基本不等式专题 ---完整版(非常全面)

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不等式基本原理专题 ---(非常全面)

不等式基本原理专题 ---(非常全面)不等式基本原理专题 - 完整版概述在数学不等式中，有一些基本的原理和定理，这些定理不仅在不等式证明中起到重要的作用，而且在实际问题中也有着广泛的应用。

在本文中，将阐述几个不同的不等式基本原理，并通过相关例题进行演示。

一、加减法原理不等式加减法原理指的是，如果两个不等式关系成立，则将它们加起来或从其中一个减去另一个，得到的结果仍然是不等式关系。

例如：如果 $a>b$ 且 $c>d$，则 $a+c>b+d$如果 $a>b$ 且 $c>d$，则 $a-c>b-d$二、乘法原理不等式乘法原理指的是，如果不等式关系的两侧均为正或均为负，则将它们相乘，得到的结果仍然是不等式关系，而如果一侧为正，另一侧为负，则将它们相乘，则得到一种新的不等式关系。

例如：如果 $a>b>0$ 且 $c>d>0$，则 $ac>bd$如果 $a>b>0$ 且 $c<d<0$ 或 $a<b<0$ 且 $c>d>0$，则 $ac<bd$三、倒数性质不等式倒数性质指的是，如果 $a>b>0$，则$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$。

例如：如果 $3>2>0$，则$\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$。

四、平均值不等式平均值不等式是一个常用的不等式概念，它指的是对于一组实数 $a_1,a_2,...,a_n$，它们的算术平均值、几何平均值与调和平均值有以下关系：$\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_1 a_2 ... a_n}\geq\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}$。

例如：对于一组实数 $1,2,3$，它们的算术平均值是 $2$，几何平均值是 $\sqrt[3]{6}$，调和平均值是$\frac{3}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=\frac{9}{5}$。

基本不等式(很全面)

基本不等式【知识框架】1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ （2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形（1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论（1）若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）（2）若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）（3）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a ab+≤+≤≤+ 6、柯西不等式（1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)22212)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+【题型归纳】题型一：利用基本不等式证明不等式题目1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ba 112+题目2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222题目3、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥题目4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---题目5、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪题目6、（新课标Ⅱ卷数学（理）设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a ++≥.题型二：利用不等式求函数值域题目1、求下列函数的值域（1）22213x x y += （2）)4(x x y -=（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x x x y题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ，求函数4242-+=x x y 的最大值；变式3：已知2<x ，求函数4224xy x x =+-的最大值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；题目2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值；题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数）题目1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

基本不等式(完整版)

2b＋a≥2，ab>0； ab
a＋b 3ab≤ 2 2，a，b∈R；
当且仅当 a＝b 时等号成立.
4a2＋b2≥
a＋b 2
2，a，b∈R
2
（5） 2 ab a b a2 b2 (a 0,b 0) .
11
2
2
ab
一、直接法
【例 1】以下结论，正确的是（） A．y＝x+ ≥4
B．ex+ ＞2
A. 2
B．2
C．2 2
D．4
解析：由1＋2＝ ab知 a>0，b>0，所以 ab＝1＋2≥2 2 ，即 ab≥2 2，
ab
ab
ab
1＝2，
ab 当且仅当 1＋2＝
即 a＝4 2，b＝2 4 2时取“＝”，所以 ab 的最小值为 2 ab，
2.故选 C
ab
变式 1：若实数 x、y 满足 2x+2y＝1，则 x+y 的取值范围是（）
证明： (a b)2 0 a2 2ab b2 0 a2 b2 2ab
推论： ab a2 b2 （ a,b R ）. 2
2、如果 a 0 ， b 0 ,则 a b 2 ab ，（当且仅当 a b 时取等号“=”）.
推论： ab
(a b )2 （ a
a2 0 ，b 0 ）；
C．x（1﹣x）≤（
）2 ＝
D．sinx+
（0＜x＜π）的最小值是 2
解：A：当 x＜0 时，不满足题意；B：
C：由基本不等式可得，x（1﹣x）等号，故 C 符合题意； D：当 0＜x＜π时，0＜sinx≤1，则故选：C．
＝2，不符合题意；＝，当且仅当 x＝1﹣x 即 x＝时取

