数学核心概念知多少——
2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式(含解析)
2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式（含解析）1.了解分式、分式方程的概念，进一步发展符号感；2．熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力；3．能解决一些与分式有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识；4．通过学习能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值。
考点1：分式的概念1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；3.分式有意义的条件：B≠0；4.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0考点2：分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M是不等于零的整式）.考点3：分式的运算考点4：分式化简求值（1）有括号时先算括号内的；（2）分子/分母能因式分解的先进行因式分解；（3）进行乘除法运算（4）约分；（5）进行加减运算，如果是异分母分式，需线通分，变为同分母分式后，分母不变，分子合并同类项，最终化为最简分式；（6）带入相应的数或式子求代数式的值【题型1：分式的相关概念】【典例1】（2022•怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解答】解：分式有：，，，整式有：x，，x2﹣，分式有3个，故选：B．【典例2】（2023•广西）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣1B．x≠0C．x≠1D．x≠2【答案】A【解答】解：∵分式有意义，∴x+1≠0，解得x≠﹣1．故选：A．1．（2022•凉山州）分式有意义的条件是（）A．x＝﹣3B．x≠﹣3C．x≠3D．x≠0【答案】B【解答】解：由题意得：3+x≠0，∴x≠﹣3，故选：B．2．（2023•凉山州）分式的值为0，则x的值是（）A．0B．﹣1C．1D．0或1【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，解得：x＝0，故选：A．【题型2：分式的性质】【典例3】（2023•兰州）计算：＝（）A．a﹣5B．a+5C．5D．a 【答案】D【解答】解：＝＝a，故选：D．1．（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】D【解答】解：∵a≠b，∴，故选项A错误；，故选项B错误；，故选项C错误；，故选项D正确；故选：D．2．（2023•自贡）化简：＝x﹣1．【答案】x﹣1．【解答】解：原式＝＝x﹣1．故答案为：x﹣1．【题型3：分式化简】【典例4】（2023•广东）计算的结果为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝＝．故本题选：C．1．（2023•河南）化简的结果是（）A．0B．1C．a D．a﹣2【答案】B【解答】解：原式＝＝1．故选：B．2．（2023•赤峰）化简+x﹣2的结果是（）A．1B．C．D．【答案】D【解答】解：原式＝+＝＝，故选：D．【题型4：分式的化简在求值】【典例5】（2023•深圳）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．【答案】，．【解答】解：原式＝•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝．1．（2023•辽宁）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝x+2，当x＝3时，原式＝3+2＝5．2．（2023•大庆）先化简，再求值：，其中x＝1．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝﹣+＝＝＝＝，当x＝1时，原式＝＝．3．（2023•西宁）先化简，再求值：，其中a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根．【答案】，6．【解答】解：原式＝[﹣]×a（a﹣b）＝×a（a﹣b）﹣＝﹣＝；∵a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根，∴a+b＝﹣1ab＝﹣6，∴原式＝．1．（2023春•汝州市期末）下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、＝，不是最简分式，不符合题意；B、＝＝，不是最简分式，不符合题意；C、是最简分式，符合题意；D、＝＝﹣1，不是最简分式，不符合题意；故选：C．2．