南京邮电大学信号与系统习题3

a0 = 0, an = 0,
L
−1 1
L
1 2 3 4 −1
t
T 2 0 2 2 bn = − sin(nω0t)dt + sin(nω0t)dt T T − T 0 2
∫Biblioteka Baidu
∫
2 1 2 1 cos(nω0t) T + = [−cos(nω0t)] 2 − T nω0 T nω0 0 2 2 0, n为偶数 = [1− cos(nπ )] = 4 nπ ， n为奇数 《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS nπ
F(ω) =
∞
∞
∞
有
∫ F(0) = ∫
−∞ ∞
f (t)e− jωtdt
−∞
f (t)e− j0tdt =
∫
∞
−∞
f (t)dt
表明频谱密度中的直流分量等于信号在时域中的积分。 表明频谱密度中的直流分量等于信号在时域中的积分。 《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS ZB
（2）根据傅立叶反变换的定义： ）根据傅立叶反变换的定义：
ω
ω 1 f (−2t) ↔ F(− ) 2 2 ω
∴
dF(− ) j 2 − F(− ω ) tf (−2t) − 2 f (−2t) ↔ 《信号与系统》SIGNALS dω SYSTEMS 2 AND 2
j 根据频域微分性， 根据频域微分性，有 tf (−2t) ↔ 2 ω
dF(− ) 2 dω
SIGNALS AND SYSTEMS
信号与系统
第三章 连续信号与系统的频域分析 习题
南京邮电大学 信号分析与信息处理教学中心
2006.1
《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
3-1 试判定下列信号是周期信号还是非周期信号？若是 试判定下列信号是周期信号还是非周期信号？ 周期信号，试求出其周期。 周期信号，试求出其周期。 (2) asin2t + bcosπt (4) (sinπt)2
解： (2) 为非周期信号 T →∞
1− cos2πt (4) (sinπt) = 2
2
2π =1 为周期信号 T = 2π
《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
3-2 试将图示周期信号展开成三角型和指数型傅里叶级 数。 (a) f (t) 解： 为奇谐函数， (a) f (t) 为奇谐函数，故
双边相位频谱： 双边相位频谱：
2π 2π θn 2π 5 1 5 −8 3 3 1 3 0 2π 8 nω0 8 nω0 2π −5 −1 2π − − − 《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS ZB 3 3 3
3-14 已知周期信号 f (t) 的双边频谱如图所示： 的双边频谱如图所示： Fn 3 的指数型傅里叶级数； （1）写出 f (t)的指数型傅里叶级数； ） 2 的单边频谱； （2）画出 f (t)的单边频谱； ） −3 的三角型傅里叶级数； （3）写出 f (t)的三角型傅里叶级数； −2 −1 0 1 2 3 nω0 ） π θn 的功率谱。 （4）画出 f (t)的功率谱。 解：（1） π ：（1 −j
=
2
t 1 0 1 2t f5(t) =1.5 f ( −1) =1.5 f (t − 2) (f) 2 2 (f) 3 − j2ω ↔3F(2ω)e = (e j2ω − j2ωe j2ω −1)e− j2ω 4ω2 3 = (1− j2ω − e− j2ω ) 《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS ZB 4ω2
ZB
3-33 试应用调制定理，求题示信号 试应用调制定理， 的傅里叶变换，并画出频谱图。 的傅里叶变换，并画出频谱图。 解： (t) = ε (t + π ) −ε (t − π )cos20t f

π − 5 5 5 π π 2π π Sa( ω) Qε (t + ) −ε (t − ) ↔ 5 5 5 5
(a)
1
f (t) cos20t
0
π t
5
∴根据调制定理： π f (t) ↔ Sa (ω + 20) + Sa (ω − 20) 5 5 5 π F(ω) 5
