He(e,3e)末态波函数动量相关效应
氢原子的波函数
氢原子是所有原子中最简单的原子，它核外仅有一个电子，电子在核外运动时的势能，只决定于核对它的吸引，它的Schrödinge r方程可以精确求解。
能够精确求解的还有类氢离子，如He+、Li2+离子等。
为了求解方便，要把直角坐标表示的ψ(x，y，z) 改换成球极坐标表示的ψ(r,θ，φ)，二者的关系如图8-3所示：r表示P点与原点的距离，θ、φ称为方位角。
x = r sinθcosφy = r sinθsinφz = r cosθ解出的氢原子的波函数ψn,l,m(r,θ，φ)及其相应能量列于表8-1中。
图8-3 直角坐标转换成球极坐标表8-1氢原子的一些波函数及其能量cos cossin sinsin sin* A1、A2、A3、B均为常数为了方便起见，量子力学借用Bohr N H D理论中“原子轨道” (atomic orbit)的概念，将波函数仍称为原子轨道(atomic orbital)，但二者的涵义截然不同。
例如：Bohr N H D认为基态氢原子的原子轨道是半径等于52.9 pm的球形轨道。
而量子力学中，基态氢原子的原子轨道是波函数ψ1S(r,θ,φ)=A1e-Br，其中A1 和B均为常数，它说明ψ1S在任意方位角随离核距离r改变而变化的情况，它代表氢原子核外1s电子的运动状态，但并不表示1s电子有确定的运动轨道。
1s电子具有的能量是-2.18³10-18J。
氢原子核外电子的运动状态还有许多激发态，如ψ2s(r,θ,φ)、(r,θ,φ)等，相应的能量是-5.45³10-19J。
要解出薛定谔方程的ψ和E，必须要满足一定的条件，才能使解是合理的，因此，在求解过程中必需引进n , l , m三个量子数。
这三个参数的取值和组合一定时，就确定了一个波函数。
三个量子数的取值限制和它们的物理意义如下：常用符号n表示。
它可以取非零的任意正整数，即1，2，3 …n 。
它决定电子在核外空间出现概率最大的区域离核的远近，并且是决定电子能量高低的主要因素。
量子力学最全名词解释及知识点整理
是三重简并的，对应于这些能级的态称为三重态（ | 1,1⟩, | 1, − 1⟩, | 1,0⟩）
29. 正氦与仲氦p206
处于三重态的氦称为正氦，处于单态的氦称为仲氦，或者说基态的氦是仲氦
一些结论
1. 谐振子能量本征函数及其性质


为动量，λ为波⻓。
4. 态叠加原理（Superposition principle）：p17
对 于 一 般 的 情 况 ， 如 果 ψ1 和 ψ2 是 体 系 的 可 能 状 态 ， 那 么 它 们 的 线 性 叠 加
ψ = c1ψ1 + c2ψ2也是这个体系的一个可能状态，其中c1和c2为复常数。
20. 偶极跃迁、偶极近似（Electric Dipole Approximation）： p146
由于电磁波中电场对电子能量的影响远大于磁场，忽略光波中的磁场作用和原子的尺
寸，把电场近似地用Ex = E0 cos ωt（沿z轴传播的平面单色偏振光的电场）表示后得到的
结果，这样讨论的跃迁称为偶极跃迁，这种近似叫做偶极近似。
22. 简单塞曼效应、复杂塞曼效应（Zeeman e ect）：p181
在外磁场较强的情况下，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中将分裂为三条，这就是 简单塞曼效应。
在外磁场较弱时，电子自旋与轨道相互作用不能够忽略，光谱线分裂成偶数条，这称 为复杂塞曼效应。
23. 好量子数：p187
守恒量的特点：测量值的几率分布不随时间变化，守恒量的量子数称为好量子数。
•
谐振子能量的本征函数为：ψn(x)
=
Nne−
1 2
α2 x2Hn(α
大学物理课件：23-2波函数与薛定谔方程
0.091
例：试求在一维无限深势阱中n=1粒子概率密度的最大值的位置。
解：一维无限深势阱中n=1粒子的概率密度为
1(x)
2
2 a
sin2
a
x
n (x)
d 1(x) 2
dx
4
a2
sin
a
x
cos
a
x0
2 sin n x
aa
因为粒子在阱内，则
sin
a
x
0
cos
a
x
0
a
x
2
由此解得最大值得位置为
在 dV 空间内发现粒子的概率： dP 2 dV *dV
概率密度 表示在某处单位体积内发现粒子的概率. Ψ 2 *
某一时刻在整个空间内发现粒子的概率为:
Ψ
2
dV
1
归一化条件
波函数的标准化条件
1）波函数具有有限性
有限空间内：
Ψ
2
dV
1
2）波函数是连续的
3）波函数是单值的
例：作一维运动的粒子被束缚在 0 x的 a范围内。已知其波函数
移动原子
六、一维简谐振子
微观领域中分子的振
动、晶格的振动、，都
可以近似地用简谐振子模
型来描述 。
一维简谐振子的经典模型
一维简谐振子的势函数：
U (x) 1 kx2 1 m2x2
2
2
k m,
m —— 振子质量， —— 固有频率，x —— 位移
