宁夏银川一中2014届高三第五次月考数学理试题
宁夏银川一中2014届高三上学期第三次月考试卷 数学(理) word版含答案
银川一中2014届高三年级第三次月考数 学 试 卷（理）命题人：西林涛、张德萍第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数(2)12i i i+-等于A ．iB ．i -C ．1D ．—12．设全集U ＝R ，集合A ＝｛x ｜12x x +-0≥｝，B ＝｛x ｜1＜2x＜8｝，则（C U A ）∩B 等于A ．[－1，3）B ．（0，2]C ．（1，2]D ．（2，3）3．在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A ．()()p q ⌝∨⌝B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．p q ∨4．设{n a }是公比为正数的等比数列，若a 3＝4，a 5＝16，则数列{n a }的前5项和为A ．41B ．15C ．32D ．315. 函数321()2f x x x =-+的图象大致是6．曲线ln y x x =在点),(e e 处的切线与直线1x ay +=垂直，则实数a 的值为A ．2B.-2C.12D.12-7．如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是孤AB 的三等分点，M 、N是线段AB 的三等分点，若OA=6，则MD NC ⋅的值是A ．2B ．5C ．26D ．29 8．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则8967a a a a ++等于A.21+B.21-C.223+D.223-xy OA. B CD xyOxyOxyO19．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为 A ．2sin 2cos 2αα-+B ．sin 3αα+C ．3sin 1αα+D ．2sin cos 1αα-+10．函数)0)(sin(3)(>+=ωϕωx x f 部分图象如图所示,若2||=⋅,则ω等于 A ．3π B ．4π C ．6π D ．12π11．已知函数()x f 是R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是增函数.令⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan,75cos ,72sin πππf c f b f a ，则A ．c a b << B. a b c << C. a c b << D. c b a <<12．定义域为[,a b ]的函数()y f x =图像的两个端点为A 、B ，M(x ，y )是()f x 图象上任意一点，其中[]1,0,)1(∈-+=λλλb a x ．已知向量()λλ-+=1，若不等式k MN ≤||恒成立，则称函数f (x )在[a ，b ]上“k 阶线性近似”．若函数xx y 1-=在 [1，2]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为A. [0,)+∞B. 1[,)12+∞ C. 3[)2+∞ D. 3[)2+∞ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数)(',sin cos )(')(x f x x f x f +=π是)(x f 的导函数，则⎰π)(dx x f = 。
宁夏银川一中2014届高三上学期第六次月考数学(理)试题 Word版含答案
正视图 侧视图 俯视图银川一中2014届高三年级第六次月考数 学 试 卷（理）命题人：曹建军、西林涛第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}2lg(2),2,0,xA x y x xB y y x ==-== Ｒ是实数集，则()RC B A ⋂=A ．[]0,1B ．](0,1C ．](,0-∞ D ．以上都不对 2．已知定义在复数集C 上的函数()f x 满足1,()(1),x x Rf x i x x R +∈⎧=⎨-∉⎩，则(1)f i +等于A ．2-B ．0C ．2D ．2i +3．已知抛物线y 2＝2px （p>0）的准线与圆（x －3）2＋y 21B. 1C. 2D. 44．函数3()sin 24sin cos ()f x x x x x R =-∈A ．2π B ．4π C ．8πD ．π 5. 如果执行右面的程序框图，那么输出的S =（ ） A ．2450B ．2500C ．2550D ．26526．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸 （单位：cm ），可得这个几何体的体积是A ．331cmB ．332cmC ．334cmD ．338cm7．下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题:1:p 数列{}n a 是递增数列 2:p 数列{}n na 是递增数列3:p 数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 4:p 数列{}3n a d +是递增数列其中的真命题为A. 12,p pB. 34,p pC. 23,p pD. 14,p p 8．已知正四棱锥的各棱棱长都为23，则正四棱锥的外接球的表面积为A ．π36B ．π12C ．π72D ．π1089．直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于M,N两点，若MN ≥k 的取值范围是A.[)3,0,4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦B. 3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. ⎡⎢⎣⎦D. 2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10．设25sin1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是 A ．25 B ．50 C ．75 D ．100 11．若函数2()(,,,)df x a b c d R ax bx c=∈++的图象如图所示，则:::a b c d = A. 1：6：5: (-8） B. 1：（-6）：5: (-8） C. 1：（-6）：5: 8 D. 1: 6: 5: 812．已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，()()()()f x g x f x g x ''>，且()()x f x a g x =(0a >，且1)a ≠，(1)(1)5(1)(1)2f fg g -+=-．若数列(){}()f n g n 的前n 项和大于62，则n 的最小值为A. 6B. 7C. 8D. 9第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数(),()ln ,()1ln x f x x e g x x x h x x =+=+=-+的零点依次为,,.a b c 则,,a b c 从大到小的顺序为_____________________④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．16. 在直角坐标平面xoy 中，过定点（0,1）的直线L 与圆224x y +=交于A 、B 两点，若动点P(x ，y)满足OP OA OB =+，则点P 的轨迹方程为_____________________． 三、解答题:本大题共5小题，共计70分。
宁夏银川一中高三上学期第五次月考数学(理)试题Word版含解析
银川一中2018届高三年级第五次月考数学试卷（理）第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A. B. C. D.【答案】C考点：交集运算2.A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D∴在复平面内对应的点所在象限为第四象限故选：D点睛：复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可．复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．3.【答案】C故选：C4.A. B. C. D. 【答案】A【解析】故选：A5.小关系为【答案】A【解析】∵,故选：A6.A. ，最大值B.C. D.【答案】C【解析】x，y满足的平面区域如图：当直线y=﹣x+z经过A时z最小，经过B时z最大，A（2，0）所以z 的最小值为2+0=2，由于区域是开放型的，所以z 无最大值；故选C．点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7. 两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是【答案】D【解析】由已知图形中座位的排列顺序，可得：被5除余1的数，和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，只有D符合条件．故选D8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为一个正三棱柱截去上面一个三棱锥余下的部分，∵三棱柱的高为2，底面边长为2，截去三棱锥的高为1，所以该几何体和体积2×2×2×sin60°2×2×1×sin60°故选：C点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.9. 古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金【解析】选B。
数学理卷·2014届宁夏银川一中高三上学期第五次月考(2014.01)
