离散数学第二版答案(6-7章)

构造运算表 如下：
第七章
6.1
1.画出图 的图示，指出其中哪些图是简单图。
（1）
不是简单图。
（2）
不是简单图。
（3）
是简单图。
2.写出图7-8的抽象数学定义。
（1）解： ，其中 ， ， （2）解： ，其中 ， ，
3.证明：在n阶简单有向图中，完全有向图的边数最多，其边数为 。
证明：简单有向图是没有自环，没有平行边的有向图，只要两个不同的结点之间才能有边。完全有向图是每个结点的出度和入度都是n-1的简单有向图，也就是每个结点都有到其他所有结点的边，因此，完全有向图的边数最多。
任取 ，分情况讨论：
（1）x和y都可以表示成 ，设 ，
那么 ，
（2）x和y都不能表示成 ，那么 也不能表示成
,
（3）x可以表示成 ，y不能表示成 ，那么 也不能表示成
,
（4）x不可以表示成 ，y能表示成 ，那么 也不能表示成
,
可知，无论x和y如何取值，都能够保证 。
综上所述， 是U到V的同态映射。
5．
两个图的结点和边的数目都相同。假设函数 ，左图中相邻的结点是1和4，1和5，1和6，2和4，2和5，2和6，3和4，3和5，3和6，对应的像点1’和4’，1’和2’，1’和6’，5’和4’，5’和2’，5’和6’，3’和5’，3’和2’，3’和6’在右图中也相邻，因此，两图同构。
7.证明：在任意六个人中，若没有三个人彼此认识，则必有三个人彼此都不认识。
， ，此时
故二元运算*是不可结合的。
不存在这样 使得任意的 都有 ，
因此，二元运算*不含幺元。
②
对于任意的 都有 ，故二元运算*是可交换的。
故二元运算*是不可结合的。
不存在这样 使得任意的 都有 ，
因此，二元运算*不含幺元。
③
因此，二元运算*是不可交换的。
故二元运算*是不可结合的。
由于二元运算*不是可交换的，所以不存在这样 使得任意的 都有 ，
2.
（1）二元运算表如下图所示：
GCD
1
2
3
4
6
8
12
24
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
3
1
1
3
1
3
1
3
3
4
1
2
1
4
2
4
4
4
6
1
2
3
2
6
2
6
6
8
1
2
1
4
2
8
4
8
12
1
2
3
4
6
4
12
12
24
1
2
3
4
6
8
12
24
（2） , 其中 。（假定 为丛X到X的双射函数）
解：X到X有6个双射函数，分别用 表示，设
对于任意的 ，
因此， 。
由(1),(2),(3)可知， 同构于 。
9．证明：
(1) 是代数系统 到当 的同态映射
又 是 的子代数
(2)对于 ，必存在 ，
使得 ，
由于 为代数系统 到当 的同态映射
，又 是 的子代数
故 对*运算封闭
，即
对 运算满足封闭性。
由(1),(2),(3)可知, 为 的子代数。
6.3
由于 对 具有代换性质，所以有
由此可知：
同理可知：
因 是等价关系，故是可传递的，所以有
所以 对 具有代换性质。
(2) 对 具有代换性质，
但对 不具有代换性质，因
4．设代数系统 ， 为同余关系。
(1)即证： 为同余关系
证明： 为等价关系
若 对任意
有 , ,…
则 ， ，…
， ，…
为同余关系
所以 为同余关系。
(2) 为等价关系
若 对任意
有 , ,…
未必有 ， ，…
， ，…
因此，可能不满足代换性质
所以 未必是同余关系。
5．
（1）
解：R不是 上的同余关系，取 则 ，但是 ， ，因此 ，不满足代换性质。
（2） , 当且仅当
解：R不是 上的同余关系，取 ，则 ， ，但 ， ，R不满足可传递性，不是等价关系。
（3）
③单位元素即幺元，若存在必唯一。
设集合 ，若幺元为1，则有
此时的二元运算的个数相当于求映射 的个数，其中：
映射 的个数为
幺元为2，3，4时同理，
因此集合 上有 个有单位元素的二元运算。
推广到 有 个元素时，具有单位元素的二元运算的个数为 。
5．解：任取
①
对于任意的 都有 ，故二元运算*是可交换的。
若
解：R不是 上的同余关系，取取 则 ，但是 ， ，因此 ，不满足代换性质。
（4）
解：R不是 上的同余关系，取 ，则 ，但 ，即 ，R不满足对称性，不是等价关系。
6.4
1.
