竞赛数学解题研究之不等式
不等式的基本性质与基本不等式
目
CONTENCT
录
• 不等式的基本性质 • 基本不等式的概念 • 基本不等式的应用 • 不等式的解法 • 不等式的扩展知识
01
不等式的基本性质
传递性
总结词
如果a>b且b>c，则a>c。
详细描述
这是不等式的基本性质之一，即如果两个数之间存在一个大于关系，并且它们 之间还有另一个数存在大于关系，那么这两个数之间也存在大于关系。
在解决实际问题中的应用
80%
优化问题
基本不等式可以用于解决各种优 化问题，例如在资源分配、生产 计划、运输问题等方面。
100%
最大最小值问题
基本不等式可以用于求函数的最 大值和最小值，例如在求函数的 极值、最值等方面。
80%
经济问题
基本不等式在经济问题中也有广 泛应用，例如在分析市场供需、 投资组合等方面。
在数学竞赛中的应用
代数竞赛
在代数竞赛中，基本不等式是 重要的解题工具之一，例如在 解决代数不等式、代数方程等 问题时。
几何竞赛
在几何竞赛中，基本不等式也 是重要的解题工具之一，例如 在解决几何不等式、几何证明 等问题时。
组合数学竞赛
在组合数学竞赛中，基本不等 式也有着广泛的应用，例如在 解决组合不等式、组合计数等 问题时。
不等式的代数意义
代数解释
不等式是数学中一种重要的代数结构， 它反映了变量之间的相对大小关系。
代数意义应用
通过代数运算可以解决各种不等式问 题，例如求解不等式、证明不等式、 比较大小等。不等式的应用领域 Nhomakorabea数学领域
不等式在数学中有着广泛的应用，如数 学分析、线性代数、概率论等领域。
柯西不等式常见题型
柯西不等式常见题型摘要：一、柯西不等式的概述二、柯西不等式的应用范围三、柯西不等式的常见题型四、柯西不等式的解题技巧五、柯西不等式的意义和价值正文：一、柯西不等式的概述柯西不等式，是由法国数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的流数问题时得到的。
然而，从历史的角度来看，该不等式应当称为柯西- 布尼亚科夫斯基- 施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式是一个非常重要的不等式，它的应用范围广泛，可以解决许多复杂的数学问题。
二、柯西不等式的应用范围柯西不等式在数学中有着广泛的应用，包括证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题。
此外，柯西不等式在物理学、工程学、经济学等领域也有着广泛的应用。
三、柯西不等式的常见题型柯西不等式在数学竞赛和考试中经常出现，常见的题型包括：1.证明两个向量的数量积大于等于它们的模长之积。
2.已知两个实数a 和b，证明(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) >= (ac -bd)^2。
3.求解一个三角形的最大面积，已知三角形的三个顶点坐标。
4.求解一个函数的最小值，已知函数的表达式和约束条件。
5.解方程组，已知方程组中的系数矩阵是正定矩阵。
四、柯西不等式的解题技巧解决柯西不等式的问题，通常需要灵活运用不等式的性质和一些数学方法。
以下是一些常用的解题技巧：1.利用柯西不等式的定义，将问题转化为求解一个不等式。
2.利用向量的数量积和模长的关系，将问题转化为求解一个向量问题。
3.利用三角函数的性质，将问题转化为求解一个三角函数问题。
4.利用线性规划的方法，将问题转化为求解一个线性规划问题。
5.利用二次型的性质，将问题转化为求解一个二次型问题。
五、柯西不等式的意义和价值柯西不等式在数学中有着重要的意义和价值，它为我们解决许多实际问题提供了一个强大的工具。
竞赛讲座之 12-1不等式的证明方法 (比较法)
证明不等式的基本方法现实世界中的量，相等是相对的、局部的，而不等的绝对的、普遍的。
不等式的本质是研究“数量关系”中的“不等关系”。
对于两个量，我们常要比较它们之间的大小，或者证明一个量大于另一个，这就是不等式的证明。
不等式的证明因题而异，灵活多变，常常要用到一些基本的不等式，如柯西不等式、平均值不等式等等，其中还需要用一些技巧性高的代数变形。
在这一部分我们主要来学习一些证明不等式的基本方法。
不等式是数学竞赛的热点之一。
由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。