2014届高三年级第五次月考数 学 试 卷（理）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合)(},5,2{},3,2,1{},6,5,4,3,2,1{B C A B A U U 则====（ ）A ．{1，3}B ．{2}C ．{2，3}D ．{3}2. 设复数Z 满足i Z i 2)3(=⋅-，则|Z |=（ ） ABC ．1D ．23．设,αβ为两个不同平面，m 、 n 为两条不同的直线，且,,βα⊂⊂n m 有两个命题： P ：若m ∥n ,则α∥β；q ：若m ⊥β, 则α⊥β. 那么（ ） A ．“p 或q ”是假命题 B ．“p 且q ”是真命题 C ．“非p 或q ”是假命题D ．“非p 且q ”是真命题4. 在平面直角坐标系中，已知向量),3,(),1,3(21),2,1(x ==-=若//)2(+，则x=( ) A ．-2B ．-4C ．-3D ．-15．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 9=-18，S 13=-52，{b n }为等比数列，且b 5 =a 5，b 7=a 7，则b 15的值为（ ） A ．64B ．128C ．-64D ．-1286．设偶函数f (x )满足f (x )=2x -4(x >0),则不等式f (x -2)>0的解集为（ ）A ．{x |x <-2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <-2或x >2} 7．若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为（ ） A ．16B ．14C ．13D ．128．如图是一个几何体的三视图，正视图和侧视图 均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如 图，则该几何体的全面积为（ ） A ．2+3π+ B ．2+2π+ C ．8+5π+ D ．6+3π+俯视图正视图侧视图A BDC（第15题）9．已知命题p ：函数2()21(0)f x ax x a =--≠在（0，1） 内恰有一个零点；命题q ：函数2ay x-=在(0,)+∞上是减函数，若p 且q ⌝为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a >B ．a≤2C ． 1<a≤2D ．a≤l 或a>210．三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =1，PA，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．5πBC ．20πD ．4π11．设方程lnx =-x 与方程e x =-x (其中e 是自然对数的底数)的所有根之和为m ,则（ ）A ．m <0B. m =0C.0<m <1D.m >112. 函数()f x 对任意()()()()623,1x R f x f x f y f x ∈++==-都有的图象关于点()1,0对称，则()2013f =（ ）A.16-B.8-C.4-D.0第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知关于x, y 的二元一次不等式组24120x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则3x-y 的最大值为__________14. 曲线2x y =和曲线x y =2围成的图形面积是____________. 15. 如图, 在ABC ∆中, 45=∠B ,D 是BC 边上一点,5,7,3AD AC DC ===,则AB 的长为 .16．数列{a n }的通项为a n =(-1)n sin1,2n n π∙∙+ 前n 项和为S n , 则S 100=_________. 三、解答题:本大题共5小题，共计70分。
宁夏银川市银川一中2024届高三上学期第五次月考数学(理)试题含答案解析
银川一中2024届高三年级第五次月考理科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}3A x x =<，{}22B x x=∈<N ，则A B = （）A.{}1B.{}0,1C.{}1,1- D.{}1,0,1-2.欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位，x ∈R ）是由瑞土著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，根据此公式可知，下面结论中正确的是（）A.π2e 10-= B.i i e e sin 2x xx --=C.5i e 在复平面内对应的点位于第二象限D.2(cos isin )cos 2isin 2x x x x+=+3.若“()0,πx ∃∈，sin 2sin 0x m x -<”是假命题，则m 的取值范围为（）A.(,2]-∞ B.(,2]-∞- C.(,2)-∞- D.(,2)-∞4.已知函数21()cos 4f x x x =+，()f x '是函数()f x 的导函数，则()f x '的图像大致是（）A. B.C. D.5.如果向量a ，b 的夹角为θ，我们就称a b ⨯ 为向量a 与b 的“向量积”，a b ⨯还是一个向量，它的长度为sin a b a b θ⨯=⋅ ，如果10a = ，2b = ，12a b ⋅=-，则a b ⨯= （）A.-16B.16C.-20D.206.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cA b<，则ABC 必为（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形7.已知不等式组24201x y x y x +≤⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩表示的平面图形为τ，则按斜二测画法，平面图形τ的直观图的面积为（）A.5216B.8C.22D.548.如图，ABC 的顶点都在坐标轴上，直线AB 的斜率为23，直线BC 的斜率为12-，则tan ABC ∠=（）A.14-B.78-C.74-D.72-9.在正项等比数列{}n a 中，若12318a a a ++=，1231112a a a ++=，则2a =（）A.1B.2C.3D.10.近来汽油价格起伏较大，假设第一周、第二周的汽油价格分别为m 元/升，n 元/升(m n ≠)，甲和乙购买汽油的方式不同，甲每周购买40元的汽油，乙每周购买12升汽油，甲、乙两次购买平均单价分别记为1a ，2a ，则下列结论正确的是（）A.12a a = B.12a a > C.21a a > D.1a ，2a 的大小无法确定11.已知函数()()232log f x x m x m =+++．若()1f x +为偶函数，52a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，=b f，7ln 2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A.b a c>> B.c b a>> C.c a b>> D.a b c>>12.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是棱1111,A B A D 的中点，点E 在BD 上，点F 在1B C 上，且BE CF =，点P 在线段CM 上运动，下列说法正确的是（）A.三棱锥N CME -的体积不是定值B.直线11B D 到平面CMN 的距离是22C.存在点P ，使得1190B PD ∠=D.1PDD △面积的最小值是556二、填空题（本大题共4小题，每小题5分.共20分）13.已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点1,2⎛⎫⎪⎝⎭y P ，则3πsin 2α⎛⎫-=⎪⎝⎭__________.14.已知圆台的上､下底面半径分别为1和2，体积为14π3，则该圆台的侧面积为___________.15.已知函数()()2122f x x =--+的图象上有且仅有两个不同的点关于直线1y =的对称点在1y kx =-+的图象上，则实数k 的取值范围是__________．16.已知关于x 的不等式ln 01xkx x -<+恰有2个不同的整数解，则k 的取值范围是_________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：（共60分）17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列n S n ⎧⎫⎨⎩⎭是以9-为首项，1为公差的等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T .18.已知圆C ：()2213x y +-=，直线l ：()R y x m m =+∈.（1）若直线l 与圆C 相切，求m 的值；（2）若2m =-，过直线l 上一点P 作圆C 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，求四边形PACB 面积的最小值及此时点P 的坐标，19.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足_____.（从以下两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知，将其序号写在答题卡的横线上并作答.）条件①：()(sin sin )sin 3sin b c B C a A b C ++=+条件②：2π5cos ()cos 42A A ++=（1）求角A ；（2）若ABC 为锐角三角形，1c =，求ABC 面积的取值范围.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面,//ABCD AB CD ，且2CD =，1,1,,,===⊥AB BC PA AB BC E F 分别为,PD BC 的中点.（1）求证：//EF 平面PAB ；（2）在线段PD 上是否存在一点M ，使得直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值是13？若存在，求出DMDP 的值，若不存任，说明理由；（3）在平面PBC 内是否存在点H ，满足0HD HA ⋅=，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H 的轨迹图形形状.21.已知函数()()1ln 1,,x x a f x a x+++=∈R 且函数()f x 有两个极值点.（1）求a 的范围;（2）若函数()f x 的两个极值点为1212,()x x x x <且123x x ≥，求12ln ln 2x x a ++的最大值.