2009自适应信号处理第06章归一化与频域LMS自适应滤波器

ˆ 将 J (n) 对 w ( n + 1) 求导，得到
∂J (n) ˆ ˆ = 2 ( w (n + 1) − w (n) ) − λ *u(n) ˆ ∂w (n + 1)
令这个偏导数等于零，得到
ˆ ˆ w (n + 1) = w (n) +
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λ*
2
u ( n)
ˆ w H (n + 1)u(n) = d (n)
NLMS 滤波器收敛速度高于 LMS 滤波器
当 N LM S 中 u (n)
2
很小时，会产生计算问题
μ δ + u ( n)
u( n)e* (n) 2
ˆ ˆ w (n + 1) = w (n) +
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δ >0
哈尔滨工业大学信息工程系 邹斌
自适应信号处理
归一化与频域LMS自适应滤波器
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Adaptive Signal Processing
归一化与频域LMS自适应滤波器
二、频域LMS自适应滤波器
问题引出：当输入信号持续时间长时，要求滤波器具有 很长的冲激响应（或者说大量的寄存器单元），这样会 大大增加计算的复杂度。 （一）分块自适应滤波器（block-adaptive filter）
由于失调与u(n)成正比，当u(n)比较大时，LMS滤波 器会出现“梯度噪声放大”问题。 希望使滤波器与输入信号强度无关—— 归一化LMS自适应滤波器（Normalized LMS Filter） （一）NLMS自适应滤波器
NLMS滤波器的结构与标准LMS滤波器结构相同
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归一化与频域LMS自适应滤波器
一、归一化LMS自适应滤波器
最小扰动准则（principle of minimal disturbance）
自适应滤波器的加权向量在一次迭代到另一次迭代的过程中， 其变化在一定滤波输出限制条件下，应当保持最小。
NLMS滤波器设计问题——受限优化问题
给定抽头输入向量 u ( n) 以及理想输出 d ( n) ，
ˆ ˆ w (n + 1) = w (n) +
μ
u ( n)
2
Байду номын сангаас
u ( n )e ( n )
*
ˆ ε ( n) = w − w ( n)
ε (n + 1) = ε( n) −
μ
u ( n)
u ( n ) e* ( n ) 2
根据 NLMS 命题，可以采用均方偏差 D (n) 对其稳定度进行分析
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H
λ
2
ˆ u H (n)u(n) = w H (n)u(n) +
λ
2
u ( n)
2
从而
λ=
2e ( n ) u ( n)
2
ˆ e(n) = d (n) − w H (n)u(n)
ˆ 进而得到加权向量变化 δ w ( n + 1) 的最优值
ˆ ˆ ˆ δ w (n + 1) = w (n + 1) − w (n) = 1 u ( n) u(n)e* (n) 2
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一、归一化LMS自适应滤波器
NLMS滤波器结构示意图
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Adaptive Signal Processing
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一、归一化LMS自适应滤波器
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NLMS算法的实现步骤
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二、频域LMS自适应滤波器
分块LMS算法
对于第k个数据块，将由所有i得到的u(kL+i) e (kL+i)取和 以实现对抽头加权向量的更新
ˆ ˆ w (k + 1) = w (k ) + μ ∑ u( kL + i )e( kL + i )
i =0 L −1
L −1 i =0
定义 M × 1 互相关向量 φ(k )
⎧ ⎡ ξ (n)e* (n) ⎤ ⎫ ⎡ e( n ) 2 ⎤ ⎪ ⎪ D (n + 1) − D (n) = μ 2 E ⎢ ⎥ − 2μ E ⎨Re ⎢ u ⎥⎬ 2 2 ⎢ u( n) ⎥ ⎢ u ( n) ⎥ ⎭ ⎪ ⎣ ⎣ ⎦ ⎦⎪ ⎩
误差随更 新次数增 加而减小
取模和 数学期望
ξu (n) 称为非扰动误差信号（undisturbed error signal）
误差信号在输入端与输入信号同步被分成L点的数据块, 用于计算滤波器的加权值。 误差信号e(kL+i)在自适应过程中随数据块不同而变化。
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归一化与频域LMS自适应滤波器
ˆ y (kL + i ) = w T (k )u(kL + i ) ˆ = ∑ w j (k )u (kL + i − j ),
j =0 M −1
i = 0,1, … , L − 1
令d(kL+i)表示相应的理想输出，误差信号e(kL+i)为
e( kL + i ) = d ( kL + i ) − y ( kL + i )
L=4，M=6的数据块
ˆ 对于这个输入的数据块，滤波器的抽头加权向量为 w ( k )
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二、频域LMS自适应滤波器
滤波器对于输入信号向量u(kL+i)的相应输出为
ˆ 确定更新抽头加权值向量 w ( n + 1) ，在限制条件
ˆ w H ( n + 1)u ( n ) = d ( n)
下，可以使加权向量变化 ˆ ˆ ˆ δ w ( n + 1) = w ( n + 1) − w ( n) 的 Euclidean 模的平方最小。
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n = kL + i, i = 0,1, … , L − 1 k = 1, 2, …
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T
T
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归一化与频域LMS自适应滤波器
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二、频域LMS自适应滤波器 L −1 对于第k个数据块，输入数据为 {u(kL + i )}i =0 AT (k ) = [u(kL), u(kL + 1), … , u(kL + L − 1) ] 写成矩阵形式为
ˆ ξ u ( n) = ( w − w ( n) ) u ( n)
H
= ε H (n)u(n)
当下列等式满足时，NLSM在均方误差意义下是稳定的
2 Re E ⎡ξu (n)e* (n) / u(n) ⎤ ⎣ ⎦ 0<μ <2 2 2 E ⎡ e( n ) / u ( n ) ⎤ ⎣ ⎦
{
}
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为了控制迭代中加权向量的变化不改变其方向， 引入一个正的实数加权因子 μ
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一、归一化LMS自适应滤波器
ˆ ˆ ˆ δ w (n + 1) = w (n + 1) − w (n) =
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一、归一化LMS自适应滤波器
2 均方偏差定义为 D(n) = E ⎡ ε(n) ⎤ ⎣ ⎦
ε(n + 1) = ε(n) −
μ
u ( n)
2
u ( n ) e* ( n )
一、归一化LMS自适应滤波器
（二）NLMS自适应滤波器的稳定性 假定理想输出可以表示为
d ( n) = w H u ( n) + ν ( n)
w 是模型未知参数， ν ( n ) 是加性扰动
ˆ 由 NLMS 得到的抽头加权值向量 w (n) 是对 w 的估计。 估计误差由加权误差向量 ε(n) 表示
e(k ) 为误差信号向量
φ(k ) = ∑ u( kL + i )e(kL + i ) = AT ( k )e(k )
e(k ) = [ e(kL), e( kL + 1), … , e( kL + L − 1) ]
T