初中数学竞赛专题：不等式(2)
全国初中数学竞赛辅导(初2)第23讲 几何不等式
第二十三讲几何不等式平面图形中所含的线段长度、角的大小及图形的面积在许多情形下会呈现不等的关系．由于这些不等关系出现在几何问题中，故称之为几何不等式．在解决这类问题时，我们经常要用到一些教科书中已学过的基本定理，本讲的主要目的是希望大家正确运用这些基本定理，通过几何、三角、代数等解题方法去解决几何不等式问题．这些问题难度较大，在解题中除了运用不等式的性质和已经证明过的不等式外，还需考虑几何图形的特点和性质．几何不等式就其形式来说不外乎分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类，在解题中不仅要用到一些有关的几何不等式的基本定理，还需用到一些图形的面积公式．下面先给出几个基本定理．定理1在三角形中，任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边．定理2同一个三角形中，大边对大角，小边对小角，反之亦然．定理3在两边对应相等的两个三角形中，第三边大的，所对的角也大，反之亦然．定理4三角形内任一点到两顶点距离之和，小于另一顶点到这两顶点距离之和．定理5自直线l外一点P引直线l的斜线，射影较长的斜线也较长，反之，斜线长的射影也较长．说明如图2-135所示．PA，PB是斜线，HA和HB分别是PA和PB在l上的射影，若HA＞HB，则PA＞PB；若PA＞PB，则HA＞HB．事实上，由勾股定理知PA2-HA2=PH2=PB2-HB2，所以PA2-PB2=HA2-HB2．从而定理容易得证．定理6 在△ABC中，点P是边BC上任意一点，则有PA≤max｛AB，AC｝，当点P为A或B时等号成立．说明 max｛AB，AC｝表示AB，AC中的较大者，如图2-136所示，若P在线段BH上，则由于PH≤BH，由上面的定理5知PA≤BA，从而PA≤max｛AB，AC｝．同理，若P在线段HC上，同样有PA≤max｛AB，AC｝．例1 在锐角三角形ABC中，AB＞AC，AM为中线，P为△AMC内一点，证明：PB＞PC(图2-137)．证在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且AB＞AC，由定理3知，∠AMB＞∠AMC，所以∠AMC＜90°．过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上．如果H在线段MC内部，则BH＞BM=MC＞HC．如果H在线段MC的延长线上，显然BH＞HC，所以PB＞PC．例2 已知P是△ABC内任意一点(图2-138)．(1)求证：＜a＋b＋c；(2)若△ABC为正三角形，且边长为1，求证：PA+PB＋PC＜2．证 (1)由三角形两边之和大于第三边得PA＋PB＞c，PB＋PC＞a，PC＋PA＞b．把这三个不等式相加，再两边除以2，便得又由定理4可知PA＋PB＜a＋b， PB＋PC＜b＋c，PC+PA＜c＋a．把它们相加，再除以2，便得PA＋PB＋PC＜a＋b＋c．所以(2)过P作DE∥BC交正三角形ABC的边AB，AC于D，E，如图2-138所示．于是PA＜max｛AD，AE｝＝AD，PB＜BD＋DP，PC＜PE＋EC，所以PA＋PB＋PC＜AD＋BD＋DP＋PE＋EC=AB＋AE＋EC=2．例3如图2-139．在线段BC同侧作两个三角形ABC和DBC，使得AB=AC，DB＞DC，且AB＋AC=DB＋DC．若AC与BD相交于E，求证：AE＞DE．证在DB上取点F，使DF=AC，并连接AF和AD．由已知2DB＞DB+DC=AB+AC=2AC，所以 DB＞AC．由于DB＋DC=AB＋AC=2AC，所以DC＋BF=AC=AB．在△ABF中，AF＞AB-BF=DC．在△ADC和△ADF中，AD=AD，AC=DF，AF＞CD．由定理3，∠1＞∠2，所以AE＞DE．例4 设G是正方形ABCD的边DC上一点，连结AG并延长交BC延长线于K，求证：分析在不等式两边的线段数不同的情况下，一般是设法构造其所为边的三角形．证如图2-140，在GK上取一点M，使GM=MK，则在Rt△GCK中，CM是GK边上的中线，所以∠GCM=∠MGC．而∠ACG=45°，∠MGC＞∠ACG，于是∠MGC＞45°，所以∠ACM=∠ACG＋∠GCM＞90°．由于在△ACM中∠ACM＞∠AMC，所以AM＞AC．故例5如图2-141．设BC是△ABC的最长边，在此三角形内部任选一点O，AO，BO，CO分别交对边于A′，B′，C′．证明：(1)OA′＋OB′＋OC′＜BC；(2)OA′＋OB′+OC′≤max｛AA′，BB′，CC′｝．证 (1)过点O作OX，OY分别平行于边AB，AC，交边BC于X，Y 点，再过X，Y分别作XS，YT平行于CC′和BB′交AB，AC于S，T．由于△OXY∽△ABC，所以XY是△OXY的最大边，所以OA′＜max｛OX，OY｝≤XY．又△BXS∽△BCC′，而BC是△BCC′中的最大边，从而BX也是△BXS中的最大边，而且SXOC′是平行四边形，所以BX＞XS=OC′．同理CY＞OB′．所以OA′＋OB′＋OC′＜XY＋BX＋CY=BC．所以OA′＋OB′+OC′=x·AA′+y·BB′＋z·CC′≤(x+y+z)max｛AA′，BB′，CC′｝=max｛AA′，BB′，CC′｝下面我们举几个与角有关的不等式问题．例6在△ABC中，D是中线AM上一点，若∠DCB＞∠DBC，求证：∠ACB＞∠ABC(图2-142)．证在△BCD中，因为∠DCB＞∠DBC，所以BD＞CD．在△DMB与△DMC中，DM为公共边，BM=MC，并且BD＞CD，由定理3知，∠DMB＞∠DMC．在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且∠AMB＞∠AMC，由定理3知，AB＞AC，所以∠ACB＞∠ABC．说明在证明角的不等式时，常常把角的不等式转换成边的不等式．证由于AC＞AB，所以∠B＞∠C．作∠ABD=∠C，如图2即证BD∠CD．因为△BAD∽△CAB，即 BC＞2BD．又 CD＞BC-BD，所以BC＋CD＞2BD＋BC-BD，所以 CD＞BD．从而命题得证．例8在锐角△ABC中，最大的高线AH等于中线BM，求证：∠B＜60°(图2-144)．证作MH1⊥BC于H1，由于M是中点，所以于是在Rt△MH1B中，∠MBH1=30°．延长BM至N，使得MN=BM，则ABCN为平行四边形．因为AH为最ABC中的最短边，所以AN=BC＜AB，从而∠ABN＜∠ANB=∠MBC=30°，∠B=∠ABM+∠MBC＜60°．下面是一个非常著名的问题——费马点问题．例9如图2-145．设O为△ABC内一点，且∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P为任意一点(不是O)．求证：PA＋PB+PC＞OA+OB+OC．证过△ABC的顶点A，B，C分别引OA，OB，OC的垂线，设这三条垂线的交点为A1，B1，C1(如图2-145)，考虑四边形AOBC1．因为∠OAC1=∠OBC1=90°，∠AOB=120°，所以∠C1=60°．同理，∠A1=∠B1=60°．所以△A1B1C1为正三角形．设P到△A1B1C1三边B1C1，C1A1，A1B1的距离分别为ha，hb，hc，且△A1B1C1的边长为a，高为h．由等式S△A1B1C1=S△PB1C1+S△PC1A1＋S△PA1B1知所以 h=h a＋h b＋h c．这说明正△A1B1C1内任一点P到三边的距离和等于△A1B1C1的高h，这是一个定值，所以OA＋OB＋OC=h=定值．显然，PA＋PB＋PC＞P到△A1B1C1三边距离和，所以PA＋PB＋PC＞h=OA＋OB＋OC．这就是我们所要证的结论．由这个结论可知O点具有如下性质：它到三角形三个顶点的距离和小于其他点到三角形顶点的距离和，这个点叫费马点．练习二十三1．设D是△ABC中边BC上一点，求证：AD不大于△ABC中的最大边．2．AM是△ABC的中线，求证：3．已知△ABC的边BC上有两点D，E，且BD=CE，求证：AB＋AC＞AD＋AE．4．设△ABC中，∠C＞∠B，BD，CE分别为∠B与∠C的平分线，求证：BD＞CE．5．在△ABC中，BE和CF是高，AB＞AC，求证：AB+CF≥AC＋BE．6．在△ABC中，AB＞AC，AD为高，P为AD上的任意一点，求证：PB-PC＞AB-AC．7．在等腰△ABC中，AB=AC．(1)若M是BC的中点，过M任作一直线交AB，AC(或其延长线)于D，E，求证：2AB＜AD+AE．(2)若P是△ABC内一点，且PB＜PC，求证：∠APB＞∠APC．。
初中数学竞赛专题：不等式
初中数学竞赛专题：不等式 §5.1 一元一次不等式（组）5.1.1★已知2(2)3(41)9(1)x x x ---=-,且9y x <+,试比较1πy 与1031y 的大小. 解析 首先解关于x 的方程得10x =-.将10x =-代入不等式得109y <-+,即1y <-.又因为110π31<,所以110π31y y >5.1.2★解关于x 的不等式233122x xa a+-->. 解析 由题设知0a ≠,去分母并整理得(23)(23)(1)a x a a +>+-.当230a +>,即3(0)2a a >-≠时,1x a >-； 当230a +=,即32a =-时,无解； 当230a +<,即32a <-时,1x a <-.评注 对含有字母系数的不等式的解,也要分情况讨论.5.1.3★★已知不等式(2)340a b x a b -+-<的解为49x >,求不等式(4)230a b x a b -+->的解. 解析 已知不等式为(3)43a b x b a -<-.由题设知20,434.29a b b a a b -<⎧⎪-⎨=⎪-⎩所以 2,7.8a b b a <⎧⎪⎨=⎪⎩由728a a <,可得0a <,从而0a <,78b a =. 于是不等式(4)230a b x a b -+->等价于721()2028a a x a a -+->,即5528ax a ->,解得14x >-. 所求的不等式解为14x >-.5.1.4★★如果关于x 的不等式(2)50a b x a b -+->的解集为107x <,求关于x 的不等式ax b >的解集. 解析 由已知得(2)5a b x b a ->-,①710x ->-.②由已知①和②的解集相同,所以27,510,a b b a -=-⎧⎨-=-⎩ 解得5,3.a b =-⎧⎨=-⎩ 从而ax b >的解集是35x <. 5.1.5★求不等式111(1)(1)(2)326x x x +---≥ 的正整数解.解析 由原不等式可得1736x ≤,所以72x ≤是原不等式的解.因为要求正整数解,所以原不等式的正整数解为1x =,2,3. 5.1.6★★如果不等式组90,80x a x b -⎧⎨-<⎩≥的整数解仅为1、2、3,那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a ,b ）共有多少对？ 解析 由原不等式组可解得98ab x <≤.如图所示,在数轴上画出这个不等式组解集的可能范围,可得01,93 4.8a b ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩≤≤即09,2432.a b <⎧⎨<⎩≤≤ 所以,a =1,2,…,9共9个,25b =,26,…,32共8个,于是有序数对（a ,b ）共有9872⨯=个. 5.1.7★★★设a 、b 是正整数,求满足89910a b<<,且b 最小的分数a b. 解析 欲求b 的最小值,只需将b 放入一个不等式,然后估计出b 的下界,这里要用到整数的离散性,即若整数x 、y 满足x y >,则1x y +≥. 原不等式等价于8,99,10aba b ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩ 即89,109.b a a b <⎧⎨<⎩所以 819,1019.b a a b +⎧⎨+⎩≤≤故 9181910b b -+⋅≤, 解得19b ≥.又分数1719满足817991910<<,故b 最小且满足题意的分数是1719. 5.1.8★已知520m ≤≤,2530n ≤≤,求mn的最大值和最小值. 解析 因为520m ≤≤,2530n ≤≤,所以m 的最大值为20,最小值为5；n 的最大值为30,最小值为25.故m n 的最大值为204255m n ==；m n 的最小值为51306m n ==. 5.1.9★★求同时满足6a b c ++=,23a b c -+=和0b c ≥≥的a 的最大值及最小值. 解析 由6a b c ++=和23a b c -+=,得32a b +=,932ac -=. 再由0b c ≥≥得,393022a a +-≥≥,解此不等式,得332a ≤≤. 所以a 的最大值为3,最小值为32.5.1.10★求适合2x y x y ->+,且y 满足方程3523y y x -=+的x 取值范围. 解析 3523y y x -=+,所以35y x =+.于是2(35)35x x x x -+>++,2x <-.故x 的取值范围是2x <-.5.1.11★★当x 、y 、z 为非负数时,323y z x +=+,343y z x +=-,求334w x y z =-+的最大值和最小值.解析 由323,343,y z x y z x +=+⎧⎨+=-⎩解得14,57.3z x x y =-+⎧⎪-⎨=⎪⎩因为x 、y 、z 均为非负数.所以,从上面可得1547x ≤≤.334357416w x y z x x x =-+=-+-+269x =-.56727w -≤≤. 