（二）选考题（共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做.则按所做的第一题记分.）[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数),α为l 的倾斜角，且()0,απ∈，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2221cos ρθ=+．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，点()0,1P 恰为线段AB 的三等分点，求sin .α[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知不等式2x a a -≤的解集为[]0,4．（1）求实数a 的值；（2）若0,0m n >>，且m n a +=，求1122m n m n+++的最小值．银川一中2024届高三年级第五次月考理科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}3A x x =<，{}22B x x=∈<N ，则A B = （）A.{}1B.{}0,1C.{}1,1- D.{}1,0,1-【答案】B 【解析】【分析】根据绝对值的几何意义求集合A ，根据一元二次不等式的解法及自然数集求集合B ，然后利用集合的交集运算求解即可.【详解】 {}{}333A x x x x =<=-<<，{}{{}220,1B x x x x =∈<=∈<<=N N，∴{}0,1A B = .故选：B.2.欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位，x ∈R ）是由瑞土著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，根据此公式可知，下面结论中正确的是（）A.π2e 10-= B.i i e e sin 2x xx --=C.5i e 在复平面内对应的点位于第二象限D.2(cos isin )cos 2isin 2x x x x+=+【答案】D 【解析】【分析】由欧拉公式，代入对应x 的值，即可判断A 和C ；由i e cos isin x x x =+得i e cos isin x x x -=-，两式联立，解出sin x 即可判断B ；由二倍角公式即可判断D ．【详解】对于A ：由欧拉公式得πi 2ππe cosisin i 22=+=，所以πi 2e i 0-=，故A 错误；对于B ：由i e cos isin x x x =+得i e cos isin x x x -=-，两式联立得i i e cos isin e cos isin x x x xx x -⎧=+⎨=-⎩，两式相减消去cos x 得，i i 2isin e e x x x -=-，所以i i i i i i ()sin 222x x x x x x e e ie i i e e x i e ------===-，故B 错误；对于C ：由欧拉公式得，5i e cos5isin 5=+，在复平面对应点的坐标为(cos5,sin 5)，因为35(,2)2ππ∈，所以cos50,sin 50><，所以5i e 在复平面内对应的点位于第四象限，故C 错误；对于D ：222(cos isin )cos sin 2isin cos cos 2isin 2x x x x x x x x +=-+=+，故D 正确，故选：D ．3.若“()0,πx ∃∈，sin 2sin 0x m x -<”是假命题，则m 的取值范围为（）A.(,2]-∞ B.(,2]-∞- C.(,2)-∞- D.(,2)-∞【答案】B 【解析】【分析】确定sin 2sin 0x m x -≥对于()0,πx ∀∈恒成立，变换2cos m x ≤，根据三角函数的值域得到答案.【详解】“()0,πx ∃∈，sin 2sin 0x m x -<”是假命题，即sin 2sin 0x m x -≥对于()0,πx ∀∈恒成立，即sin 22cos sin xm x x≤=，()0,πx ∈，()2cos 2,2x ∈-，故2m ≤-.故选：B4.已知函数21()cos 4f x x x =+，()f x '是函数()f x 的导函数，则()f x '的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】对函数()f x 求导得()1sin 2f x x x '=-，易知()f x '为奇函数，排除B 、D 选项；再对()f x '求导，易得()f x '在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭是递减，即可求解.【详解】1()sin 2f x x x '=-，()f x '∴为奇函数，则函数()f x '的图像关于原点对称，排除选项B 、D ，令()()g x f x '=，1()cos 2g x x '=-，当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x '<，()g x 也就是()f x '在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，排除A ，故C 正确.故选：C ．5.如果向量a，b的夹角为θ，我们就称a b ⨯ 为向量a 与b 的“向量积”，a b ⨯还是一个向量，它的长度为sin a b a b θ⨯=⋅ ，如果10a = ，2b = ，12a b ⋅=-，则a b ⨯= （）A.-16 B.16C.-20D.20【答案】B 【解析】【分析】根据向量的新定义和向量数量积计算即可.【详解】由于sin a b a b θ⨯=⋅ ，10a = ，2b = ，12a b ⋅=-，则cos 102cos 12a b a b θθ⋅==⨯=- ，则3cos ,5θ=-所以4sin 5θ=，则4sin 102165a b a b θ⨯==⨯⨯= .故选：B6.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cA b<，则ABC 必为（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形【答案】A 【解析】【分析】由正弦定理得到sin cos sin C A B <，得出sin cos 0A B <，进而sin 0,0cos A B ><，即可求解.【详解】因为cos c A b <，由正弦定理可得sin cos sin C A B<，即sin cos sin C A B <，又因为sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以sin cos cos s co si in s n A B A B A B +<，即sin cos 0A B <，因为,(0,)A B π∈，所以sin 0,0cos A B ><，所以(,)2B ππ∈，所以ABC 为钝角三角形.故选：A.7.已知不等式组24201x y x y x +≤⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩表示的平面图形为τ，则按斜二测画法，平面图形τ的直观图的面积为（）A.5216B.528C.22D.54【答案】A 【解析】【分析】根据不等式组画出平面图形，再根据斜二测画法得出直观图，根据梯形的面积公式计算即可.【详解】解：根据不等式组，作出如图所示的平面图τ，在平面图τ中，31,1,2AB BC AD ===，根据斜二测画法，作出直观图ABC D ''，则在四边形ABC D ''中，311,,,//,4542AB AD BC AD BC A ''''===∠=︒,则1131()sin (2242216ABC D S AD BC AB A ''''=⨯+⨯⋅∠=⨯+⨯=.所以平面图形τ的直观图的面积为5216.故选：A.8.如图，ABC 的顶点都在坐标轴上，直线AB 的斜率为23，直线BC 的斜率为12-，则tan ABC ∠=（）A.14-B.78-C.74-D.72-【答案】C 【解析】【分析】利用两角差的正切公式可求得tan ABC ∠的值.【详解】由题可得ABC xCB xAB ∠=∠-∠，又23AB k =，得2tan 3xAB ∠=，12BC k =-，得1tan 2xCB ∠=-，()12tan tan 723tan tan 121tan tan 4123xCB xAB ABC xCB xAB xCB xAB --∠-∠∴∠=∠-∠===-+∠⋅∠-⨯.故选：C.9.在正项等比数列{}n a 中，若12318a a a ++=，1231112a a a ++=，则2a =（）A.1B.2C.3D.【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列性质有2132a a a =，代入计算即可得.【详解】因为{}n a 为等比数列，所以2132a a a =，故1312322123132221111182a a a a a a a a a a a a a +++++=+===，所以229a =，又20a >，所以23a =.故选：C.10.近来汽油价格起伏较大，假设第一周、第二周的汽油价格分别为m 元/升，n 元/升(m n ≠)，甲和乙购买汽油的方式不同，甲每周购买40元的汽油，乙每周购买12升汽油，甲、乙两次购买平均单价分别记为1a ，2a ，则下列结论正确的是（）A.12a a =B.12a a > C.21a a > D.1a ，2a 的大小无法确定【答案】C 【解析】【分析】分别计算出1a ，2a 关于m ，n 的表达式，再根据基本不等式即可求解．【详解】由题意得0m >，0n >，m n ≠，则140224040mn a m n m n⨯==<=++212121222m n m n a ++==>⨯，所以21a a >．故选：C ．11.已知函数()()232log f x x m x m =+++．若()1f x +为偶函数，52a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，=b f，7ln 2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A.b a c>> B.c b a>> C.c a b>> D.a b c>>【答案】A 【解析】【分析】根据函数对称轴可得1m =-，进而可知()f x 在()1,+∞上为增函数，令()e 1xg x x =--，利用导数可得()e 10xx x >+>，以及()()ln 10x x x +<>，进而分析得解.