而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。
证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。
但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。
【知识概要】证明不等式的常用方法有：⒈比较法：依据实数的运算性质及大小顺序之间的关系，通过两个实数的差或商的符号（范围）确定两个数的大小关系的方法。
基本解题步骤是：作差（商）—变形—判号（范围）—定论。
证题时常用到配方、因式分解、换元、乘方、恒等式、重要不等式、优化假设、放缩等变形技巧。
⒉分析综合法：所谓“综合”指由“因”导“果”，从已知条件出发，依据不等式的性质、函数的性质、重要不等式等逐步推进，证得所要证的不等式。
所谓“分析”指的是执“果”索“因”，从欲证不等式出发，层层推求使之成立的充分条件，直至已知事实为止。
一般先用分析法分析证题思路，再用综合法书写证明过程。
⒊重要不等式法：主要有均值不等式、柯西不等式、排序不等式等。
⒋换元法：适当引入新变量，通过代换简化原有结构，实现某种变通，给证明的成功带来新的转机。
具体地讲，就是化超越式为代数式，化无理式为有理式，化分式为整式，化高次式为低次式等等。
重要不等式汇总(例题答案)
其他不等式综合问题例1：（第26届美国数学奥题之一）设a 、b 、c ∈R +，求证：.1111333333abcabc a c abc c b abc b a ≤++++++++（1）分析；最初，某刊物给出了一种通分去分母的较为复杂的证法，这里试从分析不等式的结构出发，导出该不等式的编拟过程，同时，揭示证明此类问题的真谛，并探索其推广命题成功的可能性。
思考方向：（1）的左边较为复杂，而右边较为简单，所以，证明的思想应该从左至右进行, 思考方法：（1）从左至右是一个由简单到复杂的逐步放大过程，所以，一个简单的想法就是将各分母设法缩小，但考虑到各分母结构的相似性，故只要对其中之一做恰倒好处的变形，并构造出右边之需要即便大功告成.实施步骤；联想到高中课本上熟知的不等式：x 3+y 3≥x 2y+xy 2=xy(x+y) (x 、y ∈R +)（*）知 （1）的左端.1)(1)(1)(1abcabc a c ca abc c b bc abc b a ab =++++++++≤这一证明是极其简单的，它仅依赖高中数学课本上的基础知识，由此可见，中学课本上的知识也能用来攻克高层次的数学竞赛题，看来，我们要好好守住课本这快阵地。
（1）刻画了3个变量的情形，左端的三个分式分母具有如下特征：三个字母中取两个的三次方与这三个变量的乘积之和，那么，对于更多个变量会有怎样的结论？以下为行文方便，记 （1）的左端为 ∑++abcb a 331，表示对a 、b 、c 轮换求和，以下其它的类似处理，不再赘述,为了搞清多个变量时（1）的演变，首先从4个变量时的情形入手,推广1：设a 、b 、c 、d ∈R +，求证：abcdabcd c b a 11333≤∑+++ 。
（2） 分析：注意到上面的（*），要证（2），需要证 x 4+y 4+z 4≥xyz(x+y+z) （**）（**）是（*）的发展，它的由来得益于证明（1）时用到的（*），这是一条有用的思维发展轨道。
a+b+c的三次方不等式
a+b+c的三次方不等式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：a+b+c的三次方不等式在数学中是一种常见的问题，通过研究这种不等式，我们可以深入理解数学中的一些基本概念和方法，也可以锻炼我们的逻辑思维能力。
在本文中，我们将探讨a+b+c的三次方不等式的性质和应用，希望能为广大读者提供一些启发和帮助。
我们来简单地介绍一下a+b+c的三次方不等式的定义。
所谓a+b+c的三次方不等式，就是指对于任意给定的实数a、b、c，都有如下不等式成立：(a+b+c)^3 >= a^3 + b^3 + c^3。
这个不等式的意思是，a、b、c三个数的和的三次方，大于等于a、b、c各自的三次方之和。
这个不等式的表述可能会有些抽象，但通过具体的例子和实际应用，我们可以更好地理解其含义。
