初中数学10大解题方法及典型例题详解

初中数学10大解题方法及典型例题详解

1、配方法

所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

例题：

用配方法解方程x2+4x+1=0，经过配方，得到( )

A．(x+2) 2=5 B．(x－2) 2=5 C．(x－2) 2=3 D．(x+2) 2=3 【分析】配方法：若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算。【解】将方程x2+4x+1=0，

移向得：x2+4x=－1，

配方得：x2+4x+4=－1+4，

即(x+2) 2=3；

因此选D。

2、因式分解法

因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

例题：

若多项式x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3），则m的值为（）A．-2 B．2 C．0 D．1

【分析】根据因式分解与整式乘法是相反方向的变形，先将（x-1）（x+3）乘法公式展开，再根据对应项系数相等求出m的值。

【解】∵x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3），

即x2+mx-3=（x-1）（x+3），

∴x2+mx-3=（x-1）（x+3）=x2+2x-3，

∴m=2；

因此选B。

3、换元法

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

例题：

已知(x2+y2+1)(x2+y2+3)=8，则x2+y2的值为（）

A．-5或1 B．1 C．5 D．5或-1

【分析】解题时把x2+y2当成一个整体来考虑，再运用因式分解法就比较简单【解】设x2+y2=t，t≥0，则原方程变形得

(t+1)(t+3)=8，化简得：

(t+5)(t-1)=0，

解得：t

1=-5，t

2

=1

又t≥0

∴t=1

∴x2+y2的值为只能是1．

因此选B．

4、判别式法与韦达定理

一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求

这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。

注意：①△=b 2-4ac ＜0，方程无实数根，即无解；②△=b 2-4ac =0，方程有两个相等的实数根；③△=b 2-4ac ＞0，方程有两个不相等的实数根。

例题：

当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m 有实根。

【分析】题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分42-m ＝0和42-m ≠0两种情形讨论。

【解】当42-m ＝0即2±=m 时，)1(2+m ≠0，方程为一元一次方程，总有实根；

当42-m ≠0即2±≠m 时，方程有根的条件是：

△＝[]208)4(4)1(222+=--+m m m ≥0，解得m ≥2

5- ∴当m ≥2

5-

且2±≠m 时，方程有实根。 综上所述：当m ≥25-时，方程有实根。

5、待定系数法

在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。

例题：

例1. 已知函数y ＝mx x n x 22431

+++的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。 【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m 、n 的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。

【解】函数式变形为： (y－m)x2－43x＋(y －n)＝0， x∈R, 由已知得y－m≠0

∴△＝(－43)2－4(y－m)(y－n)≥0 即： y2－(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ①

不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7是方程y2－(m＋n)y＋(mn－12)＝0的两根，

代入两根得：

1120

497120

+++-=

-++-=

⎧

⎨

⎩

()

()

m n mn

m n mn

解得：

m

n

=

=

⎧

⎨

⎩

5

1

或

m

n

=

=

⎧

⎨

⎩

1

5

∴ y＝5431

1

2

2

x x

x

++

+

或者y＝

x x

x

2

2

435

1

++

+

此题也可由解集(-1,7)而设(y＋1)(y－7)≤0,即y2－6y－7≤0，然后与不等式

①比较系数而得：

m n

mn

+=

-=-

⎧

⎨

⎩

6

127

，解出m、n而求得函数式y。

6、构造法

在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。

例题：

如图，在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线交BC于点D。求证：AB＋BD＝AC

【分析】若遇到三角形的角平分线时，常构造等腰三角形，借助等腰三角形的有关性质，往往能够找到解题途径。