【详解】因为()1f x +为偶函数，则()()11f x f x +=-+，可知()f x 的对称轴为1x =，又因为()232,log =+=+y x m y x m 均只有一条对称轴x m =-，可知()f x 只有一条对称轴x m =-，则1m -=，可得1m =-，所以()()2321log 1f x x x =-+-，当1x >时，()()3222log 1f x x x =-+-，因为()322,2log 1=-=-y x y x 在()1,+∞上为增函数，则()f x 在()1,+∞上为增函数，令()e 1xg x x =--，则()e 1xg x '=-，当0x >时，()0g x '>，则()g x 在()0,∞+上单调递增，可得()()00g x g >=，即()e 10xx x >+>325e 2=>；由()e 10xx x >+>，可得()()ln 10x x x +<>，则751ln22<<；即751ln22<<<，可得75ln 22⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f f ，所以b a c >>．故选：A ．【点睛】关键点睛：构造恰当的函数，过程中用到了函数()e 1xg x x =--，对应的不等式为()e 10x x x >+>，以及变形的()()ln 1)0x x x +>．此类不等式常用的有e 1x x ≥+，()ln 1x x ≤+，ln 1≤-x x ，e e x x ≥，加强记忆，方便碰到此类问题后直接使用．12.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是棱1111,A B A D 的中点，点E 在BD 上，点F 在1B C 上，且BE CF =，点P 在线段CM 上运动，下列说法正确的是（）A.三棱锥N CME -的体积不是定值B.直线11B D 到平面CMN 的距离是22C.存在点P ，使得1190B PD ∠=D.1PDD △面积的最小值是556【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行的判定判断A ；根据等体积法求得点1D 到平面CMN 的距离判断B ；建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积运算解决垂直问题判断C ；求出1PDD △面积的表达式，再求得面积的最小值判断D.【详解】对于A ，,M N 分别是棱1111,A B A D 的中点，则11//B D MN ，因为11//BB DD ，且11BB DD =，所以四边形11BB D D 为平行四边形，所以11//B D BD ，所以//BD MN ，因为MN ⊂平面CMN ，BD ⊄平面CMN ，所以//BD 平面CMN ，因为E 在BD 上，所以点E 在平面CMN 的距离不变，而CMN 面积是定值，则三棱锥E CMN -的体积不变，即三棱锥N CME -的体积不变，故A 错误；对于B ，因为11//B D MN ，11B D ⊄平面CMN ，MN ⊂平面CMN ，于是11//B D 平面CMN ，因此直线11B D 到平面CMN 的距离等于点1D 到平面CMN 的距离h ，2222112,(22)13MN CM CN CD D N ===++，1111(11)2323C MND V -=⨯⨯⨯⨯=，22121723()222CMN S =-= 111732D CMN V h -=⋅，由11C MND D CMN V V --=，得1117332h =⋅，则21717h =，B 错误；对C ，以A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则()1,0,2M ，()2,2,0C ，()12,0,2B ，()10,2,2D ,设()1,2,2MP t MC t =⋅=- ，则()1,2,22P t t t +-+，()11,2,2PB t t t =-- ，()11,22,2PD t t t =---，[0,1]t ∈，由11=90B PD ∠︒，得()()()()21111222229410PB PD t t t t t t t t ⋅=---+--+⋅=--=，解得29t ±=，由于[]20,19t +=∈，因此存在点P ，使得11=90B PD ∠︒，C 正确；对于D ，由选项C 得()1,2,22P t t t +-+在1DD 的投影点为()0,2,22t -+，则P 到1DD 的距离d =1PDD △面积为122S d =⋅⋅=[]()0,1t ∈，所以当35t =时，S 取得最小值为455，D 错误.故选：C【点睛】关键点睛：本题的关键是利用线面平行的判定来判定A ，再通过等体积法求出距离从而判断B ，C,D 选项通过建立合适的空间直角坐标系解决.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分.共20分）13.已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点1,2⎛⎫⎪⎝⎭y P ，则3πsin 2α⎛⎫-=⎪⎝⎭__________.【答案】12-##-0.5【解析】【分析】根据任意角三角比的定义和诱导公式求解.【详解】因为角α的终边与单位圆221x y +=交于点1,2⎛⎫⎪⎝⎭y P ，所以||1r OP ==13π12sin cos 212x r αα⎛⎫-=-=-=-=- ⎪⎝⎭，故答案为：12-.14.已知圆台的上､下底面半径分别为1和2，体积为14π3，则该圆台的侧面积为___________.【答案】【解析】【分析】利用圆台体积公式可得其高为2h =积为.【详解】根据题意可知，圆台上底面面积为1πS =，下底面面积为14πS =；设圆台的高为h ，由体积可得(1231314πh S S ++=，解得2h =，所以可得圆台母线长为l ==，根据侧面展开图可得圆台侧面积为()12π4π2l +=.故答案为：15.已知函数()2f x =+的图象上有且仅有两个不同的点关于直线1y =的对称点在1y kx =-+的图象上，则实数k 的取值范围是__________．【答案】41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】变形后得到2y =表示的图象为以()2,2M为圆心，1为半径的上半圆，则2y =+关于直线1y =的对称图象也是一个半圆，圆心为()2,0N ，半径1，画出图象，数形结合得到当直线斜率k -位于直线AB 与直线AC 之间（含AB k ，不含AC k ）时，满足要求，求出,AB AC k k ，得到不等式，求出实数k 的取值范围.【详解】22y =+≥，变形得到()()22221x y -+-=，故2y =表示的图象为以()2,2M为圆心，1为半径的上半圆，则2y =关于直线1y =的对称图象也是一个半圆，圆心为()2,0N ，半径为1，且该圆与x轴交于()()1,0,3,0B Q 两点，如图所示：直线1y kx =-+恒过点()0,1A ，设直线1y kx =-+与半圆N 相切时，切点为C ，故当直线斜率k -位于直线AB 与直线AC 之间（含AB k ，不含AC k ）时，满足函数()2f x =+的图象上有且仅有两个不同的点关于直线1y =的对称点在1y kx =-+的图象上，其中10101ABk -==--，设直线:1AC y mx =+1=，解得：43m =-或0（舍去），故4,13k ⎛⎤-∈-- ⎥⎝⎦，解得：41,3k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，实数k 的取值范围是41,3k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭16.已知关于x 的不等式ln 01xkx x -<+恰有2个不同的整数解，则k 的取值范围是_________．【答案】ln 2ln 3,1012⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】将不等式化为()ln 1xk x x+<，转化为两函数的交点问题，画出函数图象，数形结合求出答案.【详解】ln 01xkx x -<+变形为ln 1x kx x <+，因为0x >，所以()ln 1x k x x+<，令()1y k x =+，()ln xf x x=，0x >，()21ln xf x x-'=，当0e x <<时，()0f x ¢>，当e x >时，()0f x '<，所以()ln xf x x =在e x =上取得极大值，也是最大值，()1e e f =，且当1x >时，()0f x >画出()ln xf x x=的图象如下：而()1y k x =+过定点()1,0-，且当直线位于如图所示的两条直线()11:1l y k x =+与()22:1l y k x =+之间（包含2l ，不包含1l ）时，满足恰有两个整数解，其中1ln 3ln 333112k ==+，2ln 2ln 224110k ==+故答案为：ln 2ln 3,1012⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】对于不等式整数解个数问题，通常可转化为两函数图象问题，数形结合来求解.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：（共60分）17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以9-为首项，1为公差的等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T .【答案】（1）211n a n =-（2）()2*21015N 1050,5n n n n T n n n n ⎧-≤≤=∈⎨-+>⎩，【解析】【分析】(1)根据题意求出210n S n n =-,再由1nn n a S S -=-即可写出{}n a 的通项公式；(2)根据{}n a 的通项公式，找到其正负临界的n 值，去掉绝对值符号再求和.【小问1详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ，则()91110nS n n n=-+-⨯=-，所以210n S n n =-当2n ≥时，22110[(1)10(1)]211n n n a S S n n n n n -=-=-----=-又19a =-也符合上式，故数列{}n a 的通项公式为211n a n =-.