那么，我们应该如何证明这个不等式呢？我们可以将(a+b+c)^3展开成多项式，然后化简得到关于a、b、c的表达式。
接着，我们可以对a、b、c各自的三次方进行展开，通过逐项比较可以得出结论。
这个过程可能会比较复杂，需要一定的数学功底和逻辑推理能力，但只要按照步骤逐步进行，是可以得出正确结论的。
除了证明这个不等式之外，我们还可以通过这个不等式来解决一些实际的问题。
在某些数学建模或优化问题中，我们可能需要最大化或最小化某些数值表达式，这时可以通过a+b+c的三次方不等式来简化问题的求解过程，提高效率。
在某些数学推导或证明过程中，我们也可以利用这个不等式来简化或加速推理过程，从而更快地得到结论。
第二篇示例：在数学中，不等式是一种比较大小关系的数学表达式。
而关于a+b+c的三次方不等式是指形式为(a+b+c)^3的不等式表达式。
当涉及到三个变量之间的不等式关系时，可以使用这种形式的不等式来研究它们之间的大小关系。
让我们来看一下(a+b+c)^3的展开式：(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 3b^2c + 3bc^2 + 3a^2c + 3ac^2 + 6abc通过这个展开式，我们可以看出(a+b+c)^3实际上是由a^3、b^3、c^3和所有可能的交叉乘积项组成的。
例谈题根在数学解题中的应用——以对数均值不等式为例
3_¥)故学敉学2021年第3期例谈题根在数学解题中的应用----以对数均值不等式为例张国治(新疆生产建设兵团第二中学，新疆乌鲁木齐83_2)笔者通过对近几年高考、竞赛试题的研究，有一个很有趣的发现——许多试题来源于 同一个问题.我们可以把这类不断生长的问题 称为“题根题根是一个题族、一个题系中的 源头，也是一个题群中的典例.把握住了一个 题根，叩源推委，便能寻觅到解决问题的“金钥 匙”，进而辐射到一个题族、题群.以题根方式 展开教学，旨在寻找解题思维入口，通过题根 的变式拓展探求不同的解法，帮助学生理解问 题内涵，总结归纳.那么如何寻找“题根”呢? 将源于课本、高考、竞赛的题目进行提炼与升 华形成结论，然后再将其广泛应用于解题实践 中，这便是寻找题源的不二法门.这一过程意 义非凡，因为茫茫题海中很多题目表象不同，但实质一样（可归结于同一个题根或题源）.一 个题源加工而成的结论，其功效不亚于教材中 的一个定理，寻找“题根”需要八方联系，浑然一 体.笔者以一道竞赛题为例，探源溯流，给出一类 高考题、竞赛题命题的题根，多题归一，提供一种 高效学习数学的方法，敬请同行指正.[1]题根（2017年全国高中数学联赛湖南省 预赛第15题）[2]已知a、6 e 11且〇 > 0, i > Q，a #b.(i)求证：#(2)如果 a、6 是函数/(a:) = lnx -的两个零点，求证> e2.证法 1:如图 1，设/(*) = e*，x e [m，n]，其中双m，0)，B(n，0)，过点分别作x轴的垂线，交曲线于c、Z)两点.点)处的切线/分别交BC、于点£、f，则f c pJ f=6〒，所以/:7 1梯形从一(j£+J f)=(n-m*n^l)e ，•^曲边梯形A sa) =| g dx =e一 e , *S梯形^ m数感是《义务教育数学课程标准（2011 版)》中的十大核心概念之一，对运算结果的估 计是数感的一种重要体现.估计（估算）在三个 学段都有明确具体的目标要求，其中在第三学 段(7-9年级）的知识技能目标对运算（包括估 算）技能的要求是达到掌握层级.固然，计算的 准确性是数学学科的基本要求之一，运算能力 是典型的数学能力，但其内涵已发生了变化.运 算能力不仅指能够“正确地从事运算”，还包括 借助工具计算和手算，也包括精确计算和估算[2].作为一线的数学教师，应该充分理解课标 的价值理念,在日常的教学中应该给“估算”留一席之地.准确、标准的答案是我们数学人的追求，但“估算”是数学运算中不可或缺的组成部分估算”过程中所体现出的发散式调适与思考，正是学生创新意识形成、创新能力培养的一个有效载体.参考文献[1]中华人民共和国教育部.义务教育数 学课程标准（2011版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.[2]马复，凌晓枚.新版课程标准解析与 教学指导[M].北京：北京师范大学出版社，2012.2021年第3期故学敉学3-41n - m . 