2020-2021学年宁夏银川一中高一(上)期末数学试卷 (解析版)

2020-2021学年宁夏银川一中高一（上）期末数学试卷一、单选题（共12小题）.1．直线x+y+1＝0的倾斜角的大小为（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．在空间中，下列结论正确的是（）A．三角形确定一个平面B．四边形确定一个平面C．一个点和一条直线确定一个平面D．两条直线确定一个平面3．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（4，2），则f（16）＝（）A．2B．4C．2或﹣2D．4或﹣44．若直线l1：2x+ay+1＝0与直线l2：x﹣2y+2＝0平行，则a＝（）A．1B．﹣1C．4D．﹣45．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论一定正确的是（）A．若m⊂α，m⊥n，则n⊥αB．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βC．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m⊥n D．若m∥α，n⊥β，α∥β，则m⊥n6．几何体的三视图（单位：m）如图所示，则此几何体的体积（）A．m3B．m3C．6πm3D．12πm37．函数f（x）＝lnx+x﹣4的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）8．直线x﹣2y+1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（）A．x+2y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x+y﹣3＝0D．x+2y﹣3＝09．直线x+y＝0被圆x2+y2﹣6x+2y+4＝0截得的弦长等于（）A．4B．2C．D．10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥平面CB1D1C．异面直线CB1与BD所成角为60°D．三棱锥D﹣CB1D1体积为11．点P是直线2x+y+10＝0上的动点，直线PA，PB分别与圆x2+y2＝4相切于A，B两点，则四边形PAOB（O为坐标原点）的面积的最小值等于（）A．8B．4C．24D．1612．已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣3f（x）+a＝0（a∈R）有8个不等的实数根，则a的取值范围是（）A．B．C．（1，2）D．二、填空题（共4小题）.13．x2+y2＝4与圆（x﹣a）2+y2＝1（a＞0）相内切，则a＝．14．若球的表面积为8π，有一平面与球心的距离为1，则球被该平面截得的圆的面积为．15．函数f（x）＝2x|log0.5x|﹣1的零点个数为．16．如图，已知四棱锥S﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AD＝DC＝BC＝1，AB＝SA ＝2，且SA⊥平面ABCD，则四棱锥S﹣ABCD外接球的体积为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC中，A（2，2），B（﹣4，0），C（3，﹣1）．（1）求直线BC的方程；（2）求BC边上的高所在的直线方程．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，底面ABC是直角三角形，PA＝AB＝BC ＝4，O是棱AC的中点，G是△AOB的重心，D是PA的中点．（1）求证：BC⊥平面PAB；（2）求证：DG∥平面PBC；（3）求二面角A﹣PC﹣B的大小．19．2020年初的疫情危害人民生命健康的同时也严重阻碍了经济的发展，英雄的中国人民率先战胜了疫情，重启了经济引擎．今年夏天武汉某大学毕业生创建了一个生产电子仪器的小公司．该公司生产一种电子仪器每月的固定成本为20000元（如房租、水电等成本），每生产一台仪器需增加投入80元，已知每月生产x台的总收益满足函数，其中x是仪器的月产量．（1）将月利润f（x）表示为月产量的x的函数．