初中数学竞赛辅导一次不等式(组)的解法

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北师大版初中数学8年级下册一元一次不等式组的解法-优课件

-3 -2 -1 0 1 2 3 4
∴原不等式组的解集为1＜x＜4
大小小大中间找
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
∴不等式组无解．
大大小小无处找
假如a＞b，则有以下结论：
x a
x
b
x a
x
b
ba 同大取大
ba 大小小大中间找
x a x b x a x b
ba 同小取小
ba 大大小小无处找
• 1、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2022年2月11日星期五下午4时4分0秒16:04:0022.2.11 • 2、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2022年2月下午4时4分22.2.1116:04February 11, 2022 • 3、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，
⑴
2x 1＜3x
x 1＞ x 23
⑵
6 2x＜7 x
3x
2

8
x 3x 2 4
⑶ 1 2x 3x 3
3x 2x＞-1 ⑷ （2 x 3） 3(x 2)＞6
⑴
2x 1＜3x
x 1＞ x 23
① ②
解：由①：x＞－1；由②：x＞3，
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
∴ x＞3．同大取大
而且标志着科学的真正进步。2022年2月11日星期五4时4分0秒16:04:0011 February 2022 • 4、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。下午4时4分0秒下午4时4分16:04:0022.2.11
谢谢观赏
You made my day!

初中解不等式的方法

初中解不等式的方法解不等式是初中数学学习中的一个重要内容，掌握好解不等式的方法对于学生来说是非常重要的。

接下来，我们将介绍几种解不等式的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一部分的知识。

一、一元一次不等式的解法。

对于一元一次不等式ax+b>c（或ax+b<c）来说，我们可以通过以下几个步骤来解题：1. 将不等式转化为等价不等式，即将不等式两边同时加上（或减去）相同的数，使得不等式的形式变得更简单。

2. 通过移项和合并同类项，将不等式化简为最简形式。

3. 根据不等式的性质，判断解的范围，并得出最终的解集。

二、一元一次不等式组的解法。

对于一元一次不等式组{ax+b>c, dx+e<d}来说，我们可以通过以下几个步骤来解题：1. 分别解出每个不等式，得到每个不等式的解集。

2. 根据不等式组的关系，求出满足所有不等式的解集。

三、二元一次不等式的解法。

对于二元一次不等式ax+by>c（或ax+by<c）来说，我们可以通过以下几个步骤来解题：1. 将不等式转化为等价不等式，即将不等式两边同时加上（或减去）相同的表达式，使得不等式的形式变得更简单。

2. 根据不等式的性质，判断解的范围，并得出最终的解集。

四、绝对值不等式的解法。

对于绝对值不等式|ax+b|<c（或|ax+b|>c）来说，我们可以通过以下几个步骤来解题：1. 根据不等式的性质，列出绝对值不等式的两种情况，并分别解出不等式。

2. 将得到的解集合并，并根据不等式的范围得出最终的解集。

以上就是初中解不等式的方法，希望通过这篇文档的介绍，能够帮助大家更好地掌握解不等式的方法。

在学习过程中，我们要多做练习，加深理解，才能够真正掌握这一部分的知识。

希望大家都能够取得好成绩，加油！。

奥数-初中数学竞赛辅导资料及参考答案(初二下部分,共)-37

初中数学竞赛辅导资料(37)不等关系甲内容提要1. 不等式三个基本性质：① 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

② 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

③ 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

2. 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集。

设a>b,不等式组⎩⎨⎧>>bx a x 的解集是x>a ⎩⎨⎧<<b x a x 的解集是x<b ⎩⎨⎧<>a x b x 的解集是 b<x<a ⎩⎨⎧<>bx a x 的解集是空集 3. 几何中证明线段或角的不等关系常用以下定理① 三角形任意边两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

② 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和。

③ 在一个三角形中，大边对大角，大角对大边。

直角三角形中，斜边大于任一直角边。

④ 有两组边对应相等的两个三角形中如果这两边的夹角大，那么第三边也大；如果第三边大，那么它所对的角也大。

⑤任意多边形的每一边都小于其他各边的和乙例题例1. 已知：x ≤2，求下列代数式的取值范围：①7－3x, ②x x 1+ 解：①∵x ≤2，∴两边乘以－3，得－3x ≥－6两边加上7，得 7－3x ≥7－6∴7－3x ≥1 ②设xx 1+＝y, x+1=xy, (y －1)x=1 x=11-y ≤2，在两边乘以y －1时，根据不等式基本性质2和3，得不等式组：⎩⎨⎧-≤>-)1(2101y y 或⎩⎨⎧-≥<-)1(2101y y ⎪⎩⎪⎨⎧≥>231y y 或⎪⎩⎪⎨⎧≤<231y y ∴y ≥1.5 或y<1 即x x 1+≥1.5或xx 1+＜1 例2.设实数a,b 满足不等式)(b a a +-＜b a a +-，试决定a,b 的符号。