（2023秋•岳阳楼区校级期中）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（）A．不变B．扩大2倍C．扩大4倍D．缩小2倍【答案】B【解答】解：∵＝＝×2，∴如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值扩大2倍，故选：B．3．（2023•河北）化简的结果是（）A．xy6B．xy5C．x2y5D．x2y6【答案】A【解答】解：x3（）2＝x3•＝xy6，故选：A．4．（2023秋•来宾期中）若分式的值为0，则x的值是（）A．﹣2B．0C．2D．【答案】C【解答】解：由题意得：x﹣2＝0且3x﹣1≠0，解得：x＝2，故选：C．5．（2023秋•青龙县期中）分式的最简公分母是（）A．3xy B．6x3y2C．6x6y6D．x3y3【答案】B【解答】解：分母分别是x2y、2x3、3xy2，故最简公分母是6x3y2；故选：B．6．（2023春•沙坪坝区期中）下列分式中是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解；A、是最简二次根式，符合题意；B、＝，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝＝，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝﹣1，不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．7．（2023春•原阳县期中）化简（1+）÷的结果为（）A．1+x B．C．D．1﹣x【答案】A【解答】解：原式＝×＝×＝1+x．故选：A．8．（2023•门头沟区二模）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x＞2C．x≥2D．x≤2【答案】A【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故选：A．9．（2023春•武清区校级期末）计算﹣的结果是（）A．B．C．x﹣y D．1【答案】B【解答】解：﹣＝＝．故答案为：B．10．（2023春•东海县期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝﹣，故选：C．11．（2023秋•莱州市期中）计算的结果是﹣x．【答案】﹣x．【解答】解：÷＝•（﹣）＝﹣x，故答案为：﹣x．12．（2023秋•汉寿县期中）学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读的页数为（用含a、b、m的最简分式表示）．【答案】．【解答】解：由题意得：平均每天比原计划要多读的页数为：﹣＝﹣＝，故答案为：．13．（2023春•宿豫区期中）计算＝1．【答案】1．【解答】解：＝＝＝1，故答案为：1．14．（2023•广州）已知a＞3，代数式：A＝2a2﹣8，B＝3a2+6a，C＝a3﹣4a2+4a．（1）因式分解A；（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．【答案】（1）2a2﹣8＝2（a+2）（a﹣2）；（2）..【解答】解：（1）2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）；（2）选A，B两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式（答案不唯一），＝＝．15．（2023秋•思明区校级期中）先化简，再求值：（），其中．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝，当x＝﹣1时，原式＝＝．16．（2023秋•长沙期中）先化简，再求值：，其中x＝5．【答案】，．【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝，当x＝5时，原式＝＝．17．（2023•盐城一模）先化简，再求值：，其中x＝4．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（+）•＝•＝•＝x﹣1，当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．18．（2022秋•廉江市期末）先化简（﹣x）÷，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．【答案】﹣，0．【解答】解：原式＝（﹣）•＝﹣•＝﹣，∵（x+1）（x﹣1）≠0，∴x≠±1，当x＝0时，原式＝﹣＝0．1．（2023秋•西城区校级期中）假设每个人做某项工作的工作效率相同，m个人共同做该项工作，d天可以完成若增加r个人，则完成该项工作需要（）天．A．d+y B．d﹣r C．D．【答案】C【解答】解：工作总量＝md，增加r个人后完成该项工作需要的天数＝，故选：C．2．