、 n — m / m …、 _ ...2 (yA + J b ) = 2 (e + e )•显然有S 梯形y l B E F < $曲边梯形/I B C D < S 梯形A f i C Z )，艮Pm +nr j一)(n - m ) e 2 < en - em < —-—(em + e n)，1_•设％> 1，则欲证不等式成立等价于证明21n % < i ---(x > 1).构造函数则e 宁<^<n - m a2，令 en = a ，可得< , , , - ^In a - lno 2证法2:(1)由对称性，不妨设a > 6 > 0,^ a - b a + b a - b a + l 先证^-----TT < —•因为^----— <In a - Ini 2 〇 In a - Ini >2(a - b )^ a ^In a - \nb 2a + ba—+设％ = T > 1，则欲证不等式成立等价于〇证明lnx > ^l l (x > 1}.X + l构造函数/(尤）=lnx - ^~~> 1)，则作)=(n因为* > 1,所以尸（*) >x(x + 1)0,/(X )在（1，+ =C )上为单调递增函数，由 f i x ) >/〇) = 0,即得lm > 1)，即<In a - In 62再证#< , a ~ f -,-.因为# <In a - Ini In a - Inia<=> In a - In 6 <y 〇b<=> In — <g 〇) = 21m -卜 一(% > 1)，则g '(x ) =- (% -J )<〇，因此g U )在（1, + 〇〇)上为单调递减函数.办）<g (l ) = 0,即得21n % < (a :---1 (x > 1),即y 〇b <a综上可知，#<In a - Inia -b In a - Ini2以上结论反映了对数平均与算术平均、几何平均的大小关系，我们知道两个正数a 、6的 对数平均定义：L (a , b ) = jlna - ln 6 () ’la(a = b ).则当 a >〇，i >〇,有<In a - Ini—^一，^^<[(16)<-^—（当且仅当〇=6时，等号成立).若令 lna =文！，Ini =%2,贝l j d = e*1，6 = e*2, < —z —等价于^^?J~a b <In a — Ini 2?V 2__*2 丄 ^2‘1—，利用该不等式，可x X pL e - e " e •十 ee 2 < ------- < —-xx - x 2 2以轻松获解该题的第（2)小题：证明:定义域为（〇, +〇〇 )，尸(％) 1 2017 -x2017 2黯•若p2〇17，则/，（,）= 0;若* e (0,2017),则尸〇) >0,函数/(；〇单调递 增;若;c e (2017, + 〇〇 )，则尸(无）< 0,函数3-42故学敉学2021年第3期/(幻单调递减.由对称性，不妨设 a >6> 〇,则可得〇< 6<2017 <a.由条件知，ln a= 且ln6=故 lna- ln6(a-6)，即2017由对数均值不等式得2017即a + 6 > 2 x 2017.-bIn a - Inia -bIn a - In6= 2017,<2 ，1iia;,a：2= \nxl+ \nx2= m(x l+ x2)> 2m•— = 2,所以a:丨a:2> e*12.m评注:不难发现，例1第（2)小题是题根第(2)小题的一般情况，事实上，由对数均值不等,______ 1 X] ~X22J x x x2<—=---------------，艮p<m lnxj -m x2-7,可见必有〇< m < i.m e因为lnafc= In a+ In6 =----(a+ 6) >2017 》^x 2x 2017 = 2,所以d> e2.下面举例说明此题根在高考、竞赛、模考中的应用，也进一步洞悉此类问题的编拟奥秘.类型1直接用对数均值不等式例1(2016年全国高中数学联赛湖南省预赛第15题）[3]已知函数/(幻=i l n x-(1)若m =」2时，求函数/(幻的所有零点；(2)若/(4有两个极值点心、巧,且x, < 尤2•求证:丨内> e2.解析:（1)当m =-2时，/(幻=;*111»:+；*:2-x = x( \nx + x -l) (x> 0). i^,p(x)=ln% + x -1(«：> 0)，则p'(A〇=丄+ 1> 0,于是p(a〇在X(〇, + «>)上为增函数.又P(1) = 0,所以，当m =-2时，函数/(幻有唯一的零点a; = 1.(2)若/(x)有两个极值点x,、*2,则导函数/'(*)有两个零点h h•由/'U)= In* -m*，可知例2(2018年全国高中数学联赛福建省预赛第14题）[4]已知/U)= e* -似.(1)当x > 0时，不等式Q-2)/(幻+ m*2+ 2> 0恒成立,求实数m的取值范围；(2)若力、*2是/(幻的两个零点，证明：A C, + A；2> 2.解析：（1)略.(2)证明：由题可得/U)= /U2) = 〇,即I e*' = m x., t _x x,x得。
