初中数学最值问题典型例题(含答案分析)

中考数学最值问题总结考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

（2、代数计算最值问题 3、二次函数中最值问题） 问题原型：饮马问题 造桥选址问题 （完全平方公式 配方求多项式取值 二次函数顶点） 出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型： 条件：如下左图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点． 问题：在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小． 方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于 点P ，则PA PB A B '+=的值最小例1、如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ．（1）求证：△AMB ≌△ENB ；（2）①当M 点在何处时，AM+CM 的值最小；②当M 点在何处时，AM+BM+CM 的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM 的最小值为 时，求正方形的边长。

AB A '′Pl例2、如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）（1）求抛物线的解析式（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线M N∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.例3、如图1，四边形AEFG与ABCD都是正方形，它们的边长分别为a,b(b≥2a),且点F在AD上（以下问题的结果可用a,b表示）（1）求S△DBF;(2) 把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转450得图2,求图2中的S△DBF;(3) 把正方形AEFG绕点A旋转任意角度,在旋转过程中,S△DBF是否存在最大值,最小值?如果存在,试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。

例4、如图，在平面直角坐标系中，直线1y=x+12与抛物线2y=ax+bx3-交于A，B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3。

点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A，B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB与点C，作PD⊥AB于点D（1）求a，b及sin ACP∠的值（2）设点P的横坐标为m①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m值；若不存在，说明理由.例5、如图，⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=34,抛物线2y ax bx=+经过点A(4,0)与点（-2,6）.（1）求抛物线的函数解析式；（2）直线m与⊙C相切于点A，交y于点D.动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒1个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当P Q⊥AD时，求运动时间t的值；（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB面积最大时，求点R的坐标.例1、证明：（1）∵△ABE是等边三角形，∴BA=BE，∠ABE=60°．∵∠MBN=60°，∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．即∠MBA=∠NBE．又∵MB=NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）．（5分）解：（2）①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．（7分）②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小．（9分）理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，∴AM=EN，∵∠MBN=60°，MB=NB，∴△BMN是等边三角形．∴BM=MN．∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．（10分）根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．（11分）例2、 解：（1）设所求抛物线的解析式为：2(1)4y a x =-+，依题意，将点B （3，0）代入，得： 2(31)40a -+= 解得：a ＝－1∴所求抛物线的解析式为：2(1)4y x =--+ （2）如图6，在y 轴的负半轴上取一点I ，使得点F 与点I 关于x 轴对称，在x 轴上取一点H ，连接HF 、HI 、HG 、GD 、GE ，则HF ＝HI …………………① 设过A 、E 两点的一次函数解析式为：y ＝kx ＋b （k ≠0）， ∵点E 在抛物线上且点E 的横坐标为2，将x ＝2代入抛物线2(1)4y x =--+，得 2(21)43y =--+= ∴点E 坐标为（2，3）又∵抛物线2(1)4y x =--+图像分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 、D ∴当y ＝0时，2(1)40x --+=，∴x ＝－1或x ＝3 当x ＝0时，y ＝－1＋4＝3, ∴点A （－1，0），点B （3，0），点D （0，3） 又∵抛物线的对称轴为：直线x ＝1，∴点D 与点E 关于PQ 对称，GD ＝GE …………………② 分别将点A （－1，0）、点E （2，3）代入y ＝kx ＋b ，得： 023k b k b -+=⎧⎨+=⎩ 解得：11k b =⎧⎨=⎩ 过A 、E 两点的一次函数解析式为：y ＝x ＋1∴当x ＝0时，y ＝1 ∴点F 坐标为（0，1） ∴DF =2………………………………………③ 又∵点F 与点I 关于x 轴对称， ∴点I 坐标为（0，－1） ∴22222425EI DE DI =+=+=又∵要使四边形DFHG 的周长最小，由于DF 是一个定值， ∴只要使DG ＋GH ＋HI 最小即可由图形的对称性和①、②、③，可知， DG ＋GH ＋HF ＝EG ＋GH ＋HI只有当EI 为一条直线时，EG ＋GH ＋HI 最小设过E （2，3）、I （0，－1）两点的函数解析式为：111(0)y k x b k =+≠，分别将点E （2，3）、点I （0，－1）代入11y k x b =+，得：111231k b b +=⎧⎨=-⎩解得：1121k b =⎧⎨=-⎩过A 、E 两点的一次函数解析式为：y ＝2x －1∴当x ＝1时，y ＝1；当y ＝0时，x ＝12； ∴点G 坐标为（1，1），点H 坐标为（12，0）∴四边形DFHG 的周长最小为：DF ＋DG ＋GH ＋HF ＝DF ＋EI 由③和④，可知： DF ＋EI ＝225+∴四边形DFHG 的周长最小为225+ （3）如图7，由题意可知，∠NMD ＝∠MDB ， 要使，△DNM ∽△BMD ，只要使NM MDMD BD=即可， 即：2MD NM BD =⨯………………………………⑤设点M 的坐标为（a ，0），由MN ∥BD ，可得 △AMN ∽△ABD ， ∴NM AMBD AB=再由（1）、（2）可知，AM ＝1＋a ，BD ＝32AB ＝4∴ (1)3232(1)44AM BD a MN a AB ⨯+⨯===+∵22229MD OD OM a =+=+， ∴⑤式可写成： 2329)324a a +=+⨯解得：32a =或3a =（不合题意，舍去） ∴点M 的坐标为（32，0）又∵点T 在抛物线2(1)4y x =--+图像上，∴当x ＝32时，y ＝152∴点T 的坐标为（32，152）.例3、解：（1）∵点F 在AD 上，∴AF 2=a 2＋a 2，即AF=2a 。