所以w 的最大值是677,w 的最小值是52-. §5.2 含绝对值的不等式（组）5.2.1★（1）解不等式1|32|2x -<-； （2）解不等式|32|3x ->-.解析 根据绝对值的非负性,易知（1）无解,（2）的解集为全体实数. 5.2.2★★解不等式|5||23|1x x ---<.解析 原不等式的零点为5、32.根据零点的情况分类讨论. （1）当5x >时,原不等式化为(5)(23)1x x ---<,解之,得3x >-.所以,此时不等式的解为5x >. （2）当32x <时,原不等式化为(5)(23)1x x --+-<,解之,得1x <-.（3）当352x ≤≤时,原不等式化为(5)(23)1x x ----<,解之,得73x >.所以,此时不等式的解为753x <≤. 综上,原不等式的解为1x <-或73x >.评注 解与绝对值有关的不等式的关键一点是根据绝对值的定义,去掉不等式中的绝对值符号.分类讨论是去绝对值符号的另一种重要方法. 5.2.3★解不等式|7||2|3x x +--<.解析1 如图,分别用A 、B 两点代表7-和2.|7||2|x x +--表示某点C （x 所对应的点）到A 点和B 点的距离差.又当1x =-时,C 点到A 、B 两点的距离差恰好为3.A B x当点C 靠近点A 时,C 到A 、B 两点的距离差变小,所以原不等式的解为1x <-.解析2 因为7-、2分别是|7|x +和|2|x -的零点,于是分三种情况讨论： （1）当7x <-时,原不等式变为(7)(2)3x x -++-<,此式恒成立,故7x <-是原不等式的解. （2）当72x -<≤时,原不等式变为(7)(2)3x x ++-<,解得 1x <-.所以,71x -<-≤是原不等式的解. （3）若2x ≥,原不等式变为(7)(2)3x x +--<,即53<,此不等式无解.5.2.4★★解不等式||3||3||3x x +-->. 解析 原不等式等价于|3||3|3x x +-->,①或 |3||3|3x x +--<-. ②①的解为32x >；②的解为32x <-. 所以,原不等式的解为32x <-或32x >. 5.2.5★解不等式：25||60x x -+>.解析 注意22(||)x x =,整体分解. 由题意得(||2)(||3)0x x -->,即 ||3x >或||2x <, 而由||3x >得3x >或3x <-,由||2x <得22x -<<.所以,原不等式的解为3x <-或22x -<<或3x >.5.2.6★★解不等式组：22350,|2|10.x x x ⎧+->⎨-<⎩解析 由22350x x +->得7x <-或5x >. 由|2|10x -<得812x -<<. 于是原不等式组的解就是75,812,x x x <->⎧⎨-<<⎩或 即87x -<<-或512x <<.5.2.7★★a 取何值时,不等式|25||42|x x a ++-<无实数解？解法1 欲使不等式|25||42|x x a ++-<无实数解,关键是求出|25||42|x x ++-的最小值. 因|25|x +、|42|x -的零点分别是52-、2.当52x -≤时,|25||42|(25)4214x x x x x ++-=-++-=--.当52x =-时,|25||42|x x ++-有最小值9； 当522x -<≤时,|25||42|25429x x x x ++-=++-=,最小值及最大值都是9； 当2x >时,|25||42|252441x x x x x ++-=++-=+,无最小值. 故|25||42|x x ++-的最小值为9.欲使不等式|25||42|x x a ++-<无实数解,则9a ≤. 解法2 由||||||a b a b ++≥,得|25||42||2542|9x x x x ++-++-=≥,故欲使不等式|25||42|x x a ++-<无实数解,只需9a ≤即可. 5.2.8★★若不等式|1||3|x x a ++-≤有解,求a 的取值范围. 解析1 利用不等式性质：|1||3||1(3)|4x x x x ++-+--=≥,又|1||3|x x a ++-≤, 可得4a ≥.解析2 根据绝对值的几何意义,因为|1|x +、|3|x -分别表示数轴上点x 到点1-和3的距离,所以|1||3|x x ++-表示数轴上某点到A ：1-和B ：3的距离和.从图可见,不论x 在A 点左边或者B 点右边时,x 到A 、B 点距离和至少为4；当x 在AB 两点之间时,x 到A 、B 点距离和为4.所以4a ≥.x评注 解绝对值不等式常用分类讨论方法 （1）当1x -≤时,原不等式化为224a x -≥≥； （2）当13x -<<时,原不等式化为4a ≥； （3）当3x ≥时,原不等式化为224a x -≥≥. 综上所述,4a ≥.本题中,两个绝对值符号中未知数的系数相同,所以我们利用了绝对值的几何意义. 5.2.9★已知0n <且||m nm m n-=+,求m 的取值范围. 解析 整理可得(1||)1||m m n m -=+.因为0n <,所以(1||)01||m m m -<+,即 (1||)0m m -<.（1）当0m <时,1||0m ->,解之得10m -<<. （2）当0m >时,1||0m -<,解之得1m >. 综上,m 的取值范围为10m -<<或者1m >. 5.2.10★解不等式24||30x x -+>. 解析1 因为24||3(||1)(||3)0x x x x -+=-->,所以||1x <或||3x >,即11x -<<或者3x >或者3x <-.解析 2 考虑函数2()4||3f x x x =-+.注意到对任意实数x ,有()()f x f x -=.从函数图象来看,这个函数的图象关于y 轴对称,即只需作出0x >时的图象,再把函数图象关于y 轴作对称即可. 如图,可知,原不等式的解为使得图象在x 轴上方的x 的取值集合：11x -<<或者3x >或者3x <-.评注当我们从函数图象的角度去解不等式时,有两点需要引起读者注意：(||)f x表示的函数图象是()f x在x轴正向部分图象及其与关于y轴翻折；|()|f x的图象是把()f x在x轴下方的图象关于x轴翻折后的图象.由这两点,利用数形结合的方法,是比较巧的.5.2.11★★解不等式2|41|3x x x-+>.解析（1）当2410x x-+≥,即2x≥2x≤,原不等式变形为2413x x x-+>. 解不等式组,得x>或x.（2）当2410x x-+<,即22x<,原不等式变形为2(41)3x x x--+>.此时,不等式组无解. 综上,原不等式的解为x>或x.（本题从几何解释为使2|41|y x x=-+的图象在3y x=图象上方的x的取值范围.如图.）5.2.12★★已知||1x≤,||1y≤,且|||1||24|k x y y y x=++++--,求k的最小值和最大值.解析解题的关键是把绝对值符号去掉,必要时可以分类讨论.因为||1x≤,||1y≤,所以11x-≤≤,11y-≤≤.所以10y+≥.又222y -≤≤,故3233y x --≤≤,从而240y x --<. 当0x y +<时,有()(1)(24)25k x y y y x y =-+++---=-+. 因为11y -≤≤,所以3257y -+≤≤,此时37k ≤≤. 当0x y +≥时,有()(1)(24)25k x y y y x x =+++---=+. 同样,当11x -≤≤时,3257x +≤≤,即37k ≤≤. 综上所述,37k ≤≤.又当1x =时,7k =,当1x =-时,3k =,所以,k 的最值是3,最大值是7.5.2.13★★实数a 、b 、c 满足不等式||||a b c +≥,||||b c a +≥,||||c a b +≥.求证：0a b c ++=.解析1 若a 、b 、c 中有一个为零时,设0a =,则||0b c +=,所以,0b c +=,故0a b c ++=.下面可设a 、b 、c 均不等于零.（1）当a 、b 、c 全为正数时,则b c a +≤,c a b +≤,a b c +≤,这不可能.（2）当a 、b 、c 为二正一负时,不妨设0a >,0b >,0c <.则由||b c a +≤,得a b c a -+≤≤,所以0a b c ++≥.又有||||a b c +≤得：a b c +-≤,所以0a b c ++≤,从而0a b c ++=.（3）当a 、b 、c 为一正二负时,不妨设0a >,0b <,0c <,于是由||b c a +≤,得a b c -+≤,所以0a b c ++≥.又有||||a b c +≤得：a b c +-≤,所以0a b c ++≤,从而0a b c ++=.（4）当a 、b 、c 全为负数时,于是由条件得a b c a +-≤≤,b c a b +-≤≤,c a b c +-≤≤,所以2()a b c a b c ++++≤,所以0a b c ++≥,矛盾.综上所述,得0a b c ++=.解析2 把题设的3个不等式两边平方后相加,得2222222()222a b c a b c ab bc ca +++++++≥,故 2()0a b c ++≤,从而0a b c ++=.5.2.14★★★★实数a 、b 、c 满足a b c ≤≤,0ab bc ca ++=,1abc =.求最大的实数k ,使得不等式||||a b k c +≥恒成立.解析 当a b ==2c =时,则实数a 、b 、c 满足题设条件,此时4k ≤. 下面证明：不等式||4||a b c +≥对满足题设条件的实数a 、b 、c 恒成立.由已知条件知,a 、b 、c 都不等于0,且0c >.因为10ab c =>,210a b c+=-<, 所以0a b <≤.由根与系数的关系知,a 、b 是一元二次方程22110x x c c++= 的两个实数根,于是4140c c∆=-≥, 故 314c ≤. 所以 21||()4||a b a b c c c +=-+==≥4. 5.2.15★★★已知（1）0a >；（2）当11x -≤≤时,满足2||1ax bc c ++≤；（3）当11x -≤≤时,ax b +有最大值2.求常数a 、b 、c .解析 由（1）知2y ax bx c =++为开口向上的抛物线,由（1）、（3）知2a b +=.①由（2）知||1a b c ++≤, ② ||1c ≤. ③由①、②知|2|1c +≤.④ 由③、④得1c =-.故0x =时,2y ax bx c =++达到最小值.因此,02b a-=,0b =. 由①得2a =.故 2a =,0b =,1c =-.5.2.16★★★证明|||2|||24max{,,}A x y x y z x y x y z x y z =-++-+-+++=,其中max {x ,y ,z }表示x 、y 、z 这三个数中的最大者.解析 欲证的等式中含有三个绝对值符号,且其中一个在另一个内,要把绝对值去掉似乎较为困难,但等式的另一边对我们有所提示,如果x 为x 、y 、z 中的最大者,即证4A x =,依次再考虑y 、z 是它们中的最大值便可证得.（1）当x y ≥,x z ≥时,|2|222224A x y x y z x y x y z x z x z x =-++-+-+++=-++=.（2）当y z ≥,y x ≥时,|2|222224A y x x y z y x x y z y z y z y =-++-+-+++=-++=.（3）当z x ≥,z y ≥时,因为||2max x y x y -++={x ,y }2z ≤,所以2||||24A z x y x y x y x y z z =----+-+++=.从而 4max A ={x ,y ,z }.§5.3 一元二次不等式5.3.1★设a 为参数,解关于x 的一元二次不等式2(3)30x a x a -++<.解析 分解因式(3)()0x x a --<.（1）若3a >,解为3x a <<；（2）若3a <,解为3a x <<；（3）若3a =,原不等式变成2(3)0x -<,无解.5.3.2★★设a 为参数,解关于x 的一元二次不等式2(1)10ax a x -++<.解析 （1）0a =时,原不等式为10x -+<,解为1x >.（2）0a ≠时,分解因式得1(1)0a x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭. ①若0a >,则1(1)0x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭. （i ）11a >,即01a <<时,解为11x a <<. （ii ）11a <,即1a >时,解为11x a <<.（iii ）11a=,即1a =时,不等式无解.②若0a <,则1(1)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭, 解为1x >及1x a <.5.3.3★★若一元二次不等式20ax bx c ++>的解是12x <<,求不等式20cx bx a ++<的解. 解析 1 因一元二次不等式20ax bx c ++>的解是12x <<,所以,不等式20ax bx c ++>与(1)(2)0x x --<等价.即20b c x x a a++<（0a <）与2320x x -+<等价.所以 3,2,0,b a c a a ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪<⎪⎩即3,2,0.b a c a a =-⎧⎪=⎨⎪<⎩ 故不等式20cx bx a ++<,即2230ax ax a -+<,且0a <.化为22310x x -+>,解得1x >,或12x <.解析2 因一元二次不等式20ax bx c ++>的解是12x <<,所以20ax bx c ++=的根是1,2,且0a <.