中考数学复习指导：探讨中考数学最值问题的解题思路与策略

合集下载

2023中考数学复习：几何最值问题

证明:如图2,在ON上任意取一点T,在OM上任意取一点R,连
接FR,BR,RT,ET,AT,
∵A,E关于ON对称,∴AC=EC,同理BD=FD,FR=BR,AT=ET,
∴AC+CD+DB=EC+CD+FD=EF,AT+TR+BR=ET+TR+FR.
∵ET+TR+FR>EF,
∴AC+CD+DB<AT+TR+BR,
的压轴题,发展了学生的几何直观和推理能力的核心素养.
专题四几何最值问题
返回类型清单
方法点拨
此类问题的解答,关键是要掌握每种模型的特征、辅助线的作法及解
题原理,能在实际问题中发现模型、建构模型,并依据模型解答问题,解
决实际问题.
专题四几何最值问题
返回类型清单
解题技巧
主要是利用重要的基本事实或者定理,如两点之间线段最短、三角形
动点,设AP=x,PB+PE=y,当点P从A向点C运动时,y与x的函数关系如图
②所示,其中点M是函数图象的最低点,则点M的坐标是( )
A.(4 2,3 5)
B.(2 2,3 5)
C.(3 5,2 2)
D.(3 5,4 2)
例题 4
4
5
6
专题四几何最值问题— 两点之间线段最短问题
模型二
返回类型清单
两定一动（“胡不归”问题）
模型解读
“胡不归”问题即点P在直线BM上运动的“PA+k•PB(0<k<1)”型
最值问题.如图①,已知sin∠MBN=k,点P为∠MBN其中一边BM上
的一个动点,点A在射线BM,BN的同侧,连接AP,则当“PA+k•PB”的

中考数学最值问题总结(含强化训练)

中考数学最值问题总结（含强化训练）在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要分为几何最值和代数最值两大部分。

一、解决几何最值问题的要领（1）两点之间线段最短；（2）直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；（3）三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）。

二、解决代数最值问题的方法要领1.二次函数的最值公式二次函数y ax bx c =++2（a 、b 、c 为常数且a ≠0）其性质中有 ①若a >0当x b a=-2时，y 有最小值。

y ac b a min =-442； ②若a <0当x b a=-2时，y 有最大值。

y ac b a max =-442。

2.一次函数的增减性.一次函数y kx b k =+≠()0的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。

3. 判别式法.根据题意构造一个关于未知数x 的一元二次方程；再根据x 是实数，推得∆≥0，进而求出y 的取值范围，并由此得出y 的最值。

4.构造函数法.“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。

5. 利用非负数的性质.在实数范围内，显然有a b k k 22++≥，当且仅当a b ==0时，等号成立，即a b k 22++的最小值为k 。

6. 零点区间讨论法.用“零点区间讨论法”消去函数y 中绝对值符号，然后求出y 在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。

7. 利用不等式与判别式求解.在不等式x a ≤中，x a =是最大值，在不等式x b ≥中，x b =是最小值。

8. “夹逼法”求最值.在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。

初中数学最值问题解题技巧

初中数学最值问题解题技巧初中数学最值问题是学习中数学的重要内容，也是考试中经常要求考生解决的问题，解决初中数学最值问题，需要考生熟悉相关的知识点，并具备一定的解题技巧。