巧构权方和不等式,妙解数学竞赛题
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１ 一１
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ｂ麦 最 值 （［中 例ｌ ＋的 小 ． １ 的 ｏ 文］ ）
解 ／ ＲＡＡ ＢＣ 的 面积 为 Ｓ， ａ １ ２ ３ 则 ｄ＋ ＋
≤
：
亘 匝
（ ＋１ ＋１ 一 １ ＋１ ）
：４ ，
匝
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）
题 已 ； （号 ’ ＋ ）知 ３ ｏ ） Ｅ， 且
１证 ， 求
… 高 ≤， 、 ． １ ｌ ］ ｍ ＼
＋ 詈． 文Ｉ］ （ － 中的例 １ １ ）
证明 注意到 ｓ ２ ＋ＣＳ ＝１ｓ ２ ＋ＣＳ ＝ ｉ 口 Ｏ ａ ，ｎｆ Ｏ ￣ ｎ ２ ｉｌ ２
证明
＋
［ ］ ３ ３例 ）
证 明
例６ （ ２ 第 ２届 Ｉ 试 题 ）设 Ｐ 为 三 角 形 ＭＯ
Ａ Ｃ内任一点 ， Ｂ Ｐ Ｎ￣Ｎ Ｂ Ｃ Ａ 的距离依次 Ｃ， Ａ， Ｂ
十
１ 一１
￣ ／
：
＋ｖ ｑｂ＋ｌ ／丽 ＋￣
／ ｑ－ ＋ １＋ ｖ４ｂ ＋ ＋ ａ １衄
—
为 ｌｄ ， ３记 Ｂ ， ２ ， Ｃ＝口 Ｃ ， Ａ＝ｂ Ａ ， Ｂ＝ｃ求 “：导 ，
上述两个不等式 中的等号均 当且仅 当旦 ＝ｘ ２
ｌ
￣－
２
事半功倍 的效果． 权方和不等式 设 Ｘ ， ２ ・ ， ＥＲ ， ｌＹ ， １ｚ ， 一 Ｙ ，２
…
＝
…
＝
／ 时取 得 ． ￣ ／ ／
其 中每个分式中 ， 分子、 分母均为正数且始终保
两道经典不等式的多种解法
两道经典代数不等式的多种解法长沙市明德中学 邓朝发 2019年3月6日 有两道道经典的代数不等式，在很多奥数资料上面都出现过，但是用到的解法过于单一，甚至于太繁琐。
笔者在竞赛教学中，集学生的智慧偶得灵感，经过研究发现，此两道不等式有多种解法，而且这些解法的过程相当精妙、相当优雅、相当有韵味。
高兴之余，情不自禁，特以此文分享，作初等数学学习、鼓励学生交流之用。
题目：已知12123,,..,0,..1n n x x x x x x x >=，证明：11(1)nii ix n x=≥-+∑方法一： 反证法解1： 不妨假设11(1)ni i ix n x =<-+∑，进一步211(1)11ni i i x n n n x n x =->≥--+-+∑； 把1x 用23,,...,n x x x 替换，可得：1(1)1,2,3..,)11ni i k k i x n n k n n x n x ≠->≥-=-+-+∑；取他们乘积：11(1)1nnk k n n n x =->--+∏进一步：12...1n x x x <与条件矛盾！，进而原不等式成立！ 解2：不妨假设=(1)ii ix y n x -+，进一步：(1)(1,2,..)1i i i n y x i n y -==- 从而1(1)11ni i i n y y =-=-∏，不妨假设1111(1)n nii i i ix y n x ==<⇔<-+∑∑， 此时：1111(1)nn iii i i x y n x ==<⇔<-+∑∑，从而121n i i y y =<-∑； 把1y 用23,,...,n y y y替换，可得：(1)1,2,3..,)ni ii ky yn k n ≠>≥-=∑；对n个式子做乘积：1(1)nnik yn =>-∏从而：1(1)11nii in y y =-<-∏，矛盾！进而原不等式成立！以上两种都是反证法，只是对结构处理不同，所以这里归结为一类方法。