（2023秋•长安区期中）若a＝2b，在如图的数轴上标注了四段，则表示的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④【答案】C【解答】解：∵a＝2b，∴＝＝＝＝＝，∴表示的点落在段③，故选：C．3．（2023秋•东城区校级期中）若x2﹣x﹣1＝0，则的值是（）A．3B．2C．1D．4【答案】A【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2﹣1＝x，∴x﹣＝1，∴（x﹣）2＝1，∴x2﹣2+＝1，∴x2+＝3，故选：A．4．（2023秋•鼓楼区校级期中）对于正数x，规定，例如，，则＝（）A．198B．199C．200D．【答案】B【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（1）+f（1）＝2，f（2）＝＝，f（）＝＝，f（2）+f（）＝2，f（3）＝＝，f（）＝＝，f（3）+f（）＝2，…f（100）＝＝，f（）＝＝，f（100）+f（）＝2，∴＝2×100﹣1＝199．故选：B．5．（2023秋•延庆区期中）当x分别取﹣2023，﹣2022，﹣2021，…，﹣2，﹣1，0，1，，，…，，，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（）A．﹣1B．1C．0D．2023【答案】A【解答】解：当x＝﹣a和时，＝＝0，当x＝0时，，则所求的和为0+0+0+⋯+0+（﹣1）＝﹣1，故选：A．6．（2022秋•永川区期末）若分式，则分式的值等于（）A．﹣B．C．﹣D．【答案】B【解答】解：整理已知条件得y﹣x＝2xy；∴x﹣y＝﹣2xy将x﹣y＝﹣2xy整体代入分式得＝＝＝＝．故选：B．7．（2023春•铁西区月考）某块稻田a公顷，甲收割完这块稻田需b小时，乙比甲多用0.3小时就能收割完这块稻田，两人一起收割完这块稻田需要的时间是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：乙收割完这块麦田需要的时间是（b+0.3）小时，甲的工作效率是公顷/时，乙的工作效率是公顷/时．故两人一起收割完这块麦田需要的工作时间为＝（小时）．故选：B．8．（2023春•临汾月考）相机成像的原理公式为，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．下列用f，u表示v正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵，去分母得：uv＝fv+fu，∴uv﹣fv＝fu，∴（u﹣f）v＝fu，∵u≠f，∴u﹣f≠0，∴．故选：D．9．（2023•内江）对于正数x，规定，例如：f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（）A．199B．200C．201D．202【答案】C【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，f（4）＝＝，f（）＝＝，…，f（101）＝＝，f（）＝＝，∴f（2）+f（）＝+＝2，f（3）+f（）＝+＝2，f（4）+f（）＝+＝2，…，f（101）+f（）＝+＝2，f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝2×100+1＝201．故选：C．10．（2023春•灵丘县期中）观察下列等式：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…＝﹣将以上等式相加得到+++…+＝1﹣．用上述方法计算：+++…+其结果为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由上式可知+++…+＝（1﹣）＝．故选A．11．（2023秋•顺德区校级月考）先阅读并填空，再解答问题．我们知道，（1）仿写：＝，＝，＝．（2）直接写出结果：＝．利用上述式子中的规律计算：（3）；（4）．【答案】（1），；；（2）；（3）；（4）．【解答】解：（1），＝；＝，故答案为：，；；（2）原式＝1﹣+++...++＝1﹣＝；故答案为：；（3）＝＝1﹣+﹣+﹣+⋯⋯+＝1﹣＝；（2）原式＝×（）+×（）+×（）+...+×（）＝（）＝＝．12．（2023秋•株洲期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：，；解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真”或“假”）；（2）将假分式化为带分式；（3）如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．【答案】（1）真；（2）x﹣2+；（3）﹣1或﹣3或11或﹣15．【解答】解：（1）分式是真分式；故答案为：真；（2）；（3）原式＝，∵分式的值为整数，∴x+2＝±1或±13，∴x＝﹣1或﹣3或11或﹣15．13．（2023秋•涟源市月考）已知，求的值．解：由已知可得x≠0，则，即x+．∵＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7，∴．