控制系统建模、优化与仿真

三自由度交流混合磁轴承原理、数学模型、参数优化与仿真姓名：李媛媛学号：S1107062 专业：双控1 磁轴承研究背景磁轴承按其约束功能可分为轴向单自由度、径向二自由度和轴向-径向三自由度磁轴承。

三自由度磁轴承集轴向、径向磁轴承于一体，简化了结构，缩小了体积。

按悬浮力产生原理，磁轴承又可分为主动式、被动式及混合式。

混合式磁轴承是由永磁体提供静态偏置磁通，而电磁铁只提供控制磁通，因而功放体积较小，结构紧凑，耗能小，气隙也能做得大些。

按励磁电流类型将磁轴承分为直流式与交流式。

直流式磁轴承功率放大器价格高，体积大,一个径向磁轴承通常需要四路功率放大电路；而交流式采用交流三相功率逆变器给控制线圈绕组提供励磁电流，一个三相功率逆变器就可完全控制径向两自由度，且三相逆变器应用技术成熟、价格便宜、体积小巧，采用矢量控制策略，易于控制系统软件的编程与移植，从而整体上减小了磁轴承控制系统成本。

目前国内外均已研制出直流式三自由度磁轴承[1~4]；瑞士也已研制出交流式二自由度磁轴承[5]。

本文首次提出一种新型的交直流三自由度混合磁轴承（AC-DC-3DOF-HMB），这种轴承轴向采用直流励磁、径向采用交流励磁，由一块径向充磁永磁体同时给轴向-径向提供偏置磁通，集成了交流励磁、永磁偏置及轴向-径向联合控制等优点，在超高速超精密数控机床、磁悬浮电机、飞轮储能系统及人造卫星等悬浮支承系统中将有着重要的应用价值与前景。

2 结构和工作原理2.1 交直流三自由度混合磁轴承结构交直流三自由度混合磁轴承三维结构示意图如图1(a)所示，其各组件如图1(b)所示，由轴向定子、轴向控制线圈、带三个磁极的径向定子、径向控制线圈、转子、径向充磁永磁体等构成。

工作时轴向两个线圈对轴向单自由度进行控制；沿圆周120O均匀分布的A，B，C三个线圈绕组通以三相交流电产生可旋转的合成磁通来控制径向二个自由度。

径向定子铁芯采用硅钢片叠压而成，永久磁体采用稀土材料钕铁硼制成。

当径向、轴向都稳定悬浮时，转子在永磁体产生的静态偏置磁场吸力下处于悬浮的中间位置，径向和轴向气隙取为0.5mm。

(a)三维结构示意图(b)组件结构示意图(c)磁轴承磁路图图1 交直流三自由度混合磁轴承结构示意图2.2交直流三自由度混合磁轴承工作原理图1(c)是交直流三自由度混合磁轴承磁路示意图。

图中带箭头（控制磁通箭头方向由控制电流方向按右手定则确定）的实线表示永磁体产生的静态偏置磁通，它从永磁体的N极出发，经过轴向定子、轴向气隙、转子、径向气隙、径向定子、最后回到永磁体的S极；带箭头的虚线表示的是控制磁通，轴向控制磁通在轴向定子、轴向气隙与转子内构成回路；径向控制磁通在径向定子、径向气隙与转子间形成回路。

由图可看出，轴向控制磁通与径向控制磁通互不干扰，不存在磁路耦合，各气隙磁通由各处的静态偏置磁通和控制磁通两部分叠加合成。

转子在轴向平衡位置时，永磁体在轴向两端气隙处所产生的磁通是相等的。

当转子受到轴向外力而产生轴向位置偏移时，气隙减小的那一端永磁体产生的轴向磁通Φp z 1增大，磁力亦增大，气隙增大的那一端轴向磁通Φp z 2减小，磁力亦减小，只要轴向控制磁通Φcz 满足下式：p 1p 22z z cz φφΦ-≥(1)则无论转子受到向左或向右的外扰动，带位置负反馈的轴向磁轴承系统，通过轴向控制器控制励磁绕组中的电流，调节左右气隙处磁通的大小,则始终能保持转子在轴向的参考平衡位置。

径向磁轴承部分的工作原理是基于无轴承电机的原理，使转矩绕组极对数p1为0，悬浮力绕组极对数p2为1，满足径向悬浮力产生的条件p2= p1 +1[6]，采用三相功率逆变器对悬浮力绕组提供励磁电流，因而这种结构的无轴承电机实际就变成了只产生径向悬浮力的磁轴承。

根据电机理论，三相绕组通上三相交流电后，可产生一个旋转磁场，形成一个单极合成磁通。

当磁轴承受到径向扰动时，转子偏离参考位置，传感器检测出转子的偏移位置并反馈至控制器，控制器计算出转子的偏移量x 与y 后再将其转变成控制电流信号，通过CRPWM （电流跟踪）功率逆变器将其变换成三相控制电流[5]，使得径向三相绕组中控制电流产生的合成单极磁通指向与位置偏移相反的方向，产生相应的悬浮力，从而使转子回到径向平衡位置。

3 数学模型3.1 等效磁路计算为了简化磁路计算，对交直流三自由度混合磁轴承磁路作如下假设：只考虑永磁体内外两环面漏磁，将整个磁路系统看作由一个漏磁磁阻与有效磁路系统的并联系统；只考虑工作气隙的磁阻，忽略铁芯磁阻、转子磁阻及涡流损耗等。

这样可得到如图3所示的磁轴承永磁体磁路等效图。

图2 永磁体磁通分布等效磁路图图2中, F m 是永磁体对外提供的磁动势，φm 是永磁体发出的总磁通，φ1是总的漏磁通，漏磁导是G 1，右边轴向气隙和左边轴向气隙的磁导分别是G z 1和G z 2，径向三个气隙磁导分别是G A ，G B ，G C 。