北师大版八年级下册数学：2.6 一元一次不等式组的解法课件(共16张PPT)

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
所以，原不等式组的解集为：4<x<10
例2.解不等式组:
3x-2< x+1
①
X+5>பைடு நூலகம்x+1
②
解:解不等式① .得 x 3 2
解不等式② .得 x 4 3
在同一条数轴上表示不等式① ②的解集,如图:
-3-2 -1 0 14 3 2 3
32
x
+1<2(x-1)
2 x x2
>
35
补充题所以，不等式组的解集为
联系拓广
已知不等式组
2X-a<1 X-2b>3 ，
的解集为-1<X<1,则（a+1）（b-1）的值
等于多少？
小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
1、练习较为复杂的一元一次不等式组. 2、总结由两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集的四种情况.
解不等式组:
X+3< 5
①
X-2>4
②
是否存在实数x，使得x+3<5,且x-2>4?
解不等式组:
X+3< 5
①
X-2>4
②
解：解不等式① .得 x 2
解不等式② .得 x6
在同一条数轴上表示不等式① ②的解集,如图:
它们的解集没有公共部分，所以原不等式组无解。所以不存在实数x，使得x+3<5,且x-2>4。
第二章一元一次不等式与一元一次不等式组
2.6 一元一次不等式组(二)
回顾与思考
解一元一次不等式的步骤及解一元一次不等式组的步骤：

初中数学含参不等式组知识点及解法

初中数学含参不等式组知识点及解法一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组.要点诠释： (1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上.(2) 这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．二、解一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．要点诠释：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(3) 有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2. 一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．要点诠释： (1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．解含参的一元二次方程的解法，在具体问题里面，按分类的需要有讨论如下四种情况：（1）二次项的系数；（2）判别式；（3）不等号方向（4）根的大小。

含参数的一元二次不等式的解法：二次项系数为常数（能分解因式先分解因式，不能得先考虑0≥∆）例1、解关于x 的不等式0)1(2>++-a x a x 。

解：0)1)((2>--x a x1,0)1)((==⇒=--x a x x a x 令为方程的两个根（因为a 与1的大小关系不知，所以要分类讨论）（1）当1<a 时，不等式的解集为}1|{a x x x <>或（2）当1>a 时，不等式的解集为}1|{<>x a x x 或（3）当1=a 时，不等式的解集为}1|{≠x x综上所述：（1）当1<a 时，不等式的解集为}1|{a x x x <>或（2）当1>a 时，不等式的解集为}1|{<>x a x x 或（3）当1=a 时，不等式的解集为}1|{≠x x例2、解关于x 的不等式022≤-+k kx x分析：此不等式为含参数k 的不等式，当k 值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手.解 )8(82+=+=∆k k k k(1) 当02,08,02=-+>-<>∆k kx x k k 方程时或既有两个不相等的实根。

初中数学竞赛辅导不等式的应用

初中数学竞赛辅导不等式的应用1、已知01,0<<-<y x ，将2,,xy xy x 按由小到大的顺序排列。

2、若67890123455678901234=A ，67890123475678901235=B ,试比较A 、B 大小。

3、若正数a 、b 、c ，满足不等式组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<<+<<+<b c a b a c b a cb ac 4112535232611，是确定a 、b 、c 的大小关系。

4、当k 取何值时，关于x 的方程()kx x -=+513分别有（1）正数解；（2）负数解；（3）不大于1的解。

5、已知2351312x x x --≥--，求|3||1|+--x x 的最大值和最小值。

6、已知x 、y 、z 是非负实数，且满足03,30=-+=++z y x z y x ，求z y x u 245++=的最大值和最小值。

7、设a 、b 、c 、d 均为整数，且关于x 的四个方程()12=-x b a ,()13=-x c b ,()d x x d c =+=-100,14的的根都是正数，试求a 可能取得的最小值。