相应的定态薛定谔方程为 ：
2 d2 1 m 2 x2 E
2
2m
d2 dx2
U
x
x
E
x
2
量子力学复习题
量子力学练习题做题时应注意的几个问题：1.强调对量子力学概念、知识体系的整体理解。
2.注重量子力学基本原理的理解及其简单的应用，如：无限深势阱、谐振子和氢原子等重要问题的求解及其结论，并与其对应的经典理论进行比较，力争把量子力学理论融汇贯通。
3.数学手段上，应多看示例，尽量避免陷入过多的、繁难的数学计算中。
4.通过完成练习题，使自己加深对理论内容的理解，通过把实际物理过程用数学模型求解，培养自己独立解决实际问题的能力。
1.能量为100ev 的自由电子的De Broglie 波长是2.温度T=1k 时，具有动能E k T B =32(k B 为Boltzeman 常数)的氦原子的De Broglie 波长是 pton 效应证实了4.Davisson 和Germer 的实验证实了5. 设ψδ()()x x =，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为 A.δ()x . B.δ()x dx . C.δ2()x . D.δ2()x dx .6. 设粒子的波函数为 ψ(,,)x y z ，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为7.设ψ1()x 和ψ2()x 分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态c x c x 1122ψψ()()+的几率分布为A.c c 112222ψψ+.B. c c 112222ψψ++2*121ψψc c .C. c c 112222ψψ++2*1212ψψc c .D. c c 112222ψψ++c c c c 12121212****ψψψψ+. 8.波函数应满足的标准条件是A.单值、正交、连续.B.归一、正交、完全性.C.连续、有限、完全性.D.单值、连续、有限. 9.有关微观实物粒子的波粒二象性的正确表述是A.波动性是由于大量的微粒分布于空间而形成的疏密波.B.微粒被看成在三维空间连续分布的某种波包.C.单个微观粒子具有波动性和粒子性. 10.已知波函数ψ1=-+u x i Et u x i Et ()exp()()exp() , ψ21122=-+u x i E t u x i E t ()e x p ()()e x p (),ψ312=-+-u x i Et u x iEt ()exp()()exp() , ψ41122=-+-u x i E t u x i E t ()e x p ()()e x p ().其中定态波函数是11.若波函数ψ(,)x t 归一化，则A.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都是归一化的波函数.B.ψ(,)exp()x t i θ是归一化的波函数，而ψ(,)exp()x t i -δ不是归一化的波函数.C.ψ(,)exp()x t i θ不是归一化的波函数，而ψ(,)exp()x t i -δ是归一化的波函数.D.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都不是归一化的波函数.(其中θδ,为任意实数) 12.波函数ψ1、ψψ21=c (c 为任意常数)， A.ψ1与ψψ21=c 描写粒子的状态不同.B.ψ1与ψψ21=c 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是1: c .C.ψ1与ψψ21=c 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是2:1c . D.ψ1与ψψ21=c 描写粒子的状态相同. 13 电流密度矢量的表达式为A. J q =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. B. J iq =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. C. J iq =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. D. J q =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. 14. 在一维无限深势阱U x x ax a (),,=<∞≥⎧⎨⎩0中运动的质量为μ的粒子的能级为A.πμ22222 n a , B.πμ22224 n a , C.πμ22228 n a , D.πμ222216 n a. 15. 在一维无限深势阱U x x b x b (),/,/=<∞≥⎧⎨⎩022中运动的质量为μ的粒子的能级为A.