简单的高次方程(课堂总结)

简单的高次方程总结
一、知识梳理
1、解简单高次方程的常用方法有：余数定理因式分解法、换元因式分解法、化为xax形
式、均值换元法、反客为主法等。
二、解高次方程常用方法
1、余数定理因式分解法
例1 061023xxx
解：由余数定定理可知，方程的根可能为6,3,2,1，
当3x时，原方程为0。
0)3(2)3(4)3(2xxxxx

即0)3)(24(2xxx
解得：22,22,3321xxx。
2、换元因式分解法
例2 0)322(4)(222xxxx
解：令axx2
01282aa
即 0)6)(2(aa …………
3、化为xax形式（观察各项系数）

例3 062512256234xxxx
解：显然0x不是原方程的根，原方程两边同除以2x得：

06251225622xxxx
024)1(25)1(62xxxx
即08)1(33)1(2xxxx
……
解得：3,31,2,214321xxxx。

例4 0485614334xxx
解：显然0x不是原方程的根，原方程两边同除以2x得：
0485614322xxxx
0)4(14)16(322xxxx
024)4(14)4(32xxxx

即0644)4(3xxxx
……
解得原方程的解为：53,5321xx。

4、均值换元法

例3 82)1()3(44xx
解：令ax2，则有
82)1()1(44aa

化简得：040624aa
0)4)(10(22aa
………
解得原方程的解为：4,021xx。

5、反客为主法（变更主元法）
例2
01222223xxx
解：令a2
012223axaaxx
整理成关于a的方程：
01)12(322xaxxa

即：0112xaxxxa

1当012xxxa时，得：212221x
2当01xa时，解得12x。
综上，212221,212221,12321xxx为原方程的解。

【思考题】
1、解方程：
（1) 01256895612234xxxx

（2) 43)12)(13)(1)(14(xxxxx
（3）163121124545xx
（4）272)4()2(44xx
（5）01333223xxx
（6）0325124xx
（7）)6(02)65(2)11(2102234aaaxaxaxx
（8）2)23(3)23(222xxxxx (31x或22x）
2、若方程kxx)4)(1(22有四个非零实数根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，
求k。（47k）
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