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第三讲：基本不等式专题一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形（1）若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2（2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最大值；4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论（1）若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”）（2）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）（3）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a ab ba +≤+≤≤+（1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有 222(a a a ++⋅⋅⋅+)222)b b b ++⋅⋅⋅+(2()a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ba 112+2、已知cb a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2223、已知,,a b c R+∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---4、已知,,a b c R+∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域（1）22213x x y += （2）)4(x x y -=（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x xx y题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2<x ，求函数4242-+=x x y 的最大值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值；题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数）1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；2、若02<<x ，求y x x =-()63的最大值；变式：若40<<x ，求)28(x x y -=的最大值；3、求函数)2521(2512<<-+-=x x x y 的最大值；（提示：平方，利用基本不等式）变式：求函数)41143(41134<<-+-=x x x y 的最大值；题型五：巧用“1”的代换求最值问题1、已知12,0,=+>b a b a ，求t a b=+11的最小值；法一：法二：变式1：已知22,0,=+>b a b a ，求t a b=+11的最小值；变式2：已知28,0,1x y x y>+=，求xy 的最小值；变式3：已知0,>y x ，且119x y+=，求x y +的最小值。

基本不等式完整版

基本不等式完整版一、知识点总结1.基本不等式原始形式：若 $a,b\in\mathbb{R}$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$。

2.基本不等式一般形式（均值不等式）：若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$。

3.基本不等式的两个重要变形：1）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。

2）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$。

总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。

特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。

4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”。

5.常用结论：1）若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$ 时取“=”）。

2）若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）。

3）若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）。

4）若 $a,b>0$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\leq \frac{a^2+b^2}{2}$。

5）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $\frac{1}{a+b}\leq\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\leq\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}$。

特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。

6.柯西不等式：1）若 $a,b,c,d\in\mathbb{R}$，则$(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq (ac+bd)^2$。

完整版)基本不等式知识点和基本题型

完整版)基本不等式知识点和基本题型基本不等式专题辅导一、知识点总结1.基本不等式原始形式若a,b∈R，则a+b≥2ab若a,b∈R，则ab≤(a^2+b^2)/22.均值不等式若a,b∈R，则a+b/2≥√(ab)3.基本不等式的两个重要变形若a,b∈R，则(a+b)/2≥√(ab)若a,b∈R，则ab≤(a+b)^2/4特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”5.常用结论1.x+1/x≥2 (当且仅当x=1时取“=”)2.x+1/x≤-2 (当且仅当x=-1时取“=”)3.若ab>0，则(a/b+b/a)/2≥2 (当且仅当a=b时取“=”)4.若a,b∈R，则ab≤(a^2+b^2)/2≤(a+b)^2/2特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”6.柯西不等式若a,b∈R，则(a^2+b^2)(1+1)≥(a+b)^2二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1.设a,b均为正数，证明不等式:ab≥(a+b)^2/42.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a^2/(b-c)^2+b^2/(c-a)^2+c^2/(a-b)^2≥23.已知a+b+c=1，求证：a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)≥4/34.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc5.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：|a-b|+|b-c|+|c-a|≥4√2/3题型二：利用不等式求最值1.已知a+b=1，求证：a^3+b^3≥1/42.已知a,b,c>0，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，求证：a/b+b/c+c/a≥34.已知a,b,c>0，求证：(a^2+b^2)/(a+b)+(b^2+c^2)/(b+c)+(c^2+a^2)/(c+a)≥(3/2)(a+b+c)5.已知a,b,c>0，求证：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9基本不等式专题辅导一、知识点总结1.基本不等式原始形式若a,b∈R，则a+b≥2ab若a,b∈R，则ab≤(a²+b²)/22.均值不等式若a,b∈R，则a+b/2≥√(ab)3.基本不等式的两个重要变形若a,b∈R，则(a+b)/2≥√(ab)若a,b∈R，则ab≤(a+b)²/4特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”5.常用结论1.x+1/x≥2 (当且仅当x=1时取“=”)2.x+1/x≤-2 (当且仅当x=-1时取“=”)3.若ab>0，则(a/b+b/a)/2≥2 (当且仅当a=b时取“=”)4.若a,b∈R，则ab≤(a²+b²)/2≤(a+b)²/2特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”6.柯西不等式若a,b∈R，则(a²+b²)(1+1)≥(a+b)²二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1.设a,b均为正数，证明不等式:ab≥(a+b)²/42.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a²/(b-c)²+b²/(c-a)²+c²/(a-b)²≥23.已知a+b+c=1，求证：a²+b²+c²+3(ab+bc+ca)≥4/34.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc5.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：|a-b|+|b-c|+|c-a|≥4√2/3题型二：利用不等式求最值1.已知a+b=1，求证：a³+b³≥1/42.已知a,b,c>0，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，求证：a/b+b/c+c/a≥34.已知a,b,c>0，求证：(a²+b²)/(a+b)+(b²+c²)/(b+c)+(c²+a²)/(c+a)≥(3/2)(a+b+c)5.已知a,b,c>0，求证：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9选修4-5：不等式选讲1.设a,b,c均为正数，且a+b+c=1，证明：Ⅰ) ab+bc+ca≤1/3；Ⅱ) a^2b+b^2c+c^2a≥1/9.2.已知a≥b>0，求证：2a-b≥2ab-b^2.3.求下列函数的值域：1) y=3x+2；2) y=x(4-x)；3) y=x+(x>2)；4) y=x+(x<2)。