πμ22222 n b ,B.πμ2222 n b , C.πμ22224 n b , D.πμ22228 n b .16. 在一维无限深势阱U x x ax a (),,=<∞≥⎧⎨⎩0中运动的质量为μ的粒子处于第一激发态，其位置几率分布最大处是17.在一维无限深势阱中运动的粒子，其体系的A.能量是量子化的，而动量是连续变化的.B.能量和动量都是量子化的.C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的.18线性谐振子的第一激发态的波函数为ψαα()exp()x N x x =-122122,其位置几率分布最大处为19.线性谐振子的能量本征方程是A.[]-+= 222222212μμωψψd dx x E .B.[]--= 22222212μμωψψd dx x E . C.[] 22222212μμωψψd dx x E -=-. D.[] 222222212μμωψψd dx x E +=-. 20.在极坐标系下,氢原子体系在dr 球壳内找到电子的几率为 A.r r R nl )(2. B.22)(r r R nl . C.rdr r R nl )(2. D.dr r r R nl 22)(. 21. 在极坐标系下,氢原子体系在Ωd 方向上找到电子的几率为A.),(ϕθlm Y .B. 2),(ϕθlm Y . C. Ωd Y lm ),(ϕθ. D. Ωd Y lm 2),(ϕθ.22. F和 G 是厄密算符,则 A. FG必为厄密算符. B. FG GF -必为厄密算符. C.i FG GF ( )+必为厄密算符. D. i FGGF ( )-必为厄密算符. 23.二维自由粒子波函数的归一化常数为(归到δ函数)A.1212/()/π .B.12/()π .C.1232/()/π .D.122/()π 24.角动量Z 分量的归一化本征函数为A.12πϕexp()im . B. )exp(21r k i ⋅π. C.12πϕexp()im . D.)exp(21r k i⋅π.25.波函数)exp()(cos )1(),(ϕθϕθim P N Y m l lm m lm -=A. 是 L 2的本征函数,不是 L z 的本征函数.B.不是 L 2的本征函数,是 L z 的本征函数. C 是 L 2、 L z 的共同本征函数. D. 即不是 L 2的本征函数,也不是 L z的本征函数. 47.若不考虑电子的自旋,氢原子能级n=3的简并度为26.设体系处于ψ=--123231102111R Y R Y 状态,则该体系的能量取值及取值几率分别为27.一振子处于ψψψ=+c c 1133态中,则该振子能量取值分别为. 28.电子在库仑场中运动的能量本征方程是A.[]-∇+= 2222μψψze r E s .B. []-∇+= 22222μψψze r E s.C.[]-∇-= 2222μψψze r E s . D.[]-∇-= 22222μψψze rE s.29.如果力学量算符 F和 G 满足对易关系[ , ]F G =0, 则 A. F和 G 一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量可同时具有确定值. B. F和 G 一定存在共同本征函数,且在它们的本征态中它们所代表的力学量可同时具有确定值.C. F和 G 不一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量不可能同时具有确定值.D. F和 G 不一定存在共同本征函数,但总有那样态存在使得它们所代表的力学量可同时具有确定值.30.氢原子的能量本征函数ψθϕθϕnlm nl lm r R r Y (,,)()(,)=A.只是体系能量算符、角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z 分量算符的本征函数.B.只是体系能量算符、角动量Z 分量算符的本征函数,不是角动量平方算符的本征函数.C.只是体系能量算符的本征函数,不是角动量平方算符、角动量Z 分量算符的本征函数.D.是体系能量算符、角动量平方算符、角动量Z 分量算符的共同本征函数. 31.体系处于ψ=+c Y c Y 111210态中,则ψA.是体系角动量平方算符、角动量Z 分量算符的共同本征函数.B.是体系角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z 分量算符的本征函数.C.不是体系角动量平方算符的本征函数,是角动量Z 分量算符的本征函数.D.即不是体系角动量平方算符的本征函数,也不是角动量Z 分量算符的本征函数. 32.一粒子在一维无限深势阱中运动的状态为)(22)(22)(21x x x ψψψ-=,其中ψ1()x 、ψ2()x 是其能量本征函数,则ψ()x 在能量表象中的表示是33.