8、设p 、q 均为自然数，且1511107<<q p ，当q 最小时，求pq 的值。

9、已知c b <，11+<+<<a c b a ，求证：a b <。

10、若自然数z y x <<，a 为整数，且a zy x =++111，试求x 、y 、z 。

11、某地区举办初中数学联赛，有A 、B 、C 、D 四所中学参加，选手中，A 、B 两校共16名，B 、C 两校共20名，C 、D 两校共34名，并且各校选手人数的多少是按A 、B 、C 、D 的顺序选派的，试求各中学的选手的人数。

12、785035=⋅yz x ，其中5x 表示十位数是x ；个位数是5的两位数；yz 3表示百位数是3，十位数是y ，个位数是z 的三位数，试确定x 、y 、z 的值。

全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第23讲几何不等式

全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第二十三讲几何不等式平面图形中所含的线段长度、角的大小及图形的面积在许多情形下会呈现不等的关系．由于这些不等关系出现在几何问题中，故称之为几何不等式．在解决这类问题时，我们经常要用到一些教科书中已学过的基本定理，本讲的主要目的是希望大家正确运用这些基本定理，通过几何、三角、代数等解题方法去解决几何不等式问题．这些问题难度较大，在解题中除了运用不等式的性质和已经证明过的不等式外，还需考虑几何图形的特点和性质．几何不等式就其形式来说不外乎分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类，在解题中不仅要用到一些有关的几何不等式的基本定理，还需用到一些图形的面积公式．下面先给出几个基本定理．定理1在三角形中，任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边．定理2同一个三角形中，大边对大角，小边对小角，反之亦然．定理3在两边对应相等的两个三角形中，第三边大的，所对的角也大，反之亦然．定理4三角形内任一点到两顶点距离之和，小于另一顶点到这两顶点距离之和．定理5自直线l外一点P引直线l的斜线，射影较长的斜线也较长，反之，斜线长的射影也较长．说明如图2-135所示．PA，PB是斜线，HA和HB分别是PA和PB在l 上的射影，若HA＞HB，则PA＞PB；若PA＞PB，则HA＞HB．事实上，由勾股定理知PA2-HA2=PH2=PB2-HB2，所以PA2-PB2=HA2-HB2．从而定理容易得证．定理6 在△ABC中，点P是边BC上任意一点，则有PA≤max｛AB，AC｝，当点P为A或B时等号成立．说明 max｛AB，AC｝表示AB，AC中的较大者，如图2-136所示，若P 在线段BH上，则由于PH≤BH，由上面的定理5知PA≤BA，从而PA≤max｛AB，AC｝．同理，若P在线段HC上，同样有PA≤max｛AB，AC｝．例1 在锐角三角形ABC中，AB＞AC，AM为中线，P为△AMC内一点，证明：PB＞PC(图2-137)．证在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且AB＞AC，由定理3知，∠AMB＞∠AMC，所以∠AMC＜90°．过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上．如果H在线段MC内部，则BH＞BM=MC＞HC．如果H在线段MC的延长线上，显然BH＞HC，所以PB＞PC．例2 已知P是△ABC内任意一点(图2-138)．(1)求证：＜a＋b＋c；(2)若△ABC为正三角形，且边长为1，求证：PA+PB＋PC＜2．证 (1)由三角形两边之和大于第三边得PA＋PB＞c，PB＋PC＞a，PC＋PA＞b．把这三个不等式相加，再两边除以2，便得又由定理4可知PA＋PB＜a＋b， PB＋PC＜b＋c，PC+PA＜c＋a．把它们相加，再除以2，便得PA＋PB＋PC＜a＋b＋c．所以(2)过P作DE∥BC交正三角形ABC的边AB，AC于D，E，如图2-138所示．于是PA＜max｛AD，AE｝＝AD，PB＜BD＋DP，PC＜PE＋EC，所以PA＋PB＋PC＜AD＋BD＋DP＋PE＋EC=AB＋AE＋EC=2．例3如图2-139．在线段BC同侧作两个三角形ABC和DBC，使得AB=AC，DB＞DC，且AB＋AC=DB＋DC．若AC与BD相交于E，求证：AE＞DE．证在DB上取点F，使DF=AC，并连接AF和AD．由已知2DB＞DB+DC=AB+AC=2AC，所以 DB＞AC．由于DB＋DC=AB＋AC=2AC，所以DC＋BF=AC=AB．在△ABF中，AF＞AB-BF=DC．在△ADC和△ADF中，AD=AD，AC=DF，AF＞CD．由定理3，∠1＞∠2，所以AE＞DE．