S a 、S r 分别为轴向、径向磁极面积；δa 、δr 分别为轴向、径向气隙；现假设转子轴向正方向偏移z ，径向正方向各偏移x 、y ，则各气隙处的磁导为：0a 0a 12a a 0r r z z AB C S S G G z z S G x G G μμδδμδ⎧==⎪-+⎪⎪=⎪-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎪⎩(2)式中μ0是真空磁导率。

根据磁路基尔霍夫定律：∑F =0 和 ∑φi =0，求解出各支路中永磁体产生的磁通如下：A B C p m 12A B C12p m 12A B C zi zi z z z z jj z z (G G G )F G (G G )(G G G )(G G )F G (G G )(G G G )++⎧φ=⎪++++⎪⎨+⎪φ=⎪++++⎩(3) 式中 i =1,2; j =A, B, C施加控制磁通后，如图1(c)所示，各气隙处的合成磁通即为控制磁通叠加或相减上永磁偏置磁通：1c p 11p 12c p 22p 2c p p z z z z z z z z z z z z z z j j j r j j jN i G N i G N i G φφφφφφφφφφφφ⎧=-=-⎪=+=+⎨⎪=+=+⎩ (4) 式中 N z i z ——轴向各磁极控制线圈的安匝数N r i j ——径向各磁极控制线圈的安匝数 j =A B C ,,3.2 交直流三自由度混合磁轴承轴向悬浮力公式假若转子轴向向右偏移z ，要使转子回到轴向平衡位置，则要轴向气隙处的合成磁通产生的合力向左，根据磁场力与磁通的关系：2221210a2z z z z z F F -F S φφμ-==(5) 式中 F z 2——转子左边受到的电磁吸力； F z 1——转子右边受到的电磁吸力；式(2),(3),(4) 代入到式(5),在平衡位置处附近（x,y<<δR , z<<δZ ）对F z 进行线性化处理并略去二阶以上无穷小量得：z iz z z z y x i zz z y x i zz i k z k i i F z zF F z z +=∂∂+∂∂≈========000(6)式中 20m 2a r a a ar 0m a r a a r 22323z z iz F k S S S F N k S S μδδδμδδδ⎧=-⎪⎛⎫⎪+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎛⎫⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎩k z 称为轴向力/位移系数, k iz 为轴向力/电流系数，在磁轴承结构和工作点确定后，k z 、k iz 均为常数。

3.3 交直流三自由度混合磁轴承径向悬浮力公式假设转子在径向正方向各偏移x ，y ，则各气隙处合成磁通φA ，φB ，φC产生的悬浮力如下[7~8]：r022S F jj μφ= (7)式中A B C j ,,=式(2),(3),(4) 代入到式(7),在平衡位置处可按下式对F j （A B C j ,,=）进行计算得:j ir j z y x i jj z y x i jj i k F i i F F F j j ⋅+=∂∂+=========pm 000(8)式中 20m pm 2a r ra r 0m a r r a r 18()233()23r ir F F S S S F N k S S μδδμδδδ⎧=⎪⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎪⎩F pm 为平衡位置时永磁体磁通在径向各气隙处产生的磁力，其大小是相等的。

k ir 为径向力/电流系数，在磁轴承结构和工作点确定后，F pm 、k ir 均为常数。

将F A , F B , F C 分解到X ，Y 轴上，得：A B C A B C 11112222x ir ir ir F F F F k i k i k i =--=--(9)B C B C y ir ir F i i == (10)又对于三相交流电系统，有：A B C 0i i i ++= (11)由式(9),(10),(11)，可得出径向力与径向三相控制电流的关系式：A B C 112120x ir y i F k i F i ⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦(12)实际控制时，由3/2变换，即可得出X 方向与Y 方向的等效控制电流：a ab ac 112120x y i i i i i ⎡⎤--⎤⎡⎤⎢⎥=⋅⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎦⎢⎥⎣⎦（13）式中 i a x —— 3/2变换后X 方向等效控制电流i a y —— 3/2变换后Y 方向等效控制电流 则由等效电流表示的悬浮力模型为：a a a r a 1010301012x x xy i y y F i x k F i y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （14） 3.4 交直流三自由度混合磁轴承控制策略由式(6)，式(12)分别确定轴向悬浮力与轴向位移、轴向控制电流的关系，径向悬浮力与径向控制电流的关系，构建如图1所示的控制系统框图，采用数字和模拟电路相结合进行控制。

图1交直流三自由度混合磁轴承控制框图轴向位移传感器检测出转子轴向偏移位置后，反馈位移信号至DSP控制器、经数字控制器进行PID计算后输出控制电流信号至直流功率放大器，对轴向控制线圈励磁电流进行控制，从而控制轴向气隙处的磁通大小，确保转子处于轴向平衡位置。

径向位移传感器检测出转子径向偏移位置后，反馈位移信号至DSP控制器、经PID调节后转换成力的控制信号，再由式(12)转换成参考控制电流信号，与电流互感器检测出的径向三相绕组中的实时电流进行电流跟踪比较后，通过控制三相逆变器开关器件来改变径向三相绕组中励磁电流的大小，从而改变控制磁通，产生悬浮力使转子回到径向平衡位置。

4样机参数设计与有限元分析4.1 气隙长度的选取及饱和磁感应强度的确定考虑到气隙大小与永磁体外部磁动势及控制线圈安匝数的关系，工程上一般取气隙为0.15~1.50mm，本样机系统取δr=δa =δ0 =0.5mm。