高中数学奥赛讲义：竞赛中常用的重要不等式
高中数学奥赛讲义：竞赛中常用的重要不等式
高中数学奥赛讲义：竞赛中常用的重要不等式第一篇：高中数学奥赛讲义：竞赛中常用的重要不等式高中数学奥赛讲义：竞赛中常用的重要不等式【内容综述】本讲重点介绍柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式的证明与应用【要点讲解】目录§1 柯西不等式§2 排序不等式§3 切比雪夫不等式★ ★ ★§1。
柯西不等式定理1 对任意实数组恒有不等式“积和方不大于方和积”，即等式当且仅当本不等式称为柯西不等式。
时成立。
思路一证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。
证明1∴右-左=当且仅当思路2 注意到证明2当当定值时，等式成立。
时不等式显然成立，当时，不等式左、右皆正，因此可考虑作商比较法。
时等式成立；时，注意到=1故当且仅当且（两次放缩等式成立条件要一致）即同号且常数，亦即思路3 根据柯西不等式结构，也可利用构造二次函数来证明。
证明3 构造函数由于。
恒非负，故其判别式即有等式当且仅当若常数时成立。
柯西不等式显然成立。
例1 证明均值不等式链：调和平均数≤算术平均数≤均方平均数。
证设本题即是欲证：本题证法很多，现在我们介绍一种主要利用柯西不等式平证明的方法(1)先证注意到此即由柯西不等式,易知②成立,从而①真欲证①,即需证②①(11)再证欲证③,只需证, ③而④即要证④⑤(注意由柯西不等式,知⑤成立.(Ⅰ)(Ⅱ)中等式成立的条件都是)即各正数彼此相等.说明：若再利用熟知的关系(★)（其中，结合代换，即当且仅当式链时，等式成立，说明★的证明参见下节排序不证式或数学归纳法，这样就得到一个更完美的均值不等其中等式成产条件都是§２．排序不等式定理２设有两组实数，．满足则(例序积和)（乱序积和）（须序积和）其中是实数组时成立。
一个排列，等式当且仅当或说明本不等式称排序不等式，俗称例序积和乱序积和须序积和。
证法一．逐步调整法首先注意到数组也是有限个数的集合，从而也只有有限个不同值，故其中必有最大值和最小值（极端性原理）。
高中竞赛不等式公式大全
高中竞赛不等式公式大全摘要：一、前言二、高中竞赛不等式公式简介1.基本不等式2.柯西不等式3.排序不等式4.切比雪夫不等式5.其他常见不等式三、应用举例1.基本不等式应用2.柯西不等式应用3.排序不等式应用4.切比雪夫不等式应用5.其他常见不等式应用四、结论正文：一、前言不等式是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。
在高中竞赛数学中，掌握不等式的运用尤为重要。
本文将介绍一些高中竞赛中常见的不等式公式及其应用。
二、高中竞赛不等式公式简介1.基本不等式基本不等式是最常见的不等式之一，形式为：对于任意实数a1, a2, ..., an 和b1, b2, ..., bn，有(a1^2 + a2^2 + ...+ an^2)(b1^2 + b2^2 + ...+bn^2) >= (a1b1 + a2b2 + ...+ anbn)^2。
当且仅当a1/b1 = a2/b2 = ...= an/bn时，等号成立。
2.柯西不等式柯西不等式是一种特殊的不等式，形式为：对于任意实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有(a1^2 + a2^2 + ...+ an^2)(b1^2 + b2^2 + ...+bn^2) >= (a1b1 + a2b2 + ...+ anbn)^2。
当且仅当存在常数k，使得a1 = kb1, a2 = kb2, ..., an = kbn时，等号成立。
3.排序不等式排序不等式是一种关于排序的不等式，形式为：对于任意实数a1, a2, ..., an，有(a1 + a2 + ...+ an)^2 <= (a1^2 + a2^2 + ...+ an^2)(1 + 1/2 + 1/3 + ...+ 1/n)。
当且仅当a1 = a2 = ...= an时，等号成立。
4.切比雪夫不等式切比雪夫不等式是一种关于方差的不等式，形式为：对于任意实数x1,x2, ..., xn，有(x1 - x平均值)^2 + (x2 - x平均值)^2 + ...+ (xn - x平均值)^2 <= n * (x1^2 + x2^2 + ...+ xn^2) / (n - 1)。
高中数学奥林匹克竞赛知识讲座-不等式
n n
B
1 + i
aibi1
i 1
n
nk 2 (n 2) sec 2 ，其中约定 bn 1 b1 。 4 2n
A
A
1 + i
n
B
1
B
证明 如图 1，作边长为 k 的正 n 边形 A1 A2 ... An ，易证
i
A
A
. . .
