竞赛均值不等式专题讲解
竞赛均值不等式专题讲解
均值不等式专题讲解一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
. 二、用均值不等式求最值利用均值不等式求最值的记忆口诀为：“一正二定三相等”，三者缺一不可： 一 正：利用均值不等式解题要先保证各式都是正数； 二 定：求和的 积要固定，求积的 和要固定； 三相等：只有在各式都相等的前提下，和与积才能取到最值。
例1：下列命题中正确的是【 】A 、x x 1+的最小值为2； B 、xx -+22的最小值为2； C 、baa b +的最小值为2；D 、θθcot tan +的最小值为2。
点评：各式都是正数是利用均值不等式解题的前提，缺少这个条件足以致命。
例2：你能指出下列推导过程错在哪里吗？⑴若0>x ，则221213xx x x x ++=+≥33223123⋅=⋅⋅⋅x x x ；⑵若⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx ，则x x x x sin 2sin sin 2sin 2+=+≥22sin 2sin 2=⋅x x ； ⑶若R x ∈，则()41441441)4(45222222222+++=+++=+++=++x x x x x x x x ≥2。
均值不等式专题附带解析
12．已知正实数x，y满足 ，则 的最小值为______．
13．若 ， ， ，则 的最小值为______．
14．若 ，则 的最小值为________.
15．已知a，b都是正数，满足 ，则 的最小值为______．
16．已知 ， 且 ，则 的最小值为______．
17．已知点 在圆 上运动，则 的最小值为___________．
18．若函数 的单调递增区间为 ，则 的最小值为____．
19．已知正实数 ， 满足 ，则 的最大值为______.
20．已知 ， ，则 的最小值为____．
参考答案
1．
【解析】
【分析】
根据对数相等得到 ，利用基本不等式求解 的最小值得到所求结果.
【详解】
则 ，即
由题意知 ，则 ，
则
当且仅当 ，即 时取等号
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
3．4.
【解析】
【分析】
直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当且仅当 ， 时取等号，
故答案为：4.
【点睛】
本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
均值不等式专题
一、填空题
1．若 则 的最小值是__________．
2．若 ,且 则 的最大值为______________.
3．已知 ，且 ，则 的最小值为______．
4．已知正数 满足 ，则 的最小值是_______.
初中数学竞赛专题1-均值不等式的应用
初中数学竞赛专题1均值不等式的应用基础概念1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 例题解析【例1】求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x）≤－2x ·1x =－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）【例2】求函数2y =的值域。
(2)t t =≥，则2y =1(2)t t t ==+≥ 因10,1t t t >⋅=，但1t t=解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。
因为1y t t=+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52y ≥。
三元齐次不等式问题的数学竞赛讲义——均值不等式与柯西不等式应用拓广 学生版
三元齐次不等式问题的解答讲义-均值不等式与柯西不等式应用拓广众所周知，三元齐次不等式是一类基本型不等式问题，证明所需技巧性简单，本文通过几个例题梳理证明的一般步骤：通常只要展开分析，考察展开式，能否首先使用均值不等式，均值不等式的元可以任意，其次考虑应用柯西不等式，能否配方，能否使用同一类型的3-u -v 法证明。