一、基本概念初中数学最值问题是指在给定的条件下，求出函数的最大值或最小值。

在初中数学中，常见的函数有一元函数、二元函数、三元函数等，最值问题可以分为一元函数最值问题、二元函数最值问题、三元函数最值问题等。

二、一元函数最值问题1、求函数的极值解：首先，要确定函数的极值，需要求出函数的导数，然后求出函数的极值点。

2、求函数的最大值和最小值解：在函数的域范围内，可以通过求函数的极值点，确定函数的最大值和最小值，或者在域范围内求函数的极大值和极小值。

三、二元函数最值问题1、求函数的极值解：二元函数最值问题，首先要求函数的偏导数，然后求出函数的极值点。

四、三元函数最值问题1、求函数的极值解：三元函数最值问题，要求出函数的偏导数，然后求出函数的极值点。

五、解题技巧1、熟悉最值问题的基本概念，了解一元、二元、三元函数的极值求法。

2、在求解最值问题时，要注意函数的定义域，以确定函数的最大值和最小值。

3、求解最值问题，应充分利用函数的性质，比如函数的单调性、增函数、减函数等。

4、要注意函数的变化，以确定极值点，以及函数在极值点上的变化趋势。

总结以上就是初中数学最值问题的解题技巧，初中数学最值问题是学习数学的重要内容，考生在解决最值问题时，应该多积累知识点，多掌握解题技巧，从而更好的解决最值问题。

初中数学最值问题解题技巧,初中几何最值问题方法归纳总结

几何最值问题大一统追本溯源化繁为简目有千万而纲为一，枝叶繁多而本为一。

纲举则目张，执本而末从。

如果只在细枝末节上下功夫，费了力气却讨不了好。

学习就是不断地归一，最终以一心一理贯通万事万物，则达自由无碍之化境矣（呵呵，这境界有点高，慢慢来）。

关于几何最值问题研究的老师很多，本人以前也有文章论述，本文在此基础上再次进行归纳总结，把各种知识、方法、思想、策略进行融合提炼、追本溯源、认祖归宗，以使解决此类问题时更加简单明晰。

一、基本图形所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。

由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。

余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。

已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。

证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。

即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。

(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。

上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。

二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。

类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。

（一）直接包含基本图形。

AD一定，所以D是定点，C是直线的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。

中考数学中典型最值问题题型解决策略探究

中考数学中典型最值问题题型解决策略探究摘要：本文主要介绍了中考数学中最值问题四种常见的类型，主要包括一次函数的最值问题、二次函数的最值问题、基本不等式最值问题以及垂线段最短最值问题。

希望本文的研究，能够为同学们解决初中最值问题带来一些实用的解题思路。

关键词：中考；数学；最值问题；解决策略所谓最值问题，就是我们常说的关于求最小值、最大值的问题。

最值问题是初中数学考试中的一类常见问题，在中考试题里面也经常能够看到它的身影。

通常来看，最值问题与其他的一些题型相比，具有类型丰富、涉及知识面广、解法灵活多样等特点，因此其难度往往也比较大。

所以，针对中考数学中出现的一些典型最值问题题型进行研究是十分必要的，本文将通过对一些典型例题进行分析，来阐述中考问题的一些常见解决策略。

一、一次函数的最值问题这类问题主要是依托一次函数的增减性而出的，通常要求学生在函数自变量的取值范围内求出应变量的最大值。

其解题思路主要可以分为两大步：第一，根据题意建立函数关系式，并确定模型；第二，确定自变量取值范围，通过计算求得应变量最值。

此外，不少函数最值问题都是结合实际情况来出题的，所以在确定自变量取值范围时，需要注意考虑实际情况，比如有些实际情况中，自变量不能是负数或者必须是正整数，学生在解此类问题时要注意对自变量取值范围的把握[1]。

例一：四川一家化工厂有7吨甲原料，5吨乙原料，现在打算采购甲乙两种原料共8吨，生产A、B两种产品对甲乙两种原料的消耗情况如下表：已知每销售1吨A产品可以获利0.45万元，每销售1吨B产品可获利0.5万元，假设现在该化工厂计划生产A产品x吨，而最终销售A、B两种产品总共获得的利润为y万元。

（1）试建立出x 和y 之间的函数关系，并得出x 的取值范围；（2）问当x 为多少时，y 可取得最大值？且该最大值是多少？解：（1）据题意得：y=0.45x+（8-x ）×0.5=-0.05x+4又生产两种产品所需的甲种原料为：0.6x+1.1×（8-x ），所需的乙种原料为：0.8x+0.4×（8-x ）则可得不等式组⎩⎨⎧≤-+≤-+5)8(4.08.07)8(1.16.0x x x x 解之得3.6≤x ≤4.5 （2）因为函数关系式y=-0.05x+4中的k=-0.05＜0，所以y 随x 的增大而减小．则由（1）可知当x=3.6时，y 取最大值，且为3.82万元．例二：长沙一运输公司打算将甲、乙、丙三种蔬菜运送到外地进行销售（每辆车均达到最大载重数，而且同一辆车只装运某一种蔬菜）。