（总收益＝总成本+利润）（2）当月产量为何值时，公司每月所获得利润最大？最大利润为多少元？20．在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝2，过A点作CD的垂线交CD的延长线于点E，．连结EB交AD于点F，如图1，将△ADE沿AD折起，使得点E到达点P的位置．如图2．（1）证明：AD⊥BP；（2）若G为PB的中点，H为CD的中点，且平面ADP⊥平面ABCD，求三棱锥C﹣BHG 的体积．21．如图，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，侧棱AA1⊥底面ABCD，过AB的截面与上底面交于PQ，且点P在棱A1D1上，点Q在棱C1B1上，且AB＝1，AC ＝，BC＝2．（1）求证：PQ∥A1B1；（2）若二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值为，求侧棱BB1的长．22．圆C：x2﹣（1+a）x+y2﹣ay+a＝0．（1）若圆C与y轴相切，求圆C的方程；（2）已知a＞1，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M任作一条与x轴不重合的直线与圆O：x2+y2＝9相交于两点A，B．是否存在实数a，使得∠ANM ＝∠BNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题（共12小题）.1．直线x+y+1＝0的倾斜角的大小为（）A．30°B．60°C．120°D．150°解：∵直线x+y+1＝0的斜率k＝﹣，故倾斜角的大小为．故选：C．2．在空间中，下列结论正确的是（）A．三角形确定一个平面B．四边形确定一个平面C．一个点和一条直线确定一个平面D．两条直线确定一个平面解：对于选项A：三角形的三角不共线，所以不共线的三点确定的平面有且只有一个，故正确．对于选项B：四边形假设为空间四边形，确定的平面可能有四个，故错误．对于选项C：只有当点不在直线上时，才能确定一个平面，故错误．对于选项D：两条直线平行或相交时，确定的平面有且只有一个，故错误．故选：A．3．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（4，2），则f（16）＝（）A．2B．4C．2或﹣2D．4或﹣4解：设幂函数y＝f（x）＝xα，由函数图象过点（4，2），所以4α＝2，解得α＝，所以f（x）＝，所以f（16）＝＝＝4．故选：B．4．若直线l1：2x+ay+1＝0与直线l2：x﹣2y+2＝0平行，则a＝（）A．1B．﹣1C．4D．﹣4解：∵直线l1：2x+ay+1＝0与直线l2：x﹣2y+2＝0平行，∴1×a+2×2＝0，即a＝﹣4．此时两直线不重合．故选：D．5．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论一定正确的是（）A．若m⊂α，m⊥n，则n⊥αB．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βC．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m⊥n D．若m∥α，n⊥β，α∥β，则m⊥n解：对于A，由m⊂α，m⊥n，推不出n⊥α，可能有n⊂α，m⊥n情况，所以A错；对于B，由α⊥β，m⊂α，推不出m⊥β，可能有m⊂α，m∥β情况，所以B错；对于C，由m⊥α，n⊥β，α∥β⇒m∥n，推不出m⊥n，对于C错；对于D，因为n⊥β，α∥β⇒n⊥α，m∥α，n⊥α⇒m⊥n，所以D对；故选：D．6．几何体的三视图（单位：m）如图所示，则此几何体的体积（）A．m3B．m3C．6πm3D．12πm3解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由一个底面半径为2，高为2的圆锥和一个底面半径为1，高为4的圆柱组成．故V＝＝m3．故选：A．7．函数f（x）＝lnx+x﹣4的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）解：函数f（x）＝lnx+x﹣4是连续的增函数，∵f（2）＝ln2﹣2＜0，f（3）＝ln3﹣1＞0，∴函数的零点所在的区间为（2，3），故选：B．