一、基本三元齐次不等式问题1原始问题：已知a ，b ，c >0，求证：a 2b 2+b 2c 2+c 2a2≥a b +b c +c a .2问题的加强1：已知a ，b ，c >0，求证：a 2b 2+b 2c 2+c 2a2≥a b +b c +c a +3a -b 2+b -c 2+c -a 2ab +bc +ca .3问题的加强2：已知a ，b ，c >0，求证：a 2b +b 2c +c 2a ≥a +b +c +2a -b 2+b -c 2+c -a 2a +b +c.根据上述两个题，增加字母次数，变形改编一题，1加强变形题1：已知a，b，c>0，求证：a(a2−b2)b +b(b2−c2)c+c(c2−a2)a≥3(a−b)4+(b−c)4+c−a4a2+b2+c2.舍掉一部分元素，使得题目条件难度加大，改编题目，2加强变形题2：问题[2023-06-2500:00]：已知a，b，c>0，，求证：a(a2−b2)b +b(b2−c2)c+c(c2−a2)a≥4c−a4a2+b2+c2.二、复杂一点的三元齐次不等式问题：这类问题看能否使用均值不等式，凑一组不等式问题，使用均值不等式，若使用过程出现困难，则展开证明.1问题1：已知a，b，c>0，求证：b+c4a+b+c+c+a4b+c+a+a+b4c+a+b≥3.2问题2：已知a，b，c>0，求证：a2(b+c)4a+b+c +b2(c+a)4b+c+a+c2(a+b)4c+a+b≥29bc+ca+ab.3问题3：已知a，b，c>0，求证：b(b+c)c(4a+b+c)+c(c+a)a(4b+c+a)+a(a+b)b(4c+a+b)≥13.4问题4：已知a，b，c>0，求证：a(b+c)b(4a+b+c)+b(c+a)c(4b+c+a)+c(a+b)a(4c+a+b)≥13.5问题5是多元均值不等式的应用问题.再看一个题8次不等式的展开证明：已知a，b，c≥0，β∈0，31，求证：cyc [(b4+c4)(3b+c)(b+3c)(b2+c2-2a2)]≥42cyc a2⋅cyca2-c2+βcycc-a 2⋅cycc-a 2.三、思考问题：6①已知a ，b ，c >0，求证：2cyc a 4 cyc a 3(a +b ) 5a −c (4a +3b −7c )−20cyc a 2b 3(a −c )≥cyc bc (a −b )8 +cyc (c −a )2⋅ cyc(b −c )2(c −a )2 .7②已知a ，b ，c >0，求证：a 2+b 2+c 2≥a b 2−bc +c 2+b c 2−ca +a 2+c a 2−ab +b 2≥ab +bc +ca .。
均值不等式知识点
均值不等式知识点均值不等式是数学中的一种基本不等式，它可以用来描述一组数的平均值与它们的不等关系。
通过均值不等式，我们可以得到很多有用的结论和推论，应用于不同的数学问题中。
让我们来看一个简单的例子。
假设有两个正数a和b，我们可以用算术平均值和几何平均值来表示它们，即(a+b)/2和√(ab)。
根据均值不等式的原理，我们知道算术平均值大于等于几何平均值，即(a+b)/2 ≥ √(ab)。
这可以用来证明许多不等式，比如当a和b为正数时，有a+b ≥ 2√(ab)。
除了上述的算术平均值和几何平均值之外，还有其他形式的均值不等式。
例如，对于一组正数x1，x2，...，xn，我们可以定义它们的调和平均值为n/(1/x1+1/x2+...+1/xn)。
根据均值不等式，我们知道调和平均值小于等于几何平均值，即n/(1/x1+1/x2+...+1/xn) ≤ √(x1x2...xn)。
这个不等式在概率论和统计学中有重要的应用。
除了正数之外，均值不等式也适用于其他类型的数，比如实数和复数。
对于实数，均值不等式可以用来证明很多有趣的结果，比如当a和b为实数时，有|a+b| ≤ |a|+|b|。
对于复数，均值不等式可以用来证明柯西不等式，它是线性代数中的一个重要结果。
除了上述的应用，均值不等式还可以用来证明其他数学问题的解，比如最优化问题和不等式证明。
在最优化问题中，我们可以通过均值不等式来找到一个函数的最大值或最小值。
在不等式证明中，我们可以通过均值不等式来证明两个数的大小关系或不等式的成立。
均值不等式是数学中的一个重要概念，它有着广泛的应用和重要的理论意义。
通过均值不等式，我们可以得到很多有用的结果和推论，帮助我们解决各种数学问题。
在实际应用中，我们可以利用均值不等式来优化函数的性质，证明不等式的成立，以及推导其他数学公式和结论。
通过深入学习和理解均值不等式的原理和应用，我们可以提高数学问题的解决能力，并在数学领域取得更好的成绩。
高中数学竞赛讲义(九)不等式