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《竞赛数学解题研究》之不等式证明一、公式法1、柯西不等式：设n a a a ,,,21 与n b b b ,,,21 为任意两数组，则≤+++22211)(n n b a b a b a )(22221n a a a +++ )(22221n b b b +++ 等号当且仅当nn b a b a b a === 2211时成立。
例1、设16,822222=++++=++++e d c b a e d c b a ，求e 的最大值。
（第7届美国数学竞赛）例2、设P 是锐角ABC ∆内一点，P 到三边BC 、CA 、AB 的垂足分别是D 、E 、F 求出（并加以证明）使222PF PE PD ++达到最小值的点P 。
（1990年，浙江省高中数学夏令营）例3、设P 是ABC ∆内一点，P 到三边BC 、CA 、AB 的垂足分别是D 、E 、F 求出（并加以证明）使PFABPE CA PD BC ++达到最小值的点P 。
（IMO22，1981）例4、设n a a a ,,,21 为两两互不相等的正整数，求证：∑∑==≤n i ini ia i 1211 （IMO20）例5、求出所有的实数a ，使得存在非负实数521,,,x x x ，满足下列关系：a kxk k=∑=51，2513a x kk k =∑=，3515a x kk k =∑=例6、设y x b a ,,,都是实数，并且,122=+b a ,122=+y x 试证：1||≤+by ax （1963年成都市数学竞赛试题）2、均值不等式设n a a a ,,,21 为n 个正数，则nn n a a a na a a 2121≥+++等号当且仅当n a a a === 21时成立。
例1、已知ABC ∆的面积S 及角A 均为定值，记A 的两夹边为b,c 则当2232c b +取最小值时，cb的值为多少。
（1985年长沙市数学竞赛）例2、设n x x x ,,,21 都是正数，证明：n n x x x x x x xx x +++≥++ 2112322221（1984年全国高中数学联赛）3、排序不等式：设n a a a ≤≤≤ 21与n b b b ≤≤≤ 21为两数组，则112122112211b a b a b a b a b a b a b a b a b a n n n jn n j j n n +++≥+++≥+++- ，其中n j j j ,,21是n 2,1的一个排列，等号当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时成立。
（同序最大，倒序最小，乱序居中）例1、设n b b b ，，， 21是正数n a a a ，，， 21的一个排列，证明：n b a b a b a nn ≥++ 2211 （匈牙利数学竞赛试题）例2设n a a a ,,,21 为两两各不相同的正整数，求证：对任何正整数n ，下列不等式22221211211na a a n n +++≤+++成立。
（IMO20）例3、设n x x x ≤≤≤ 21，n y y y ≤≤≤ 21，又设n z z z ,,,21 是n y y y 21,的一个排列，求证：∑∑==-≤-ni i ini i i z x y x 1212))（（。
(IMO17)二、代换法（代数代换法、三角代换法）1、代数代换法在几何问题中，寻求含有不等式所涉及的元素的关系式，可用代数法证之。
设ABC ∆的三边长分别为a,b,c ，通过代换。
)(21),(21),(21c b a z b a c y a c b x -+=-+=-+=，易得a=y+z,b=z+x,c=x+y 则：半周长z y x c b a P ++=++=)(21；面积xyz z y x c P b P a P P S )())()((++=---=；外接圆半径xyzz y x x z z y y x S abc R )(4))()((4+++++==；内切圆半径zy x xyzP Sr ++==例1、已知ABC ∆，它的内心为I ，C B A ∠∠∠,,的内角平分线分别交对边于C B A '''，，，求证：27841≤'⋅'⋅'⋅⋅<C C B B A A CI BI AI 。
（IMO32-1）例2、已知三角形的三边长为c b a ,,，其面积为S ，求证：S c b a 34222≥++， 并说明取等号的条件是什么。
