自动化控制方面的毕业设计

论闭环零点对二阶系统单位阶跃响应的影响

作者：齐书康 4080208123

袁坤 4080208331

张丹 4080208136

单位：唐山学院信息工程系08电本

邮编： 063000

2010年10月9日

摘要

实际工作中常常可以把一个高阶系统降为二阶系统来处理，因此分析二阶系统的单位阶跃响应，对于研究自动控制系统的暂态特性具有重要意义。二阶系统在欠阻尼时的响应虽有振荡，但阻尼比ξ取值恰当，则系统既有响应的快速性，又有过渡过程的平稳性，因此在控制过程中常把二阶系统设计为欠阻尼。大多数高阶系统中含有一对闭环主导极点，则该系统的动态响应就可以近似的用这对主导极点所描述的二阶系统来表达。

本文是通过直接求解系统在单位阶跃信号作用下的时域响应来分析系统的性能的。通过对设零点系统与未设零点系统上升时间、峰值时间、最大超调量、调节时间暂态特性各个方面的对比，以及零点位置的变化对各动态性能变化趋势最终找到闭环零点对实际二阶系统的作用效果。

关键词：自动控制二阶系统动态特性响应指标

0.引言

由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。欠阻尼振荡的二阶系统在实际中可以看成是稳定的系统，因此分析欠阻尼系统具有实际意义。二阶系统的单位阶跃响应是反映二阶系统本质的重要表现形式。我们在实际生产过程中，二阶系统总是需要满足工程最佳参数的要求，但是通过改变开环放大系数的方法可能会增大系统稳态误差。因此需要通过设置零点的方法从而达到既满足工程所需的阻尼比，又保证系统稳态精度的目的。正是由于闭环零点对二阶系统如此重要，所以此文主要分析闭环零点对二阶系统单位阶跃响应的影响。

1. 二阶系统

一个系统的阶次是由其最简闭环传递函数分母S 的最高次项决定的。二阶系统就是S 的最高次项为2的闭环传递函数所对应的系统典型。简单来说就是由二阶微分方程描述的系统就叫做二阶系统。 1.1二阶系统结构图

由图可知二阶系统开环传递函数为：

()()

n n

K s s s W ξωω22+=

二阶系统闭环传递函数为：

()2

2

22n

n n

B s s s W ωξωω++= 1.2二阶系统单位阶跃响应

当输入为单位阶跃信号时 ()s

s X r 1

=

故 ()()2

2

22n

n n

c s s s s X ωξωω++= 取拉氏逆变换有

()()θωξ

ξω+--

=-t e t X d t c n sin 112

0≥t

①

其中n d ωξω2

1-= ξ

ξθ2

1arctan

-=

1.3二阶系统极点分布图

1.4二阶系统动态特性 1.4.1 上升时间 r t

令①中r t t = ()1=t X c 则有 ()0sin 12

=+--θωξ

ξωr d t t e r n

得

n

d r t ωξθ

πωθπ21--=

-=

②

1.4.2 峰值时间 m t

σ

令①中

()

0=dt

t dx c 则第一个峰值对应的时间 n

d m t ωξπωπ21-==

③

1.4.3 最大超调量 %δ 由于()

()

%100%⨯∞∞-=

c c cm X X X δ 且()1=∞c X

得 %

100%2

1⨯=--

ξξπ

δe

④

1.4.4 调节时间 s t

()n

s t ξω3

%5=

8.00<<ξ

()n

s t ξω4

%2=

8

.00<<ξ

⑤

2. 具有零点的二阶系统的动态分析

2.1具有零点的二阶系统结构图及传递函数 带零点的二阶系统结构图：

)(s X r

)(s X c

具有零点的二阶系统的闭环传递函数为：

)2(1)

1(2)1()()

()(222

2

22n n n n

n n

B w s w s s w w s w s s w s Xr s Xc s W +++=+++==

ξτ

τ

ξτ

τ——时间常数

令τ

1=z ，则上式可写为如下形式：

)

2()()()

(22

2n n n w s w s z z s w s Xr s Xc +++=ξ

⑥

由式⑥可得，其系统的闭环传递函数具有零点-z ，是具有零点的二阶系统

将式⑥分解，由

2

222)

()(1n

n n w s w s s Xr w s Xc ++=

ξ得 )(11)(s Xc z

s

Xc s Xc += 2.2具有零点的二阶系统的单位阶跃响应

为求其阶跃响应，设s

s Xr 1

)(=，取初始条件为零，则Xc1(s)和Xc(s)的拉氏反变换为

])

2([)(2

221

1n n n

c w s w s s w t x ++=-ξλ dt

t dx z t x s Xc s Xc z s t x c c c )

(1)()](1[)](1[)(1111+=+=--λλ

⑦

求出⑦中两项然后相加即得输出量，经过运算得