高中数学竞赛讲义（九）──不等式一、基础知识不等式的基本性质：（1）a>b a-b>0；（2）a>b, b>c a>c；（3）a>b a+c>b+c；（4）a>b, c>0ac>bc；（5）a>b, c<0ac<bc; （6）a>b>0, c>d>0ac>bd;（7）a>b>0, n∈N+a n>b n; （8）a>b>0, n∈N+;（9）a>0, |x|<a-a<x<a, |x|>a x>a或x<-a;（10）a, b∈R，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;（11）a, b∈R，则(a-b)2≥0a2+b2≥2ab;（12）x, y, z∈R+，则x+y≥2, x+y+z前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。
（6）因为a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd，所以ac>bd；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若，由性质（7）得，即a≤b，与a>b矛盾，所以假设不成立，所以；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-2≥0，所以x+y≥，当且仅当x=y时，等号成立，再证另一不等式，令，因为x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0，所以a3+b3+c3≥3abc，即x+y+z≥，等号当且仅当x=y=z 时成立。
含参数均值不等式在数学竞赛中的应用
解： 引进正的待定常数 Ａ， Ｂ得 ： ｄ － ２ ｘ ｙ＋
ｙ ： Ａ ． １
１
ｙ ・ ≤
或 Ａ ：一３一￣ ／ 厂 两（ 舍去） 即 ＋Ｙ ＋２ ≥
（一 ３ ＋ ｅ ｑ ３） （ ３ ￣ ｙ ＋ ｙ ｚ ＋ ｚ ） ，
●
－
） ， ＋
３＋
＿ －＿ — —— — —— — ＿—
Ｓ１ ｎ ａ ＣＯＳ
＋ － ｌ ， 设 去 测２ “１ ５ ｔ ３ — Ｂｚ ｅ ￣ ｓ ２ ａ ＋Ａ ｃ ｏ ｓ ２ ａ＋ Ｂ ｓ ｉ ｎ ２ ａ＋—
２ ：０ ， 而２ ｔ ＋ １ ５ ｔ 一２＝ ２ ｔ 一 ｔ ＋ １ ６ ｔ 一
一
２： ｔ （ ２ ｔ 一１ ） ＋２ （ ２ ｔ 一１ ） （ ４ ｔ ＋２ ｔ ＋１ ）：
评注： 此 法是 通 过 引入 待 定 的正 常 数 运 用含参 的均 值不 等式 ， 求得 函数 的最 小值 ． 虽 然解 法繁 琐 ， 技巧性强 ， 方 法 较难 想 到 ． 但 此 法 是解决 这类 问题 的通 法 ． 所谓 此题 的简解 ， 实际上 是 这 个 问题 解 后 反思 的结 果 ， 是 已经 知道 问题 最 小 值 为 ６ ８ ， 且 ｓ ｉ ｎ ａ＝ ， ｃ 。 ｓ ａ
√ 警， Ａ 。 ｓ ： Ｂ ｓ ｉ ｎ 同 时 成 立 ， 消 去 ４ ，
可 得ｔ ｎ ： ， ： 詈 ， 此 时Ａ＝ ４ ， Ｂ ＝
４ ， 从而可 得 ｙ ＝８ ． 评注 ： 例 ２的方 法具 有一 般性 ， 对求 三角
２ ， ， ｚ＋２ ｚ ＝３ （ ＋ｙ ） ＋２ （ ＋ｙ ） ｚ＋６ ｚ
『 ＿ 斗 ２ ４ ２ ￣ ＝ ｓ ｉ ｎ ２
《 【 ： ２
均值不等式知识点讲解及模拟题
第三节：基本不等式1、 基本不等式：（1）如果a 、b 是正数，那么（当且仅当a=b 时取“=”）（2）对基本不等式的理解：a ＞0，b ＞0，a,b 的算术平均数是a+b/2，几何平均数是_________.叙述为：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数 2、 基本不等式的推广：注意：用基本不等式求最值的要点是：一正 、二定 、三相等 三个正数的均值不等式： n 个正数的均值不等式： 3、四种均值的关系两个正数a 、b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是： 4. 最值定理 设x ＞0,y ＞0,由x+y ≥ （1）若积xy=P(定值），则和x+y 有最小值 ；（2）若和x+y=S(定值），则积xy 有最大值 即:积定和最小，和定积最大. （不等式的证明）例1、证明基本不等式（跟踪训练） 2a b+≥ab).(22,R ,)4().(2,R ,)3().