第八章例题

例9-1 某种葡萄汁饮料主要是由纯净水（x 1）、白砂糖（x 2）和红葡萄汁浓缩汁（x 3）三种成分组成，其中要求红葡萄汁（x 3）的含量不得低于10%，试通过配方试验确定使试验指标y 最大的最优配方。试验指标为综合评分，越高越好。

解：依题意，1230,0,0.1x x x ≥≥≥，即1230,0,0.1,a a a ===所以有

()311111

1322222

133333311(10.1)00.9110.100.91(10.1)0.10.90.1

j j j j j j x a z a z z x a z a z z x a z a z z ===⎛⎫

=-+=-+= ⎪⎝⎭⎛⎫

=-+=-+= ⎪⎝⎭⎛⎫

=-+=-+=+ ⎪⎝⎭

∑∑∑

由于m=3，故可以选择{}3,2单纯形格子点设计，试验方案和试验结果见表9-4

表9-4 例9-1 {}3,2单纯形格子点设计方案及试验结果

本例{}3,2单纯形格子点设计的回归方程为：

112233121213132323y b z b z b z b z z b z z b z z =+++++

将每号试验代入上述方程，得

1122331212

12313

113323

12236.55.57.5

8.5224 6.8224 5.4224

b y b y b y b b b y b b b y b b b y ======++==++==++== 所以有

()()()()()()1212121313132323234248.52 6.5 5.510424 6.82 6.57.50.8424 5.42 5.57.5 4.4

b y y y b y y y b y y y =-+=⨯-⨯+==-+=⨯-⨯+=-=-+=⨯-⨯+=- 所以试验指标y 与规范变量之间的回归方程为：

1231212236.5 5.57.5100.8 4.4y z z z z z z z z z =+++--

利用excel 中的“规划求解”工具，根据上述回归方程和有关约束条件，得到该回归方程在1230.55,0.45,0z z z ===时指标值y 取得最大值8.525. 由于3121230.1,,,0.90.90.9

x x x

z z z -=

==所以有当1230.495,0.405,0.1

x x x ===

时，该饮料的评分最高。注意，这里的最佳配方是根据回归方程预测的，还应进行验证试验。

将上述编码计算式代入试验指标y 与规范变量之间的回归方程，得到

331212132123121223

0.10.16.5(

) 5.57.5100.80.90.90.90.90.90.90.90.14.40.90.9 0.8337.32 6.658.3312.350.99 5.43 7.52x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

-⎛⎫

⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

=-++++--=-22

121212

7.1118.870.99 5.43x x x x x -+++

例9-3 某种新材料由三种金属组成，它们的含量分别为123,,x x x ，选择了

()315UM 15表来安排配方试验，因1231x x x ++=，故表9-7中仅仅列出x 1和x 2.

试验方案指标值越大越好，试验指标值列于表9-7中。试确定最优配方。

表9-7 例9-3 试验方案和结果

解：（1）直观分析法

由于配方均匀设计的试验点分布得比较均匀，所以可以通过直观分析法，结合实际情况直接选用其中较好的试验点作为最优配方。例如本例中的第5，8，15号试验。

（1） 回归分析法

由于1231x x x ++=，可利用二元二次回归模型确定试验指标y 与12,x x 之间的回归方程。求得回归方程得

221121210.0900.804 3.464 2.672 3.886y x x x x x =+--+

相应的复相关系数R=0.90

求得当1230.196,0.143,0.661x x x ===时，回归方程取得最大值10.169.该最大值低于表中的10.680和10.238，这是由于回归方程只是试验指标y 和x 1，x 2之间近似的函数关系式，试验值与回归值之间存在差异，所以应将直观分析和回归分析结合起来，找到与实际相符合的最优配方。

注意，如果用回归分析法分析配方均匀设计结果，在选择配方均匀设计表时应注意，试验次数应多于回归方程回归系数的个数。