π π
其频谱如图所示： 其频谱如图所示：
《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
4
ω
，
为偶函数， 为奇函数， 且 f1(t)为偶函数， f2(t)为奇函数，试求 f1(t)和 f2(t) 。 解：由题意知
f1(t) ↔4Sa(ω) = AτSa( Aτ = 4,
ωτ
2
),
ωτ
2
4
= ω,
即A = 2,
τ = 2,
∴ f1(t) = 2g2 (t)
2 f2(t) ↔− j = 2 × jω ω ∴ f2(t) = 2sgn(t) 《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
A f (t)
A 2
−τ τ 0 − 2
τ τ
2
t
解： 信号 f (t)可以分解为： 可以分解为：
《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
A A f (t) = gτ (t) + g2τ (t) 2 2 Aτ ωτ ↔ Sa( ) + AτSa(ωτ) 2 2
ZB
3-26 已知
f (t) = f1(t) + f2(t)的频谱密度函数 F(ω) = 4Sa(ω) − j
ω2
(cosω +ωsinω −1)e− jω
1.5
f5(t)
3-37 已知 f (t) ↔ F(ω) ，试求下列各函数的傅里叶变换。 试求下列各函数的傅里叶变换。
(t − 2) f (t)e jω0 (t −3) （2 ） 原式＝ 解：原式＝ − j3ω0
e
tf (t)e
jω0t
− 2 f (t)e
∞
F(ω) =
∫ = e ∫
=
−∞ 0 2t − jωt
e2tε (−t)e− jωtdt e dt
−∞ (2− jω)t 0 e
2 − jω −∞
ZB
1 = 2 − jω 《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
3-19 设 f (t) ↔ F(ω) ，试证： 试证： （1） ∫−∞ f (t)dt = F(0) ） （2） ∫ ∞ F(ω)dω = 2πf (0) ） − 并解释其结果。 并解释其结果。 证明：（ ）根据傅立叶正变换的定义： 证明：（1）根据傅立叶正变换的定义： ：（
L
− T 2
L
T − 4
0
T 4
T 2
t
为偶函数， (2) f (t) 为偶函数，且只含奇次谐波
f (t)
L
0 T T T − − 《信号与系统》SIGNALS AND 2 4 4
L
t T SYSTEMS 2
ZB
3-11 周期信号 f (t) = 3cos t + sin( 5t − 6 ) − 2cos(8t − 3 )， 试分别画出此信号的单边、双边幅度频谱和相位频谱图。 试分别画出此信号的单边、双边幅度频谱和相位频谱图。 π π 解： f (t) = 3cost + sin(5t − ) − 2cos(8t − )
0
T
ZB
3-4 已知周期信号 f (t) 的前四分之一周期的波形如图所 且其余每一段四分之一周期的波形要与之相同， 示，且其余每一段四分之一周期的波形要与之相同，试 整个周期的波形。 就下列情况分别画出 f (t)整个周期的波形。 为偶函数， 解：(1) f (t) 为偶函数，且只含偶次谐波
f (t)
(1 )
− jnω0 T 2 ) = 1 (1− e− jnπ )
−
=
T 1 δ (t) −δ (t − )e− jnω0tdt = (1− e T 2 T − 4
3T 4
T
∴ f (t) =
n=−∞
∑
∞
F e jnω0t = n
n=−∞
∑
∞
1 (1− e− jnπ )e jnω0t T
jω0t
↓频 ＋ 移 微 频

↓频 移
↔e
− j 3ω0
dF(ω − ω0 ) − 2F(ω − ω0 ) j dω
比例性
（6） (t − 2) f (2 − t) 解： f (−t) ↔ F(−ω)
F(−ω) tf (−t) ↔ j dω
频域微分性 F(−ω) − j2ω e 原式= (t − 2) f [− (t − 2)] ↔ j 时移性 《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS ZB dω