在( , L L z 2)的共同表象中,波函数φ=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪22101,在该态中 L z 的平均值为 34.算符 Q只有分立的本征值{}Q n ,对应的本征函数是{()}u x n ,则算符 (,)F x i x∂∂在 Q 表象中的矩阵元的表示是A.F u x F x i x u x dx mn n m =⎰*()(,)() ∂∂.B.F u x F x i x u x dx mn m n =⎰*()(,)() ∂∂. C.F u x F x i x u x dx mn n m =⎰()(,)()* ∂∂. D.F u x F x i xu x dx mn m n =⎰()(,)()*∂∂. 35.用变分法求量子体系的基态能量的关键是A. 写出体系的哈密顿. B 选取合理的尝试波函数.C 计算体系的哈密顿的平均值.D 体系哈密顿的平均值对变分参数求变分. 36 .Stern-Gerlach 实验证实了A. 电子具有波动性.B.光具有波动性.C. 原子的能级是分立的.D. 电子具有自旋. 129.单电子的Pauli 算符平方的本征值为A. 0.B. 1.C. 2.D. 3. 37 .Pauli 算符的三个分量之积等于 A. 0. B. 1. C. i . D. 2i .38在s z 表象中,χ=⎛⎝ ⎫⎭⎪3212//,则在该态中s z 的可测值分别为A. ,-.B. /,2.C. /,/22-.D. ,/-2.39 .全同粒子体系中,其哈密顿具有交换对称性,其体系的波函数A.是对称的.B.是反对称的.C.具有确定的对称性.D.不具有对称性. 40 .分别处于p 态和d 态的两个电子,它们的总角动量的量子数的取值是 41.束缚态的特点是 。
原子物理量子力学主要知识点复习
1.爱因斯坦关系是什么？什么是波粒二象性？答：爱因斯坦关系：⎪⎩⎪⎨⎧========k n n h n c h n c E p h hv Eλπλνπω22 其中 波粒二象性：光不仅具有波动性，而且还具有质量、动量、能量等粒子的内禀属性，就是说光具有波粒二象性。
2.α粒子散射与夫兰克-赫兹实验结果验证了什么？ 答：α粒子散射实验验证了原子的核式结构，夫兰克-赫兹实验验证了原子能量的量子化3.波尔理论的内容是什么？波尔氢原子理论的局限性是什么？ 答：波尔理论：（1）原子能够而且只能够出于一系列分离的能量状态中，这些状态称为定态。
出于定态时，原子不发生电磁辐射。
（2）原子在两个定态之间跃迁时，才能吸收或者发射电磁辐射，辐射的频率v 由式12E E hv -=决定（3）原子处于定态时，电子绕原子核做轨道运动，轨道角动量满足量子化条件： n r m = υ 局限性：（1）不能解释较复杂原子甚至比氢稍复杂的氦原子的光谱； （2）不能给出光谱的谱线强度（相对强度）；（3）从理论上讲，量子化概念的物理本质不清楚。
4.类氢体系量子化能级的表示，波数与光谱项的关系？答：类氢体系量子化能级的表示：()22202442nZ e E n πεμ-= 波数与光谱项的关系 ,4,5.3,3,5.2,121ˆ22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n R v5.索莫菲量子化条件是什么，空间取向量子化如何验证？ 答：索莫菲量子化条件是nh q p =⎰d空间取向量子化通过史特恩-盖拉赫（Stern-Gerlach ）实验验证。
、 6.碱金属的四个线系，选择定则，能级特点及形成原因？ 答：碱金属的四个线系：主线系、第一辅线系（漫线系）、第二辅线系（锐线系）、柏格曼系（基线系）碱金属的选择定则：1,0,1±=∆±=∆j l碱金属的能级特点：碱金属原子的能级不但与主量子数n 有关，还和角量子数l 有关；且对于同一n ，都比氢(H)能级低。
量子力学简答题题库 (1)
处的几率密度；
d 3r (r, ) 2
2
表示电子自旋向下（s z
) 的几率。 2
19、何谓正常塞曼效应？正常塞曼效应的本质是什么？何谓斯塔克效应？ 在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。原 子置于外电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。 20、何谓反常塞曼效应，有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为几条？ 答：在弱磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为（2j+1）条（偶数）的现象称 为反常塞曼效应。对简单的塞曼效应，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂 为三条。 21、简述定态微扰论的基本思想，对哈密顿量 H 有什么样的要求？ 答：微扰方法的基本物理思想：在简化系统的解的基础上，把真实系统的哈密顿 算符中没有考虑的因素加进来，得到真实系统的近似解。