8．直线x﹣2y+1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（）A．x+2y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x+y﹣3＝0D．x+2y﹣3＝0解：解法一（利用相关点法）设所求直线上任一点（x，y），则它关于x＝1对称点为（2﹣x，y）在直线x﹣2y+1＝0上，∴2﹣x﹣2y+1＝0化简得x+2y﹣3＝0故选答案D．解法二：根据直线x﹣2y+1＝0关于直线x＝1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D，再根据两直线交点为（1，1）选答案D故选：D．9．直线x+y＝0被圆x2+y2﹣6x+2y+4＝0截得的弦长等于（）A．4B．2C．D．解：根据题意，圆x2+y2﹣6x+2y+4＝0即（x﹣3）2+（y+1）2＝6，其圆心为（3，﹣1），半径r＝，圆心到直线x+y＝0的距离d＝＝，则直线x+y＝0被圆x2+y2﹣6x+2y+4＝0截得的弦长l＝2×＝4，故选：A．10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥平面CB1D1C．异面直线CB1与BD所成角为60°D．三棱锥D﹣CB1D1体积为解：作辅助线如图；对于A，BD∥B1D1，B1D1⊂平面CB1D1⇒BD∥平面CB1D1，所以A对；对于B，B1D1⊥A1C1⇒B1D1⊥AA1⇒B1D1⊥平面AA1C⇒B1D1⊥AC1，同理B1C⊥AC1⇒AC1⊥平面CB1D1，所以B对；对于C，BD∥B1D1，△CB1D1为等边三角形，∠B1D1C＝60°，所以CB1与BD所成角为60°，所以C对；对于D，三棱锥D﹣CB1D1体积与三棱锥B1﹣CDD1体积相等，V＝•＝≠，所以D错．故选：D．11．点P是直线2x+y+10＝0上的动点，直线PA，PB分别与圆x2+y2＝4相切于A，B两点，则四边形PAOB（O为坐标原点）的面积的最小值等于（）A．8B．4C．24D．16解：由圆x2+y2＝4，得到圆心（0，0），半径r＝2由题意可得：PA＝PB，PA⊥OA，PB⊥OB，∴S PAOB＝2S△PAO＝PA•AO＝2PA，在Rt△PAO中，由勾股定理可得：PA2＝PO2﹣r2＝PO2﹣4，当PO最小时，PA最小，此时所求的面积也最小，点P是直线l：2x+y+10＝0上的动点，当PO⊥l时，PO有最小值d＝＝2，此时PA＝4，∴所求四边形PAOB的面积的最小值为8．故选：A．12．已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣3f（x）+a＝0（a∈R）有8个不等的实数根，则a的取值范围是（）A．B．C．（1，2）D．解：函数，的图象如图：关于x的方程f2（x）﹣3f（x）+a＝0（a∈R）有8个不等的实数根，f（x）必须有两个不相等的实数根，由函数f（x）图象可知f（x）∈（1，2）．令t＝f（x），方程f2（x）﹣3f（x）+a＝0化为：a＝﹣t2+3t，t∈（1，2），a＝﹣t2+3t，开口向下，对称轴为：t＝，可知：a的最大值为：﹣（）2+3×＝，a的最小值为：2．a∈（2，）．故选：D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．x2+y2＝4与圆（x﹣a）2+y2＝1（a＞0）相内切，则a＝1．解：根据题意，x2+y2＝4的圆心为（0，0），半径r＝2，圆（x﹣a）2+y2＝1的圆心为（a，0），半径R＝1，两圆的圆心距d＝|a﹣1|，若两圆内切，有|a﹣1|＝1，解可得a＝0或a＝1，又由a＞0，则a＝1，故答案为：1．14．若球的表面积为8π，有一平面与球心的距离为1，则球被该平面截得的圆的面积为π．解：∵球的表面积为8π，∴球的半径R＝，又由球心O到这个截面的距离d＝1故球半径R＝，所以r＝1，故该球圆的表面积S＝πr2＝π．故答案为：π．15．函数f（x）＝2x|log0.5x|﹣1的零点个数为2．