解：
（1）设
其中，
任取
下面通过运算表构造*运算（这里仅给出了一个运算表，另一个照推）
<0,0>
<0,1>
<0,2>
<1,0>
<1,1>
与偶数个人握手的人，这些人的握手次数之和为 （其中， 都是偶数），为偶数。
与奇数个人握手的人，这些人的握手次数之和为 （其中， 为基数），由于所有人的握手次数之和偶数，因此 也要为偶数，即
又因为
即 ，因此x为偶数，即与奇数个人握手的人是偶数个，得证。
6.证明：图7-7中的两个图同构。
证明：首先，给这两幅图标上对应的结点编号，如下
<1,2>
<1,1>
<1,0>
<1,0>
<1,0>
<1,0>
<0,0>
<0,0>
<0,0>
<1,1>
<1,0>
<1,1>
<1,2>
<0,0>
<0,1>
<0,2>
<1,2>
<1,0>
<1,2>
<1,1>
<0,0>
<0,2>
<0,1>
证明：
① 与 都只有一个二元运算，故为同型的。
② 与 定义域大小相同，具备构成双射函数的条件。
1．解：
解：首先，判断 是否是等价关系。任取 ，由于 ，因此 ， 是自反的；任取 ，若 ，即 （ ），则 ， ，因此 是对称的；任取 ，若 ，则 （ ）， （ ），于是 ， ，因此 ，可知 是可传递的。因此， 是等价关系。
其次，判断 关于*是否满足代换性质。
任取 ，若 ，即存在某个 ，满足
则
于是
由于 ，因此， ， 关于*是满足代换性质。
5.在一次集会中，相互认识的人会彼此握手，试证明：与奇数个人握手的人数是偶数个。
证明：设集会上的人一共有m个，可分为两部分，一部分为与奇数个人握手的人，设为x个，另一部分为与偶数个人握手的人，为m-x个。
由于握手是相互的，即一次握手，两个人握手的次数都加1，一共加2，因此，集会上所有人的握手次数之和为偶数。
不妨设点A与B,C,E认识（用实线连接）。因为B,C,E之间只有有两个人认识就不满足任何三个人都不认识的条件，比如B,C认识画一条实线，那么A,B,C就相互认识，与已知矛盾。所以B,C,E是所求的三个互补认识的人。
（4）任何一个人最多认识两外4或5个人
该情况与（3）类似，所求的人即与A认识的两外4或5个人中的三个人。
4
5
0
1
3
3
4
5
0
1
2
4
4
5
0
1
2
3
5
5
0
1
2
3
4
<0,0>
<0,1>
<0,2>
<1,0>
<1,1>
<1,2>
<0,0>
<0,0>
<0,0>
<0,0>
<1,0>
<1,0>
<1,0>
<0,1>
<0,0>
<0,1>
<0,2>
<1,0>
<1,1>
<1,2>
<0,2>
<0,0>
<0,2>
<0,1>
<1,0>
③构造双射函数
由上图可知，像的运算=运算的像
所以 与 是同构的。
6.5
1.
（1）半群
（2）半群
（3）半群
（4）独异点，么元0
（5）不是半群，取a=b=1,c=2，则
不满足结合律
（6）不是半群，因为||不是二元运算；
（7）半群
（8）独异点，么元0
（9）半群
（10）独异点，么元为恒等关系；
（11）独异点，么元为a
4．解：设
①设 是 上的二元运算，则 是一个从 的映射。
求 上有多少个二元运算即相当于求这样的映射的个数。