【小问2详解】当5n ≤时，2110n a n =-<，∴数列{}n a 的前n 项和210n n T S n n =-=-；当5n >时，2110n a n =->，∴数列{}n a 的前n 项和()12345678n n T a a a a a a a a a =-+++++++++ ()123452na a a a a S =-+++++52n S S =-+，222(2550)101050n T n n n n ∴=-⨯-+-=-+.综上所述：()2*21015N 1050,5n n n n T n n n n ⎧-≤≤=∈⎨-+>⎩，18.已知圆C ：()2213x y +-=，直线l ：()R y x m m =+∈.（1）若直线l 与圆C 相切，求m 的值；（2）若2m =-，过直线l 上一点P 作圆C 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，求四边形PACB 面积的最小值及此时点P 的坐标，【答案】（1）1m =+或1m =-（2）min 2S =，31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可，（2）当2m =-时，直线l 的方程为2y x =-，而四边形PACB的面积2PQCS S PA =△，由圆的性质可得当PC 最小时，切线长PA 最短，此时PC l ⊥，求出直线PC 的方程，联立两直线方程可得点P 的坐标.【小问1详解】由已知，圆心()0,1C 到直线l ：0x y m -+=即d ==解得：1m =+或1m =.【小问2详解】当2m =-时，直线l 的方程为2y x =-，四边形PACB的面积2PAC S S == ∵PAC △为直角三角形，223PA PC =-当PC 最小时，切线长PA 最短，显然当PC l ⊥时，min PC =∴minPA =四边形PACB的面积最小值为min 2S =.此时，1PC k =-，()0,1C ，∴直线PC ：()110y x -=-⨯-，即1y x =-+.由12y x y x =-+⎧⎨=-⎩，解得3212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.19.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足_____.（从以下两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知，将其序号写在答题卡的横线上并作答.）条件①：()(sin sin )sin 3sin b c B C a A b C ++=+条件②：2π5cos ()cos 42A A ++=（1）求角A ；（2）若ABC 为锐角三角形，1c =，求ABC 面积的取值范围.【答案】（1）π3A =；（2）,82.【解析】【分析】（1）选择①，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得；选择②，利用诱导公式及同角公式求解即得.（2）利用正弦定理求出边b 的范围，再利用三角形面积公式求解即得.【小问1详解】选择①，由()(sin sin )sin 3sin b c B C a A b C ++=+及正弦定理，得22()3b c a bc +=+，整理得222a b c bc =+-，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，而0πA <<，所以π3A =.选择②，由2π5cos ()cos 42A A ++=，得25sin cos 4A A +=，即251cos cos 4A A -+=，解得1cos 2A =，又0πA <<，所以π3A =.【小问2详解】由（1）知，π3A =，由正弦定理得sin sin b c B C=，即πsin()sin 3sin sin C B CCb +==31cos sin 13122sin 22tan C CC C+==+，而ABC 是锐角三角形，则π022ππ032C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62C <<，3tan 3C >，即10tan C <<，因此122b <<，1333sin (,2482ABC S bc A b ==∈ ，所以ABC 面积的取值范围是33,82.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面,//ABCD AB CD ，且2CD =，1,1,,,===⊥AB BC PA AB BC E F 分别为,PD BC 的中点.（1）求证：//EF 平面PAB ；（2）在线段PD 上是否存在一点M ，使得直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值是13？若存在，求出DM DP 的值，若不存任，说明理由；（3）在平面PBC 内是否存在点H ，满足0HD HA ⋅= ，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H 的轨迹图形形状.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析；（3）存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）过E 作EG AD ⊥交AD 于点G,连接,EG GF ,由线线平面证明面面平行，再由面面平行的性质即可得出线面平行的证明；（2）先求出面PBC 的法向量(0,1,1)n = ，设(01)DM tPD t =≤≤,利用向量法结合线面角得正弦值求解即可;（3）由,HD HA H ⊥点在空间内轨迹为以AD 中点为球心,1322AD =为半径的球,而AD 中点到平面PBC的距离为342<,即可求解.【小问1详解】如图，过E 作EG AD ⊥交AD 于点G,连接,EG GF ,PA ⊥面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，则PA AD ⊥，又EG ⊂面PAD ，PA ⊂面PAD ，且,EG PA 不共线，故//EG PA ，因为E 为PD 的中点，所以G 也为AD 中点，又F 为BC 的中点，所以//GF AB ，而EG ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以//EG 平面PAB ，同理//GF 平面PAB ，又因为EG GF G = ，,EG GF ⊂平面EGF ，所以平面//EGF 平面PAB ，而EF ⊂平面EGF ,所以//EF 平面PAB ；【小问2详解】设(01)DM tPD t =≤≤如图,以点A 为原点建立空间直角坐标系,则(0,0,1),(0,1,0),1,0)P B C D -，故(0,1,1),1),1,1),(0,2,0)PB PC PD CD =-=-=--=-，则(,2,)CM CD DM CD tPD t t =+=-=-- ，设平面PBC 的法向量(,,)n x y z = ,则有00n PB y z n PC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ,取(0,1,1)n = ,||1|cos ,|3||||n CM n CM n CM ⋅〈〉=== 整理得241670t t -+=,解得12t =或72(舍去)，所以当12DM DP =时,直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值是13.【小问3详解】由（2）知，平面PBC 的一个法向量(0,1,1)n = ，点(0,1,0),B AD中点1,0)2G -，则3,0)2BG =- ,则AD 中点到平面PBC的距离为324n n BG ⋅= ，由0HD HA ⋅= ，即,HD HA ⊥故H 在以AD 中点为球心，半径为1322AD =的球面上，而342<，故H 在面PBC4=的圆，故存在符合题意的H ，此时H 轨迹是半径为324的圆.【点睛】关键点点睛：第三问，根据题设有,HD HA ⊥则H 在以AD 中点为球心，半径为1322AD =的球面上，再求AD 中点到面PBC 距离，结合直观想象及计算确定H 在面PBC 上的轨迹.21.已知函数()()1ln 1,,x x a f x a x +++=∈R 且函数()f x 有两个极值点.（1）求a 的范围;（2）若函数()f x 的两个极值点为1212,()x x x x <且123x x ≥，求12ln ln 2x x a ++的最大值.【答案】（1）(1,)+∞（2）2ln3【解析】【分析】（1）函数()f x 极值点问题转化为导函数零点问题处理.构造函数()ln ,(0)h x x x a x =-->，通过函数的单调性与最值及图象趋势，找到方程()0h x =有两个正实数根的充要条件；（2）整体换元法，令21x t x =，再结合（1）结论得2211ln ln x x x t x -==，将12,x x 都转化为t 表示，从而将多元最值问题转化为一元函数问题，构造函数(1)ln ,(1,3](1)t t t t t ϕ+∈-=，求其最大值即可.【小问1详解】由题得，2ln (),(0)x x a f x x x--'=>，令()ln ,(0)h x x x a x =-->，则函数()f x 有两个极值点，即方程()0h x =有两个正实数根.因为11()1x h x x x-'=-=，所以当(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以，min ()(1)1h x h a ==-，且当0x →时，()h x →+∞，x →+∞时，()h x →+∞.所以方程()0h x =有两个正实数根，只需(1)10h a =-<，解得1a >，即函数()f x 有两个极值点时，a 的范围为(1,)+∞.【小问2详解】由120x x <<且123x x ≥，令21x t x =，则(1,3]t ∈，由（1）知，12()()0h x h x ==，即1122ln ln a x x x x =-=-，则2211ln ln x x x t x -==，即11ln tx x t -=，解得1ln 1t x t =-，所以21ln 1t t x tx t ==-.