由韦达定理,得3,2.b a c a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 故不等式20cx bx a ++<的解是1x >,或12x <.5.3.4★★★欲使不等式2(1)(3)20m x m x -+--<与不等式2320x x -+<无公共解,求m 的取值范围.解析 不等式2320x x -+<的解是12x <<.不等式2(1)(3)20m x m x -+--<,即 [(1)2](1)0m x x -+-<. ①（1）当1m =时,不等式为220x -<,即1x <,符合题意；（2）当10m ->,即1m >时,不等式①之解为211x m<<-,符合题意； （3）当10m -<,即1m <时,我们分两种情况讨论： 若211m <-,即1m <-时,不等式①之解为1x >,或21x m <-,不合题意； 若211m >-,即11m -<<时,不等式①之解为21x m>-,或1x <,欲使不等式2(1)(3)20m x m x -+--<与不等式2320x x -+<无公共解,则须221m -≥,从而01m <≤. 综上所述,欲使不等式2(1)(3)20m x m x -+--<与不等式2320x x -+<无公共解,m 的取值范围是0m ≥5.3.5★★对一切实数x ,不等式2(6)20ax a x +-+>恒成立,求a 的值.解析 由于不等式对一切x 恒成立,故a 应该满足20,6420,a a a >⎧⎨∆=(-)-⋅<⎩ 即20,20360,a a a >⎧⎨-+<⎩所以 218a <<.5.3.6★★设有不等式2221(2)3238t t x x t --+-≤≤, 试求对于满足02x ≤≤的一切x 成立的t 的取值范围.解析 令232y x x =-+,02x ≤≤,则在02x ≤≤上y 能取到的最小值为14-,最大值为2,从而总有2211(2),8432,t t t ⎧--⎪⎨⎪-⎩≤≥ 即22220,10,t t t ⎧--⎪⎨-⎪⎩≥≤ 所以111;t t ⎧-⎪⎨-⎪⎩≤≤≤或11 1.t t ⎧⎪⎨-⎪⎩≥≤≤ 于是t的取值范围为11t --≤≤5.3.7★解不等式21311x x x x -+>-+. 解析 原不等式可化为213011x x x x -+->-+, 即 220(1)(1)x x x x -+>-+. ① 因为22172024x x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭,所以①式等价于 (1)(1)0x x -+>,所以 1x <-或1x >.5.3.8★★解不等式12>. 解析 首先,由30,10x x -⎧⎨+⎩≥≥ 得13x -≤≤.将原不等式变形为1>.由于上式两边均非负,故两边平方后,整理得78x ->,所以780x ->,即78x <,并且2(78)16(1)x x ->+,所以264128330x x -+>,x >x <.综上可得,原不等式的解为1x -≤. 5.3.9★求不等式21(1)37x x x -<-<+的整数解的个数.解析 不等式21(1)37x x x -<-<+等价于不等式组22(1)1,(1)37,x x x x ⎧->-⎪⎨-<+⎪⎩即22320,560.x x x x ⎧-+>⎪⎨--<⎪⎩ 解2320x x -+>得2x >或1x <；解2560x x --<得16x -<<.故原不等式组的解为11x -<<或26x <<.x 的整数解为0x =,3,4,5共四个.5.3.10★★实数a 、b 、c 满足()()0a c a b c +++<.证明：2()4()b c a a b c ->++.解析 要证2()4()b c a a b c ->++,即证2()4()0b c a a b c --++>,联想到一元二次方程根的判别式,进而构造符合条件的二次函数,通过对函数图象与性质的研究使问题得以解决.设辅助函数2()()y ax b c x a b c =+-+++,令10x =,得函数值1y a b c =++；令21x =-,得函数值22()y a c =+.因为()()0a c a b c +++<,所以120y y <.这说明,辅助函数2()()y ax b c x a b c =+-+++上两点11(,)x y 、22(,)x y 分布在x 轴的两侧,由此可见抛物线与x 轴有两个交点,也就是说方程2()()0ax b c x a b c +-+++=有两个不相等的实数根. 因此2()4()0b c a a b c ∆=--++>,故2()4()b c a a b c ->++.评注 有些数学问题,可以借助函数,利用对函数图象与性质的研究,将一些抽象的数量关系通过函数图象形象直观地反映出来,这种数形结合的思想非常重要.5.3.11★★★满足下列两个条件：（1）对所有正整数x ,220010x x n -+≥；（2）存在正整数0x ,使20020020x x n -+<的正整数n 的个数有几个？解析 先求满足条件（1）的正整数n .由22220012001200124n x x x ⎛⎫-+=--+ ⎪⎝⎭≥ 对所有正整数x 都成立,则n 不小于222001200124x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的最大值,故 222001200110001000100124n ⎛⎫--+=⨯ ⎪⎝⎭≥. 再求满足条件（2）的正整数n .240n ∆=2002->,21001n <.由于∆是正整数,且大于1,故此时方程220020x x n -+=的两根1x 、2x （均大于0）,满足 22121212()()4x x x x x x -=+-=∆>1,即12||1x x ->,从而,当21001n <时,必存在正整数0x ,使得20020020x x n -+<.所以,满足条件（1）、（2）的正整数n 有21001100010011001-⨯=（个）.5.3.12★★★设a 为实数,解不等式x <解析 （1）若0a ≤,由原不等式,得10,0.x x -⎧⎪⎨<⎪⎩≥ 此为矛盾不等式组,无解.（2）若0a >,则有2210,(1).x a x x -⎧⎪⎨->⎪⎩≥①② 由①,得 1x ≥.由②,得2220x a x a -+<,2(2)(2)a a a ∆=+-.此时又分两种情形：当02a <≤时,0∆≤,则不等式①②无解； 当2a >时,∆>0,注意到222212a a=>=. 此时不等式②的解为x <. 综上所述,当2a >时,原不等式才有解,此时不等式的解集为x <. 5.3.13★★★设0a >,解不等式1x +.①解析 因为0a >,①的左端非负,因此10x +≥. 下面分两种情形讨论.（1）0x ≥时,①式左右两边平方得22(1)a x x +≤,整理得22(2)10x a x +-+≥.②因为2222(2)4(4)a a a ∆=--=-,所以2a <时,0∆<,②对一切0x ≥成立.2a ≥时,0∆≥,22(2)1x a x +-+有实根,而且两根的积为1,和为非负数22a -,所以两根均为正.②的解为x 及0x ≤. （2）10x -<≤时,①式变为1x +. ③③式两边平方整理得22+++≥. ④x a x(2)10因为22+++有两个不相等的实数根,由韦达定理知,两根均为负.x a x(2)40a∆=+->,所以22(2)1由于两根积为1,较小的根小于1-,较大的根大于1-,所以④的解为<>.x a0(0)综合（1）、（2）,原不等式的解为：当2a≥时,x及x当02<<时,ax。
数学竞赛历年的不等式题
（2006年全国）2. 设2log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为 A ．112x << B ．1, 12x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x << 【答】（ B ） 【解】因为20,1210x x x x >≠⎧⎨+->⎩，解得 1,12x x >≠. 由2log (21)log 2 1x x x x +->- 32log (2)log 2x x x x x ⇒+-> 320122x x x x <<⎧⇒⎨+-<⎩ 解得 01x <<； 或 32122x x x x >⎧⎨+->⎩ 解得 1x >，所以x 的取值范围为 1, 12x x >≠且. 1．（05）使关于xk ≥有解的实数k 的最大值是（ ） A解：令6,y x =≤≤则2(3)(6)2[(3)y x x x =-+-+≤-(6)] 6.x +-=0y k ∴<≤实数D 。
（2004年全国）3．不等式2log 211log 3212++-x x >0的解集是（ C ） A ．[2，3] B ．（2，3） C ．[2，4] D ．（2，4）解：原不等式等价于22331log 0222log 10x x ++>⎪-≥⎩ 解得20log 11,24x x ≤-<∴≤<．故选C ．（2003年全国）5已知x ,y 都在区间(-2,2)内，且xy ＝-1，则函数u =244x -+299y -的最小值是D (A)58 (B)1124(C)712 (D)512 （2003年全国）7不等式|x |3-2x 2-4|x |+3＜0的解集是__________.7、}25133215|{-<<-<<-x x x 或； （2003年全国）13已知523≤≤x ,证1923153212<-+-++x x x证明： 容易证明：当a ，R b ∈时，2222b a b a +≤+．其中等号成立，当且仅当b a =． 所以)3151()321(3153212x x x x x x x -+++-++=-+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-+++-++≤x x x x x x 822322)315()1(22)32()1(2 19214521422)8(2234=+≤+=-+-≤x x x ．由于不等式2)32()1(2321-++≤-++x x x x 中等号成立，当且仅当321-=+x x ，即4=x ；不等式2)315()1(23151x x x x -++≤-++中等号成立，当且仅当x x 3151-=+，即27=x ．所以上述不等式第一个不等号中的等号就不可能成立． 所以1923153212<-+-++x x x ． （2008年全国）14．解不等式121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．[解法一] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122x x x x x ++++>+．即 1210864353210x x x x x +++-->． …5分 分组分解 12108x x x +- 1086222x x x ++- 864444x x x ++- 642x x x ++- 4210x x ++->，864242(241)(1)0x x x x x x +++++->， …10分所以 4210x x +->，2211()022x x --+-->． …15分所以2x >，即x <x >故原不等式解集为(,)-∞+∞ ． …20分 [解法二] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122x x x x x ++++>+． …5分即6422232262133122(1)2(1)x x x x x x x x +<+++++=+++， )1(2)1()1(2)1(232232+++<+x x x x ， …10分 令3()2g t t t =+，则不等式为221()(1)g g x x <+， 显然3()2g t t t =+在R 上为增函数，由此上面不等式等价于2211x x <+， 即222()10x x +->，解得2x >(2x <舍去)，故原不等式解集为(,)-∞+∞ ．。
3.3一元一次不等式(2)
15x + 100-10x ≤ =120 单项式乘以多项式法则
2 移项 15x -10x ≤ =120 -100 不 等式基本性质1
合并同类项 两边都除以5
≤ 5x =20 合并同类项法则
x≤=4
不 等式基本性质2 3
解方程
1 x 1 2x =1 2 3
3(1+x) - 2(1+2x)<6 3+3x-2-4x<6
系 1.5 x 2 x 0.4 0.6 0.3 15 x 20 x 4 3 6 数 3.5 x 1.3 先 35 x 13 13 化 x 13 35 x 整
35
6 15 x 3 20 x 4
0.2 x 0.1 1 x 1 0.4 6 2x 1 1 x 不等式可化为 1 4 6 去分母，得 （2 x 1 （ x） 12 3 ） 21
解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得
3x-4x<5
-x<5 x>-5
两边都除以-1，得
与解一元一次方程的步骤类似可得解 一元一次不等式的步骤： ①去分母； ②去括号； ③移项； ④合并同类项； ⑤系数化为一. （注意系数的符 号） 不等式基本性质3； 单项式乘以多项式法则 不等式基本性质2 合并同类项法则 不等式基本性质3
数学老师要给数学竞赛获奖的10名学 生购买奖品，准备120元钱到超市购买钢 笔和文具盒，到超市后发现钢笔每支要 10元，文具盒每个15元。 问：能买几个文具盒？ 最多能买几个文具盒？ 解：设买文具盒X个，由题意得
15x + 10 10-x =120 15x + 10 10-x 120
浙教版初中数学八年级 上册 3.3 一元一次不等式(2) 课件 教学课件
其数学表达式 10x-5(20-x)