3
因此用算符表示力学量是适当的。 力学量必须用线性厄米算符表示，这是由量子态叠加原理所要求的；任何
力学量的实际测量值必须是实数，因此它的本征值也必为实数，这就决定了力学 量必须由厄米算符来表示。 10、简述量子力学的五个基本假设。 （1）微观体系的运动状态由相应的归一化波函数描述； （2）微观体系的运动状态波函数随时间变化的规律遵从薛定谔方程； （3）力学量由相应的线性算符表示； （4）力学量算符之间有想确定的対易关系，称为量子条件；坐标算符的三个直 角坐标系分量之间的対易关系称为基本量子条件；力学量算符由其相应的量子条 件决定。 （5）全同的多粒子体系的波函数对于任意一对粒子交换而言具有对称性：波色 子系的波函数是对称的，费米子系的波函数是反对称的。 11、简并、简并度。 答：量子力学中，把处于不同状态、具有相同能量、对应同一能级的现象称为简 并。把对应于同一能级的不同状态数称为简并度。 12、简述测不准关系的主要内容，并写出时间 t 和能量 E 的测不准关系。 答：某一个微观粒子的某些成对的物理量不可能同时具有确定的数值，例如位置 与动量、力；位角与角动量，其中一个量越确定，另一个量就越不确定。它来源 于物质的波粒二象性，测不准关系是从粒子的波动性中引出来的。测不准关系有 两种形式，一种是动量-坐标的关系，另一种是能量-时间的关系。
量子力学知识点总结
量子力学期末复习完美总结一、 填空题1．玻尔-索末菲的量子化条件为：pdq nh =⎰，（n=1,2,3,....)，2．德布罗意关系为：hE h p k γωλ====； 。
3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为：212mV h A υ=-， 4．波函数的统计解释：()2r t ψ，代表t 时刻，粒子在空间r 处单位体积中出现的概率，又称为概率密度。
这是量子力学的基本原理之一。
波函数在某一时刻在空间的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的几率成正比，和粒子联系的波是概率波。
5．波函数的标准条件为：连续性，有限性，单值性 。
6．，为单位矩阵，则算符的本征值为：1± 。
7．力学量算符应满足的两个性质是 实数性和正交完备性 。
8．厄密算符的本征函数具有： 正交性，它们可以组成正交归一性。
即()m n mn d d λλφφτδφφτδλλ**''==-⎰⎰或。
9．设 为归一化的动量表象下的波函数，则 的物理意义为：表示在()r t ψ，所描写的态中测量粒子动量所得结果在p p dp →+范围内的几率。
10.i ；ˆxi L ；0。
11．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则_0__。
12．坐标和动量的测不准关系是： ()()2224x x p ∆∆≥。
自由粒子体系，_动量_守恒；中心力场中运动的粒子__角动量__守恒13．量子力学中的守恒量A 是指:ˆA不显含时间而且与ˆH 对易，守恒量在一切状态中的平均值和概率分布都不随时间改变。
14．隧道效应是指：量子力学中粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。
15． 为氢原子的波函数，的取值范围分别为：n=1,2,3,… ；l=0,1,…,n -1；m=-l,-l+1,…,0,1,…l 。
16．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并为: 2n ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 22n ，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为 12+j 。
曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-波函数与Schr
