得，业必贵于专精 A.错误! B。错误! C。错误! D。错误!
答案 D 解析 圆x2＋y2＝1的圆心为（0,0）,圆心到直线y＝k(x－2）的距离为错误! 。要使直线y＝k(x－2)与圆x2＋y2＝1有两个交点，需错误!<1，解得－错误!〈k〈错误!,所以在区间［－1,1］上随机取一个数k，使直线y＝k（x－2）与圆x2＋y2＝1有两个交点的概率P＝错误!＝错误!.故选D。 （2)某路公共汽车每5分钟发车一次,某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是________． 答案 错误!
解析 本题可以看成向区间[0,5］ 内均匀投点，设A＝{某乘客候车时间不超过3分钟}，则 P(A）＝错误!＝错误!.
求解与长度有关的几何概型应注意的问题 (1）求解几何概型问题，解题的突破口为弄清是长度之比、面积之比还是体积之比． (2)求与长度有关的几何概型的概率的方法，是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注意准确表示所确定的线段的长度．
［即时训练］ 1。(2019·河南濮阳模拟）在［－6，9]内任取学必求其心得，业必贵于专精 一个实数m，设f(x)＝－x2＋mx＋m，则函数f(x)的图象与x轴有公共点的概率等于( ）
A.215 B。错误! C。错误! D。错误!
答案 D 解析 ∵f(x)＝－x2＋mx＋m的图象与x轴有公共点，∴Δ＝m2＋4m≥0，∴m≤－4或m≥0,∴在[－6,9]内取一个实数m，函数f（x)
的图象与x轴有公共点的概率P＝［－4－－6］＋9－09－－6
＝1115。故选D. 2．（2019·湖北武汉调研)在长为16 cm的线段MN上任取一点P，以MP，NP的长为邻边的长作一矩形，则该矩形的面积大于60 cm2的概率为( ）
A.错误! B.错误! C。错误! D.错误!
答案 A 解析 设MP＝x cm,0－x）>60，得6精准设计考向，多角度探究突破 考向二 与面积有关的几何概型 角度错误! 与平面图形面积有关的问题 学必求其心得，业必贵于专精 例2 （2019·安徽淮北、宿州第二次质量检测）古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：取线段AB＝2,过点B作AB的垂线,并用圆规在垂线上截取BC＝错误!AB＝1,连接AC；以C为圆心,BC为半径画弧，交AC于点D；以A为圆心，AD为半径画弧，交AB于点E，则点E即为线段AB的黄金分割点．如图所示，在Rt△ABC中,扇形区域ADE记为Ⅰ，扇形区域BCD记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为P1，P2,P3,(参考数据：错误!≈2。236)则 （ )
A．P1〉P2 B．P1〈P2
C．P1＝P2＋P3 D．P2＝P1＋P3
答案 B 解析 由题意可知S△ABC＝错误!×2×1＝1,tan∠ACB＝错误!＝2〉
错误!.故∠ACB〉错误!.所以S扇形BCD>错误!×错误!×12＝错误!>错误!。又因
为S△ABC＝1,所以S扇形BCD>S扇形ADE，即P2>P1,且P2〉P1＋P3。故B
正确，A，C，D错误，故选B。 角度错误! 与线性规划交汇的问题 例3 （2020·西南名校联盟适应性月考)小明和小波约好在周学必求其心得，业必贵于专精 日下午4：00～5：00之间在某处见面,并约定好若小明先到，最多等小波半小时；若小波先到，最多等小明15分钟，则小明和小波两人能见面的概率为（ ) A。错误! B.错误! C。错误! D。错误!
答案 C
解析 设小明到达时间为x，小波到达时间为y，x，y∈(0，1)，则由题意可列出不等式组错误!画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,计算得阴影部分的面积与正方形面积的比值为错误!，故选C. 角度错误! 与定积分交汇的问题 学必求其心得，业必贵于专精 例4 （2020·甘肃武威阶段考试)如图所示的阴影区域由x轴、直线x＝1及曲线y＝ex－1围成,现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在非阴影区域的概率是（ ） A。错误! B.错误!
C．1－错误! D．1－错误!
答案 B 解析 由题意，阴影部分的面积为错误!(ex－1）dx＝(ex－x）错误!
＝e－2，∵矩形区域OABC的面积为e－1，∴该点落在阴影区域的概率是错误!，故该点落在非阴影区域的概率为错误!。
求解与面积有关的几何概型的关键点 求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解． 学必求其心得，业必贵于专精 ［即时训练] 3.（2019·河南郑州三模）关于圆周率，数学发展史上出现过很多有创意的求法，如著名的蒲丰试验，受其启发,我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，试验步骤如下:①先请高一年级n名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对(x，y）（0则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为m；④根据统计数n,m估计π的值．那么可以估计π的值约为（ ） A.错误! B。错误!
C。4mn D。错误!
答案 D 解析 由题意，n个实数对(x，y)满足错误!构成区域的面积为1，能与1构成锐角三角形的实数对(x，y）满足｛ 0
0〈y〈1，，x2＋y2〉1，
x＋y>1，构成区域的面积为1－π4，因
为能与1构成锐角三角形的实数对(x,y）的个数为m，所以错误!≈1－错误!，则π≈错误!。故选D。 4．（2019·山东郓城一中三模）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具,是由七块板组成的．而这七块板可拼成许多图形，例如：三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物等，清陆以湉《冷庐杂识》写道：近又有七巧图，其式五,其数七，其变化之式多至千余．在18世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》．若用七巧板拼成一只雄鸡，