据题意，小明最后得分要求： 超过90分
用数学表达式表示为： 10x-5(20-x)>90
拓展提高
解：设小明答对x道题，则他答错或者不答的题数为 (20-x)，根据题意，得：
10x-5(20-x)>90
解这个不等式，得
10x-100+5x>90 15x>190 x > 12 2
、
_________、 _________四种常见最简不等式.
例3 解不等式 10.5x0.1x0.2
0.2 0.3
还记得它吗
10.5x0.1x0.2
0.2
0.3
例3 解不等式 10.5x0.1x0.2
0.2 0.3
解法一
解法二 你会选择哪种解法?
1 5x 1 10x 2
2
3
0.6 3(0.5x 0.1) 2( x 0.2)
数轴上表示出来. 2
3
解下列不等式，并把解在数轴上表示出来.
(1)5x313x; (2)1y11y;
3
2
(3 )3 ( 1 3 x ) 2 (4 2 x ) 0 ;
(4)1(2m)3m;
6
10
1.解一元一次不等式和解
的思路和步骤类似.
2.解一元一次不等式的基本思路是：把原不等式变形成_________、
作业（5）系数化为1
骤
两边知同数时的除 系书以数上未 P1作01业作在乘本（以业把（1；题不）或，等与除号（以方5））向这负改两数变步，若要
解的 情况
一般只有一。个解
一般解集含有无数个解
当你的才华还撑不起你的野心时，你就该努力。心有猛虎，细嗅蔷薇。我TM竟然以为我竭尽全力了。能力是练出来的，潜能是逼出来的，习惯是养成的，我的 成功是一步步走出来的。不要因为希望去坚持，要坚持的看到希望。最怕自己平庸碌碌还安慰自己平凡可贵。
第九章不等式与不等式组(二)单元测试卷2021-2022学年人教版数学七年级下册
2021-2022学年度初中数学七年级下册不等式与不等式组模拟试题（二）一、单选题1．﹣（﹣a ）和﹣b 在数轴上表示的点如图所示，则下列判断正确的是（ ）A ．﹣a ＜1B ．b ﹣a ＞0C ．a ＋1＞0D ．﹣a ﹣b ＜0 2．某市最高气温是33℃，最低气温是24℃，则该市气温t （℃）的变化范围是（ ）A ．t ＞33B ．t ≤24C ．24＜t ＜33D ．24≤t ≤33 3．若关于x 的分式方程2x x -+1＝22ax x --有整数解，且关于y 的不等式组2(1)15210y a y y -+-≤⎧⎨+<⎩恰有2个整数解，则所有满足条件的整数a 的值之积是（ ） A ．0 B ．24 C ．﹣72 D ．12 4．为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的．如果6只饭碗（注：饭碗的大小形状都一样，下同）摞起来的高度为15cm ，9只饭碗摞起来的高度为20cm ，李老师家的碗橱每格的高度为31cm ，则里面一摞碗最多只能放（ ）A ．16只B ．15只C ．14只D ．13只 5．设[x ）表示大于x 的最小整数，如[3）=4，[-1.2）=-1，下列结论：℃[0）=0；℃[x ）-x 的最小值是0；℃[x ）-x 的最大值是1；℃存在实数x ，使[x ）-x =0.5成立，其中正确的是（ ）A ．℃℃B ．℃℃C ．℃℃℃D ．℃℃℃6．已知关于x 的不等式组420102x x a -≥⎧⎪⎨->⎪⎩恰有4个整数解，则a 的取值范围是（ ） A ．﹣1＜a ＜﹣12 B ．﹣1≤a ≤﹣12 C ．﹣1＜a ≤﹣12 D ．﹣1≤a ＜﹣12 7．下列说法正确的个数是（ ）（1）一个数绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；（2）当0a ≠时，a 总是大于0；（3）若mn =0，则m 、n 中必有一个数为0；（4）如果0a ≥那么5a -一定有最小值-5．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．已知关于x 、y 的二元一次方程组32121399x y a x y a +=--⎧⎪⎨-=+⎪⎩的解满足x y ≥，且关于s 的不等式组731a s s -⎧>⎪⎨⎪≤⎩恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a 的个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 9．若10a -<<，则有（ ）A ．1a a >B ．33a a <C ．2a a ->D ．32a a <- 10．一群女生住若干间宿舍，若每间住4人，剩下16人无处住；若每间住6人，有一间宿舍住人但不足4人，那么这群女生的人数是（ ）A ．52B ．56C ．60或56D ．60二、填空题11．若0622x k x -≥⎧⎨->-⎩的整数解共有5个，则k 的取值范围是________． 12．已知关于x 的不等式组223x x x m ⎧->+⎨≥⎩只有两个整数解，则实数m 的取值范围是 __________．13．若点P 为数轴上一个定点，点M 为数轴上一点将M ，P 两点的距离记为MP ．给出如下定义：若MP 小于或等于k ，则称点M 为点P 的k 可达点．例如：点O 为原点，点A 表示的数是1，则O ，A 两点的距离为1，1＜2，即点A 可称为点O 的2可达点．（1）如图，点B 1，B 2，B 3中，___是点A 的2可达点；（2）若点C 为数轴上一个动点，℃若点C 表示的数为﹣1，点C 为点A 的k 可达点，请写出一个符合条件的k 值 ___； ℃若点C 表示的数为m ，点C 为点A 的2可达点，m 的取值范围为 ___；（3）若m ≠0，动点C 表示的数是m ，动点D 表示的数是2m ，点C ，D 及它们之间的每一个点都是点A 的3可达点，写出m 的取值范围 ___．14．有一根长22cm 的金属棒，将其截成x 根3cm 长的小段和y 根5cm 长的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则x ＋y ＝__．15．某学校举办“创文知识”竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小聪要想得分不低于140分，他至少要答对多少道题？如果设小聪答对a 题，则他答错或不答的题数为()20a -题，根据题意列不等式：___________． 16．为了迎接“母亲节”的到来，枣庄市购物中心超市准备开展打折促销活动，现在有某件商品进价200元，标价320元出售，商场规定打折销售后利润率不能少于20%，那么这种商品最多打______折．17．不超过数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[x ]例如，[3.4]=3，[-2.1]=-3则满足关系式[37]6x +=5的x 的整数值有________ 18．如果不等式组320x x m ->⎧⎨≥⎩有解，则m 的取值范围是______． 三、解答题19．西大附中为打造“书香校园”，计划在校内组建中、小型两类图书角共30个，已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本，组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．目前学校用于组建图书角的科技类书籍不超过1900本，人文类书籍不超过1620本．(1)符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来．(2)若组建一个中型图书角的费用是860元，小型图书角的费用是570元，试说明（1）中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？20．利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：(1)x －7＞26(2)3x ＜2x ＋121．解下列不等式组32122x x x +>⎧⎪⎨≤⎪⎩． 22．某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖的纸盒．（1）现有正方形纸板162张，长方形纸板340张，若要做两种纸盒共100个，设竖式纸盒x 个，需要长方形纸板________________张，正方形纸板_____________张（请用含有x的式子）（2）在（1）的条件下，有哪几种生产方案？（3）若有正方形纸板162张，长方形纸板a张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．已知290＜a＜300，求a的值．23．“学党史，办实事”，为解决停车难问题，某区政府治堵办对老旧小区新增停车位给予补贴，对于通过划线方式新增的和建设改造新增的给予不同的补贴．划线4个和建设改造3个，共补贴8000元；划线1个和建设改造1个，共补贴2500元．(1)政府对划线新增一个停车位和建设改造新增一个停车位分别补贴多少元？(2)在（1）的条件下，政府计划对老旧小区一共新增车位100个，建设改造新增的停车位不得少于划线新增停车位的1.5倍，且政府补贴不超过143000元，则老旧小区新增停车位共有几种方案？24．解下列不等式：(1)2x﹣1＜﹣6；(2)145 23--<x x；(3)解不等式组：3(2)41213x xxx--≥⎧⎪+⎨>-⎪⎩，并在数轴上表示它的解集．参考答案：1．B【详解】解：﹣（﹣a ）＝a ，由数轴可得a ＜﹣1＜﹣b ＜0，℃a ＜﹣1，℃﹣a ＞1，故A 选项判断错误，不合题意；℃﹣b ＜0，℃b ＞0，b ﹣a ＞0，故B 正确，符合题意；℃a ＜﹣1，℃a +1＜0，故C 判断错误，不合题意；℃a ＜﹣b ，℃a +b ＜0，℃﹣a ﹣b ＞0，故D 判断错误，不合题意．故选：B ．2．D【详解】由题意，某市最高气温是33℃，最低气温是24℃，说明其它时间的气温介于两者之间， ℃该市气温t （℃）的变化范围是：24≤t ≤33；故选：D ．3．D【详解】先解分式方程，再解一元一次不等式组，进而确定a 的取值．解：℃2x x -+1＝22ax x --， ℃x +x ﹣2＝2﹣ax ．℃2x +ax ＝2+2．℃（2+a ）x ＝4．℃x ＝42a+ ． ℃关于x 的分式方程2x x -+1＝22ax x --有整数解， ℃2+a ＝±1或±2或±4且42a +≠2． ℃a ＝﹣1或﹣3或﹣4或2或﹣6．℃2（y ﹣1）+a ﹣1≤5y ，℃2y ﹣2+a ﹣1≤5y ．℃2y ﹣5y ≤1﹣a +2．℃﹣3y ≤3﹣a ．℃y ≥﹣1+3a ． ℃2y +1＜0，℃2y ＜﹣1．℃y ＜12-． ℃﹣1+3a ≤y ＜12-． ℃关于y 的不等式组2(1)15210y a y y -+-≤⎧⎨+<⎩恰有2个整数解， ℃﹣3＜﹣1+3a ≤﹣2． ℃﹣6＜a ≤﹣3．又℃a ＝﹣1或﹣3或﹣4或2或﹣6，℃a ＝﹣3或﹣4．℃所有满足条件的整数a 的值之积是﹣3×（﹣4）＝12．故选：D ．4．B【详解】解：设碗底的高度为xcm ，碗身的高度为ycm ，由题意得：615920x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：535x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 设李老师一摞碗能放a 只碗，由题意得：5+53a ≤31， 解得：a ≤7815.65=， 则一摞碗最多只能放15只，故选：B ．5．B【详解】解：由题意可知：℃[x ）表示大于x 的最小整数，℃设[x ）＝n ，则n －1≤x ＜n ，℃[x ）－1≤x ＜[x ），℃0＜[x ）－x ≤1，℃℃[0)1=，故℃错误；℃[)x x -可无限接近0，但取不到0，无最小值，故℃错误；℃[)x x -的最大值是1，当x 为整数时，故℃正确；℃存在实数x ，使[)0.5x x -=成立，比如x =1.5，故℃正确，故选：B ．6．D【详解】解：解不等式组得：22x x a ≤⎧⎨>⎩， ℃该不等式组恰有4个整数解，℃－2≤2a ＜－1，解得：﹣1≤a ＜﹣12，故选：D ．7．D【详解】℃一个数绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远,℃（1）正确； ℃a ≥0，℃当0a ≠时，a 总是大于0，℃（2）正确；℃mn =0，℃m =0或n =0，℃（3）正确；℃5055a -≥-≥-，℃5a -一定有最小值-5℃（4）正确；故选D ．8．