第3章习题答案 常微分方程教程+第二版+丁同仁+李承志+答案和练习

习 题 3-1

1. (1) 解: ,||),(αy y x f = 有α|||)0,(),(|y x f y x f =-，

令 ,||)(αr r F =有

⎰⎰--==111

00

10||11||)(r r r r r dr r F dr α

αα， 当 01<-α, 即 1>α 时, ∞=--→αα10||11lim

r r , 所以 0)0(=y 的解唯一。 当 01=-α 时，

1

1

00

|||ln )

(r r r r F dr =⎰

，而 ∞=→||ln lim 0r r ，

所以 0)0(=y 的解唯一。

当 10<<α 时， 可解方程知其解不唯一。

所以当10<<α， 其解不唯一； 1≥α， 其解唯一。

（2）. 解: 因为

0|l n |l i m 0

=→y y y ,

所以

dx

dy

在 ),(+∞-∞ 连续. 设 |||ln |)(r r r F =, 有

∞=⎰

1

)

(r r F dr

(01>r 为常数),

所以方程的解唯一.

2. 解: 构造毕卡序列, 令 1),(++=y x y x f , dx x y x f x y x

n n ⎰

=

+0

1))(,()(,

因为 0)0(=y ,

所以 x x dx x f x y x +==⎰20121)0,()(,

x x x dx x x x f x y x ++=+=⎰2302261

)21,()(, x x x x dx y x f x y x +++==⎰2

340233

1!41),()(,

…………………………………………… x x x n x n dx y x f x y n n x

n n +++++==

+-⎰

!

22!2)!1(1),()(21

1 ,

2

2)!

22!2)!1(1(lim )(lim 21

--=+++++=+∞→∞→x e x x x n x n x y x n n n n n , 所以 22--=x e y x

为方程的解. 3. 证明: 反证法

设初始问题(E)有两个解, )(x y 和)(1x y , 且 0010)()(y x y x y ==,

01x x >∃, 使 )()(111x y x y >, 令 )()(,sup{110x y x y x x x =<≤=μ

根据μ 的定义与y 的连续性可知,

对),(1x x μ∈∀,)()(1x y x y >, 令 )()()(1x y x y x r -=, 令 )()()(1x y x y x r -=, 有 0)(=μr , 有

))(,())(,(1x y x f x y x f dx

dr

-=, 因为 ),(y x f 对 y 是递减的, 所以0

dr

, 对 ),(1x x μ∈∀, 所以 0)()(=<μr x r , 对 ),(1x x μ∈∀, 又由y 的连续性, 可得 )()(111x y x y <,矛盾!

习 题 3-3

1.

证

明

:

令

)

()(),(x b y x a y x f +=, 显然

)

,(y x f

+∞<<∞-∈y I x S ,:

内连续, 且满足不等式

|)(||||)(||),(|x b y x a y x f +≤,

其中令 0|)(|)(≥=x a x A , 0|)(|)(≥=x b x B , 由已知有 )(x A ,)(x B 在

I x ∈上是连续的, 则由定理5, 知 )(x y y = 的最大存在区间为I

2. (1) 解：令 2

21

),(y

x y x f +=

，则 ),(y x f 在区域 }0,{1≠+∞<<-∞=y x G 上连续,

或 },00{2+∞<<-∞+∞<<<<-∞=y x x G 上连续。

由推论知，此方程经过1G 或 2G 内任一点 0P

存在唯一的积分曲线 J x x y ∈=Γ),(:

φ，且延伸到

无限远。下证，积分曲线 Γ的最大存在空间是无界的。

用反证法，先在 1G 上讨论。设)(x y y =上此方程满足初值条件

00)(y x y = 的解。设 +J 为它的右侧最大存在区间，

若 ],[10x x J =+是有限区间，其中 01x x >。令)(11x y φ=,

则111),(G y x ∈。因为区域1G 是开集，所以存在矩形区域

11111||,||:b y y a x x R ≤-≤-，使得 11G R ⊂。 由皮亚诺定理知，原方程至少有一个解)|)(|(111h x x x y ≤-=φ 满足初值条件111)(y x =φ，其中 1h 是某个常数。

令⎩⎨

⎧+≤≤≤≤=.

)

()

()(1111;10h x x x x x x x x x y φφ

则)(x y y =是连续可微的，且它在区间],[110h x x +上满足原方程，

与积分曲线 Γ的最大右侧存在区间为 ],[10x x J =+矛盾。

所以+

J 不可能是有限闭区间，同理可证 +

J 不可能是有限开区间，则

Γ在0P 点的右侧将延伸到区域 1G 的边界。同样可证，Γ在 0P 点的

侧

将延伸到区域 1G 的边界，即解的存在区间为),(+∞-∞。 同样在 2G 上，解的存在区间为),0()0,(+∞-∞ 。

（2）解：由于)1(-y y 在整个),(y x 平面上连续，且对y 有连续的偏导数，

所以利用推论，可知原方程经过平面上任何一点),(000y x P

的积分曲线Γ是唯一存在，并将延伸到无限远。

显然0=y 与1=y 为方程的两个解曲线。

由解的唯一性，当0

区间为),(+∞-∞。同理可知在10<y 时，

x 的存在区间为),(+∞-∞。（如右图）所以其解的

在区间为),(+∞-∞。