则1212(1)ln ln ln 21ln ln 11t t t t t t t x x a x x t +++=+==---+，令(1)ln ,(1,3](1)t t t t t ϕ+∈-=，则()2211(ln )(1)(1)ln 2l (n (1)1)t t t t t t t t t t t t ϕ+'+--+--=+=--，令12ln ()t t t P t -+=-，则22221(1)10,(1,()3]t t P t tt t '-=-++=>∈所以函数()P t 在(1,3]上单调递增，又(1)0P =，所以()(1)P t P >，则()0P t >.当(1,3]t ∈时，()0t ϕ'>，所以()t ϕ在(1,3]上单调递增，则当3t =时，max ()(3)2ln 3t ϕϕ==.即12ln ln 2x x a ++的最大值为2ln3.（二）选考题（共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做.则按所做的第一题记分.）[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数),α为l 的倾斜角，且()0,απ∈，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2221cos ρθ=+．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，点()0,1P 恰为线段AB 的三等分点，求sin .α【答案】（1）2212y x +=；（2）sin 3α=．【解析】【分析】（1）化简曲线C 的极坐标方程为222cos 2ρρθ+=，结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解；（2）把直线参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，求得1212,t t t t +⋅，设2AP PB = ，得到122t t =，化简得22sin 9α=，即可求解.【详解】（1）由曲线C 的极坐标方程为2221cos ρθ=+，可得222cos 2ρρθ+=，又由cos ,sin x y ρθρθ==，代入可得2222x y +=，即曲线C 的直角坐标方程为2212y x +=.（2）把直线参数方程cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨-+⎩为参数)，代入曲线C 的直角坐标方程2212y x +=，整理得22(1cos )2sin 10t t αα++⋅-=,设,A B 对应的参数分别为12,t t ，得1212222sin 1,1cos 1cos t t t t ααα+=-⋅=-++，因为点()0,1P 恰为线段AB 的三等分点，不妨设2AP PB = ，则122t t =，所以122t t =-，代入1212222sin 1,1cos 1cos t t t t ααα+=-⋅=-++，化简得22sin 9α=，又因为()0,απ∈，所以2sin 3α=．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知不等式2x a a -≤的解集为[]0,4．（1）求实数a 的值；（2）若0,0m n >>，且m n a +=，求1122m n m n +++的最小值．【答案】（1）4（2）13【解析】【分析】（1）分0a <，0a =，0a >三种情况讨论即可；（2）设2m n p +=，2m n q +=，则3312p q m n +=+=.利用()111111112221212q p p q m n m n p q p q p q ⎛⎫⎛⎫+=+=++=+ ⎪ ++⎝⎭⎝⎭和基本不等式即可求解.【小问1详解】当0a <时，不等式的解集为∅，不合题意；当0a =时，不等式的解集为{}0，不合题意;当0a >时，2a x a a -≤-≤，即0x a ≤≤，因为不等式的解集为[]0,4，所以4a =.【小问2详解】由(1)知，4m n +=，设2m n p +=，2m n q +=，则3312p q m n +=+=.()111111111122221212123q p p q m n m n p q p q p q ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当p q =，即2m n ==时，等号成立，所以1122m n m n +++的最小值为13.。
宁夏银川一中2014届高三数学第四次模拟考试 理 新人教A版
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学(银川一中第四次模拟考试)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知{}}222,1,2xM y y x N x y ⎧⎪===+=⎨⎪⎩则M N ⋂=A ．{(1,1),(1,1)}-B ．{1}C ．D ． [0,1]2．i 为虚数单位，则201411i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭A. iB. 1-C. i -D.13．已知D 是ABC ∆的边BC 上（不包括B 、C 点）的一动点，且满足AD AB AC αβ=+，则11αβ+的最小值为A. 3B. 5C. 6D. 44．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项 和n S =A ．2744n n + B ．2533n n + C ．2324n n + D ．2n n +5. 41(1)(1)x x++的展开式中含3x 的项的系数为A ．4B. 5C. 6 D ．76．下列四个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是,m n ，某次测试数学平均分分别是,a b ，则这两个班的数学平均分为2a b+； ②10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有b a c >>；③从总体中抽取的样本12221111(,),(,),,(,),,n nn n i i i i x y x y x y x x y y n n ====∑∑若记，则回归直线y =bx a +必过点（,x y ）；④已知ξ服从正态分布(0N ,2)σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>=. 其中正确判断的个数有：A ．3个B ．0个C ．2 个D ．1个7．在ABC ∆中，设命题BcA b C a p sin sin sin :==，命题ABC q ∆:是等边三角形，那么命题p 是命题q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是A ．(1,2] B. [2,)+∞C.D. )+∞ 9．已知锐角βα,满足：51cos sin =-ββ， 3tan tan 3tan tan =⋅++βαβα，则cos α= A．410 B ．410 C．310+ D．31010．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如:若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线px y 22=p (＞)0，弦AB 过焦点，△ABQ 为其阿基米德三角形，则△ABQ 的面积的最小值为A ．22p B ．2p C ．22p D ．24p11．假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为 A ．425 B ．825 C ．2425 D ．162512．若存在正实数M ，对于任意(1,)x ∈+∞，都有()f x M ≤，则称函数()f x 在(1,)+∞ 上是有界函数．下列函数： ①1()1f x x =-； ②2()1x f x x =+； ③ln ()xf x x=； ④()sin f x x x =. 其中“在(1,)+∞上是有界函数”的序号为A. ②③B. ①②③C. ②③④D. ③④第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．等差数列}{n a 中12014a =，前n 项和为n S ,10121210S S -2-=， 则2014S 的值为____.14. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 .15. 已知0a >,,x y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若2z x y =+的最小值为1,则a =_______16因为儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 ．参考公式: 回归直线的方程是：∧∧+=a x b yˆ， 其中 x b y a x xy y x xb ni ini i i∧∧==∧-=---=∑∑,)())((211；其中i y 是与i x 对应的回归估计值.参考数据： 18)(312=-∑=i i x x ，18))((31=--∑=i i i y y x x .三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17. （本小题满分12分）在ABC ∆中,,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，且满足sin 2A A +=. (1)求A 的大小；(2)现给出三个条件：①2a =； ②45B =︒；③c =.服务时间/小时试从中选出两个可以确定ABC ∆的条件，写出你的选择并以此为依据求ABC ∆的面积 (只需写出一个选定方案即可,选多种方案以第一种方案记分) . 18.（本小题满分12分）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示． （1）求抽取的200位学生中，参加 社区服务时间不少于90小时的学生人 数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；（2）从全市高中学生（人数很多）．．．．．．．．．．．．． 中任意选取3位学生，记ξ为3位学生 中参加社区服务时间不少于90小时的 人数．试求随机变量ξ的分布列和数学 期望E ξ和方差D ξ．19. （本小题满分12分）在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE:EB ＝CF:FA ＝CP:PB ＝1:2（如图1）.