解：函数f（x）＝2x|log0.5x|﹣1的零点个数，即方程2x|log0.5x|﹣1＝0根个数，即方程|log0.5x|＝（）x根个数，即函数y＝|log0.5x|与y＝（）x图象交点的个数，在同一坐标系中画出函数y＝|log0.5x|与y＝（）x图象，如下图所示：由图可得：函数y＝|log0.5x|与y＝（）x图象有2个交点，故函数f（x）＝2x|log0.5x|﹣1的零点有2个，故答案为：216．如图，已知四棱锥S﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AD＝DC＝BC＝1，AB＝SA ＝2，且SA⊥平面ABCD，则四棱锥S﹣ABCD外接球的体积为．解：过点A，B，C，D作球O的截面如图，设AB的中点为O1，连接O1C，O1D，则CD∥O1A，且CD＝O1A，∴四边形ADCO1是平行四边形，得O1C＝1，同理O1D＝1，∴O1A＝O1B＝O1C＝O1D，则O1是到等腰梯形ABCD的各个顶点距离都相等的点，过点S，A，B作球O的截面，如图，设BS的中点为O，连接O1O，OA，则O1O∥SA，∴O1O⊥平面ABCD，∴OA＝OB＝OC＝OD，又SA⊥AB，∴OA＝OS，得点O是四棱锥S﹣ABCD外接球的球心，在Rt△SAB中，AB＝SA＝2，∴OA＝BS＝，∴V球＝＝．故答案为：．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC中，A（2，2），B（﹣4，0），C（3，﹣1）．（1）求直线BC的方程；（2）求BC边上的高所在的直线方程．解：（1）∵B（﹣4，0），C（3，﹣1），∴，∴直线BC的方程为，即x+7y+4＝0．（2）设BC边上的高所在的直线为AD，则k AD＝7，∴AD的直线方程为y﹣2＝7（x﹣2），即BC边上的高所在的直线方程为：7x﹣y﹣12＝0．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，底面ABC是直角三角形，PA＝AB＝BC ＝4，O是棱AC的中点，G是△AOB的重心，D是PA的中点．（1）求证：BC⊥平面PAB；（2）求证：DG∥平面PBC；（3）求二面角A﹣PC﹣B的大小．【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵底面ABC是直角三角形，AB＝BC，∴BC⊥AB，∵PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB；…（2）证明：连结OG并延长交AB于点E，连结DO，DE∵G是△AOB的重心，∴OE为AB边上的中线，∴E为AB边上的中点，又有D为PA边上的中点，∴DE∥PB，同理可得DO∥PC，且DE∩DO＝D，∴平面DOE∥平面PBC，又有DG⊂平面DOE，∴DG∥平面PBC…（3）解：过点O作OQ∥PC于点Q，连结BQ，∵AB＝BC且O是棱AC的中点，∴BO⊥AC．∵PA⊥平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC．又有平面PAC∩平面ABC＝AC，且BO⊂平面ABC，∴BO⊥平面PAC，又有OQ⊥PC，∴由三垂线定理得BQ⊥PC，∴∠OQB为二面角A﹣PC﹣B的平面角．…由已知得OB＝OC＝2，PC＝＝4，∵△PAC∽△OQC，∴，∴OQ＝，∴tan∠OQB＝，∴∠OQB＝60°，即二面角A﹣PC﹣B的大小为60°．…19．2020年初的疫情危害人民生命健康的同时也严重阻碍了经济的发展，英雄的中国人民率先战胜了疫情，重启了经济引擎．今年夏天武汉某大学毕业生创建了一个生产电子仪器的小公司．该公司生产一种电子仪器每月的固定成本为20000元（如房租、水电等成本），每生产一台仪器需增加投入80元，已知每月生产x台的总收益满足函数，其中x是仪器的月产量．（1）将月利润f（x）表示为月产量的x的函数．（总收益＝总成本+利润）（2）当月产量为何值时，公司每月所获得利润最大？最大利润为多少元？解：（1）月产量为x台，则总成本为20000+80x，那么f（x）＝R（x）﹣（20000+80x）＝，整理得；（2）当0≤x≤500时，，∴当x＝400时，f（x）最大值为60000；当x＞500时，f（x）是减函数，且f（x）＜95000﹣80×500＝55000，∴当x＝400时，函数的最大值为60000，即当月产量为400台时，所获得利润最大，最大利润为60000元．