上面材料中的解法叫做“倒数法”．请你利用“倒数法”解下面的题目：（1）求，求的值；（2）已知，求的值；（3）已知，，，求的值．【答案】（1）；（2）24；（3）．【解答】解：（1）由，知x≠0，∴．∴，x•＝1．∵＝x2+＝（x﹣）2+2＝42+2＝18．∴＝．（2）由＝，知x≠0，则＝2．∴x﹣3+＝2．∴x+＝5，x•＝1．∵＝x2+1+＝（x+）2﹣2+1＝52﹣1＝24．∴＝．（3）由，，，知x≠0，y≠0，z≠0．则＝，＝，y+zyz＝1，∴+＝，+＝，+＝1．∴2（++）＝++1＝．∴++＝．∵＝++＝，∴＝．14．（2022秋•兴隆县期末）设．（1）化简M；（2）当a＝3时，记M的值为f（3），当a＝4时，记M的值为f（4）．①求证：；②利用①的结论，求f（3）+f（4）+…+f（11）的值；③解分式方程．【答案】（1）；（2）①见解析，②，③x＝15．【解答】解：（1）＝＝＝＝＝；（2）①证明：；②f（3）+f（4）+⋅⋅⋅+f（11）＝＝＝＝；③由②可知该方程为，方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得：，整理，得：，解得：x＝15，经检验x＝15是原方程的解，∴原分式方程的解为x＝15．15．（2023春•蜀山区校级月考）【阅读理解】对一个较为复杂的分式，若分子次数比分母大，则该分式可以拆分成整式与分式和的形式，例如将拆分成整式与分式：方法一：原式＝＝＝x+1+2﹣＝x+3﹣；方法二：设x+1＝t，则x＝t﹣1，则原式＝＝．根据上述方法，解决下列问题：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式和的形式，得＝；（2）任选上述一种方法，将拆分成整式与分式和的形式；（3）已知分式与x的值都是整数，求x的值．【答案】（1）；（2）；（3）﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5．【解答】解：（1）由题知，，故答案为：．（2）选择方法一：原式＝＝．选择方法二：设x﹣1＝t，则x＝t+1，则原式＝＝＝＝＝．（3）由题知，原式＝＝＝＝．又此分式与x的值都是整数，即x﹣4是39的因数，当x﹣4＝±1，即x＝3或5时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±3，即x＝1或7时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±13，即x＝﹣9或17时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±39，即x＝﹣35或43时，原分式的值为整数；综上所述：x的值为：﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5时，原分式的值为整数．16．（2023春•兰州期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：．解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真分式”或“假分式”）；（2）将假分式化为整式与真分式的和的形式：＝2+．若假分式的值为正整数，则整数a的值为1，0，2，﹣1；（3）将假分式化为带分式（写出完整过程）．【答案】（1）真分式；（2）2+；1，2，﹣1；（3）x﹣1﹣．【解答】解：（1）由题意得：分式是真分式，故答案为：真分式；（2）＝＝2+，当2+的值为正整数时，2a﹣1＝1或±3，∴a＝1，2，﹣1；故答案为：2+；1，2，﹣1；（3）原式＝＝＝x﹣1﹣．1．（2023•湖州）若分式的值为0，则x的值是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣3【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣1＝0，且3x+1≠0，解得：x＝1，故选：A．2．（2023•天津）计算的结果等于（）A．﹣1B．x﹣1C．D．【答案】C【解答】解：＝＝＝＝，故选：C．3．（2023•镇江）使分式有意义的x的取值范围是x≠5．【答案】x≠5．【解答】解：当x﹣5≠0时，分式有意义，解得x≠5，故答案为：x≠5．4．（2023•上海）化简：﹣的结果为2．【答案】2．【解答】解：原式＝＝＝2，故答案为：2．5．（2023•安徽）先化简，再求值：，其中x＝．【答案】x+1，．【解答】解：原式＝＝x+1，当x＝﹣1时，原式＝﹣1+1＝．6．（2023•广安）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．【答案】；﹣1．【解答】解：（﹣a+1）÷＝•＝．∵﹣2＜a＜3且a≠±1，∴a＝0符合题意．当a＝0时，原式＝＝﹣1．7．（2023•淮安）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝+1．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（+）＝÷＝•＝，当a＝+1时，原式＝＝．8．（2023•朝阳）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝3．【答案】，1．【解答】解：原式＝[+]•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝1．。