将△AEF 沿EF 折起到EF A 1∆的位置，使二面角A 1－EF －B 成直二面角，连结A 1B 、A 1P （如图2） （1）求证：A 1E⊥平面BEP ；（2）求直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小； （3）求二面角B －A 1P －F 的余弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得22OA OB OA OB +=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分12分）已知函数21()e 1x f x ax +=-+，a ∈R ．理科数学试卷 第5页(共（1）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，求a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）设32e a <，当[0,1]x ∈时，都有()f x ≥1成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲． 如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点， 且不与△ABC 的顶点重合，已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0 的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径． 23.（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线221:1C x y +=，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(2sin )6l cos ρθθ-=.（1）将曲线1C 2倍后得到曲线2C .试写出直线l 的直角坐标方程和曲线2C 的参数方程；（2）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值. 24．（本小题满分10分）选修4—5，不等式选讲 已知函数()|1|||f x x x a =-+- （1）若a=1，解不等式()2f x ≥；（2）若1,,()|1|2a x R f x x >∀∈+-≥，求实数a 的取值范围。
宁夏银川一中2013届高三第五次月考试题(数学理)
综合练习4一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N ＝( )A ．{0}B ．{0,1}C ．{－1,1}D ．{－1,0,1} 2．命题p ：0∀>x ，都有sinx ≥-1，则( )A ．p ⌝：0∃>x ，使得sin 1x <- B. p ⌝：0∀>x ，都有sinx <-1 C. p ⌝：0∃>x ，使得sin 1x >- D. p ⌝：0x ∀>，都有sinx ≥-1 3. 在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝（ ）A. 58B. 88C.143D.1764. 设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．同时具有性质①最小正周期是π；②图像关于直线3π=x 对称；③在]3,6[ππ-上是增函数的一个函数是（ ）A ．)62sin(π+=x yB ．)32cos(π+=x yC ．)62sin(π-=x yD ．cos()26x y π=-6.凸多边形各内角依次成等差数列，其中最小角为120°，公差为5°，则边数n 等于（ ）A ．16B ．9C ．16或9D ．127．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 的离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ）A ．38B ．83C ．316D ．1638. 已知函数()()31log 13xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭有两个零点12,x x ，则（ ） A.121x x < B.1212x x x x >+ C.1212x x x x <+ D.1212x x x x =+9.已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，13213a ,a ,2a 2成等差数列，则1113810a a a a +=+( )A.1-或3B.3C.27D.1或2710. 已知)(x f ，)(x g 都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：①)(x f =x a ·)(x g （1,0≠>a a ）；②)(x g 0≠； ③)()()()(x g x f x g x f ⋅'>'⋅； 若25)1()1()1()1(=--+g f g f ，则a 等于( )A ．21 B ．2 C ．45 D ．2或2111.已知数列}{n a 满足1),2(211=≥=+a n a a n n ，则下列命题正确的序号是（ ）①一定满足122a a =；②数列}{n a 一定为首项为1，公比为2的等比数列 ③nn a a a a a a a a 1453423+=⋯===④若2223,3-∙==n n a a ;⑤该数列不一定是等比数列 A 、②③ B 、③④⑤ C 、③⑤ D 、⑤12.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x -=-，且[]0,2x ∈时，()()2l o g 1f x x =+，甲，乙，丙，丁四位同学有下列结论：甲：()31f =；乙：函数()f x 在[]6,2--上是增函数；丙：函数()f x 关于直线4x =对称；丁：若()0,1m ∈，则关于x 的方程()0f x m -=在[]8,8-上所有根之和为-8，其中正确的是（ ）A.甲，乙,丁B.乙,丙C.甲,乙,丙D.甲,丁二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px （p >0）的准线相切，，则此抛物线的焦点坐标是___________。
宁夏银川一中2014届高三上学期第六次月考数学(理)试题 Word版含答案.pdf
银川一中2014届高三年级第六次月考 数 学 试 卷（理） 命题人：曹建军、西林涛 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．Ｒ是实数集，则 A． B． C． D．以上都不对 2．满足，则等于 A． B．0 C．2 D． 3．已知抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，则p的值为A.B. 1C. 2D. 4 4．函数的最小正周期为 A． B． C． D． 5. 如果执行右面的程序框图，那么输出的（ ） A．2450 B．2500 C．2550 D．2652 6．cm），可得这个几何体的体积是 A． B． C． D． 7．下面是关于公差的等差数列的四个命题:数列是递增数列 数列是递增数列 数列是递增数列 数列是递增数列 其中的真命题为A. B. C. D. 8．已知正四棱锥的各棱棱长都为，则正四棱锥的外接球的表面积为 A．B．C．D． 9．直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取 值范围是 A. B. C. D. 10．设，，在中，正数的个数是 A．25 B．50 C．75 D．100 11． 的图象如图所示，则 A. 1：6：5: (-8） B. 1：（-6）：5: (-8） C. 1：（-6）：5: 8 D. 1: 6: 5: 8 12．已知都是定义在R上的函数，，，且 ，且，．若数列的前n项和大于62，则n的最小值为A. 6B. 7C. 8D. 9 13．已知函数的则从大到小的顺序为_____________________ 14. 已知椭圆的长轴长、短轴长、焦距长成等比数列，离心率为；双曲线的实轴长、虚轴长、焦距长也成等比数列，离心率为．则_____. 15．从正方体的八个顶点中任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何体（或平面图形）的4个顶点，这些几何体（或平面图形）是（写出所有正确的结论的编号）矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体每个面都是三角形的四面体． 在直角坐标平面中，过定点的直线与圆交于A、B两点，若动点，满足，则点的轨迹方程为 三、解答题:本大题共5小题，共计70分。
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2014届高三年级第五次月考数 学 试 卷（理）命题人：张金荣、周天佐第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合)(},5,2{},3,2,1{},6,5,4,3,2,1{B C A B A U U 则====（ ） A ．{1，3}B ．{2}C ．{2，3}D ．{3}2. 设复数Z 满足i Z i 2)3(=⋅-，则|Z |=（ ） ABC ．1D ．23．设,αβ为两个不同平面，m 、 n 为两条不同的直线，且,,βα⊂⊂n m 有两个命题：P ：若m ∥n ,则α∥β；q ：若m ⊥β, 则α⊥β. 那么（ ）A ．“p 或q ”是假命题B ．“p 且q ”是真命题C ．“非p 或q ”是假命题D ．“非p 且q ”是真命题4. 在平面直角坐标系中，已知向量),3,(),1,3(21),2,1(x ==-=若c b a //)2(+，则x=( ) A ．-2B ．-4C ．-3D ．-15．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 9=-18，S 13=-52，{b n }为等比数列，且b 5 =a 5，b 7=a 7，则b 15的值为（ ） A ．64B ．128C ．-64D ．-1286．设偶函数f (x )满足f (x )=2x -4(x >0),则不等式f (x -2)>0的解集为（ ）A ．{x |x <-2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <-2或x >2}7．