第1章波函数与Schrödinger方程1.1 复习笔记一、波函数的统计诠释1．实物粒子的波动性de Broglie（1923）提出了实物粒子（静质量m≠0的粒子，如电子）也具有波粒二象性（wave-particle duality）的假设，即与动量为p和能量为E的粒子相应的波的波长λ和频率ν为并称之为物质波（matter wave）．2．波粒二象性的分析（１）包括波动力学创始人Schrödinger，de Broglie等在内的一些人，他们曾经把电子波理解为电子的某种实际结构，即看成三维空间中连续分布的某种物质波包．物质波包的观点显然夸大了波动性一面，而实质上抹杀了粒子性一面，是带有片面性的．（２）与物质波包相反的另一种看法是：波动性是由于有大量电子分布于空间而形成的疏密波．它夸大了粒子性一面，而实质上抹杀了粒子的波动性一面，也带有片面性．然而，电子究竟是什么东西?是粒子?还是波?电子既是粒子，也是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一．但这个波不再是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念中的粒子．3．概率波，多粒子体系的波函数把粒子性与波动性统一起来．更确切地说，把微观粒子的“原子性”与波的“相干叠加性”统一起来的是M．Born（1926）提出的概率波．表征在r点处的体积元中找到粒子的概率．这就是Born 提出的波函数的概率诠释．它是量子力学的基本原理之一．根据波函数的统计诠释，很自然要求该粒子（不产生，不湮没）在空间各点的概率之总和为1，即要求波函数ψ（r）满足下列条件这称为波函数的归一化（normalization）条件．归一化条件就可以简单表示为（ψ，ψ）=14．动量分布概率动量分布概率密度即2．（p）5．不确定性原理与不确定度关系不管粒子处于什么量子态下，它的位置（坐标）和动量不能同时具有完全确定的值，这就是Heisenberg的不确定性原理，上式是它的数学表示式，它是波粒二象性的反映．6．力学量的平均值与算符的引进令称为动量算符．l是一个矢量算符．它的三个分量可以表示为一般说来，粒子的力学量A的平均值可如下求出是与力学量A相应的算符．如波函数未归一化，则与经典Hamilton量H=T+V相应的算符表示为7．统计诠释对波函数提出的要求统计诠释赋予了波函数确切的物理含义．根据统计诠释，究竟应对波函数ψ（r）提出哪些要求?（1）根据统计诠释，要求|ψ（r）|2取有限值似乎是必要的，即要求ψ（r）取有限值．（2）按照统计诠释，一个真实的波函数需要满足归一化条件（平方可积）但概率描述中实质的问题是相对概率．因此，在量子力学中并不排除使用某些不能归一化的理想的波函数．（3）按照统计诠释，要求|ψ（r）|2单值．是否由此可得出要求ψ（r）单值?否．（4）波函数ψ（r）及其各阶微商的连续性．二、Schrödinger方程1．Schrödinger方程的引进在势场V（r）中的粒子的波函数满足的微分方程，称为Schrödinger波动方程，它揭示了微观世界中物质运动的基本规律．2．Schrödinger方程的讨论（１）定域的概率守恒对于一个粒子来说，在全空间中找到它的概率之总和应不随时间改变．即（1）（1）式为概率守恒的微分表达式，其形式与流体力学中的连续性方程相同．（2）初值问题，传播子Schrödinger方程给出了波函数（量子态）随时间演化的因果关系，取初始时刻为t‘，则t时刻波函数可以表示为式中称为传播子（propagator）．可以证明就是t时刻在r点找到粒子的概率波幅．3．能量本征方程以下讨论一个极为重要的特殊情况——假设势能V不显含t（经典力学中，在这种势场中的粒子的机械能是守恒量）．其中ψE（r）满足下列方程：（2）在有的条件下，特别是束缚态边条件，只有某些离散的E值所对应的解才是物理上可以接受的．这些E值称为体系的能量本征值（energy eigen value），而相应的解ψ（r）称为能量本征函数（energy eigen unction）．方程（2）就是势场V（r）中粒子的能量本征方程，也称为不含时（time-independent）Schrödinger方程．不同的能量本征值相应的本征函数是正交归一化的（设E取离散值），即Schrödinger方程的更普遍的表示是（3）是体系的Hamilton算符．当不显含t时，体系的能量是守恒量，方程（3）可以分离变量．此时，不含时Schrödinger方程，即能量本征方程，为4．定态与非定态若在初始时刻（t=0）体系处于某一个能量本征态ψ（r，0）=ψE（r），则（4）形式如式（4）的波函数所描述的态，称为定态（stationary state）．处于定态下的粒子具有如下特征：（1）粒子在空间的概率密度ρ（r）= |ψ（r）|2以及概率流密度j显然不随时间改变（2）任何（不显含t的）力学量的平均值不随时间改变．（3）任何（不显含t的）力学量的测量概率分布也不随时间改变．由若干个能量不同的本征态的叠加所形成的态，称为非定态（non stationary state）．5．多粒子体系的Schrödinger方程设体系由N个粒子组成，粒子质量分别为m i（i=1，2，3，…，N）．体系的波函数表示为ψ（r1，…，r N，t）．设第i个粒子受到的外势场为U i（r i），粒子之间相互作用为V （r1，…，r N，t），则Schrödinger方程表示为其中。
原子物理学试题
