广西五市(桂林、来宾、贺州)2017-2018学年高三10月联合模拟考试数学(文)试题 Word版含答案

2017-2018学年 文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合{}10A =-，，集合{}0,1,2B =，则A B 的子集个数是（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．322. 已知i 是虚数单位，则复数()1z i i =-的实部为（ ） A ．1 B ．-1 C ．i D ．i -3.“2,x R x ∃∈是无理数”的否定是（ ）A ．2,x R x ∃∉不是无理数B ．2,x R x ∃∈不是无理数C ．2,x R x ∀∉不是无理数D ．2,x R x ∀∈不是无理数 4.已知向量()2,1a =-与(),3b m =平行，则m =（ ） A ．32-B ．32C ．-6D ． 6 5. 某年级有1000名学生，随机编号为0001，0002，…，1000，现用系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（ ） A ．0116 B ．0927 C ．0834 D ．07266.已知函数()()21log 4,412,4x x x f x x -⎧-<=⎨+≥⎩则()()20log 32f f +=（ ） A ．19 B ．17 C ．15 D ．137.在 ABC ∆中，sin :sin :sin A B C =cos C =（ ）A ．3 B ．4C ．13D ．148.将双曲线22221x y a b-=的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角形叫做双曲线的“黄金三角形”，则双曲线22:4C x y -=的“黄金三角形”的面积是（ ）A 1B ．2C ．1D ．29.已知e 为自然对数的底数，曲线x y ae x =+的点()1,1ae +处的切线与直线210ex y --=平行，则实数a =（ ）A ．1e e - B ．21e e - C ．12e e- D ．212e e -10. 给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）A ．82π+B ．102π+C ．62π+D ．122π+ 12.已知函数()cos sin (0)f x x x ωωω=->在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值不可能为（ ） A ．15 B ．14 C ．12 D ．34第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.已知,x y 满足210x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为___________．14.已知函数()f x 是奇函数，且0x ≥时，()()2log 2f x x a =++，则()2f -的值为__________．15. 在长方体1111ABCD A BC D -中，13,2,1AB BC AA===，点,,M N P 分别是棱1,,AB BC CC 的中点，则三棱锥1C MNP -的体积为__________．16.若圆()222:0C x y r r +=>的周长被直线()()()221210t x ty t t R -+-+=∈分为1：3两部分，则r 的值是_________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2*3,4n n nS n N +=∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设44n an n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和．18.（本小题满分12分）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下，据此解答下列问题：（1）求全班人数及分数在[)80,90之间的频数；（2）若要从分数在[]80,100之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[]90,100之间的概率．19．如图，在三棱锥P ABC -中，090PAB PAC ACB ∠=∠=∠=． （1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）若1,2PA AB ==，当三棱锥P ABC -的体积最大时，求BC 的长．20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点⎛ ⎝⎭，过右焦点且垂直于x 轴的直线截椭圆所得弦长是1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点,A B 分别是椭圆C 的左，右顶点，过点()1,0的直线l 与椭圆交于,N M 两点（,M N 与,A B 不重合），证明：直线AM 和直线BN 交点的横坐标为定值． 21.（本小题满分12分） 设函数()21ln 2f x x x =-． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若()()12g x f x ax =+在区间()1,+∞上没有零点，求实数a 的取值范围． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知点P 是圆O 外的一点，过P 作圆O 的切线,PA PB ，切点为,A B ，过P 作一割线交圆O 于点,E F ，若2PA PF =，取PF 的中点D ，连接AD ，并延长交圆于H ．（1）求证：,,,O A P B 四点共圆；（2）求证：22PB AD DH = ．23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系xOy 中，圆锥曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），定点(120,,,A F F 是圆锥曲线C 的左、右焦点，直线l 过点1A F ，．（1）求圆锥曲线C 及直线l 的普通方程；（2）设直线l 与圆锥曲线C 交于,E F 两点，求弦EF 的长． 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x a x =-++． （1）当1a =，解不等式()5f x <；（2）对任意x R ∈，不等式()32f x a ≥-都成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题二、填空题13. 3 14. -1 15． 1816三、解答题17．解：（1）当1n =时，111a S ==；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分当2n ≥时，()()22113131442n n n n n n n n a S S --+-++=-=-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分因为11a =也适合上式，因此，数列{}n a 的通项公式为12n n a +=．．．．．．．．．．．．6分 （2）由（1）知，12n n a +=，故()112144442212nn a n n n n b a n +++=-=-=-+ ．．．．．．．．．．．．8分记数列{}n b 的前n 项和为n T ，则()()2312222231n n T n +=+++-++++ ．．．．．．．．．9分记()231222,2231n A B n +=+++=++++ ，则()24122412n n A +-==--，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ()()2212231232n n B n n n ++=++++==+ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分即全班人数为25人，分数在[)8090，之间频数为4．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）记这6份试卷代号分别为1，2，3，4，5，6．其中5，6是[]90100，之间的两份，．．．．．．．．．．．7分则所有可能的抽取情况有：()()()()()()()()()()()()()()()121314151623242526343536454656，，，，，，，，，；，，，，，，；，，，，，，，，；，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分其中含有5或6的有9个．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 故93155P ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19．解：（1）证明：因为090,,PAB PAC PA AB PA AC ∠=∠=⊥⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分AB AC A = ，所以PA ⊥平面ABC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分因为BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分因为090ACB ∠=，所以BC CA ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分因为PA CA A = ，所以BC ⊥平面PAC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAC ．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分 （2）解：法1：由已知及（1）所证可知，PA ⊥平面ABC ，所以PA 是三棱锥P ABC -的高．