(2R,,)2()"",00(,0R,)1(222222等号时取当且仅当则若时取等号当且仅当则若时取等号当且仅当则若取时当且仅当则若b a b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a b a a a a a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+∈=≥+∈=≥+∈==≥≥∈++.2211222b a b a ab ba +≤+≤≤+xy2P 222⎪⎭⎫ ⎝⎛S .33abc c b a ≥++.....n....2121n n n a a a a a a ≥+++2a b +≥,,: 2.ba ab ab+≥已知都是正数求证例2、（跟踪训练）例3、若x ＞0,y ＞0,x+y=1. 求证:（跟踪训练）若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证： （利用基本不等式求最值） 例3、（跟踪训练1）（跟踪训练2）若x 、y ∈,则x+4y=1,求x .y 的最大值 例4、若正数a,b 满足求a+b 的最小值（跟踪训练1）若正实数x,y 满足xy=2x+y+6,求xy 的最小值。
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均值不等式专题讲解
一、几个重要的均值不等式
①，、)(2
22
22
2
R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，
、)(222
+
∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3
33
333
3
3
+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；
④)(333
3+
∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.
注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；
② 熟悉一个重要的不等式链：b
a 112
+2a b
+≤≤≤
2
2
2b a +。
. 二、用均值不等式求最值
利用均值不等式求最值的记忆口诀为：“一正二定三相等”，三者缺一不可： 一 正：利用均值不等式解题要先保证各式都是正数； 二 定：求和的 积要固定，求积的 和要固定； 三相等：只有在各式都相等的前提下，和与积才能取到最值。
例1：下列命题中正确的是【 】
A 、x x 1
+
的最小值为2； B 、x
x -+22的最小值为2； C 、b
a
a b +的最小值为2；
D 、θθcot tan +的最小值为2。
点评：各式都是正数是利用均值不等式解题的前提，缺少这个条件足以致命。
例2：你能指出下列推导过程错在哪里吗？
⑴若0>x ，则221213x
x x x x ++=+≥33223123⋅=⋅⋅⋅x x x ；
⑵若⎪⎭
⎫
⎝⎛∈2,0πx ，则x x x x sin 2sin sin 2sin 2+=+≥22sin 2sin 2=⋅x x ； ⑶若R x ∈，则
(
)
4
144
144
1)4(4
52
22
2
2
2
2
2
2
++
+=
+++=
+++=
++x x x x x x x x ≥2。
点评：只有在各式都相等的前提下，均值不等式才有可能取等号，实践中要注意验证。
例3：⑴已知1>a ，则1
1
1-++a a 的最小值是 。
⑵函数)38()(x x x f -=)30(<<x 的最大值是 。
⑶函数x x y cos sin 2
⋅=(2
0π<
<x )的值域是 。
⑷若a 、b 为正数，且12
2
2
=+b a ，则21b a +的最大值 。
点评：本例应采用拼凑的思想解答，主要包括：先加再减、先乘再除、先平方再开方。
例4：⑴若R m ∈，则1
22
2++m m 的最小值是 。
⑵函数3
22
)(--=
x x x f )2(>x 的最小值是 。
⑶函数1
10
92)(2+++=x x x x f )1(->x 的最小值是 。
⑷设a 、b 均为正常数，函数x
b x a x x f )
)(()(++=)0(>x 的最小值是 。
点评：本例应采用拆分的思想解答，把函数式拆成两项或两项以上，问题就会明朗起来。
例5：⑴已知0>x ，0>y ，且
19
1=+y
x ，则y x +的最小值为 。
⑵若+
∈R b a ,且3=+b a 1b +的最大值为 。
⑶已知0>a ，0>b ，1=+b a ，则⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫
⎝⎛-111122b a 的最小值为 。
点评：把已知条件和所求式子结合在一起，先进行彻底地变形，方能用上均值不等式。