C【详解】 解：解方程组32121399x y a x y a +=--⎧⎪⎨-=+⎪⎩得：213322x a y a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，℃关于x 、y 的二元一次方程组32121399x y a x y a +=--⎧⎪⎨-=+⎪⎩的解满足x y ≥， ℃213a +≥322a --， 解得：a ≥-1813， ℃关于s 的不等式组731a s s -⎧>⎪⎨⎪≤⎩恰好有4个整数解，即4个整数解为1，0，-1，-2， ℃7323a --≤<-， 解得-2≤a ＜1， ℃1813-≤a ＜1， ℃符合条件的整数a 的值有：-1，0，共2个，故选：C ．9．C【详解】 解：采用特殊取值法，取12a =-， 则12a=-，由122-<-，A 选项错误； 33111111,,282888⎛⎫⎛⎫-=-=->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 选项错误； 2111111,,222424⎛⎫⎛⎫--=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 选项正确； 由1184->-知321122⎛⎫⎛⎫->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 选项错误； 故选：C ．10．B【详解】解:设有x 间宿舍，则有6（x -1）＜4x +16＜6（x -1）+4，整理得()()61416416614x x x x ⎧-+⎪⎨+-+⎪⎩＜①＜②， 解不等式℃得11x ＜，解不等式℃得9x ＞，℃不等式组的解集为911x ＜＜，℃x =10，当x =10时4×10+16=56人，故选择B ．11．21k -<≤-【详解】解：0622x k x -≥⎧⎨->-⎩①②由℃得：,x k ≥由℃得：x ＜4,k x ∴≤＜4,622x k x -≥⎧⎨->-⎩的整数解共有5个，∴ 不等式组的整数解为：3,2,1,0,1,-∴ 21k -<≤-故答案为：21k -<≤-12．32m -<-【详解】解：当2x 时，223x x ->+，13x ∴<-，13x ∴<-；当2x >时，223x x ->+，5x ∴-＞，∴不等式的解为13m x ≤<-，不等式组|2|23x x x m ->+⎧⎨⎩只有两个整数解，∴两个整数解为1-和2-，32m ∴-<-，故答案为：32m -<-．13． 2B 、3B ##B 3、B 2 3 13m -≤≤ 12m -≤≤【详解】解：（1）由题意知：1>2B A 2，2<2B A 2，3<2B A 2，℃2B 、3B 是点A 的2可达点，故填：2B 、3B ；（2）℃当点C 表示的数为﹣1时，=2CA ≤k ，故k ＝3，故填：3；℃当点C 表示的数为m 时，=1CA m -≤2，解得：13m -≤≤，故填：13m -≤≤；（3）由题意知：=1CA m -，21DA m =-， 即：13m -≤，213m -≤，解得：12m -≤≤，故填：12m -≤≤．14．6【详解】℃一根长22cm 的金属棒，将其截成x 根3cm 长的小段和y 根5cm 长的小段， ℃3x +5y ≤22， ℃2253y x -≤， ℃2250y -≥，且y 为正整数，℃y 的值可以为1、2、3、4，当y ＝1时，x≤173，则x ＝5，此时，所剩的废料是：22﹣5﹣3×5＝2cm ， 当y ＝2时，x≤4，则x ＝4，此时，所剩的废料是：22﹣2×5﹣4×3＝0cm ，当y ＝3时，x≤73，则x ＝2，此时，所剩的废料是：22﹣3×5﹣2×3＝1cm ， 当y ＝4时，x≤23，则x ＝0（舍去）， ℃废料最少的是：x ＝4，y ＝2，℃x ＋y ＝6，故答案为：615．()10520140a a --≥【详解】解：根据题意，得10a −5（20−a ）≥140．故答案是：10a −5（20−a ）≥140．16．七五【详解】解：设这种商品可以按x 折销售，则售价为320×0.1x ，那么利润为320×0.1x -200，所以相应的关系式为320×0.1x -200≥200×20%，解得：x ≥7.5．℃这种商品最多可以按7.5折销售．故答案为：七五．17．8，9.【详解】解：因为原方程即为[37]6x +=5, 所以5≤376x +<6， 所以37563766x x +⎧≥⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩， 解得：232933x ≤<， 因为x 是整数，所以x =8， 9，故答案为：8，9.18．32m <【详解】 解：320x x m ->⎧⎨≥⎩， 解不等式320x ->，解得32x <， 因为不等式组320x x m->⎧⎨≥⎩有解， 所以32m x ≤<， 所以32m <. 故答案为：32m <.19．(1)共有3种组建方案，方案1：组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案2：组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案3：组建中型图书角20个，小型图书角10个．(2)方案1费用最低，最低费用是22320元(1)解：设组建中型图书角x 个，则组建小型图书角(30)x -个，依题意得：()()80303019005060301620x x x x ⎧+-≤⎪⎨+-≤⎪⎩， 解得：1820x ≤≤，又∵x 为整数，∴x 可以取18，19，20，∴共有3种组建方案，方案1：组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案2：组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案3：组建中型图书角20个，小型图书角10个；(2)选择方案1的费用为：860185701222320⨯+⨯=（元)；选择方案2的费用为：860195701122610⨯+⨯=（元)；选择方案3的费用为：860205701022900⨯+⨯=（元)．223202*********<<，∴方案1费用最低，最低费用是22320元．20．(1)x ＞33，见解析(2)x ＜1，见解析【详解】（1）根据不等式的性质1，不等式两边加7，不等号的方向不变，所以：x －7＋7＞26＋7，x ＞33．这个不等式的解集在数轴上的表示如图：（2）3x ＜2x ＋1；解:（2）根据不等式的性质1，不等式两边减2x ，不等号的方向不变，所以：3x －2x ＜2x ＋1－2x ，x ＜1．这个不等式的解集在数轴上的表示如图：21．14x -<≤【详解】解：解不等式3x +2>x 得：x >-1， 解不等式122x ≤，得：4x ≤， 则不等式组的解集为：14x -<≤．22．（1）长方形纸板用了（x +300）张，正方形纸板用了（200﹣x ）张；（2）共有3种生产方案，方案1：生产竖式纸盒38个，横式纸盒62个；方案2：生产竖式纸盒39个，横式纸盒61个；方案3：生产竖式纸盒40个，横式纸盒60个；（3）293或298 【详解】解：（1）设生产竖式纸盒x 个，则生产横式纸盒（100﹣x ）个，则长方形纸板用了43(100)300x x x +-=+张，正方形纸板用了2(100)200x x x +-=-张 ℃长方形纸板用了（x +300）张，正方形纸板用了（200﹣x ）张．（2）依题意，得：300340200162x x +≤⎧⎨-≤⎩， 解得：3840x ≤≤． ℃x 为整数，℃x ＝38，39，40，℃共有3种生产方案，方案1：生产竖式纸盒38个，横式纸盒62个；方案2：生产竖式纸盒39个，横式纸盒61个；方案3：生产竖式纸盒40个，横式纸盒60个．（3）设可以生产竖式纸盒m 个，横式纸盒1622m -个，由此可得，m 为偶数，依题意，得：43(81)2m a m =+-∵290300a << ∴43(8129030)02m m +-<< ∴18.822.8x ≤≤∴20m =或22m =∴293a =或298a =答：a 的值为293或298．23．(1)政府对划线新增一个停车位补贴500元，对建设改造新增一个停车位补贴2000元(2)共有3种方案(1)设政府对划线新增一个停车位补贴x 元，对建设改造新增一个停车位补贴y 元，依题意得：4380002500x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：{x =500y =2000． 答：政府对划线新增一个停车位补贴500元，对建设改造新增一个停车位补贴2000元．(2)设老旧小区划线新增m 个停车位，则建设改造新增(100)m -个停车位，依题意得：()100 1.55002000100143000m mm m -⎧⎨+-⎩，解得：3840m ．又m 为整数，m ∴可以为38，39，40，∴老旧小区新增停车位共有3种方案．24．(1)x ＜﹣2.5(2)x ＞1.4(3)x ≤1，在数轴上表示它的解集见解析(1)解：移项得：2x ＜﹣6+1，合并得：2x ＜﹣5，解得：x ＜﹣2.5；(2)解：去分母得：3（x ﹣1）＜2（4x ﹣5），去括号得：3x ﹣3＜8x ﹣10，移项得：3x ﹣8x ＜﹣10+3，合并得：﹣5x ＜﹣7，解得：x ＞1.4；(3) 解：3(2)41213x x xx --≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩①②由℃得：x ≤1，由℃得：x ＜4，解得：x ≤1．。
数学竞赛中经常用到的不等式整理,不包含三角不等式
（1）阿贝尔求和公式Abel’s Summation Formula若a1，a2，…，a n，b1，b2，…，b n分别是两个实数数列或复数数列，且S i = a1 + a2 + …+ a i，i = 1，2，…，n则（2）均值不等式AM-GM ( Arithmetic Mean - Geometric Mean ) Inequality 若a1，a2，…，a n是非负实数，则…当且仅当a1 = a2 = … = a n时等号取到，此不等式为幂均值不等式的一个特殊情况（3）均值不等式AM-HM ( Arithmetic Mean - Harmonic Mean ) Inequality 若a1，a2，…，a n是正实数，则当且仅当a1 = a2 = … = a n时等号取到，此不等式为幂均值不等式的一个特殊情况（4）伯努利不等式Bernoulli’s Inequality对任意实数x＞1和a＞1，都有( 1 + x )n＞1 + ax（5）柯西-施瓦兹不等式Cauchy - Schwarz’s Inequality对任意实数a1，a2，…，a n和b1，b2，，b n，有… … …当且仅当a i与b i都成比例时等号取到，其中i = 1，2，…，n（6）积分形式的柯西-施瓦兹不等式Cauchy - Schwarz’s Inequality for integrals 设a，b为实数且a＜b，且f，g为[a，b] →R的可积分函数，则（7）切比雪夫不等式Chebyshev’s Inequality设实数a1≤a2≤…≤a n，且b1，b2，…，b n为实数若b1≤b2≤…≤b n，则若b1≥b2≥…≥b n，则当且仅当a1 = a2 = … = a n，b1 = b2 = … = b n时等号取到（8）积分形式的切比雪夫不等式Chebyshev’s Inequality for integrals设实数a，b满足a＜b，函数f，g是[a，b] →R的可积分函数，且具有相同的单调性，则（9）琴生不等式Jensen’s Inequality若f ( x )是区间(a，b)上的上凸函数，则对任意的x1，x2，…，x n∈( a，b )，都有… …若f ( x )是区间(a，b)上的下凸函数（凹函数），则对任意的x1，x2，…，x n∈( a，b )，都有当且仅当x1 = x2 = … = x n时等号成立加权形式：若f ( x )是区间(a，b)上的上凸函数，则对任意的x1，x2，…，x n∈( a，b )，且a1 + a2 + … + a n = 1，有……（10）赫尔德不等式Holder’s Inequality设r，s为正实数，且满足1r+ 1s= 1则对任意正实数a1，a2，…，a n和b1，b2，，b n，都有（11）惠更斯不等式Huygens Inequality若p1，p2，…，p n和a1，a2，…，a n和b1，b2，，b n都是正实数，且p1 + p2 + … + p n = 1，则（12）麦克劳林不等式Mac Laurin’s Inequality对任意正实数x1，x2，…，x n，都有S1≥S2≥…≥S n其中…＜＜…＜αα + β（13）明考夫斯基不等式 Minkowski ’s Inequality 对任意实数a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n ，以及任意实数r ≥1，有≤（14）幂均值不等式 Power Mean Inequality设正实数a 1 + a 2 + … + a n = 1，则对于正数x 1，x 2，…，x n ，定义M -∞ = min{x 1，x 2，…，x n }M ∞ = max{x 1，x 2，…，x n }……其中t 是非0实数，则有M -∞≤M s ≤M t ≤M ∞其中s ≤t（15）均方根不等式 Root Mean Square Inequality设a 1，a 2，… ，a n 为非负实数，有… … 当且仅当a 1 = a 2 = … = a n ，b 1 = b 2 = … = b n 时等号取到 均方根又称为平方平均数（16）舒尔不等式 Schur ’s Inequality对任意正数x ，y ，z 以及r ＞0，若存在关系x r ( x y ) ( x z ) + y r ( y z ) ( y x ) + z r ( z x ) ( z y )≥0 通常情况下为r = 1，则有以下结论成立x 3 + y 3 + z 3 + 3xyz ≥xy ( x + y ) + yz ( y + z ) + zx ( z + x ) xyz ≥ ( x + y z ) ( y + z x ) ( z + x y )若x + y + z = 1，则xy + yz + zx ≤1＋9xyz 4（17） Suranyi ’s Inequality对任意非负实数a 1，a 2，… ，a n ，都有（18） Turkevici ’s Inequality对任意正实数x ，y ，z ，t ，都有x 4+ y 4 + z 4 + 2xyzt ≥ x 2y 2 + y 2z 2 + z 2t 2 + t 2x 2 + x 2z 2 + y 2t 2（19）加权形式的均值不等式Weighted AM - GM Inequality 对任意非负实数a1，a2，…，a n，以及w1，w2，…，w n，且w1 + w2 + … + w n = 1 都有……当且仅当a1 = a2 = … = a n，b1 = b2 = … = b n时等号取到。
初中数学竞赛不等式(含答案)
12．不等式A 卷1．不等式2(x + 1) -12732-≤-x x 的解集为_____________。
2．同时满足不等式7x + 4≥5x – 8和523x x -<的整解为______________。
3．如果不等式33131++>+x mx 的解集为x >5，则m 值为___________。
4．不等式22)(7)1(3)12(k x x x x ++<--+的解集为_____________。
5．关于x 的不等式(5 – 2m)x > -3的解是正数，那么m 所能取的最小整数是__________。
6．关于x 的不等式组⎩⎨⎧<->+25332b x x 的解集为-1<x <1，则ab____________。
7．能够使不等式(|x| - x )(1 + x ) <0成立的x 的取值范围是_________。
8．不等式2<|x - 4| <3的解集为_____________。
9．已知a,b 和c 满足a ≤2,b ≤2,c ≤2,且a + b + c = 6，则abc=______________。
10．已知a,b 是实数，若不等式(2a - b)x + 3a – 4b <0的解是94>x ，则不等式(a – 4b)x + 2a – 3b >0的解是__________。
C 卷一、填空题1．不等式2|43|2+>--x x x 的解集是_____________。
2．不等式|x| + |y| < 100有_________组整数解。
3．若x,y,z 为正整数，且满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥≥1997213z y y z x 则x 的最小值为_______________。
4．已知M=1212,12122000199919991998++=++N ，那么M ，N 的大小关系是__________。
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初中数学竞赛专题:不等式（2）§5.4 不等式的证明和应用5.4.1★设a 、b 、c 的平均数为M ,a 、b 的平均数为N ,N 、c 的平均数为P .若a b c >>,则M 与P 的大小关系是（ ） A.M P = B.M P > C.M P <D.不确定解析 因为3a b c M ++=,2a b N +=,224N c a b c P +++==,212a b cM P +--=,因为a b c >>,所以2201212a b c c c c+-+->=,即0M P ->,所以M P >.故选B. 5.4.2★若a 、b 是正数,且满足12345(111)(111)a b =+-,则a 与b 之间的大小关系是（ ） A.a b > B.a b = C.a b <D.不能确定解析 因为12345(111)(111)a b =+- 2111111()a b ab =+--,所以2111()1234511124a b ab ab -=-+=+.由于0a >,0b >,所以0ab >.所以240ab +>,即0a b ->,a b >.故选A.5.4.3★若223894613M x xy y x y =-+-++（x 、y 是实数）,则M 的值一定是（ ）. A.正数 B.负数 C.零D.整数解析 因为223894613M x xy y x y =-+-++2222(2)(2)(3)0x y x y =-+-++≥,且3x y -,2x -,3y +这三个数不能同时为0,所以0M >. 故选A.5.4.4★设a 、b 是正整数,且满足5659a b +≤≤,0.90.91ab<<,则22b a -等于（ ）. A.171B.177C.180D.182解析 由题设得0.959b b +<,0.9156b b +>,所以 2932b <<.因此30b =,31.当30b =时,由0.90.91b a b <<,得2728a <<,这样的正整数a 不存在. 当31b =时,由0.90.91b a b <<,得2729a <<,所以28a =. 所以,22177b a -=. 故选B.5.4.5★★已知b x a=,a 、b 为互质的正整数,且8a ≤11x <<. （1）试写出一个满足条件的x ； （2）求所有满足条件的x . 解析 （1）12x =满足条件.（2）因为b x a=,a 、b 为互质的正整数,且8a ≤,所以11ba <, 即1)1)a b a <<.当1a =时11b <<,这样的正整数b 不存在.当2a =时,1)1)b -<<,故1b =,此时12x =.当3a =时,1)1)b <<,故2b =,此时23x =.当4a =时,1)1)b -<<,与a 互质的正整数b 不存在.当5a =时,1)1)b <<,故3b =,此时35x =.当6a =时,1)1)b <<-,与a 互质的正整数b 不存在.当7a =时,1)1)b -<<,故3b =,4,5,此时37x =,47,57.当8a =时,1)1)b <<,故5b =,此时58x =.所以,满足条件的所有分数为12、23、35、37、47、57、58. 5.4.6★★已知:13223a a a +≥,24323a a a +≥,35423a a a +≥,…,810923a a a +≥,911023a a a +≥,102123a a a +≥和123910100a a a a a +++++=.求1a ,2a ,3a ,…,9a ,10a 的值.解析 将10个不等式累加得12101210()2()a a a a a a +++++++12103()a a a +++≥,①当且仅当10个不等式取等号时,①式才成立. 由13223a a a +=可以得到12232()a a a a -=-,②由24323a a a +=可以得到23342()a a a a -=-,③…由102123a a a +=可以得到101122()a a a a -=-,由②和③可推知212342()a a a a -=-.类似地,可以推知1012122()a a a a -=-,所以,12a a =.同理可得12310a a a a ====.所以1231010a a a a =====.5.4.7★★证明:（1）2()4a b ab +≤；（2）a b +（3）如果a 是正实数,那么12a a+≥；（4）设a 、b 是非负实数,则11()4a b a b⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥； （5）222a b c ab bc ac ++++≥.解析 （1）在222a b ab +≥的左右两边分别加上2ab 得到2()4a b ab +≤, 这个不等式说明:如果两个正数的和是一个常数,则乘积有最大值,如果两个正数的乘积是一个常数,则和有最小值.（2）在222a b ab +≥的左右两边分别加上22a b +得到a b +这个不等式说明了两个数的和与平方和之间的不等式关系.（3）在（1）中令1b a =,得12a a+≥,这个不等式说明了一个正数与它倒数的和不小于2. （4）由（3）可得11()2224a b a b a b b a ⎛⎫++=+++= ⎪⎝⎭≥, 这个不等式说明了两个数的和与倒数和之间的不等式关系. （5）由222a b ab +≥,222a c ac +≥,222b c bc +≥可以得到222a b c ab bc ac ++++≥.5.4.8★★设a ,b ,0c >,求证:222b c a a b c a b c++++≥. 解析 因为22b a b a +≥,22c b c b+≥,22a c a c +≥, 所以222b c a a b c a b c++++≥. 5.4.9★★★设a ,b ,0c >,求证:32a b c b c c a a b +++++≥. 解析 因为a b cb c c a a b +++++ 3a b c a b c a b cb c c a a b ++++++=++-+++, 而2a b c a b c a b c b cc a a b ++++++⎛⎫++⎪+++⎝⎭ ()()()a b b c c a b c +++++=+()()()a b a c b c c a+++++++()()()a b b c a c a b+++++++3b c a b a c b c a c a ba b b c b c a c a b a c++++++=++++++++++++ 32229+++=≥,所以,93322a b c b c c a a b ++-=+++≥. 5.4.10★★若正数a 、b 、c 满足1a b c ++=,求证:(1)(1)(1)8(1)(1)(1)a b c a b c +++---≥.解析 因为(1)(1)(1)a b c +++(2)(2)(2)a b c b a c c a b =++++++,而2a b c a b a c ++=+++≥,2b a c b a b c ++=+++≥2c a b c a c b ++=+++≥所以(1)(1)(1)8()()()a b c b c a c a b ++++++≥ 8(1)(1)(1)a b c =---.5.4.11★★（1）已知正数x 、y 、z 满足1x y z ++=,求证:14936x y z++≥； （2）已知正数x 、y 满足231x y +=,求证:3224x y+≥； （3）已知正数x 、y 满足1x y +=,求证:11122x y +++≥. 解析 （1）由题设和平均不等式得149x y z++149()x y z x y z ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭494914y x z x z y x y x z yz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 14461236+++=≥.（2）由题设和平均不等式得3232(23)x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭9412y xx y=++121224+=≥.（3）由题设和平均不等式得11111(21)21421x y x y x y ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭1122421y x x y ⎛⎫++=++ ⎪++⎝⎭ 11122421y x x y ⎛⎫++=++ ⎪++⎝⎭11122+=≥. 