基本不等式完整版(非常全面)[整理]

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基本不等式可以指几乎所有组成分析和数学的基础。

它可以使许多不同的数学问题变
得更容易理解，因此使用它们进行计算是极其重要的。

基本不等式包括了三类不等式：大
小不等式，加法不等式和乘法不等式。

以下是一些基本的不等式定义。

1、大小不等式：大小不等式表示一个数与另一个数之间的存在或缺失的关系。

例如，如果A > B，则表示A大于B，而A ≤ B表示A小于或等于B，A ≠ B表示A与B之间存
在某种不同。

2、加法不等式：加法不等式表示两个数相加时的结果。

例如，A + B > C的意思是A
与B的和大于C，A + B ≤ C的意思是A与B的和小于或等于C，A + B = C的意思是A
与B的和等于C。

一般地，一个数与另一个数之间的关系可以用不等式来表示，但也可以用不等式来表
示多个数之间的关系：
1、省略不等式：3x + 2y = 4z，这表示3x + 2y至少等于4z的意思。

基本不等式可以用来处理大量数学问题，比如解一元不等式、求函数的极值以及进行
多元函数分析等。

它们对于熟悉数学理论和解决数学问题都极其重要。

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题型八：利用基本不等式求参数范围 1、（2012 沈阳检测）已知 x, y 0 ，且 (x y)( 1 a ) 9
xy 恒成立，求正实数 a 的最小值；
题型九：利用柯西不等式求最值
1、二维柯西不等式
(a , b, c , d R , 当且仅当a b ；即ad bc时等号成立) cd
若 a,b, c, d R ，则 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2
1
ab
若 a, b R* ，则 a b 2 ab
3、基本不等式的两个重要变形
（1）若 a, b R* ，则 a b ab 2
（2）若 a, b R* ，则 ab a b 2
2
2 、已知 a, b, c 为两两不相等的实数，求证：
a 2 b 2 c 2 ab bc ca
析：令 a (2sin， 3 cos， cos)，b (1，sin，cos)
（1）若 a,b, c, d R ，则 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2
3、已知 a b c 1，求证： a2 b2 c2 1 3
4、已知 a,b, c R ，且 a b c 1 ，求证： (1 a)(1 b)(1 c) 8abc
（2）若 a1, a2 , a3, b1, b2 , b3 R ，则有： (a12 a22 a32 )(1b12 b22 b32 ) (a1b1 a2b2 a3b3 )2 （3）设 a1, a2 , , an与b1,b2 , ,bn 是两组实数，则有
2、二维形式的柯西不等式的变式
(1) a2 b2 c2 d 2 ac bd (a , b, c , d R , 当且仅当a b ；即ad bc时等号成立)
cd
2、已知
x
y
z
0且
1 x
y
1 y
z
x
n
z
恒成立，
(2) a2 b2 c2 d 2 ac bd (a , b, c , d R , 当且仅当a b ；即ad bc时等号成立)
设 a,b, c 均为正数,且 a b c 1,证明:
(Ⅰ) ab bc ca 1 ; (Ⅱ) a2 b2 c2 1.
3
bca
题型二：利用不等式求函数值域
1、求下列函数的值域
（1）
y
3x
2
1 2x2
（2） y x(4 x)
（3） y x 1 (x 0) x
（4） y x 1 (x 0) x
5、已知 a,b, c R ，且 a b c 1 ，求证：
1 a
1
1 b
1
1 c
1
8
(a12 a22 an2 )(b12 b22 bn 2) (a1b1 a2b2 a nbn) 2
6、（2013 年新课标Ⅱ卷数学（理）选修 4—5：不等式选讲
7、（2013 年江苏卷（数学）选修 4—5：不等式选讲
已知 a b 0 ，求证: 2a3 b3 2ab 2 a 2b
题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）
1、已知
x
2
，求函数
y
2
x
4
4 2x
4
的最小值；
变式 1：已知 x 2 ，求函数 y 2x 4 的最小值； 2x 4
变式 2：已知 x 2 ，求函数 y 2x 4 的最大值； 2x 4
（3）若 ab 0 ，则 a b 2 (当且仅当 a b 时取“=”）
ba
（4）若 a, b R ，则 ab ( a b)2 a2 b2
2
2
（5）若 a, b R* ，则 1
11
ab a b 2
a2中，当且仅当 a b 时取“=”
6、柯西不等式
变式：求函数 y x2 8 (x 1) 的值域； x 1
2、（2009 天津）已知 a, b 0 ，求 1 1 2 ab 的最小值；
ab
2、求函数 y x 2 的最大值；（提示：换元法） 2x 5