i
2
sn边形A1 A2 ... An
2
此外,阿贝尔恒等式也是许多有关和式的不等式的导出恒等式：
aibi bn ai ( ai ) bk bk 1 .
i 1 i 1 k 1 i 1
n
n 1
k
2.3
一些著名不等式的应用 例5. 设 a, b, c 为正数且各不相等,求证:
2 2 2 9 . ab bc ca abc
x(
=
x 1 1 4 y 1 1 4 z 1 1 4 ( ) ( ) ( )6 6 , 2 y z yz 2 z x zx 2 x y x y
当且仅当 x y z ,即 a b c 时,等号成立. 评注 换元法常用来去分母、去根号,从而化简数式,对于条件 abc 1 ，常用代换
n
a1a2 ...an 作 代 换
xi
ai ,1 i n ，则 x1 x2 ...xn 1 . G
以下证明：一定存在正整数 p ，对任意的 s ，均有 x p 1 x p 2 ...x p 3 1 。鉴于 x1 x2 ...xn 1 。 那么可取 p n .若它 只需对 s n 进行证明。 如果 x1 , x1 x2 ..., x1 x2 ...xn 这 n 个乘积值均不大于 1， 们 之 中 至 少 有 一 个 大 于 1 ， 则 不 妨 设 x1 x2 ...x p 是 其 中 的 最 大 值 ， 有
高中数学竞赛holder不等式
高中数学竞赛holder不等式摘要：1.介绍高中数学竞赛的holder 不等式2.holder 不等式的基本原理3.holder 不等式的应用实例4.结论正文：一、介绍高中数学竞赛的holder 不等式在高中数学竞赛中，holder 不等式是一个非常重要的知识点，它是解决许多数学问题的关键思想。
holder 不等式是一种不等式，它的本质是关于p 和q 指数的不等式，可以广泛应用于各种数学问题中。
二、holder 不等式的基本原理holder 不等式的基本形式为：$|a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n|leqprod_{i=1}^{n}|a_ib_i|$。
其中，$a_i$和$b_i$是实数或复数，$n$是正整数，$p$和$q$是正实数，满足$1<p<q$。
holder 不等式的证明比较复杂，需要涉及到一些高级的数学知识，比如Hlder 不等式和Minkowski 不等式。
在理解holder 不等式的基本原理之前，需要先理解它的前提条件和结论。
三、holder 不等式的应用实例holder 不等式在实际应用中非常广泛，它可以用于解决各种数学问题，比如不等式问题、最大值最小值问题、积分问题等。
例如，考虑以下不等式问题：$|x^2-4y^2+z^2|leq 1$，如何求解$x,y,z$的取值范围？这就是一个典型的holder 不等式问题，可以通过holder 不等式来解决。
具体来说，我们可以把$x^2-4y^2+z^2$看作是一个三元数的平方，然后应用holder 不等式，得到：$|x^2-4y^2+z^2|leq 1$$Leftrightarrow |x|leq 1, |2y|leq 1, |z|leq 1$$Leftrightarrow -1leq xleq 1, -1/2leq yleq 1/2, -1leq zleq 1$因此，$x,y,z$的取值范围为$[-1,1]times [-1/2,1/2]times [-1,1]$。
高中数学竞赛教案讲义(9)不等式
第九章 不等式一、基础知识不等式的基本性质：（1）a>b ⇔a-b>0； （2）a>b, b>c ⇒a>c ； （3）a>b ⇒a+c>b+c ； （4）a>b, c>0⇒ac>bc ；（5）a>b, c<0⇒ac<bc; （6）a>b>0, c>d>0⇒ac>bd;（7）a>b>0, n ∈N +⇒a n>b n; （8）a>b>0, n ∈N +⇒nn b a >;（9）a>0, |x|<a ⇔-a<x<a, |x|>a ⇔x>a 或x<-a; （10）a, b ∈R ，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;（11）a, b ∈R ，则(a-b)2≥0⇔a 2+b 2≥2ab;（12）x, y, z ∈R +，则x+y ≥2xy , x+y+z .33xyz ≥ 前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。
（6）因为a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd ，所以ac>bd ；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若nn b a ≤，由性质（7）得n n n n b a )()(≤，即a ≤b ，与a>b 矛盾，所以假设不成立，所以n n b a >；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a ≤|a|,-|b|≤b ≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b ≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-22)(y x xy -=≥0，所以x+y ≥xy 2，当且仅当x=y 时，等号成立，再证另一不等式，令c z b y a x ===333,,，因为x 3+b 3+c 3-3abc=(a+b)3+c 3-3a 2b-3ab 2-3abc=(a+b)3+c 3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c 2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)=21(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0，所以a 3+b 3+c 3≥3abc ，即x+y+z ≥33xyz ，等号当且仅当x=y=z 时成立。
(完整版)高中数学竞赛讲义(九)──不等式
(12)
a>b>0, nCN+=an>bn;⑻a>b>0, nCN+=^^>^/^;
a>0, |x|<aQ -a<x<a, |x|>a= x>a或x<-a;
a, b€ R,则|a|-|b| < |a+b| <|a|+|b|;
a, bC R,贝U (a-b)2a2+b2> 2ab;
x, y, z € R+,则x+y>2*/^, x+y+z—刊Q电
-|b| w b与师以-（|a|+|b|） wa+bq|嘛|雄|a+b| < |a|-+ |b|T面再证（10）的左边，
|a|=|a+b-b| w |a+b|+回所以|a|-|b| w |a+b所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12）
为x+y-2而=（质-6）'>0,所以x+yP历，当且仅当x=y时，等号成立，再证另
工工
… …x+y —f+e一耳+沙，原不等式成立。
(6)放缩法，即要证A>B,可证A>C1, 01>C2,---,Cn-1>Cn, Cn>B(nCN+).