原⼦物理学试题⾼校原⼦物理学试题试卷⼀、选择题1.分别⽤１MeV的质⼦和氘核（所带电荷与质⼦相同，但质量是质⼦的两倍）射向⾦箔，它们与⾦箔原⼦核可能达到的最⼩距离之⽐为：Ａ.1/4;Ｂ.1/2; Ｃ.１; Ｄ.２.2.处于激发态的氢原⼦向低能级跃适时，可能发出的谱总数为：; ; ; .3.根据玻尔－索末菲理论，n=4时氢原⼦最扁椭圆轨道半长轴与半短轴之⽐为：；; ; .电⼦的总⾓动量量⼦数j可能取值为：2，3/2; 2，5/2; 2，7/2; 2，9/2.5.碳原⼦（C，Z＝6）的基态谱项为;;;.6.测定原⼦核电荷数Z的较精确的⽅法是利⽤A.α粒⼦散射实验;B. x射线标识谱的莫塞莱定律;C.史特恩－盖拉赫实验；D.磁谱仪.7.要使氢原⼦核发⽣热核反应，所需温度的数量级⾄少应为（K）;;;.8.下⾯哪个粒⼦最容易穿过厚层物质？A.中⼦；B.中微⼦；C.光⼦；D.α粒⼦9.在（1）α粒⼦散射实验，（2）弗兰克－赫兹实验，（3）史特恩－盖拉实验，（4）反常塞曼效应中，证实电⼦存在⾃旋的有：A.（1），（2）;B.（3）,（4）;C.（2）,（4）;D.（1）,（3）.l的简并消除. 论10.论述甲：由于碱⾦属原⼦中，价电⼦与原⼦实相互作⽤，使得碱⾦属原⼦的能级对⾓量⼦数述⼄：原⼦中电⼦总⾓动量与原⼦核磁矩的相互作⽤，导致原⼦光谱精细结构. 下⾯判断正确的是：A.论述甲正确，论述⼄错误;B.论述甲错误，论述⼄正确;C.论述甲，⼄都正确，⼆者⽆联系；D.论述甲，⼄都正确，⼆者有联系.⼆、填充题（每空2分，共20分）1．氢原⼦赖曼系和普芳德系的第⼀条谱线波长之⽐为（）.2．两次电离的锂原⼦的基态电离能是三次电离的铍离⼦的基态电离能的（）倍.3．被电压100伏加速的电⼦的德布罗意波长为（）埃.4．钠D1线是由跃迁（）产⽣的.5．⼯作电压为50kV的X光机发出的X射线的连续谱最短波长为（）埃.6．处于4D3/2态的原⼦的朗德因⼦g等于（）.7．双原⼦分⼦固有振动频率为f，则其振动能级间隔为（）.8．Co原⼦基态谱项为4F9/2，测得Co原⼦基态中包含8个超精细结构成分，则Co核⾃旋I=（）.9．母核A Z X衰变为⼦核Y的电⼦俘获过程表⽰（）。
波函数与量子力学的本征态
波函数与量子力学的本征态波函数是描述量子系统状态的数学工具，它在量子力学中起着重要的作用。
波函数不仅能确定粒子的位置和动量，还能提供其他物理量的信息，如能量、角动量等。
而量子力学的本征态则是一个在物理量测量时给出确定结果的态。
本文将探讨波函数和量子力学的本征态的概念、性质和应用。
一、波函数的概念和性质波函数通常用ψ(x)表示，在某个时刻t上，它描述了一个粒子在空间中的状态。
波函数的模的平方|ψ(x)|^2给出了在位置x上找到粒子的概率密度。
波函数满足归一化条件，即在整个空间积分得到归一化的概率为1。
波函数还需要满足薛定谔方程，该方程是描述量子系统演化的基本方程。
二、量子力学的本征态的概念和特点量子力学的本征态是指一个在物理量测量时给出确定结果的态。
具体来说，如果一个物理量A的测量结果为某个确定的值a，那么量子力学的本征态就是满足A|φ⟩=a|φ⟩的态，其中|φ⟩是本征态对应的波函数。
本征态具有以下几个重要特点：1. 本征态是正交归一的，即不同本征态之间的内积为零，相同本征态之间的内积为一。
2. 本征态对应的本征值是物理量的可能测量结果，测量该物理量时只会得到某个本征值。
3. 通过本征态的叠加可以得到其他态，叠加系数的平方给出了在测量时得到该本征态的概率。
4. 本征态构成了量子力学的正交完备集，即任意态都可以用本征态展开。
三、波函数与量子力学本征态的关系波函数可以表示成量子力学本征态的线性组合，即ψ(x)=Σc_nφ_n(x)，其中c_n为系数，φ_n(x)为本征态对应的波函数。
波函数的系数c_n代表了在对应本征态时的概率振幅。
当量子系统处于某个本征态时，它的波函数就退化为一个本征态的波函数。
而当量子系统处于叠加态时，它的波函数就是不同本征态波函数的线性叠加。
应用上，通过求解薛定谔方程可以得到量子系统的波函数，而通过求解本征问题可以得到量子力学的本征态。
这些解能够提供关于系统的各种物理性质和行为的信息，对于研究和理解微观世界的规律具有重要意义。
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山西 师 范 大学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
第 ２ 卷第 ３期 １
２０ ０ ７年 ９月
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＳ ａ ｘ ｏ ｍａ Ｕｎ ｖ ｒｉ ｏ ｒ ａ ｈ ｎ ｉＮ ｒ ｌ ｉ ｅ ｓ ｙ ｏ ｔ
Ｎａｕｒ ｌＳ ｉ ｎ ｅ Ｅｄｔｏ ｔ ａ ｃ ｅ ｃ ｉｉｎ
’
考虑高能人射电子与基态氦原子碰撞 ， 敲出电子共面等能分享几何 的双电离 （ ，ｅ 反应过程 ， ｅ３） 设入 射 电子 动量 ， 能量 分别 为 ｋ 和 。 ， 。 ，碰撞 后 散射 电子 与 两 敲 出 电子 的动 量 和能 量 分 别为 ｋ ，：ｋ 和 ， ｋ ，，