例4 设G是正方形ABCD的边DC上一点，连结AG并延长交BC延长线于K，求证：分析在不等式两边的线段数不同的情况下，一般是设法构造其所为边的三角形．证如图2-140，在GK上取一点M，使GM=MK，则在Rt△GCK中，CM是GK边上的中线，所以∠GCM=∠MGC．而∠ACG=45°，∠MGC＞∠ACG，于是∠MGC＞45°，所以∠ACM=∠ACG＋∠GCM＞90°．由于在△ACM中∠ACM＞∠AMC，所以AM＞AC．故例5如图2-141．设BC是△ABC的最长边，在此三角形内部任选一点O，AO，BO，CO分别交对边于A′，B′，C′．证明：(1)OA′＋OB′＋OC′＜BC；(2)OA′＋OB′+OC′≤max｛AA′，BB′，CC′｝．证 (1)过点O作OX，OY分别平行于边AB，AC，交边BC于X，Y点，再过X，Y分别作XS，YT平行于CC′和BB′交AB，AC于S，T．由于△OXY∽△ABC，所以XY是△OXY的最大边，所以OA′＜max｛OX，OY｝≤XY．又△BXS∽△BCC′，而BC是△BCC′中的最大边，从而BX也是△BXS 中的最大边，而且SXOC′是平行四边形，所以BX＞XS=OC′．同理CY＞OB′．所以OA′＋OB′＋OC′＜XY＋BX＋CY=BC．所以OA′＋OB′+OC′=x·AA′+y·BB′＋z·CC′≤(x+y+z)max｛AA′，BB′，CC′｝=max｛AA′，BB′，CC′｝下面我们举几个与角有关的不等式问题．例6在△ABC中，D是中线AM上一点，若∠DCB＞∠DBC，求证：∠ACB＞∠ABC(图2-142)．证在△BCD中，因为∠DCB＞∠DBC，所以BD＞CD．在△DMB与△DMC中，DM为公共边，BM=MC，并且BD＞CD，由定理3知，∠DMB＞∠DMC．在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且∠AMB ＞∠AMC，由定理3知，AB＞AC，所以∠ACB＞∠ABC．说明在证明角的不等式时，常常把角的不等式转换成边的不等式．证由于AC＞AB，所以∠B＞∠C．作∠ABD=∠C，如图2即证BD∠CD．因为△BAD∽△CAB，即 BC ＞2BD ．又 CD ＞BC -BD ，所以BC ＋CD ＞2BD ＋BC -BD ，所以 CD ＞BD ．从而命题得证．例8 在锐角△ABC 中，最大的高线AH 等于中线BM ，求证：∠B ＜60°(图2-144)．证作MH 1⊥BC 于H 1，由于M 是中点，所以于是在Rt △MH 1B 中，∠MBH 1=30°．延长BM 至N ，使得MN=BM ，则ABCN 为平行四边形．因为AH 为最ABC 中的最短边，所以AN=BC ＜AB ，从而∠ABN ＜∠ANB=∠MBC=30°，∠B=∠ABM+∠MBC ＜60°．下面是一个非常著名的问题——费马点问题．例9 如图2-145．设O 为△ABC 内一点，且∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P 为任意一点(不是O)．求证：PA ＋PB+PC ＞OA+OB+OC ．证过△ABC 的顶点A ，B ，C 分别引OA ，OB ，OC 的垂线，设这三条垂线的交点为A 1，B 1，C 1(如图2-145)，考虑四边形AOBC 1．因为∠OAC 1=∠OBC 1=90°，∠AOB=120°，所以∠C 1=60°．同理，∠A 1=∠B 1=60°．所以△A1B1C1为正三角形．设P 到△A 1B 1C 1三边B 1C 1，C 1A 1，A 1B 1的距离分别为ha ，hb ，hc ，且△A 1B 1C 1的边长为a ，高为h ．由等式S △A 1B 1C 1=S △PB 1C 1+S △PC 1A 1＋S △PA 1B 1知所以 h=h a ＋h b ＋h c ．这说明正△A 1B 1C 1内任一点P 到三边的距离和等于△A 1B 1C 1的高h ，这是一个定值，所以OA ＋OB ＋OC=h=定值．显然，PA ＋PB ＋PC ＞P 到△A1B1C1三边距离和，所以PA ＋PB ＋PC ＞h=OA ＋OB ＋OC ．这就是我们所要证的结论．由这个结论可知O点具有如下性质：它到三角形三个顶点的距离和小于其他点到三角形顶点的距离和，这个点叫费马点．练习二十三1．设D是△ABC中边BC上一点，求证：AD不大于△ABC中的最大边．2．AM是△ABC的中线，求证：3．已知△ABC的边BC上有两点D，E，且BD=CE，求证：AB＋AC＞AD ＋AE．4．设△ABC中，∠C＞∠B，BD，CE分别为∠B与∠C的平分线，求证：BD＞CE．5．在△ABC中，BE和CF是高，AB＞AC，求证：AB+CF≥AC＋BE．6．在△ABC中，AB＞AC，AD为高，P为AD上的任意一点，求证：PB-PC＞AB-AC．7．在等腰△ABC中，AB=AC．(1)若M是BC的中点，过M任作一直线交AB，AC(或其延长线)于D，E，求证：2AB＜AD+AE．(2)若P是△ABC内一点，且PB＜PC，求证：∠APB＞∠APC．。