5.4.12★★（1）若0x >,求4x x+的最小值； （2）若1x >-,求41x x ++的最小值； （3）若12x >-,求121x x ++的最小值.解析 （1）因为44x x+≥,当2x =时等号成立,所以,欲求的最小值是4. （2）因为441111x x x x +=++-++13=≥, 当1x =时等号成立,所以,欲求的最小值是3. （3）因为1111212212x x x x +=++-++12≥12=,当x 时等号成立,所以,12. 5.4.13★★（1）若102x <<,求(12)x x -的最大值； （2）若113x -<<,求(1)(13)x x +-的最大值. 解析 （1）因为1(12)2(12)2x x x x -=⨯-21(212)1248x x +-⨯=≤, 当14x =时等号成立,所以,欲求的最大值是18. （2）因为1(1)(13)(33)(13)3x x x x +-=+-21(3313)4343x x ++-=≤, 当13x =-时等号成立,所以,欲求的最大值是13.5.4.14★★求代数式. 解析 我们有12≤ 22221((2)(2))22a b b a +-++-=≤, 当1a b ==时等号成立,故欲求的最大值为2. 评注 这里,在第一个不等式中,用了||a a =≤5.4.15★★★设正实数x 、y 、z 满足()1xyz x y z ++=,求()()x y y z ++的最小值. 解析 因为()()()x y y z zx y x y z ++=+++2=≥,当1x =,1y =,1z =时等号成立,故最小值为2. 5.4.16★★★设0a b >>,求21()a b a b +-的最小值.解析 因为22(())()44b a b a b a b +--=≤, 所以222144()a a b a b a ++-≥≥,当a =2b =时等号成立. 所以,欲求的最小值是4.5.4.17★★设0a b >>,59a b +≥,481ab ≤. 求证:49a ≥. 解析 因为44416()99981a b ab a b ⎛⎫⎛⎫--=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 445160819981-⨯+=≤, 又4499a b ->-,所以409a -≥,即49a ≥. 5.4.18★★已知x 、y 、z 是实数,且8x y z ++=,22224x y z ++=.求证:443x ≤≤,443y ≤≤,443z ≤≤. 解析 因为8y z x +=-,22224y z x +=-,而 2222()()y z y z ++≥, 所以222(24)(8)x x --≥,224826416x x x --+≥, 2316160x x -+≤, (34)(4)0x x --≤,解得443x ≤≤. 同理可证:443y ≤≤,443z ≤≤.5.4.19★★★已知实数a 、b 、c 满足:a b c >>,且1a b c ++=,2221a b c ++=.求证:413a b <+<. 解析 原不等式等价于103c -<<. 因为1a b c +=-,2221a b c +=-, 又因为2222()()a b a b +>+,所以222(1)(1)c c ->-,222221c c c ->-+, 23210c c --<, (31)(1)0c c +-<,解得 113c -<<.若0c ≥,则0a b >>,由1a b c ++=,可得01c b a <<<≤.于是222a b c a b c ++<++,矛盾！ 故103c -<<.5.4.20★★★若实数a 、b 满足5||7b =,求3||S b =的取值范围. 解析 由题设分别消去b 、a ,得215S +=14319||S b -=.0,||0b ≥,所以2150,1430,S S +⎧⎨-⎩≥≥ 所以211453S -≤≤. 反之,若S 满足不等式211453S -≤≤,则易知存在a 、b 满足题设条件. 所以,所求的S 的取值范围为211453S -≤≤. 5.4.21★★★已知实数a 、b 满足221a ab b ++=,且22t ab a b =--,求t 的取值范围. 解析1 由221a ab b ++=,22ab a b t --=相加,得21ab t =+,故12t ab +=. 又222()a b a ab b ab +=+++3102t ab +=+=≥,所以3t -≥且a b +=. 于是可知a 、b 是关于x 的方程2102t x +±+= 的两个实数根. 由3312(1)0222t t t +∆=-+=--≥,解出13t -≤. 综上所述,t 的取值范围是133t --≤≤.解析2 由2222()()1()1ab a ab b a b a b -=++-+=-+≤,所以1ab -≥.（当1a b =-=时等号成立） 由2223()()ab a ab b a b =++-- 21()1a b =--≤,故31ab ≤,即13ab ≤.（当a b ==时等号成立） 于是有113ab -≤≤,从而有2223ab -≤≤. 根据解析1,可知:21t ab =-.所以133t --≤≤.5.4.22★★设正数a 、b 满足1110a b b a--++=. 求证:413a b <+≤. 解析 由1110a b b a--++=可得 22a ab b a b ++=+,则2()()ab a b a b =+-+()(1)a b a b =++-. ①由于a 、b 是两个正数,所以0ab >,0a b +>,所以10a b +->,从而1a b +>.另一方面,由22()()44a b a b ab ab +=-+≥,可得2()4a b ab +≤,结合①式可得14a ba b ++-≥,所以43a b +≤.因此,413a b <+≤.5.4.23★★★设2()f x ax bx c =++（a 、b 、c 都是实数）,已知|(1)|1f -≤,|(0)|1f ≤,|(1)|1f ≤,求证:当11x -≤≤时,5|()|4f x ≤. 解析 因为(0),(1),(1),f c f a b c f a b c =⎧⎪-=-+⎨⎪=++⎩所以1((1)(1))(0),21((1)(1)),2(0).a f f f b f f c f ⎧=+--⎪⎪⎪=--⎨⎪=⎪⎪⎩于是211|()|((1)(1))(0)((1)(1))(0)22f x f f f x f f x f ⎛⎫=+--+--+ ⎪⎝⎭22211()(1)(1)(0)()(1)22x x f x f x x f =++-+--211|||1||(1)||1||(0)||||1||(1)|22x x f x f x x f ⋅+⋅+-⋅+⋅-⋅-≤ 211||(1)1||(1)22x x x x x ++-+-≤ 22155||1||244x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭≤.5.4.24★★★证明:对任意三角形,一定存在它的两条边,它们的长u 、v 满足1u v <≤. 解析 若结论不成立,则对于ABC △的三边长a 、b 、c ,不妨设a b c >>,于是a b ①b c ②记b c s =+,a b t c s t =+=++,则s ,0t >,代入①得c s t c s +++, 11s t c c s c+++令sx c =,t y c=,则11x y x +++. ③由a b c <+,得c s t c s c ++<++,即t c <,于是1t y c=<.由②得1b c s x c c +==+ ④由③、④得1(1)y x ⎫+⎪⎪⎝⎭≥1=, 矛盾.从而命题得证.5.4.25★★★若正实数x 、y 、z 可以是一个三角形的三边长,则称（x ,y ,z ）是三角形数.若（a ,b ,c ）和111,,a b c ⎛⎫⎪⎝⎭均为三角形数,且a b c ≤≤.求ac的取值范围. 解析 由题设得,111,a b c c b a+>⎧⎪⎨+>⎪⎩所以11111c c a c b a+>+>-, 即有111c c a a +>-,2310a a c c ⎛⎫⎛⎫-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得a c <<. 而1a c ≤,所以所求的a c的取值范围为1ac<≤. §5.5 应用题5.5.1★某宾馆底楼客房比二楼客房少5间.某旅游团有48人,若全安排住在底楼,每间住4人,房间不够；每间住5人,有房间没有住满5人.又若全安排住二楼,每间住3人,房间不够；每间住4人,有房间没有住满4人.问该宾馆底楼有多少间客房？解析 设底楼有客房x 间,则二楼有客房(5)x +间.依题意,可得如下不等式组:448,548,3(5)48,4(5)48,x x x x <⎧⎪>⎪⎨+<⎪⎪+>⎩ 解不等式组得 9.611x <<. 因为x 是整数,所以,10x =. 故宾馆的底楼有10间客房.5.5.2★★一列客车始终作匀速运动,它通过长为450米的桥时,从车头上桥到车尾下桥共用33秒；它穿过长760米的隧道时,整个车身都在隧道里的时间为22秒．从客车的对面开来一列长度为a 米,速度为每秒v 米的货车,两车交错,从车头相遇到车尾相离共用t 秒． （1）写出用a 、v 表示t 的函数解析式；（2）若货车的速度不低于每秒12米,且不到每秒15米,其长度为324米,求两车交错所用时间的取值范围．解析 （1）设客车的速度为每秒x 米,客车的长度为y 米．依题意知45033,76022.y x y x +=⎧⎨-=⎩解得22,276.x y =⎧⎨=⎩所以,27622a t v +=+（0v >,0a >）. （2）当324a =,1215v <≤时,由（1）得60022t v =+. 又因为342237v +<≤,所以,600600300372217v <+≤. 故t 的取值范围为600600300372217v <+≤. 5.5.3★★8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站,每辆车乘4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离火车站15 km 的地方出现故障,此时距停止检票的时间还有42分钟．这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车,已知包括司机在内这辆车限乘5人,且这辆车的平均速度是60 km /h ,人步行的平均速度是5 km /h ．试设计两种方案,通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站．解析 【方案一】当一辆小汽车出现故障时,乘这辆车的4个人下车步行,另一辆车将车内的4个人送到火车站,立即返回接步行的4个人到火车站．设乘出现故障汽车的4个人步行的距离为km x ,根据题意,有1515560x x +-=, 解得3013x =．因此这8个人全部到火车站所需时间为 3030515601313⎛⎫÷+-÷ ⎪⎝⎭ 3552=（小时）54013=（分钟）42<（分钟）. 故此方案可行,【方案二】当一辆小汽车出现故障时,乘这辆车的4个人先下车步行,另一辆车将车内的4个人送到某地方后,让他们下车步行,再立即返回接出故障汽车而步行的另外4个人,使得两批人员最后同时到达车站．故障点火车站分析此方案可知,两批人员步行的距离相同,如图所示,D 为无故障汽车人员下车地点,C 为有故障汽车人员再次上车地点．因此,设AC DB y ==,根据题意,有15152560y y y-+-=, 解得2y =．因此这8个人同时到火车站所需时间为21523756060-+=（小时）37=（分钟）42<（分钟）.故此方案也可行．5.5.4★★某出租车的收费标准是:5千米之内起步费是10.8元,以后每增加1千米增收1.2元（不足1千米也算一个1千米）．现从A 地到B 地共支出24元（不计等候时间所需费用）．如果从A 地到B 地是先步行460米,然后再乘车也是24元（同样不计等候时间所需费用）,求从AB 的中点C 到B 地需多少车费．解析 设从A 地到B 地的距离为x 千米,由于2410.8111.2-=,所以510511x +<+≤,即 1516x <≤.①又 5100.46511x +<-+≤,所以15.4616.46x <≤.②由①、②便知15.4616x <≤.故7.7382x <≤．即C 与B 之间的路程在7.73千米至8千米之间,所需车费为10.8(85) 1.214.4+-⨯=（元）． 5.5.5★★从A 站到B 站300千米,每30千米设一路标（如图）,从早700：开始,货车每隔5分钟从A 站发出一辆开往B 站,车速为每小时60千米；早上830：由A 站发出一辆小轿车驶向B 站,车速为每小时100千米．