初中几何最值问题解题技巧

初中几何最值问题解题技巧初中几何最值问题是一个比较常见的问题，通常涉及到线段、角度、面积等几何元素的最小值或最大值的求解。

下面将详细讲解一些常见的解题技巧：1.利用轴对称性转化：对于一些具有轴对称性的几何图形，可以利用轴对称性将问题转化为更简单的问题。

例如，对于一个关于直线对称的图形，可以找到对称轴，然后将问题转化为求解对称轴上的点到原图形的最短距离或最大距离。

2.利用三角形不等式：三角形不等式是解决几何最值问题的重要工具。

例如，对于一个三角形，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

利用这些不等式，可以推导出一些关于几何元素的最值关系。

3.利用特殊位置和极端位置：在解决几何最值问题时，可以考虑特殊位置或极端位置的情况。

例如，对于一个矩形，当它的一条对角线与矩形的一条边垂直时，该对角线的长度达到最小值。

对于一个三角形，当它的一条边与另一条边的延长线垂直时，该三角形的面积达到最小值。

4.利用几何定理：几何定理是解决几何最值问题的有力工具。

例如，对于一个三角形，当它的一条边与另一条边的中线重合时，该三角形的周长达到最小值。

对于一个四边形，当它的一条对角线与另一条对角线的中线重合时，该四边形的面积达到最小值。

5.利用数形结合：数形结合是解决几何最值问题的常用方法。

通过将几何问题转化为代数问题，可以更容易地找到问题的解。

例如，对于一个圆上的点到圆心的距离的最大值和最小值，可以通过将问题转化为求解圆的半径的平方的最大值和最小值来解决。

以上是一些常见的初中几何最值问题的解题技巧，希望能够帮助你更好地解决这类问题。

初中数学最值问题解题技巧,初中几何最值问题方法归纳总结

几何最值问题大一统追本溯源化繁为简目有千万而纲为一，枝叶繁多而本为一。

纲举则目张，执本而末从。

如果只在细枝末节上下功夫，费了力气却讨不了好。

学习就是不断地归一，最终以一心一理贯通万事万物，则达自由无碍之化境矣（呵呵，这境界有点高，慢慢来）。

一、基本图形所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。

余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。

已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。

证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。

即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。

(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。

上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。

类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。

（一）直接包含基本图形。

如何解答中考数学最值”问题

如何解答中考数学“最值”问题最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。

利用一次函数和二次函数的性质求最值。

一、“最值”问题大都归于两类基本模型：Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。

凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。

（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。

二、利用函数模型求最值例1 、如图（1），平行四边形ABCD 中，︒=∠==120,3,4BAD BC AB ，E 为BC 上一动点（不与B 重合），作AB EF ⊥于F ，设,x BE =DEF ∆的面积为.S 当E 运动到何处时，S 有最大值，最大值为多少？1）【观察与思考】容易知道S 是x 的函数，为利用函数的性质求S 的最大值，就应先把S 关于x 的函数关系式求出来，而这又需要借助几何计算。

（1）解：如图（1`），延长FE 交DC 的延长线于,G 易知DG FG ⊥。

DG EF S ⋅=∴21，而x B BE EF 23sin =⋅=，又，在CEG Rt ∆中，2360cos )3(,3xx CG x CE -=︒⋅-=-=。

211234xx CG DC DG -=-+=+=∴。

,831183212x x DG EF S +-=⋅⋅=∴中30≤<x 。

,083<- 对称轴∴=,211x 当30≤<x ，S 随x 的增大而增大。

例论初中代数“最值问题”的策略和技巧

例论初中代数“最值问题”的策略和技巧发布时间：2023-03-31T05:33:52.513Z 来源：《中国教工》2023年1月第1期作者：冉卫国[导读] 最值问题是一类综合性较强的数学问题，包含代数计算、方程（含参数的方程组）、不等式（组）、函数的单调性、几何计算与证明、对称等数学知识。

