大学高等数学第五章 定积分及其应用答案

第五章 定积分及其应用

习 题 5-1

1. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （1）

⎰

-x x d 1

1, （2）⎰--x x R R R d 22, （3）⎰x x d cos 02π, （4）⎰-x x d 1

1

.

解：若[]⎰

≥∈x x f x f b a x a

b d )(,0)(,,则

时在几何上表示由曲线)(x f y =，直线

b x a x ==,及x 轴所围成平面图形的面积. 若[]b a x ,∈时，⎰≤x x f x f a

b d )(,0)(则在几何

上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示，0)(d 1111=+-=⎰-A A x x .

（2）由上图（2）所示，2

πd 2

22

2

R A x x R R R

==-⎰

-.

（3）由上图（3）所示，0)()(d cos 5353543π

20=--++=+-+=⎰A A A A

A A A x x . （4）由上图（4）所示，1112

1

22d 61

1=⋅⋅⋅

==⎰-A x x . 2. 设物体以速度

12+=t v 作直线运动，用定积分表示时间t 从0到5该物体移动的路程S.

( 2 )

( 1 )

( 3 )

(4)

解：=

s ⎰

+t t d )12(0

5

3. 用定积分的定义计算定积分

⎰b

a

x c d ,其中c 为一定常数.

解：任取分点b x x x x a n =<<<<= 210,把],[b a 分成n 个小区间],[1i i x x -

)2,1(n i =，小区间长度记为x ∆i =i x -1-i x )2,1(n i =,在每个小区间[]i i x x ,1-

上任取一点i ξ作乘积i i x f ∆⋅)(ξ的和式：

∑∑==--=-⋅=∆⋅n i n

i i i

i

i

a b c x x

c x f 1

1

1)()()(ξ,

记}{max 1i n i x ∆=≤≤λ, 则

)()(lim )(lim d 0

a b c a b c x f x c n

i i i b a

-=-=∆⋅=∑⎰

=

→→λλξ.

4. 利用定积分定义计算

1

20

d x x ⎰

.

解：上在]1,0[)(2x x f =连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对[]0,1 n 等分，分点i i n i n

i

x ξ;1,,2,1,-==

取相应小区间的右端点，故 ∑∑∑===∆=∆=∆n

i i i n

i i i n

i i i x x x x f 12

121)(ξξ=∑∑===n

i n

i i

n n n i 1

2

3

2

1

11)(

=

311(1)(21)6n n n n ⋅++ =)1

2)(11(61n

n ++ 当时0→λ（即时∞→n ），由定积分的定义得： 12

0d x x ⎰=3

1．

5. 利用定积分的估值公式，估计定积分

⎰

-+-11

34)524(x x x d 的值.

解：先求524)(3

4

+-=x x x f 在[]1,1-上的最值，由

0616)(2

3=-='x x x f , 得0=x 或8

3=

x . 比较 35093(1)11,(0)5,

(),(1)781024

f f f f -====的大小，知

min max 5093

,111024

f f =

=，

由定积分的估值公式，得[])1(1d )524()]1(1[max 11

34min --⋅≤+-≤--⋅⎰

-f x x x f ,

即

14315093

(425)d 22512

x x x -≤-+≤⎰. 6. 利用定积分的性质说明

⎰

1

d x

e x

与⎰1

d 2

x e x ，哪个积分值较大？

解：在[]0,1区间内：2

2

x

x x x e e ≥⇒≥ 由性质定理知道：

⎰

1

d x

e x

≥⎰1

d 2

x e x

7. 证明：⎰

-

--

<<21

2

12

12d 22

x e e

x 。

证明：考虑⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡-

21,

2

1上的函数2x e y -=，则2

2x xe y --='，令0='y 得0=x 当⎪⎭⎫ ⎝

⎛-

∈0,21

x 时，0>'y ，当⎪⎭⎫ ⎝

⎛∈21,0x 时，0<'y ∴2

x e

y -=在0=x 处取最大值1=y ，且2

x e

y -=在2

1±

=x 处取最小值2

1-

e

.

故

⎰

⎰

⎰

----

-

<<212

1212

121

2

12

1d 1d d 2

x x e x e x ，即⎰

-

--

<<21

2

12

12d 22

x e e

x 。

8. 求函数21)(x x f -=在闭区间[-1，1]上的平均值.

解：平均值⎰-=⋅⋅=---=1122

4

π21π21d 1)1(11x x μ

9. 设)(x f 在[0，1]上连续且单调递减，试证对任何)1,0(∈a 有⎰

⎰≥a

x x f a x x f 0

1

d )(d )(.

证明：

⎰

⎰-a

x x f a x x f 0

10

d )(d )(=--⎰⎰a a

x x f a x x f 0

d )(d )(⎰1d )(a

x x f a

⎰⎰

--=1

d )(d )()

1(a

a

x x f a x x f a =)()1()()1(βαaf a af a ---

)]()([)1(βαf f a a --=，其中 1,0≤≤≤≤βαa a

又)(x f 单调减，则)()(βαf f ≥，故原式得证.

习 题 5.2

1. 计算下列定积分 （1）

⎰

-4

d 2x x ; （2）⎰-12

2d ||x x x ; （3）⎰π20

d |sin |x x ; (4) x x x d }1,max{1

⎰-.

解：（1）

x x x x x x d )2(d )2(d 24

22

04

⎰⎰⎰

-+-=-4)221

()212(4

2

2202=-+-=x x x x

（2）

⎰

-12

2d ||x x x =⎰--02

3d )(x x +⎰1

3d x x =1

40

2

44

4

x x

+

-

-=4+

4

1741=.