（IMO3）例3、已知三角形的三边长为c b a ,,，证明：0)()()(222≥-+-+-a c a c c b c b b a b a 并说明取等号的条件是什么。
（IMO24，1983）例4、已知三角形的三边长为c b a ,,，证明：abc c b a c b a c b a c b a 3)()()222≤-++-++-+（（IMO6）例5、设c b a ,,为正数，试证：))()((c b a b a c a c b abc -+-+-+≥（83年瑞士数学竞赛）。
2、三角代换法例1、已知,122≤+y x 求证：2|2|22≤-+y xy x例2、设04422=-+y x ，求函数y x y xy x y x f 242),(22++++=的最大值。
例3、设y x b a ,,,都是实数，并且,122=+b a ,122=+y x 试证：1||≤+by ax （1963年成都市数学竞赛试题）3、其他类型的代换法例1、设c b a ,,为正实数，且满足1=abc ，求证：23)(1)(1)(1333≥+++++b a c a c b c b a （IMO1995）例2、设c b a ,,为正实数，且满足1=abc ，证明：1)11)11)11≤+-+-+-ac c b b a （（（（IMO41）三、数学归纳法例1、已知b a ,为正实数，且111=+ba ，试证对每个N n ∈,有 1222)(+-≥--+n n n n nb a b a （1988年全国高中数学联赛）四、增量法例1、已知三角形的三边长为c b a ,,，证明：abc c b a c b a c b a c b a 3)()()222≤-++-++-+（（IMO6）例2、设n x x x ,,,21 都是正数且121=+++n x x x ，证明：211232222121≥++++++x x x x x x x x x n n （1984年全国高中数学联赛）例3、设z y x ,,为非负实数，且1=++z y x ，证明：27720≤-++≤xyz xy zx yz （IMO25）五、构造对偶式法例1、设c b a ,,为正实数，求证：3223223223cb a a cac c c bc b b b ab a a ++≥++++++++。
例2、设n a a a ，，， 21；n b b b ，，， 21都是正实数，且∑∑===nk k nk kb a11，证明：∑∑==≥+nk k nk kk k a b a a 11221（1991年亚太地区数学竞赛）例3、设n a a a ，，， 21都是正实数，且11=∑=nk ka，求证：211232222121≥++++++a a a a a a a a a n n （第24届全苏数学竞赛）例4、设n a a a ，，， 21都是正实数，且11=∑=nk ka，证明：4131211234342323223242322212213141≥++++++++++++a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n（第6届河南省高中数学竞赛）例5、证明：对任意1.1>>b a ，有不等式81122≥-+-a b b a （第26届独联体数学竞赛）。
例6、已知0>≥≥z y x ，求证：222222x z y yxz x z y z y x ++≥++（第31届IMO 预选题）。
六、构造函数法例1、设z y x ,,为非负实数，且1=++z y x ，证明：27720≤-++≤xyz xy zx yz （IMO25）例2、设c b a ,,为正实数，且满足1=abc ，求证：23)(1)(1)(1333≥+++++b a c a c b c b a （IMO36，1995）例3、设c b a ,,为正实数，，求证：23≥+++++b a c a c b c b a （1963年莫斯科数学竞赛）例4、设c b a ,,为三角形的三边，c ++=b a 2S ，求证：S 222≥+++++ba c a cbc b a （1988年第二届友谊杯数学竞赛） 例5、设d c b a ，,,为正实数，且满足1=+++da cd bc ab ，求证：313333≥+++++++++++c b a d b a d c a d c b d c b a （IMO31，预选题）。