1 +--i--+,+---《厘(用主2).
例8求证：2 3 2*-1
【证明】
因为r: 2而=白+疝+疯>3^c~o~h=3狙瓦，所以原不等式成立。
1
例4已知实数a, b, c满足0<awbwc2,求证：。。一切 却一右)8(1-浦
高中数学竞赛讲义第九章 不等式
第九章 不等式一、基础知识不等式的基本性质：（1）a>b ⇔a-b>0； （2）a>b, b>c ⇒a>c ； （3）a>b ⇒a+c>b+c ； （4）a>b, c>0⇒ac>bc ；（5）a>b, c<0⇒ac<bc; （6）a>b>0, c>d>0⇒ac>bd;（7）a>b>0, n ∈N +⇒a n >b n ; （8）a>b>0, n ∈N +⇒nn b a >;（9）a>0, |x|<a ⇔-a<x<a, |x|>a ⇔x>a 或x<-a; （10）a, b ∈R ，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|; （11）a, b ∈R ，则(a-b)2≥0⇔a 2+b 2≥2ab;（12）x, y, z ∈R +，则x+y≥2xy , x+y+z .33xyz ≥前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。
（6）因为a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd ，所以ac>bd ；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若nn b a ≤，由性质（7）得n n n n b a )()(≤，即a≤b ，与a>b 矛盾，所以假设不成立，所以nn b a >；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a≤|a|, -|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-22)(y x xy -=≥0，所以x+y≥xy 2，当且仅当x=y 时，等号成立，再证另一不等式，令cz b y a x ===333,,，因为x 3+b 3+c 3-3abc =(a+b)3+c 3-3a 2b-3ab 2-3abc=(a+b)3+c 3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c 2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)=21(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0，所以a 3+b 3+c 3≥3abc ，即x+y+z≥33xyz ，等号当且仅当x=y=z 时成立。
数学竞赛中的不等式知识点总结
数学竞赛中的不等式知识点总结数学竞赛在学生的学习中扮演着很重要的角色，不仅能够提高学生的数学素养，还能够培养学生的逻辑思维能力和解题能力。
在数学竞赛中，不等式是一个非常重要的知识点，很多的数学竞赛都会考察不等式相关的题目，因此在备战数学竞赛的过程中，掌握好不等式知识点是非常必要的。
1.基本不等式基本不等式是指在所有正整数中，算术平均数大于等于几何平均数。
即对于任意正整数$a_1,a_2,\cdots,a_n$，都有：$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$基本不等式是不等式中最基础的知识点，但是在数学竞赛中应用的非常广泛，尤其是在证明其他不等式定理时，基本不等式起到了非常重要的作用。
2.均值不等式均值不等式是指在所有实数中，算术平均数大于等于几何平均数。
均值不等式分为两种情况，一种是两个数的情况，另一种是多个数的情况。
两个实数$a$和$b$的均值不等式如下：$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$多个实数$a_1,a_2,\cdots,a_n$的均值不等式如下：$\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$均值不等式是在基本不等式的基础上发展起来的，应用范围比基本不等式更广泛，也更加灵活。
3.柯西不等式柯西不等式是指两个向量的点积不大于这两个向量的模的乘积。
柯西不等式可用于证明其他不等式，也可作为求极值的工具在数学竞赛中得到广泛应用。
柯西不等式如下：$(x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n)^2 \leq(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)(y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2)$其中$x_1,x_2,\cdots,x_n$和$y_1,y_2,\cdots,y_n$是任意实数。
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不等式是数学竞赛的热点之一。
由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。
而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。
证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。
但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。
竞赛中常用的重要不等式
【内容综述】
本讲重点介绍柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式的证明与应用
【要点讲解】
目录§1 柯西不等式
§2 排序不等式
§3 切比雪夫不等式
★ ★ ★
§1。
柯西不等式
定理1 对任意实数组恒有不等式“积和方不大于方和积”，即
等式当且仅当时成立。
本不等式称为柯西不等式。
思路一证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。
证明1
∴右-左=
当且仅当定值时，等式成立。
思路2 注意到时不等式显然成立，当时，不等式左、右皆正，因此可考虑作商比较法。
证明2
当时等式成立；当时，注意到
=1
故
当且仅当
且
（两次放缩等式成立条件要一致）
即同号且常数，
亦即
思路3 根据柯西不等式结构，也可利用构造二次函数来证明。
证明3 构造函数。
由于恒非负，故其判别式
即有
等式当且仅当常数时成立。
若柯西不等式显然成立。
例1 证明均值不等式链：
调和平均数≤算术平均数≤均方平均数。
证设本题即是欲证：
本题证法很多，现在我们介绍一种主要利用柯西不等式平证明的方法
(1)先证①
注意到欲证①,即需证
②
此即
由柯西不等式,易知②成立,从而①真
(11)再证, ③
欲证③,只需证
④
而④即要证
⑤
(注意)
由柯西不等式,知⑤成立.
