国家集训队2009论文集分治算法在树的路径问

分治算法在树的路径问题中的应用

【摘要】

树作为一类特殊的数据结构，在信息学中有着极为重要的作用，各类关于树的题目在竞赛中更是屡见不鲜。本文选取了近几年出现的关于树的路径的题目，并结合例题讲解了分治算法在此类问题上的应用。

【关键字】

树路径路径剖分分治数据结构

【目录】

【序言】 (3)

【正文】 (4)

一.树的分治算法 (4)

基于点的分治： (4)

基于边的分治： (4)

效率分析： (5)

【例1】树中点对统计 (8)

算法分析 (8)

【例2】Free Tour 2 (10)

算法分析 (10)

【本节小结】 (13)

二．树的路径剖分算法： (14)

【例3】Query On a Tree (14)

算法分析 (14)

引入路径剖分 (14)

轻重边路径剖分 (15)

【例4】黑白树 (17)

算法分析 (17)

【小结】 (18)

路径剖分与树的分治的联系： (19)

【例5】Query On a Tree Ⅳ (20)

算法分析 (20)

【本节小结】 (23)

三．树的分治的进一步探讨： (24)

如何改进基于边的分治的时间复杂度 (24)

使用基于边的分治解决【例2】 (26)

使用基于边的分治解决【例5】 (27)

四．全文总结 (28)

【参考文献】 (29)

【感谢】 (29)

【附录】 (29)

树被定义为没有圈的连通图，具有以下几个性质：

1.在树中去掉一条边后所得的图是不连通的。

2.在树中添加一条边后所得的图一定存在圈。

3.树的每一对顶点U和V之间有且仅有一条路径。

由于树具有一般图所没有的特点，因此在竞赛中有着更加广泛的应用，尤其是关于树中路径的问题，即一类以路径为询问对象的题目，更是频繁的出现在各种比赛中，每一个有志于OI及ACM的选手都应该掌握这类问题的算法。

分治，指的是分而治之，即将一个问题分割成一些规模较小的相互独立的子问题，以便各个击破。我们常见的是在一个线性结构上进行分治，而在本文中我们将会讲解分治算法在树结构上的运用，称之为树的分治算法。

分治往往与高效联系在一起，而树的分治正是一种用来解决树的路径问题的高效算法。

下面让我们一起来感受树的分治算法的美妙吧。

一.树的分治算法

下面给出树的分治算法的两个常见形式：

基于点的分治：

首先选取一个点将无根树转为有根树，再递归处理每一颗以根结点的儿子为根的子树。

基于边的分治：

在树中选取一条边，将原树分成两棵不相交的树，递归处理。

效率分析：

首先我们考虑如何选取点（边）。对于基于点的分治，我们选取一个点，要求将其删去后，结点最多的树的结点个数最小，这个点被称为“树的重心”。而基于边的分治，我们选取的边要满足所分离出来的两棵子树的结点个数尽量平均，这条边称为“中心边1”。而对于这两个问题，都可以使用在树上的动态规划来解决，时间复杂度均为)(N O ，其中N 为树的结点总数。

对于树的分治算法来说，递归的深度往往决定着算法效率的高低，下面我们来分析上述两种方式的最坏递归深度。

定理1：存在一个点使得分出的子树的结点个数均不大于2/N

证明：

假设U 是树的重心，它与Vk V V 2,1相邻，记)(X Size 表示以X 为根的子树的结点个数。记V 为Vk V 1中Size 值最大的点。

我们采取反证法，即假设2/)(N V Size >，那么我们考虑如果选取V 作为根结点的情况，记)('X Size 表示此时以X 为根的子树的结点个数。

如下图，对于A 部分，显然)()('V Size Ti Size <，对于B 部分，Size(V)N/2 Size(V)-N (U)Size'<<=，这与我们假设矛盾。

定理得证。

1 由于作者没有在有关文献中发现这条边的名称，暂且称之为中心边

由定理1可得，在基于点的分治中每次我们都会将树的结点个数减少一半，因此递归深度最坏是)(log N O 的，在树是一条链的时候达到上界。

定理2：如果一棵树中每个点的度均不大于D ，那么存在一条边使得分出的两棵子树的结点个数在)]1/(*),1/([++D D N D N 。)2(>=N

证明：

不妨令D 为所有点的度的最大值。

当1=D 时，命题显然。

当1>D 时，我们设最优方案为边V U -，且以V U ,为根的两棵子树的结点个数分别为S 和S N -，不妨设S N S ->=。

设X 为U 的儿子中以X 为根的子树的结点个数最大的一个，我们考虑另一种方案U X -，设除去边U X -后以X 为根的子树结点个数为P 。显然)1/()1(-->=D S P ，由于S P <且边V U -是最优方案，所以S P N >=-，与)1/()1(-->=D S P 联立可得D N D S /)1)1((+-<=，又1+>=D N ，所以)1/(*+<=D D N S 。

证毕。

由定理2我们可以得到在D 为常数时，基于边的分治递归最坏深度为)(log N O 。

但是在一般的题目中，D 可能较大甚至达到)(N O ，这时这个算法的效率十分低，因此在本节中我们只考虑使用基于点的分治。

【例1】树中点对统计2

给定一棵)100001(<=<=N N 个结点的带权树，定义),(v u dist 为v u ,两点间的最短路径长度，路径的长度定义为路径上所有边的权和。

再给定一个)101(9<=<=K K ，如果对于不同的两个结点b a ,，如果满

足K b a dist <=),(，则称),(b a 为合法点对。

求合法点对个数。

算法分析

如果使用普通的DFS 遍历，时间复杂度高达)(2N O ，而使用时

间复杂度为)(NK O 的动态规划，更是无法在规定时限内出解的。

我们知道一条路径要么过根结点，要么在一棵子树中，这启发了我们可以使用分治算法。

路径在子树中的情况只需递归处理即可，下面我们来分析如何处理路径过根结点的情况。

2 Poj1741， LTC_Man_Contest E.Tree