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 因为1,AB 2PA ==，设()02BC x x =<<，所以AC ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 因为()224111136623P ABCABC x x V S PA -∆+-=⨯==≤⨯=．．．．．．．．．．．．．．10分当且仅当224x x =-，即x =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分所以当三棱锥P ABC -的体积最大时，BC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 法2：由已知及（1）所证可知，PA ⊥平面ABC ，所以PA 是三棱锥P ABC -的高．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 因为090ACB ∠=，设02ABC πθθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭， 则cos 2cos ,sin 2sin BC AB AC AB θθθθ====．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分所以112cos 2sin sin 222ABC S BC AC θθθ∆=⨯⨯=⨯⨯=， 所以11sin 233P ABC ABC V S PA θ-∆=⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分因为02πθ<<，所以当4πθ=，P ABC V -有最大值13，此时2cos4BC π==．．．．．．．．．．．．11分所以当三棱锥P ABC -的体积最大时，BC =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分20．解：（1）由题知22222223141141a b a b a b ⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪-⎪+=⎪⎩，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分解得2241a b ⎧=⎨=⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3分故椭圆C 的标准方程是2214x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）由（1）知点()()2,0,2,0A B -，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分设()()1122:1,,,,l x my M x y N x y =+，联立方程22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()224230my my ++-=，所以12122223,44m y y y y m m +=-=-++，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 则直线()()1212:2,:222y yAM y x BN y x x x =+=-+-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 联立方程()()11222222y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩，消去y 得()()12122222y y x x x x +=-+-．解得()()12211212121221121222242623x y x y y y my y y y x x y x y y y y y +-+-+==-+++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分因为12122223,44m y y y y m m +=-=-++，所以121223y y my y +=，即()121223my y y y =+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 所以12121262643y y y y x y y -+==+，即直线AM 和直线BN 交点的横坐标为定值4．．．．．．．．．．．．．12分 21．解：（1）()21ln 2f x x x =-，定义域为()0,+∞．．．．．．．．．．1分 ()()()21211222x x f x x x x-+'=-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 令()0f x '>，得12x >；令()0f x '<，得102x <<， 故函数()f x 的单调增区间是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调减区间是10,2⎛⎫⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）()211ln 22g x x x ax =-+，由()214120222a x ax g x x x x+-'=-+==得x =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分设0x =()g x 在(]00,x 上是减函数，在[)0,x +∞上为增函数，．．．．．．．．．．．．．．．7分又()g x 在()1,+∞上没有零点，∴()0g x >在()1,x ∈+∞上恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 由()0g x ≥得1ln 22xa x x≥-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 令ln 2x y x x =-，则22222ln 22ln 4144x x x y x x ---'=-=，当1x ≥时，0y '<，．．．．．．．．．．．．．．．10分∴ln 2xy x x=-在[)1,+∞上是减函数，∴1x =时，max 1y =-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 ∴112a ≥-，即[)2,a ∈-+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22．证明：（1）连接,OA OB ．因为,PA PB 为切线，可知,OA PA OB PB ⊥⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ∴0180PAO PBO ∠+∠=，所以,,,O A P B 四点共圆．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）由切割线的定理可得2PA PE PF = ，又22,2PF PA PA PE PA == ，∴2PE PA =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 所以12PE ED PA ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 由相交弦的定理，可得AD DH ED DF = ， 得12AD DH PA PA =，即212AD DH PA = ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 因为PB PA =，所以22PB AD DH = ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23．解：（1）由2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），得cos 2sin x yθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 所以2222cos sin 12x y θθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，所以圆锥曲线C 的普通方程为2214x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．2分 圆锥曲线 C的左焦点为()1F ，直线l过点(()10,,A F ，．．．．．．．．．．．．．．．4分故直线l的直角坐标方程为0x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）联立22140x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，消去y得2580x ++=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分则121285x x x x +==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 故85EF ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分24．解：（1）()21,11,123,2121,2x x a f x x x x x x +≥⎧⎪==-++=-<<⎨⎪--≤-⎩，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分()()5,2151f x x x <+<≥或()()35212152x x x <-<<--<≤-或，．．．．．．．．．．4分 ∴32x -<<，∴不等式的解集为()3,2-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）()22f x x a x a ≥---=+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 由题意得232a a +≥-，∴2a ≤，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 即实数a 的取值范围是(],2-∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。