(Ⅰ)(Ⅱ)中等式成立的条件都是即各正数彼此相等.
说明：若再利用熟知的关系(★)
（其中，结合代换，
即
当且仅当时，等式成立，
说明★的证明参见下节排序不证式或数学归纳法，这样就得到一个更完美的均值不等式链
其中等式成产条件都是．
§２．排序不等式
定理２设有两组实数，满足
则
(例序积和)
（乱序积和）
（须序积和）
其中是实数组一个排列，等式当且仅当或
时成立。
说明本不等式称排序不等式，俗称
例序积和乱序积和须序积和。
证法一．逐步调整法
首先注意到数组也是有限个数的集合，从而
也只有有限个不同值，故其中必有最大值和最小值（极端性原理）。
设注意下面的两个和
注意
，
S（★）
可见和数Ｓ中最大的和，只能是对应数组由小到大的顺序排列，最小的和就对应
数组从大到小的依序排列，不符合如此须序的只要适当调整，如★所示就可越调越大（小），其中ｉ＝１，２……，n。
证法＝设
由的一个k阶子集
则显见
等式当且仅当
式
即，时,成立
这就证明了乱序积和≤顺序积和
注意列，仿上面证明，得
这里含义同上，于是有
又证明了例序积和≤乱序积和
综上排序不等式成立.
例2 利用排序不等式证明柯西不等式：
其中等式当且仅当为常数时成立。
证不失一般性，设；，则由排序不等式可得
（例序积和≤乱序积和)
相加即得
①
又∵算术平均值不大于平方平均值，（★）故
代入①，即得
平方后，即得柯西不等式
说明“算术平均≤平方平均”可用数学归纳法直接证明如下：
证（i）设n=2，则显然成立
（ii）设n=k时，
成立，即有
欲证n=k+1时，有
成立，只需证
考虑到归纳假设，只需证
（★）
而（★）是显然成立的,故n=k+1时命题成立,于是对且n≥2时,命题成立, 正是因为存大着不依赖柯西不等式证明“算术平均≤平方平均”的证明方法，例2的证法就不存在循环论证之嫌，否则此证法是不宜的。
例3 利用排序不等式证明正数的算术平均数不小于几何平均数。
证设，易见
构造数列，使
则由★知于是由排序不等式,有
(乱序积和)
(例序积和)
，
即
从而
其中等式当且仅当时成立
说明这里构造了两个数列和为应用排序不等式创造了条件，得列一个证明均值不等式的简捷、漂亮解法。
§3契比雪夫不等式
设(i=1,2…，n)
(i)若则顺序积和的算术平均数不小于这两组数算术平均数之积：
；
（ⅱ）若，则倒序积和的算术平均数不大于这两组数算术平均数之积：
证明（i）由排序原理有
，
，
……
，
迭加可得
两边除以得
等式当且仅当；
类似可证(ⅱ)成立
例4 设，求证
证明不妨令，则
由切比雪夫不等式，有
即
从而得证
说明大家较熟悉的美国竞赛题
1979年青海赛题
1978年上海赛题
都是本例的特殊情况或变形。
本周强化练习：
★★★1．设
求的最小值
b、c是三角形三边长，s是半周长。
求证：Vn∈N，下式成立
★★★2．若a、
解答或提示
1．不妨令
由切比雪夫不等式
当且仅当
2．设a≥b≥c,则a+b≥a+c≥b+c,
()。