6 3 2π 2π = 3cost + cos(5t − ) + 2cos(8t + ) 3 3
π
π
单边幅度频谱： 单边幅度频谱：
A n 3
双边幅度频谱： 双边幅度频谱：
1 0.5
Fn 1.5 1.5
1
2
0.5 1
5 8 nω0
01
5 8 nω0
−8 −5 −1 1
单边相位频谱： 单边相位频谱：
ϕn
ZB
dF(ω) tf (t) ↔ j 根据频域微分性， 解：根据频域微分性有 ， dω dF(ω) − jω 根据时移性， e 根据时移性，有 (t −1) f (t −1) ↔ j dω dF(ω) − jω ∴ e 原式= −(t −1) f (t −1) ↔− j dω t (10) (t − 2) f ( ) 2
n=−∞ 《信号与系统》SIGNALS AND n=−∞ SYSTEMS
2π ↔ T
∑(1− e
∞
− jnπ
2π )δ (ω − nω0) = T
∑[
∞
2nπ 1− (−1) δ (ω − ) T
n
ZB
]
3-18 试求下列函数的傅里叶反变换： 试求下列函数的傅里叶反变换：
ω2 2 解： Qsgn(t) ↔ jω
ZB
3-20 试求图示周期信号的频谱密度函数。 b） 试求图示周期信号的频谱密度函数。 ） （ (1 f (t) ) 解： ω = 2π 0 3T T T 3T T −
Fn = 1 T 1 T
∫ ∫
3T 4 T 4
f (t)e− jnω0tdt
L − 2 L 2 2 2 −2T −T 0 T 2T t
f (t) = e
j 2π −j 3 e− j2t + 2e 3 e− jt
−3 −2 −1 0
2π π （3） f (t) = 2 + 4cos(t + ) + 2cos(2t + ) 3 3
2π π j + 2 + 2e 3 e jt + e 3 e j2t
−π
1 2 3 nω0
（2）单边频谱
A n
1 ∞ f (t) = F(ω)e jωtdω 2π −∞
∫
有 即
1 ∞ 1 ∞ f (0) = F(ω)e jω0dω = F(ω)dω 2π −∞ 2π −∞
∫
∫
∫
∞
−∞
F(ω)dω = 2πf (0)
表明频谱密度函数的积分等于时域中的 f (0) 值乘 以 2π 。 《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
(7) tf (2t)
解：根据比例性，有 根据比例性，
1 ω f (2t) ↔ F( ) 2 2
(8) (t − 2) f (−2t) 解：原式= tf (−2t) − 2 f (−2t)
根据比例性， 根据比例性，有
dF( ) j 2 再利用频域微分性， 再利用频域微分性，得 tf (2t) ↔ 2 dω
根据频域微分性质，有 根据频域微分性质，
(7)
F(ω) = −
2
d 2 2 − jt sgn(t) ↔ ( ) =− dω jω jω2
再利用线性性质， 再利用线性性质，得
−
2
《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ω
2
↔t sgn(t)
ZB
3-21 试求图示信号的傅里叶变换。 试求图示信号的傅里叶变换。 （b） ）
−20 0
20
ZB
f2(t) 3-34 已知图 所示锯齿脉冲 f (t)的傅 f (t) 已知图(a)所示锯齿脉冲 1 1 1 jω jω 里叶变换 F(ω) = (e − jωe −1)， −1 0 t 0 1 2t ω2 (a) (c) 利用傅里叶变换的性质，求图(c) 利用傅里叶变换的性质，求图 、(f) 所示信号的傅里叶变换。 所示信号的傅里叶变换。 解:(c) f2(t) = f (t −1) + f (−t +1) = f (t −1) + f [−(t −1)] ↔ F(ω)e− jω + F(−ω)e− jω = [F(ω) + F(−ω)]e− jω
4
2
2
（4）功率谱
1
n 4 F
2
1
π ϕn
0 1 2 3 nω0
《信号与系统》SIGNALS 0 0 −3 −2 −1 0 1 2 3 nωAND SYSTEMS 1 ZB2 3 nω0
3-17 求下列函数的傅里叶变换： 求下列函数的傅里叶变换： (7) f (t) = e2tε (−t) 解：根据傅立叶变换的定义： 根据傅立叶变换的定义：