∴DF b 2a =-。

∴2DBF 1113S DF AB b 2a b b ab 2222∆=⋅=⋅-⋅=-（）。

（2）连接DF ，AF ，由题意易知AF ∥BD ， ∴四边形AFDB 是梯形。

∴△DBF 与△ABD 等高同底，即BD 为两三角形的底。

由AF ∥BD ，得到平行线间的距离相等，即高相等， ∴2DBF ABD 1S S b 2∆∆==。

（3）正方形AEFG 在绕A 点旋转的过程中，F 点的轨迹是以点A 为圆心，AF 为半径的圆。

第一种情况：当b ＞2a 时，存在最大值及最小值， ∵△BFD 的边BD=2b ，∴当F 点到BD 的距离取得最大、最小值时，S △BFD 取得最大、最小值。

如图，当DF ⊥BD 时，S △BFD 的最大值=212b 2ab 2b (b 2a)222+⋅⋅+=， S △BFD 的最小值=212b 2ab2b (b 2a)222-⋅⋅-=。

第二种情况：当b=2a 时，存在最大值，不存在最小值，S △BFD 的最大值=2b 2ab2+=。

例4、解：（1）由1x+1=02，得到x=－2，∴A （－2，0）。

由1x+1=32，得到x=4，∴B （4，3）。

∵2y=ax +bx 3-经过A 、B 两点，∴4a 2b 3=016a+4b 3=3--⎧⎨-⎩，解得1a=21b=2⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩。

设直线AB 与y 轴交于点E ，则E （0，1）。

∴根据勾股定理，得AE=5。

∵PC ∥y 轴，∴∠ACP=∠AEO 。

∴OA 225sin ACP=sin AEO=AE 55∠∠==。

（2）①由（1）可知抛物线的解析式为211y=x x 322--。

由点P 的横坐标为m ，得P 211m m m 322⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，C 1m m+12⎛⎫ ⎪⎝⎭，。

∴PC=221111m+1m m 3m +m+42222⎛⎫---=- ⎪⎝⎭。

在Rt △PCD 中，()22125595PD PC sin ACP=m +m+4=m 1+2555⎛⎫=⋅∠-⋅-- ⎪⎝⎭， ∵505<-，∴当m=1时，PD 有最大值955。

②存在满足条件的m 值，532m=29或。

例5、解：（1）将点A （4，0）和点（-2，6）的坐标代入2=+y ax bx 中，得方程组16+4=04-2=6a b a b ⎧⎨⎩， 解之，得1=2=-2a b ⎧⎪⎨⎪⎩.∴抛物线的解析式为21=-22y x x . （2）连接AC 交OB 于E.∵直线m 切⊙C 于A ∴AC⊥m，∵ 弦 AB=AO ， ∴AB AO = .∴AC⊥OB，∴m∥OB . ∴∠ OAD=∠AOB，∵OA=4 tan∠AOB=43，∴OD=OA·tan∠OAD=4×43=3. 作OF⊥AD 于F.则OF=OA·sin∠OAD=4×53=2.4. t 秒时，OP=t,DQ=2t ，若PQ⊥AD，则FQ=OP= t.DF=DQ －FQ= t.⊿ODF 中，t=DF=22OF OD -=1.8秒.（3）令R(x, 21x 2－2x) (0＜x ＜4).作RG⊥y 轴于G 作RH⊥OB 于H 交y 轴于I.则RG= x ，OG= 21x 2+2x. Rt⊿RIG 中，∵∠GIR=∠AOB ，∴tan∠GIR=43.∴IG=34x IR=35 x, Rt⊿OIH 中，OI=IG －OG=34x －（21x 2+2x ）=21x 2－32x.HI=54（21x 2－32x ）. 于是RH=IR －IH=35 x －54（21x 2－32 x ）=－52 x 2+1533x=－52 x 2+511x=－52( x －411)2+40121 当x=411时，RH 最大.S ⊿ROB 最大.这时21x 2－2x=21×(411)2－2×411=－3255.∴点R(411,－3255)。