已知小轿车在某两相邻路标之间（不包括路标处）追过三辆货车,问:此时小轿车已经追过多少辆货车（与小轿车同时出发的那辆货车不计算在内）？路标11路标3路标2路标1BA解析 因为相邻两辆货车之间的距离为560560⨯=（千米）,所以小轿车从追上第k 辆货车开始,到它追上第1k +辆货车,所需时间为15(10060)8÷-=（小时）,所以它追上第志辆货车需要18k 小时,设小轿车追上第x 、1x +、2(218)x x ++≤辆货车是在两个路标之间,这两个路标分别是第y 、1y +个,则我们有110030,81100(2)30(1).8x y x y ⎧⨯>⎪⎪⎨⎪⨯+<+⎪⎩①②由①得,512x y >；由②得,5122x y <+,而x 、y 都是整数,所以5121x y =+,0y =,1,2, (10)于是只有5x =,2y =和17x =,7y =（舍去）． 所以,小轿车追过了7辆货车．5.5.6★★★正五边形广场ABCDE 的周长为2000米,甲、乙两人分别从A 、C 两点同时出发绕广场沿A B C D E A →→→→→→的方向行走,甲的速度为50米／分,乙的速度为46米／分,那么,出发后经过多少分钟,甲、乙第一次开始行走在同一条边上？解析 设甲走完x （x 为正整数）条边时,两人第一次开始行走在同一条边上,此时甲走了400x 米,乙走了4004636850xx ⨯=米.于是 368(1)800400(1)400x x -+-->,且(368800)400400x x +-≤, 所以,12.513.5x <≤,故13x =,此时4001310450t ⨯==.即经过104分钟,甲、乙第一次开始行走在同一条边上.5.5.7★★★如图,甲、乙两人在周长为400m 的正方形水池相邻的两顶点上同时同向出发绕池边行走,乙在甲后,甲每分钟走50 m ,乙每分钟走44 m ,求乙甲DCBA（1）甲、乙两人自出发后经几分钟才能初次在同一边上行走（不含甲、乙两人在正方形相邻顶点时的情形）；（2）第一次相遇之前,两人在正方形同一边上行走了多少分钟？ 解析 （1）两人初次在同一边上时,甲比乙要多走3边．设两人初次在同一边上时,乙已走了x 边,则甲走了(3)x +边,也就是甲走了100(3)m x +,乙走了100(3)44m 50x +⨯. 因为甲在前乙在后,所以,当甲、乙同在一边时,乙所走的距离应超过100m x ,并且当甲到了另一边 的端点时,乙肯定没到相邻的端点,所以乙走的距离又应不足100(1)m x +.于是100(3)10044100(1)50x x x +<⨯<+, 解得41223x <<． 故当14x =（边）,需经过100(143)3450+=分钟时才能初次在同一边上行走． （2）设出发y 分钟后,甲、乙两人第一次相遇（即甲追上乙）． 则5030044y y -=,50y =（分钟）．甲从出发后34分钟开始,每走到一顶点,都要与乙同在一边上行走一段距离,直到乙走到顶点开始转弯,甲从第34分钟开始,要走8边后才能与乙在某一顶点相遇． 分别讨论如下:第34分钟时,34501700⨯=,34441496⨯=.甲、乙位置如图（1）所示,第一次同行时间为444分钟. 第36分钟时,36501800⨯=,36441584⨯=.甲、乙位置如图（2）所示,第二次同行的时间为1644分钟． 同样,不难推得后6次位置如图（3）～（8）所示．所以,第一次相遇前,两人在同一边上行走的时间是:4162840526476883684844444444444444444411+++++++==（分钟）. 52乙甲甲甲乙(5)(6)(7)(8)88(4)(3)(2)(1)乙甲甲甲4乙5.5.8★★某人将一本书的页码按1,2,3,…的顺序相加,其中有一个页码被多加了一次,结果得到 一个错误的总和为2005,则被多加的页码是多少？ 解析 设全书共n 页,被多加的页码为x ,则1x n ≤≤,(1)20052n n x ++=. ①而(1)(1)1200522n n n n n ++++≤≤, 即 224010(3)n n n n +++≤≤.②63,验算知满足②的62n =. 代入①得62632005522x ⨯=-=. 5.5.9★★甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食．如果从甲库调90袋到乙库,则乙库存粮是甲库的2倍；如果从乙库调若干袋到甲库,则甲库存粮是乙库的6倍．问甲库原来最少存粮多少袋？解析 设甲库原来存粮a 袋,乙库原来存粮b 袋,依题意可得2(90)90a b -=+.①再设乙库调c 袋到甲库,则甲库存粮是乙库的6倍,即6()a c b c +=-． ②由①式得 2270b a =-. ③ 把③代入②,并整理得1171620a c -=． 由于1116204(1)23277a a c a -+==-+,又a 、c 是正整数,从而有11162017a -≥,即148a ≥；并且7整除4(1)a +,又因为4与7互素,所以7整除1a +. 经检验,可知a 的最小值为153．5.5.10★★一家机密文件碎纸公司有许多位雇员,这些雇员在输送带前排列成一列,分别编号为l ,2,3,…老板接到将一张文件撕碎的任务,他把这份文件撕成5块后交给第1号雇员．每当第n 号雇员接到前手传来的一叠纸时,都从中取n 块,把每块再分成5块,然后再传给第1n +号雇员．若第k 号雇员接到前手传来的总块数少于2006块,但传给下一位的总块数超过2006块,请问k 是多少？ 解析 第1次操作完毕后为9（块）；第2次操作完毕后为54817++=（块）；第3次操作完毕后为5+481229++=（块）……第n 次操作完毕后为54(123)S n =+⨯++++块.当31n =时,5231321989S =+⨯⨯=； 当32n =时,5232332117S =+⨯⨯=. 所以,32k =.5.5.11★★把若干个苹果分给若干个孩子,如果每人分3个,则余8个；每人分5个,则最后一人分得的苹果数不足5个,问共有多少个孩子？多少个苹果？解析 如设有y 个苹果,x 个孩子,那么解此题的关键是理解“每人分5个,则最后一人分得数不足5个”这句话的含义,此话是苹果多于5(1)x -个,同时又少于5x 个. 设有苹果y 个,小孩子x 人,则根据题意,得38,5(1)5.y x x y x =+⎧⎨-<<⎩于是385,385(1).x x x x +<⎧⎨+>-⎩解得,4 6.5x <<,所以小孩子数为5或6.当5x =时,35823y =⨯+=,当6x =时,36826y =⨯+=. 所以,有5个孩子,23个苹果,或6个孩子,26个苹果．5.5.12★★★在黑板上从1开始,写出一组连续的正整数,然后擦去其中一个数,剩下来的数的平均数是73517,问擦去的数是什么数？ 解析 设在黑板上写出来的数是1,2．…,n ,擦去的数是k ,则1k n ≤≤,于是1212112n k n n nn n +++-+++-=--≥,121212112n k n n n n +++-+++-+=--≤. 由题意便得735,1727235.172n n ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪⎩≥≤ 解得 141468701717n ≤≤. 由于n 是正整数,且17|(1)n -,故n 只能为69,再由12697356817k +++-=,解得7k =,故擦去的数是7．5.5.13★★某工厂每天用于生产玩具小狗和小猫的全部劳动力为90个工时,原料为80个单位．生产一个小狗要用2个工时和4个单位的原料；生产一个小猫要用3个工时和1个单位的原料．问每天生产玩具小狗和小猫的总数最多是多少？解析1 设生产玩具小狗和小猫的数量分别是x 和y ,由已知条件,可以得到两个不等式:2390,480,x y x y +⎧⎨+⎩≤≤ ①可以分别列出①的第1个和第2个不等式x 和y 的解,然后再找出x y +的最大值.解析2 将①的第1个不等式方程乘2与第2个不等式相加,得到87260x y +≤.即有不等式 7()260x y x +-≤,113737777x x x y -++-=-≤. ②解二元一次方程组2390,480,x y x y +=⎧⎨+=⎩得到15x =,20y =是满足①的一组解,即可以有,35x y +≥. ③从①的第一个方程,2303x y -≤, ④④式说明y 最大是30,结合③,所以,5x ≥．再次利用④2102303026333x y --≤≤≤. 因为y 必须是整数,所以,26y ≤.再次利用③,得到9x ≥．利用②,得到186373735777x x y -+--=≤≤. 上式说明x y +最大不超过35,③式说明,x y +可以达到35.所以,每天生产玩具小狗和小猫的总数最多可以是35个．5.5.14★★某种商品的原价为100元,现有四种调价方案:（1）先涨价%m ,再降价%n ；（2）先涨价%n ,再降价%m ；（3）先涨价%2m n -,再降价%2m n -； （4）先涨价%2m n +,再降价%2m n +． 其中0100n m <<<.求调价后售价最高的方案,解析 第（1）种方案售价为100(1%)(1%)a m n =+-；第（2）种方案售价为100(1%)(1%)b n m =+-；第（3）种方案售价为1001%1%22m n m n c --⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； 第（4）种方案售价为1001%1%22m n m n d ++⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 因为0100n m <<<,于是有1%1%0m n +>+>,1%1%0n m ->->,两式相乘得(1%)(1%)(1%)(1%)m n n m +->+-,即a b >. 又因为22m n m n n m -+<<<,于是有 1001%1%22m n m n c d --⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 1001%1%22m n m n ++⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 221001%1%22m n m n ⎡⎤-+⎛⎫⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 22100%%022m n m n ⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫=->⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦, 即c d >.因为100(1%)(1%)1%1%22m n m n a c m n ⎡--⎤⎛⎫⎛⎫-=+--+- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2()1001%%%1%4m n n m mn ⎡⎤+=-+--+⎢⎥⎣⎦ 2()4m n m n mn -=--+.显然2()4m n m n mn ---+既可以大于0,又可以小于0,还可以等于0． 所以,可能有a c >,a c =或a c <.因此,调价后售价最高的方案是第（1）方案或第（3）方案,5.5.15★★某人乘船由甲地顺流到乙地,再从乙地逆流回到甲地,如果水流速度和船速保持不变,请你思考,在静水时用的时间多,还是在有流速时用的时间多？解析 设甲地距乙地S 千米,水流速度为a 千米／时,船的静水速度为x 千米／时．（1）静水中往返甲、乙两地,需2S S S x x x+=（时）； （2）由甲地顺流到乙地,再逆流返回甲地,需222S S xS x a x a x a+=+--（时）, 因为0a ≠,所以222222S xS xS x x x a =<-. 故在静水时用的时间少．5.5.16★★一队公共汽车正在行驶,甲、乙两个检查员招呼这列车队停下来．甲专门统计超载汽车在这车队中的百分数,乙专门统计超载乘客在总乘客中的百分数,他们谁的百分数大些（规定超过50名乘客就算超载）？解析 乙的大.假设这个车队中超载公共汽车的辆数为k ,未超载的辆数为l ,超载的汽车上的乘客人数为A ,未超载汽车上的乘客人数为B ．那么依题意有50A k >,50B l ≤,两式变形为50A k >,50B l ≤,因此B l A k <,在不等式的两端同时加上1,于是就得到A B l k A k++<,两端同时取倒数并乘以100%,就得到 100%100%A k A B l k⋅>⋅++. 这个不等式就表明了超载乘客的百分数要大于超载汽车辆数在车队内所占的百分数．。