高等数学定积分应用习题答案

第六章 定积分的应用

习题 6-2 (A)

求下列函数与x 轴所围部分的面积：

2

y x 6x 8, [0,3]

2

y 2x

x , [0, 3]

求下列各图中阴影部分的面积： 图6-1

求由下列各曲线围成的图形的面积:

与x 1;

2x x 2 与 x,

y 0 ;

y x 2 与 y x, y 2x;

y 2 sin x , y sin 2x (0 x );

2

y — , x 2 y 2

8 (两部分都要计算)

2

1. (1) (2)

2. 1.

3. (1)

(2)

(3)

(4) (5)

⑹

(7) (8)

In x 与 x

o, y

In a, y In b (b

a 0);

c

2

2x , y

(x

1); 4(1 x)与 y 2 x, y

4. 求由曲线y in x 与直线y 0, x e 1, x e 所围成的图形的面积

x 2 4x 3及其在点(0, 3)和(3, 0)处的切线所围成的图形 的面积。 求抛物线 求抛物线

缈及其在点&,p)处的法线所围成的图形的面积。

求曲线,x

,a 与两坐标轴所围成的图 形的面积。

x 2

求椭圆飞

a 求由摆线x

2

y

a(t 1所围图形的面积。

sint), y a(1 cost)的一拱(0

t 2 )与横轴所围图形的面积。

10.求位于曲线 e x 下方与由该曲线过原点的切线的左方及x 轴之间的图形的面积。

11.求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积:

(1) 2a sin (a 0); (2) 2a (2 cos ) (a 0);

(3)

2

2 cos 2 (双纽线)；

12.把抛物线y 2

4ax 及直线x x 0 (x 0

0)所围成的图形绕 x 轴旋转，计算所得旋转

抛物体的体积。

13.由 y x 3 , x 体的体积。

2 , y 0所围成的图形，分别绕 x 轴及y 轴旋转，计算所得两个 旋转

(1) y a ch x 与 x a 0 ,x a , y 0,绕 x 轴；

(2) y

sin x 与 y

2x

绕x 轴；

(3) y

sin x 与 y

cos x (0 x

),绕 x 轴； 2

(4) y

In x,与 x

2, y 0绕y 轴；

(5) y

2x x 2 与

y

x, y 0绕y 轴；

⑹ (x

2 2

5)2

y 2

16, 绕y 轴；

15. 求由抛物线y 2

4(1

x)及其在(0,2)处的切线和 x 轴所围的图形

绕

产生的旋转体的体积

。

16. 求 x 2 y 2

4, x

3y 2所围图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体

积。

17. 一立体以椭圆

100

1为底，垂直于长轴的截 面都是等边三角形(图6

2),

25

求其体积。

14.求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积:

x 轴旋转

2

2 X

18.求底面是半径为 R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截 面都是等边三角形的立 体体积

19.计算曲线y In x 上相应于 3 x _8 的一段弧的长度。 20.计算曲线y

-x (3 x)上相应于1 x 3

3的一段弧(6

3)的长度

21.求对数螺线

e a 相应于

0到

的一段弧长。 22.求曲线

3

4

1相应于

3

到 —的一段弧长。 4

3

x arcta nt

23. 求曲线 1

2上自t 0到t 1的一段弧长。

y -1n(1 t 2)

2

24. 求摆线x 1 cost, y t sint 上相应于0 t 2的一拱的长度

习题 6-2 (B)

1 •求由下列各组曲线围成的图形的公共部分的面积:

(1) . 3a 与 2 a cos ;

(2) 3cos 与 1 cos

(3)

. 2 sin 与 2 cos 2

1 x

2 (0 x 1)与x 轴和y 轴所围区域被曲线

4)，其中a 是大于零的常数，试确 定a 的值。

V H 2(R H ).

3

2

抛物线y —, y — x 2 1与直线

10 10

5. 求y . x, y 2及x 0所围成的图形绕 (1) x 轴； (2) y 轴；

(3)直线 y 2; (4)直线 x 4

旋转而成的旋转体的体积。 6. 求x 2

y 2

a 2,绕x

b (b a 0)旋转所成旋转体的体积。

7. 求第一象限内由曲线 x y y 3和y 轴围成的平面图形绕直线

y 1旋转而成的旋转体

的体积。

2.假设曲线L 1 : y 的两部分(图6

L 2 : y ax 2分成面积相等

3.用积分方法证明图6

5中球缺的体积为 4. 一铁铸件，其形状为两 而成的旋转体，铁的密

10围成的图形绕 y 轴旋转

度是7.8 (g/cm 3)，求铸件的质量。