20．在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝2，过A点作CD的垂线交CD的延长线于点E，．连结EB交AD于点F，如图1，将△ADE沿AD折起，使得点E到达点P的位置．如图2．（1）证明：AD⊥BP；（2）若G为PB的中点，H为CD的中点，且平面ADP⊥平面ABCD，求三棱锥C﹣BHG 的体积．【解答】（1）证明：如图1，在Rt△BAE中，AB＝3，，所以∠AEB＝60°．所以∵△ADE也是直角三角形，∴，∴，∵∠AED＝∠EAB＝90°，∴△AEB∽△DEA，∴∠EAD＝∠ABE，∴∠DAB+∠ABE＝∠DAB+∠EAD＝90°，∴BE⊥AD，如图2，PF⊥AD，BF⊥AD，PF∩BF＝F，PF⊂平面BFP，BF⊂平面BFP，∴AD⊥平面BFP，又BP⊂平面BFP，∴AD⊥BP．（2）解：∵平面ADP⊥平面ABCD，且平面ADP∩平面ABCD＝AD，PF⊂平面ADP，PF⊥AD，∴PF⊥平面ABCD，∵G为PB的中点，∴三棱锥G﹣BCH的高等于，∵H为CD的中点，∴△BCH的面积是四边形ABCD的面积的，∴三棱锥G﹣BCH的体积是四棱锥P﹣ABCD的体积的．∴，∴三棱锥G﹣BCH的体积为．21．如图，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，侧棱AA1⊥底面ABCD，过AB的截面与上底面交于PQ，且点P在棱A1D1上，点Q在棱C1B1上，且AB＝1，AC ＝，BC＝2．（1）求证：PQ∥A1B1；（2）若二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值为，求侧棱BB1的长．【解答】（1）证明：由棱柱的性质知，AB∥A1B1，∵AB⊂平面ABQP，A1B1⊄平面ABQP，∴A1B1∥平面ABQP，又A1B1⊂平面A1B1QP，平面ABQP∩平面A1B1QP＝PQ，∴PQ∥A1B1．（2）解：∵在底面ABCD中，AB＝1，AC＝，BC＝2，∴AB2+AC2＝BC2，∴AB⊥AC，∵侧棱AA1⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AA1⊥AC，又AA1∩AB＝A，AA1，AB⊂平面ABB1A1，∴AC⊥平面ABB1A1，∵平面ABB1A1∥平面C1CD，∴AC⊥平面C1CD，过点C作CM⊥C1D于M，连接AM，则∠AMC是二面角A﹣C1D﹣C的平面角，∵二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值为，∴cos∠AMC＝，∴tan∠AMC＝＝＝，∴CM＝，∵＝CM•C1D＝CC1•CD，∴×＝CC1•1，解得CC1＝2，故侧棱BB1的长为2．22．圆C：x2﹣（1+a）x+y2﹣ay+a＝0．（1）若圆C与y轴相切，求圆C的方程；（2）已知a＞1，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M任作一条与x轴不重合的直线与圆O：x2+y2＝9相交于两点A，B．是否存在实数a，使得∠ANM ＝∠BNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．解：（1）由圆C与y轴相切，可知圆心的横坐标的绝对值与半径与相等，故先将圆C的方程化成标准方程为：，∵2a2﹣2a+1＞0恒成立，∴，求得a＝0或a＝4，即可得到所求圆C的方程为：x2﹣x+y2＝0或x2+y2﹣5x﹣4y+4＝0；（2）令y＝0，得x2﹣1（1+a）x+a＝0，即（x﹣1）（x﹣a）＝0∴M（1，0），N（a，0）．假设存在实数a，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），代入x2+y2＝9得，（1+k2）x2﹣2k2x+k2﹣9＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2）从而，，∵∠ANM＝∠BNM，∴，∵，而（x1﹣1）（x2﹣a）+（x2﹣1）（x1﹣a）＝2x1x2﹣（a+1）（x1+x2）+2a ＝，即，得a＝9；当直线AB与x轴垂直时，也成立．故存在a＝9，使得∠ANM＝∠BNM．。