变式 1：（2010 四川）如果 a b 0 ，求关于 a, b 的表达式 a2 1 1 的最小值；
3、求函数 y 2x 1 5 2x (1 x 5) 的最大值；
2
2
（提示：平方，利用基本不等式）
变式 1：当
时，求 y 4x(8 2x) 的最大值；
变式：求函数 y 4x 3 11 4x ( 3 x 11) 的最大值；
4
4
变式 2：设 0 x 3 ，求函数 y 4x(3 2x) 的最大值。 2
值；
3、设 x, y, z R ，2x 3y z 3，求 x 2 ( y 1)2 z 2
之最小值为
，此时 y
（析： 2x 3y z 3 2x 3( y 1) z 0 ）
6、求 2 sin 3 cos sin cos cos 的最大值与最
小值。（ Ans ：最大值为 2 2 ，最小值为 2 2 ）
练习：1、已知
x
5 4
，求函数
y
4x
2
1 4x 5
的最小值；
2、若 0 x 2 ，求 y x(6 3x) 的最大值；
2、已知
x
5 4
，求函数
y
4x
2
1 4x
5
的最大值；
变式：若 0 x 4 ，求 y x(8 2x) 的最大值；
题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数）
1、当
时，求 y x(8 2x) 的最大值；
基本不等式专题辅导
一、知识点总结
1、基本不等式原始形式
二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式
（1）若 a, b R ，则 a2 b2 2ab
（2）若 a, b R ，则 ab a 2 b2
2 2、基本不等式一般形式（均值不等式）
1、设 a, b 均为正数，证明不等式:
ab
≥
1
2
题型五：巧用“1”的代换求最值问题 1、已知 a, b 0, a 2b 1，求 t 1 1 的最小值；
ab
法一：
变式 4：已知 x, y 0 ，且 1 9 4 ，求 x y 的最小值； xy
法二：
变式 5：
（1）若 x, y 0 且 2x y 1，求 1 1 的最小值；
xy
(ai , bi
R
,
当且仅当 a1 b1
a2 b2
a3 b3
时等号成立)
5、一般 n 维柯西不等式
设 a1, a2 , , an与b1,b2 , ,bn 是两组实数，则有:
(a12 a22 an2 )(b12 b22 bn 2) (a1b1 a2b2 a nbn) 2
(ai , bi
（2）若 a, b, x, y R 且 a b 1，求 x y 的最小值；
xy
变式 1：已知 a, b 0, a 2b 2 ，求 t 1 1 的最小值； ab
变式 2：已知 x, y 0, 2 8 1 ，求 xy 的最小值； xy
变式 6：已知正项等比数列 an满足：a7 a6 2a5 ，若
( Ans :12 )
最小值为
时， (x, y, z)
析： (x 2 y 2z)2 (x2 y2 z 2 )[12 (2)2 22 ] 4 9 36
∴ x 2 y 2z 最小值为 6
此时 x y z
6
2
1 2 2 12 ( 2)2 22 3
∴ x 2，y 4，z 4
变式
2：（2010
山东）已知
x,
y
0
，
2
1
x
2
1
y
1 3
，
求 xy 最大值；（提示：通分或三角换元）
变式：设 x, y, z 是正数，满足 x 2 y 3z 0 ，求 y2 的 xz
最小值；
变式 3：（2011 浙江）已知 x, y 0 ， x2 y2 xy 1，求 xy 最大值；
3
3
3
2、设 x, y, z R ，2x y 2z 6 ，求 x2 y2 z2 的最
小值 m ，并求此时 x, y, z 之值。 Ans ： m 4; (x, y, z) ( 4 , 2 , 4)
333
5 、（ 2013 年湖北卷（理））设 x, y, z R , 且满足: x2 y2 z2 1, x 2 y 3z 14 ,求 x y z 的
总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；
特别说明：以上不等式中，当且仅当 a b 时取“=”
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”
5、常用结论
（1）若 x 0 ，则 x 1 2 (当且仅当 x 1 时取“=”） x
（2）若 x 0 ，则 x 1 2 (当且仅当 x 1 时取“=”） x
R
,
当且仅当 a1 b1
a2 b2
an bn
时等号成立)
题型分析题型一：利用柯西不等式一般形式求最值
1、设 x, y, z R ，若 x2 y2 z2 4 ，则 x 2 y 2z 的
4、（2013 年湖南卷（理））已知 a,b, c , a 2b 3c 6,
则 a2 4b2 9c2 的最小值是
4 、（ 2013 年山东（理））设正实数 x, y, z 满足 x2 3xy 4 y2 z 0 , 则当 xy 取得最大值 z
时, 2 1 2 的最大值为（） xyz
A． 0
B．1
9
C．
4
D． 3
（提示：代入换元,利用基本不等式以及函数求最值）