2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—圆的基本性质
2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—圆的基本性质1.理解圆心角及其所对的弧、弦之间的关系；2.理解并运用圆周角定理及其推论；3.探索并证明垂径定理会应用垂径定理解决与圆有关的问题；4.理解并运用圆内接四边形的性质.考点1：圆的定义及性质圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆。
这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
考点2：圆的有关概念弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。
2）直径长度等于半径长度的2倍。
，读作圆弧弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
以A、B为端点的弧记作ABAB或弧AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
考点3：垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分考点4：垂径定理的应用考点5：圆心角的概念圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
基于核心素养的数学概念教学案例设计与分析——以初中《函数的概念》的教学为例
基于核心素养的数学概念教学案例设计与分析——以初中《函数的概念》的教学为例介绍：《函数的概念》是初中数学中的重要内容，也是学生较难理解和掌握的知识点之一、在教学过程中，老师应该结合学生日常生活和实际情境，通过具体案例和问题引导学生从实践中理解函数的概念。
本文将以核心素养为指导，设计针对《函数的概念》的教学案例，并对其进行分析和评价。
教学目标：1.理解函数的基本概念和性质；2.能够正确使用函数表示、定义和计算；3.能够在实际问题中应用函数进行解决。
教学内容：1.函数的概念和符号表示；2.函数的定义与性质；3.函数的图像及其性质；4.函数的应用实例。
教学设计：一、引入活动教师在课堂开始前准备几张图片，让学生观察并回答以下问题：3.可以通过怎样的方法判断一个图形是否是函数？二、概念讲解通过引导学生回答问题的方式，让学生自主总结函数的定义和性质，并对其进行讲解和补充。
教师在概念讲解中重点突出函数自变量、因变量和函数值的关系，函数的图像及其性质，函数的定义及其计算方法。
三、案例分析1.例1：已知函数f(x)=2x+3，求f(-2)的值。
2.例2：已知函数g(x)=x²，求g(x)的图像。
四、拓展应用教师给学生提供一些实际问题，让学生通过函数的概念进行分析和解决，如：1.商品原价为100元，现在打8折，求购买该商品的实际花费；2. 设车辆行驶t小时，速度为v km/h，求行驶距离。
评价：通过本教学案例的设计，学生在实践中感知函数的概念，通过观察、思考和计算，逐步理解和掌握函数的基本概念和性质。
学生在活动中能积极参与、思维活跃，对函数的理解有了更深入的认识。
同时，案例设计中，教师结合具体问题，引导学生进行实际应用，提高了学生对函数的应用能力和解决问题的能力。
因此，本教学案例设计符合核心素养的要求，能有效促进学生对函数概念的理解和运用。
章建跃--把握数学核心概念,提高课堂教学有效性
一、提高“理解数学”的水平
• 老师理解好数学是提高教学质量的前提。 • 理解数学概念的几个方面：从表面到本质—把 握概念的深层结构上的进步；从抽象到具体— 对抽象概念的形象描述，解读概念关键词，更 多的典型、精彩的例子；从孤立到系统—对概 念之间的关系、联系的认识，有层次性、立体 化的认识；等。 • 提高解读概念所反映的数学思想方法的能力是 重点 。
例1 几个数学概念的解读
• 如何理解诱导公式？ • 推导等差数列前n项求和公式的思想方法 是什么？ • 如何理解两个变量的线性相关问题？
例2 如何理解“乘法公式”
• 代数——以符号(不定元)代表数； • 代数学的根源在于代数运算； • 代数运算有一系列普遍成立的运算律： 交换律、结合律、分配律、指数法则； • 代数学的基本思想：有效、有系统地运 用运算律去解答各种各样的代数问题。
二、高立意与低起点
• 立意不高是普遍问题，许多教师的“匠 气”太浓，课堂上题型、技巧太多，弥 漫着“功利”，缺少思想、精神的追求， 严重影响数学育人。 • 数学的“育人”功能如何体现？——挖 掘数学知识蕴含的价值观资源，在教学 中将知识教学与价值观影响融为一体。 • 关键：提高思想性。