若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为（ ）A ．16B ．14C ．13D ．128．如图是一个几何体的三视图，正视图和侧视图 均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如 图，则该几何体的全面积为（ ） A ．2+3π+．2+2π+俯视图正视图侧视图A BDC（第15题）C ．8+5π+．6+3π+9．已知命题p ：函数2()21(0)f x ax x a =--≠在（0，1）内恰有一个零点；命题q ：函数2a y x -=在(0,)+∞上是减函数，若p 且q ⌝为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a >B ．a≤2C ． 1<a≤2D ．a≤l 或a>210．三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =1，PA，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．5πBC ．20πD ．4π11．设方程lnx =-x 与方程e x=-x (其中e 是自然对数的底数)的所有根之和为m ,则（ ）A ．m <0B. m =0C.0<m <1D.m >112. 函数()f x 对任意()()()()623,1x R f x f x f y f x ∈++==-都有的图象关于点()1,0对称，则()2013f =（ ）A.16-B.8-C.4-D.0第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知关于x, y 的二元一次不等式组24120x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则3x-y 的最大值为__________14. 曲线2x y =和曲线x y =2围成的图形面积是____________. 15. 如图, 在ABC ∆中, 45=∠B ,D 是BC 边上一点,5,7,3AD AC DC ===,则AB 的长为 .16．数列{a n }的通项为a n =(-1)nsin1,2n n π∙∙+ 前n 项和为S n , 则S 100=_________. 三、解答题:本大题共5小题，共计70分。
解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17．(本小题满分12分)已知函数f(x)=2cos sin 3cos sin 3222+--x x x x . （1）当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域；（2）若ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且满足ba= sin(2)22cos()sin A C A C A+=++，求()f B 的值.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 和1的等差中项，等差数列{}n b 满足11b a =，43b S =.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围.19．（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又点N 在线段PB 上，且 （1）求证：BD PC ⊥； （2）求证：//MN 平面PDC ; （3）求二面角A PC B --的余弦值．20. （本小题满分12分）“地沟油”严重危害了人民群众的身体健康，某企业在政府部门的支持下，进行技术攻关，新上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可以近似的表示为：3221x 80x 5 040x,x 120,144)3y ,1x 200x 80 000,x 144,500)2⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩［［且每处理一吨“食品残渣”，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将补贴.(1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损.(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？21．（本小题满分12分）已知函数23)2(2161)(x a x x g -+=，h （x ）=2alnx ，)()()(x h x g x f -'=。
（1）当a∈R 时，讨论函数()f x 的单调性．（2）是否存在实数a ，对任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都有2112()()f x f x a x x ->-恒成立，若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由。
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且,,CB CA OB OA ==⊙O 交直线OB 于E ，D ，连接CD EC ,．（1）求证：直线AB 是⊙O 的切线；（2）若,21tan =∠CED ⊙O 的半径为3，求OA 的长．23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）。
（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4,3π，判断点P 与直线l 的位置关系；（2）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求点Q 到直线l 的距离的最小值与最大值。
24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 （1）解关于x 的不等式31≤-+x x ；（2）若关于x 的不等式a x x ≤-+1有解，求实数a 的取值范围．2014届高三第四次月考数学（理）参考答案1—5.ACDDC ， 6—10.BDACA 11.B 12.D 13．5 14. 3115. 2, 16. 150 三．解答题：17．（本小题满分12分）（1）22()2(3sin cos cos )f x x x x x =-+-22cos sin cos cos222sin(2)6x x x x x x x π=-+=+=+7[0,],2[,]2666x x ππππ∈∴+∈ ，1sin(2)[,1]62x π+∈-，()[1,2]f x ∴∈- ……………6分（2）由条件得 sin(2)2sin 2sin cos()A C A A A C +=++sin cos()cos sin()2sin 2sin cos()A A C A A C A A A C +++=++化简得 sin 2sin C A =2,,c a b ∴==由余弦定理得 30,60,90A B C ︒︒︒===︒︒∴=== ……………12分 分 分所以BM AC ⊥,即BD AC ⊥ ……………1分又因为PA ABCD ⊥平面，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ⊥yx 又PA AC A = ，所以BD ⊥平面PAC 又PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥ ……………4分 （Ⅱ）在正三角形ABC 中，BM =在ACD ∆中，因为M 为AC 中点，DM AC ⊥，所以AD CD =120CDA ∠= ，所以DM =，所以:3:1BM MD = ……………6分在等腰直角三角形PAB 中，4PA AB ==，PB = 所以:3:1BN NP =，::BN NP BM MD =，所以//PD 分又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ，所以//MN 平面PDC ……………8分 （Ⅲ）因为90BAD BAC CAD ∠=∠+∠= ， 所以AB AD ⊥，分别以,AB ADAP , 为x 轴, y 轴, z 轴建立如图的空间直角坐标系，所以(4,0,0),(0,(0,0,4)3B C D P 由（Ⅱ）可知，(4,DB =- 为平面PAC 的法向量4)PC =- ，(4,0,4)PB =-设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z = , 则0nPC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即240440x z x z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩， 令3,z =则平面PBC 的一个法向量为n = (11)分设二面角A PC B --的大小为θ， 则cos 7n DB n DBθ⋅==⋅所以二面角A PC B --余弦值为7 ……………12分20．（本小题满分12分）(1)当x∈[200,300]时，设该项目获利为S ，则S ＝200x －(12x 2－200x ＋80 000)＝－12x 2＋400x －80 000＝－12(x －400)2，所以当x∈[200,300]时，S<0.因此，该项目不会获利.当x ＝300时，S 取得最大值－5 000，∴政府每月至少需要补贴5 000元才能使该项目不亏损. ……………6分(2)由题意可知，食品残渣的每吨平均处理成本为：21x 80x 5 040,x 120,144)y 3.1x x 80 000x 200,x 144,500)2⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩［［ ①当x∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5 040＝13(x －120)2＋240，∴当x ＝120时，y x取得最小值240；②当x∈[144,500)时，y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x·80 000x－200＝200.当且仅当12x ＝80 000x ，即x ＝400时，yx取得最小值200.∵200<240，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低。