冉卫国重庆市华蓥中学校 401132摘要：最值问题是一类综合性较强的数学问题，包含代数计算、方程（含参数的方程组）、不等式（组）、函数的单调性、几何计算与证明、对称等数学知识。

其往往以难题形式出现，学生感到解题十分困难。

而教材对这一知识没有专门章节进行系统阐述，更加大了学生学习的难度。

这一部分知识可以极大的锻炼学生的逻辑思维和抽象思维能力，培养学生的数学核心素养。

所以，本论文将选取此话题作为研究的核心，归纳总结出解决此类问题一般的思想和方法。

从而给一线教师的教学和学生的学习提供一些切实可行的指导。

关键词：最值；数值分析；大小关系引言：新一轮的教育教学改革悄然来临，这也对初中数学的教学工作提出了新的要求与挑战。

即：初中数学教学不仅要遵循以人为本的原则，更要突出知识的实用性。

最值作为初中数学知识板块的重要组成部分，与初中数学中的很多知识都存在着密切的联系。

这一部分知识不仅可以帮助学生解决数学理论问题，而且可以帮助学生解决许多现实问题，具有很强的理论性和实用性。

也能极大地培养初中学生的抽象思维和逻辑思维。

所以，初中数学应该重视最值的教学工作。

一、强化基础知识，注重知识关联不等式是初中数学的重要知识板块，可谓是贯穿始终，它可以与数列，导数，解析几何，解三角形等多个知识结合起来考察取值范围或求最值的问题。

题目类型丰富，涉及知识面广，可以极大的锻炼学生的抽象思维和运算能力。

虽然它考察的形式丰富，但数学问题“万变不离其宗”，归根结底还是要运用基础知识和基本性质来对题目进行解答。

解三角形是初中数学知识的一个重要组成部分，也是考察的重点内容，它的知识相对较为简单，在试题中出现的位置也相对比较靠前，但是一旦当解三角形与不等式的知识联系起来之后，题目立刻就会变得灵活性大，综合型强，涉及知识面广，使得部分学生感到无从下手。

初中中考数学最值问题

初中中考数学最值问题主要涉及两个方面：代数最值问题和几何最值问题。

1.代数最值问题：这类问题通常以应用题形式出现，常见的题型有
求一个花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大的方案等。

这类问题的难点在于需要结合实际应用，理解并建立数学模型。

解决这类问题的关键在于根据题意，找到变量之间的关系，建立函数关系，利用函数的性质进行求解。

2.几何最值问题：主要是在一定的条件下，求平面几何图形中某个
确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积等）的最大值或最小值。

这类问题的难点在于需要考虑图形的形状、大小、位置等多种因素，综合运用几何知识进行求解。

解决这类问题的关键在于根据题意，找到影响目标量的因素，利用不等式、函数的单调性等知识进行求解。

对于中考数学最值问题，学生需要具备扎实的数学基础和灵活的解题能力，同时要善于总结和归纳各类问题的解题方法。

在备考过程中，学生可以通过多做练习题，掌握各类问题的解题思路和技巧，提高解题效率和准确性。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

探讨中考数学最值问题的解题思路与策略
本文以一道中考题为例，与各位共同探讨最值问题的解题思路与策略.
一、注重分析，讲究方法
最值问题是初中数学中的难点之一我们在分析解答时要特别注重分析已知条件，紧扣已
有的知识经验，力求做到思路清晰，水到渠成.
【试题呈现】

已知点D与点(8,0)A，(0,6)B，(,)Caa是一平行四边形的四个顶点，则CD长的
最小值为
【分析】

1、由动点(,)Caa推导得到定直线yx.(“点动成线”)

感悟1: 动点(,21)Qaa推导得到定直线21yx.
感悟2: 动点(1,21)Qaa推导得到定直线23yx
2、由定直线yx推导得到定角度45.(一次函数k系数为士1时，可能出现45
特殊角)

感悟3: 由定直线33yxm推导得到定角度30或60.
3、已知两个顶点如何作平行四边形?
情形一: 如图1，两顶点的连线段作为平行四边形的边，使点B落在直线yx上的
点C处，点A落在点D处，连结CD，易得10AB，所以10CD.
情形二: 如图2，两顶点的连线段作为平行四边形的对角线，在直线yx上，取点C.
如何确定点D?方法一是平移线段BC，使点C与点A重合，得线段AD;方法二是连结线
段AB，取线段AB中点E;连结CE并延长一倍至点D，连结AD、BD.