初中解不等式组

初中解不等式组在初中数学中，解不等式组是一个重要的内容，也是学生们需要掌握的基本解题方法之一。

不等式组是由多个不等式组成的方程组，其中每个不等式都有一个未知数的约束条件。

解不等式组的目标是找到满足所有不等式的未知数的取值范围。

要解不等式组，首先需要找到每个不等式的解集，然后确定这些解集的交集。

为了找到不等式的解集，我们可以使用一些基本的解不等式的方法。

例如，对于一元一次不等式 ax+b>0，我们可以通过以下步骤解决：1. 将不等式转化为 ax+b=0 的等式，找到解集 x1。

2. 将数轴分为两部分，以 x1 为界限。

当 x<x1 时，不等式成立；当 x>x1 时，不等式不成立。

因此，解集为 x<x1 或 x>x1。

对于一元二次不等式 ax^2+bx+c>0，我们可以通过以下步骤解决：1. 将不等式转化为 ax^2+bx+c=0 的等式，找到解集 x1 和 x2。

2. 将数轴分为三部分，以 x1 和 x2 为界限。

当 x1<x<x2 时，不等式成立；当 x<x1 或 x>x2 时，不等式不成立。

因此，解集为 x<x1 或x>x2。

对于多元不等式组，我们需要将每个不等式进行整理，并找到每个不等式的解集。

然后，确定这些解集的交集，即为不等式组的解集。

解不等式组的方法还有很多，例如图像法、辅助函数法等。

不同的方法适用于不同的问题，学生们可以根据具体情况选择合适的方法进行解题。

总之，解不等式组是初中数学中重要的内容，掌握解不等式的基本方法对学生们的数学学习有很大的帮助。

通过多做练习，不断积累经验，学生们可以提高解不等式组的能力，更好地应用数学知识解决实际问题。

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初中数学竞赛辅导一次不等式（组）的解法
1、解不等式：1273212xxx

2、求不等式261121131xxx的正整数解。

3、解不等式122113122yyyy。
4、解不等式617612xxx。
5、已知xxx1914322，且9xy，试比较y1与y3110的大小。
6、解关于x的不等式axax212332。
7、已知a、b为实数，若不等式0432baxba的解为94x，试求不等式

0324baxba
的解。

8、解不等式2323252113242133521xxxxxx。
9、解关于x的不等式组821563xmxmxmxmx。
答案：
1、2x。 2、x=1，2，3。 3、56y。 4、5x且6x。 5、y1＞y3110。

6、（1）23a时，1ax；（2）23a时，无解；（3）23a时，1ax。
7、41x 8、4254x。 9、（1）当m=0时，不等式无解；（2）当m＞0时，mxm41138；
（3）当m＜0时，mxm38411。
训练：
1、解下列不等式或不等式组：

（1）1273212xxx（2）xxxxx8355422（3）145.143522152233612xxxxxxxx
2、解下列关于x的不等式或不等式组；
（1）mmxmx1132（2）baxbax525（3）432221xaxaxx

3、求同时满足不等式4326xx和121312xx的整数解。
4、如果关于x的不等式052baxba的解为710x，那么关于x的不等式bax的
解是什么？