例6：⑴已知45<
x ，则函数5
41
24)(-+-=x x x f 的最大值为 。
⑵函数)
1(22
22-+-=x x x y )11(<≤-x 的最大值为 。
⑶若1>a ，10<<b ，则a b b a log log +的取值范围是 。
⑷函数x
x x f 4
)(+
=的最大值为 。
点评：如果各式都是负数，必须先全部转化成正数，然后再把负号处理掉。
例7：⑴已知0>x ，则函数2
1
3x x y +
=的最小值 。
⑵若0>x ，则x x 122
+的最小值为 ，2
21x x +的最小值为 。
⑶若10<<x ，则)1(2
x x -的最大值为 ，)1(2
x x -的最大值为 。
点评：新教材只保留两个正数的均值不等式，但有一些题目两个正数的均值不等式是解决不了的，这时我们可以将两个正数拆成三个正数，切记：往往遵循对半拆的原则。
例8：⑴函数4
5)(2
2++=
x x x f )(R x ∈的最小值为 。
⑵已知32
2
=+y x ，12
2=+n m ，则ny mx +的最大值为 。
点评：均值不等式并不是万能的上帝，其实求最值的办法还有很多，你知道多少呢？
例9：已知正数x 、y 满足12=+y x ，求
y
x 1
1+的最小值。
错解：∵0>x ，0>y ， ∴y x 2+≥xy y x ⋅=⋅2222，∵12=+y x ， ∴1≥xy ⋅22xy 1⇒≥22，∴y x 11+≥xy
xy 1
212⋅=≥24，∴y x 11+的最小值
为24。
点评：因为均值不等式要求比较苛刻，所以多次使用均值不等式常常会引起错误。
巩固练习：
1、已知：b n m a y x =+=+2
2
2
2
,且b a ≠，则ny mx +的最大值为【 】
(A)ab (B)2b a + (C)2
2
2b a + (D)222b a +
2、若+
∈R y x a ,,，且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是【 】
(A)22 (B)2 (C)2 (D)1 3、已知下列不等式：
①)(233
+
∈>+R x x x ；②),(3
2
2
3
5
5
+
∈+≥+R b a b a b a b a ；③)1(22
2
--≥+b a b a . 其中正确的个数是【 】
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 4、设+
∈R b a ,，则下列不等式中不成立的是【 】
(A)4)1
1)((≥++b a b a (B)
ab ab b a 222≥+ (C)21≥+ab
ab (D)ab b a ab ≤+2
5、设+
∈R b a ,且2242,12b a ab S b a --==+的最大值是【 】
(A)12- (B)
212- (C)12+ (D)2
1
2+ 6、若实数b a ,满足2=+b a ，则b
a 33+的最小值是【 】
(A)18 (B)6 (C)32 (D)432 7.若0>a ，0>b ，1=+b a ，则下列不等式恒成立的是【 】
A 、ab b a ++≥45
B 、2
2b a +≤21 C 、 b a 11+≥4 D 、ab
⎪⎭
⎫ ⎝⎛811≤31
8.已知21-+
=a a m )2(>a ，2
221-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x n )0(<x ，则m 、n 的大小关系是【 】 A 、n m > B 、n m < C 、m ≥n D 、m ≤n
9.已知x
x f ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=21)(，a 、+
∈R b ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2b a f A ，()
ab f G =，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b a ab f H 2，
则A 、G 、H 的大小关系是【 】
A 、A ≤G ≤H
B 、A ≤H ≤G
C 、G ≤H ≤A
D 、H ≤G ≤A
10.若2lg lg =+y x ，则y
x 1
1+的最小值为
11.函数1
1612+++
=x x x x y )1(>x 的最小值是 12、若b a b a ≠<<<<且,10,10，则ab b a ab b a 2,,2,2
2++中最大的是 .。