： ， ，，
３ ．山西省临汾第一 中学校 ，山西 临汾 ０ １０ ） ４ ００
摘
要： 考虑末态波 函数动量相关效应 ， 算 了入 射能 量为 ５ ９ ｅ 计 ５９ Ｖ时 ， 出电子等能 分享几何 安排 下 敲
的 Ｈ （ ，ｅ 反应的五重微分截面 ， 比较采用各种末 态波 函数动 量相关 下的计算 结果 ． 明理论计算 ｅ ｅ３ ） 并 表 结果在误差 范围 内与实验数据基本吻合 ， 末态波 函数动量相关效应对 Ｈ （ ，ｅ 反应 的五 重微分截 面具 ｅ ｅ３ ）
波函数 ：
咖 （ ２ｒ ）＝Ⅳ ｅａｅ ｒ ，３ （ －２ ｒ ＋ｅＡ２ －ｒ ） １＋ ｂｅ （ Ｃｒ ｅ ） ：ｋ ， ｒ，， ＝ （７）３ｅ ｋ ，，ｒ ，：ｒ） ２ｒ－２ｍ ／
射 Ｂ ｒ 似理论 应 用范 围最 广 ， 算 结 果 比较 理 想 ． 文 利 用 Ｃ ｕｏ ｂ散 射 Ｂ ｒ 似 理论 ， ｏｎ近 计 本 ｏｌｍ ｏｎ近 考虑 末 道 电 子 问关 联 效应 ， 计算 高 能人射 Ｈ （ ，ｅ 反 应 的五 重微 分截 面 ． ｅ ｅ３ ）
１ 理论简介
力学 的所有信息． 到信息较多 又 比较容 易实现 的是五重 微分截 面 （ Ｄ Ｓ 的测量． 得 ＦＣ ） 有关 （ ，ｅ 反应 ｅ３ ） ＦＣ Ｄ Ｓ的理 论计算 方 法大 多数 是 由（ ，ｅ 反 应移 植得 来 的． 基本 的理论 有 ：ｏｌ ｅ２ ） 最 Ｃ ｕｏ ｍｂ散 射 Ｂ ｒ ｏｎ近似 ¨ 理 论， 一阶、 二阶 Ｂｒ ｏ ｎ近似 Ｃ Ｃ理论 ， Ｃ Ｊ冲量近似模型 ＿ ， ３ 一阶、 阶微扰扭曲波理论 等． 中 Ｃ ｕ ｍ 散 Ｊ 二 其 ｏｌ ｂ ｏ
子 碰撞 理论 方 面 的 研 究 ．
维普资讯
・
５ ０・
山西 师 范 大 学 学 报 （ 自然科 学 版 ）
２０ ０ ７年
其 中 ， 射 电子与 氦原 子之 间的相互 作用 势 为 ： 入
：一 ＋
ｒ１ ｒ１ ２
＋
ｒ１ ３
（） ２
收 稿 日期 ： ０ ７０ －３ ２ ０ －４０ 基金项 目：山西省 自然 科学基金 （０ ５０ ８ ；山西省 回国留学 人员基金 （２１ ） ２０ １０ ） ０ —６ ．
作者简介 ： 贾祥福 （９６ ）男 ， １５一 ， 山西霍州人 ， 山西师范大 学物理 与信 息工程 学 院教 授 ， 硕士生 导师 ， 主要从 事原子 分
（） ３
初 态波 函数 为 ：
（ ２ ｋ ，ｌｒ ，３ ＝ （ ７） ｅｏ ｌ ｒ ，３ ｋ ，３ｒ ，２ ｒ） ２ｒ ｉ＂咖 （２ ｒ） ｋｒ （） ４
其 中 咖 （：ｒ）为 Ｈ 原子 的基 态波 函数 ， ｒ，， ｅ 这里我 们采 用包 含 电子 间径 向关 联及 角度 关联 的 Ｈ ｌ ｒａ型 ］ ｙｌ ａｓ ｅ
有一定影 响． 关键词 ： ｅ３ ） （ ，ｅ 反应 ； 五重微分截 面 ； 动量相关效应
中 图分 类 号 ： ５ １５ Ｏ ６ ． 文献标识码 ： Ａ
０ 引 言
对 于 电子碰撞 原 子 的双 电离过 程 ， 于碰撞 过程 中 ， 由 入射 电子有 一 个 ， 出射 电子 有 三个 所 以把 这种 而 碰 撞称 作 （ ，ｅ 反应 ． 是研究 电子 问相 互 作用 最有 效 、 直 接 的工具 ． 是 由于 （ ，ｅ 反 应 中需 要 同时 ｅ３ ） 它 最 但 ｅ３ ） 观 测三个 出射 电子 ， 设备 的要 求 比较 高 ， 以 与 （ ，ｅ 反应 相 比 ，ｅ３ ） 应 实 验不 容 易实 现 ． 十几 对 所 ｅ２ ） （ ，ｅ 反 近 年来 ， 随着实 验研 究 的发展 ， 我们 能够 同时接受 到三 个 末 态 电子 ， 确定 其 能 量 和 角度 分 布 ． 过测 量 ， 使 并 通 可 以 同时确定 靶 的能量 和 动量 转移 以及 末道 三个 电子 的能 量 和动量 ， 而获 得 除 自旋 自由度之 外 ， 撞动 从 碰
则碰 撞 的五重 微分 截 面 （ Ｄ． ）为 ： ＦＣ Ｓ
Ｆ ＤＣｓ ＝ ｄ ｏ Ｓ －
＝
（ ２
ｌ
ｌ
（） １
其中 ， ， ， 分别为接收动量 ｋ ， ｋ 三个电子的立体角 ， 为跃迁矩阵元 ， ｋ ， 其定义为 ：
＝
（ ’ （ ２ｋ ， ， ， ）ｌ ｌ （ ２ｋ ， ， ， ） ｋ ，３ｒ ｒ ｒ ｌ２３ ’ ｋ ，３ｒ ｒ ｒ ） １２３
Ｖ０ ． Ｎｏ ３ １ ２１ ． Ｓｐ ｔ ２ ０ ｅ． ０ ７
文 章编 号 ：０９４ ９ （０７ ０ －０ ９ ５ １０ －４０ ２０ ）３０４ － ０
Ｈ （ ，ｅ 末 态 波 函 数 动 量 相 关 效 应 ｅ ｅ３ ）
焦 志莲 孙世艳 贾祥福 ， 明 ， ， 李
（ ．太原师范学 院 物理 系，山西 太原 ０ ０ ３ ； ．山西师范大学物理与信息 工程 学院 ，山西 临汾 ０ １０ １ ３０１ ２ ４ ０４