【解答】
方法一如图3，要使得CD的长最小，只要CE长最小.点E是定点，点C是直线
yx
上的动点，所以，当CE直线yx时，CE长最短. 作EH直线yx于H点，易
得45,7EGCEG，则722EH，所以CD长的最小值为72.

方法二如图4，作EH直线yx于H点.设直线EH的解析式为yxb，把
4,3xy代入yxb
，得到直线EH的解析式为1yx，与直线yx的交点

坐标为11(,)22.
又因为点E的坐标为(4,3)，所以722EH，所以CD长的最小值为72.
方法三如图5，平移线段BC，使点C与点A重合，得线段AD;设点C的坐标为
(,)aa，根据坐标平移的规律，得到点D的坐标为(8,6)aa
.所以

22222
1
(82)(62)881008()982CDaaaaa
，所以CD长的最小值为

72
.

方法四如图6，作BM直线yx于M点;作AN直线yx于N点.由梯形
的中位线定理，得到2EHBMAN，而32,42BMAN，所以722EH，
所以CD长的最小值为72.
二、最值问题的其它几种方法
1.“作对称”转化最值
如图7，在直线m上确定点C使得ACBC最短;

〔拓展〕
①图8，在射线n上确定点C，射线m上确定点D，使得ACCDDB最短;

②如图9, 30POQ，点A是OP上的定点,8OA，在边,OPOQ上分别确定点

,BC
，使得ABBC最短，求这个最短距离;

③如图10， 20POQ，点A是OP上的定点，8OA，在边OQ上确定点,BD，
在OP上确定点C，使得ABBCCD最短，求这个最短距离.
2、取中点转化最值

如图11 , 90MON，矩形ABCD的顶点,AB分别在边,OMON上.当点B在边
ON上运动时，点A随之在边OM上运动，矩形ABCD
的形状保持不变，其中

2,1ABBC
，运动过程中，点D到点O的最大距离为 .
〔分析解答〕
取线段AB的中点E，连结,OEED，这样就将线段最短问题转化成了三角形三边关系
的应用，可得ODOEED，当ODOEED时，线段OD的长度最大也即当点
,,OED
在一直线上时点D到点O的距离最大，最大值等于21.

〔拓展〕
如图12，已知ABC是边长为4的等边三角形，,AB分别是,xy轴上的动点，点C在
第一象限内，在AB的运动过程中，则线段OC的最大值为 .
3、添辅助圆转化最值
如图13，在边长为2的菱形ABCD中，60A，点M是AD边的中点，点N是
AB
边上一动点.将AMN沿MN所在的直线翻折得到AMN，连结AC，则AC长度的最
小值是 .
〔分析解答〕

取线段AB的中点E，连接,OEED，这样将线段最短问题转化成了三角形三边关系的

应用，可得ODOEED，当ODOEED时，线段OD的长度最大.也即当点
,,OED
在一直线上时点D到点O的距离最大.可得AC长度的最小值是71.

4、三角函数值转化最值
如图14，点A在半径为3的⊙O内，P为⊙O上一点，当OPA取最大值时，PA的
长等于 .
〔分析解答〕
过点O作OHPA于点H，则sinOHOPAPO.因为正弦的函数值随锐角角度的增
大而增大，所以，由PO是定值，得知:要使得OPA最大，只需OH最大.因为点P是⊙
O
上的动点，所以，当OH与OA重合时，OPA最大，此时，6PA.

关于几何类的最值问题，还有如立体图形展开最短路径问题、直线运动求面积的最值问
题等等，解题时化动为静，将变化的量通过定量的形式呈现出来，是解决几何类最值问题的
常用策略.我们要善于总结规律，就能从根本上提高解题能力.