例3不等式基本性质“立意”比较
例11 两个平面平行的判定问题
• 指导思想：类比两条直线平行的判定， 提出两个平面平行的判定的猜想，再给 出证明。 • 问题1 回顾已经得到的两个平面平行的 判定定理，你能说说得到这些判定定理 的思想方法吗？——定义法（原始，不 容易说清楚），化归为线面平行（用已 知想未知，与平面三公理联系等）。
三、怎样才是抓“基础”
• 我国“双基”的优势正在丧失； • 现象：（1）数学教学=题型教学=刺激— 反应（记忆、模范型学习）；（2）缺少 概念的概括过程，以训练代替概念教 学——应用可以促进理解，但没有理解 的应用是盲目的；（3）过分关注“题 型”——与“题型”对应的技巧是雕虫 小技，无法穷尽，结果是“讲过练过的 不一定会，没讲没练的一定不会”；等。
小学数学的核心概念——“和”
1 小学数学的核心概念——“和” 从小学数学知识结构的整体来看，几乎所有小学数学涉及的问题不是在求整体就是在求部分，都属于“和”这个概念的范畴。只是研究的数的范围在不断扩展，求整体、部分的方法在不断扩展罢了。 一年级就是以加、减法和整体与部分关系的教学为主。 二年级以大小数的关系，乘、除法和份总关系的教学为主。所谓大小数的关系，其实可以看作是在两个数量比较情况下的部分与整体的关系。两个数量相比较，必定会出现两种基本情况，一种是两个数量同样多，而 2
另一种就是两个数量不同样多，这样就产生了大数和小数。用线段图可以表示不同样多的情况，如图1.这两个数量表面上看去没有联系，但其实不然，以小数为标准，大数与之进行比较，自然地就被分成了两个部分，一部分是和小数同样多的，另一部分是比小数多出来的，也就是它们的差，如图2。而所谓的大小数的关系就是研究大数、小数和它们的差三个数量之间的关系。此时，如果我们隐去小数单独去观察大数，很容易看出，这幅线段图表示的就是“和小数同样多的部分”“差”与“大数”这三个数量之间部分与整体的关系，如图3。 3
由此看来，只要我们利用“同样多”这个概念，将小数转化成大数中和小数同样多的部分，那么，大小数的关系就很自然地转化成了部分与整体的关系了，如图4。
当把整体分成若干部分，所得到的每一部分都同样多的时候，部分与整体的关系，就转化为“份”的关系。因此，“份”是部分与整体的关系的一种特殊形式，而对乘法、除法的研究就是在这一特殊情况下对求和、求 4
部分的计算方法的研究。 三年级研究的主要是“倍”与倍数关系。如果把前面部分与整体的特殊形式“份”转换为两种数量的比较，并以较小的数为标准，就形成了有关“倍”的概念。倍数关系可以看做是两个数量比较下的“份总关系”，仍然是求和、求部分的问题。 四年级研究的一个重要知识是分数的意义。与“倍”的区别在于，它以较大数为标准，较小数是较大数若干份中的几份。 四、五、六年级知识中涉及的数量关系仍然是前三年中研究的那几种关系，只不过将数的范围从整数扩 5
小学数学《“数与代数”领域相关概念,目标与核心概念》您对课程中哪一个核心概念理解最深刻？请举例说明？
认真回顾小学数学《“数与代数”领域相关概念，目标与核心概念》这门课，您对课程中哪一个核心概念理解最深刻？请举例说明？聆听了小学数学《“数与代数”领域相关概念，目标与核心概念》这门课使我懂得了：数与代数部分是小学数学课程的重要内容。
在小学数学学习中占的比例是最大的，更重要的是这部分学习内容是整个数学学习和学习其他的学科的基础，可以说它是学习数学的主线。
对于课程的10 大核心问题，我对“符号意识”有了初步的认识和领悟所谓符号就是针对具体事物对象而抽象概括出来的一种简略的记号或代号。
数字、字母、图形、关系式等等构成了数学的符号系统。
教学中，教师要关注学生已有的符号经验，将数学教学设计成看得见、摸得着的物质化实践活动。
如教学“找规律”时，课件出示：路边这排树有什么规律？生：是按照紫色、绿色、紫色、绿色…•这样的规律排列的。
师：我们能不能想办法把这排小树的规律表示出来呢？这样，老师给了学生自主探索、实现自我的空间，他们有的摆，有的画，有的用数字表示，有的用拼音代替（生1: △□、£□……生2:生*3 □■□■□■••…；生4: 121212••…）多么富有个性的创造！这正是已有的符号观念在起作用，他们惊喜地发现自己也是一个“研究者、探索者、发现者”，体会符号给数学学习带来的无限乐趣。
再例如我们用符号表示运算律、计算公式和数量关系:加法结合律:三个数相加，先把前两个数相加，再同第三个数相加；或者先把后两个数相加，再同第一个数相加，它们的和不变。
用字母表示:（a＋b）＋c=a＋（b＋c）由此看出，用字母表示运算定律比用文字叙述运算定律更简明、易记，也便于学生灵活运用也许，再解决简单问题时，我们还看不出它的优势，但随着问题的复杂化，符号的简单灵活的优势会愈加明显。
纵观整个过程，将解决具体问题的思维操作转化为对符号的操作，有利于增强学生建立数学模型的意识，提高解决实际问题的能力，培养了学生的数学语言表达能力，通过对公式的变形，进步深化了符号感1/ 2。
博士数学知识点归纳总结
博士数学知识点归纳总结在数学领域，博士学位是高度专业化和深入研究的象征。
为了获得博士学位，候选人需要全面掌握数学的核心概念、理论和方法，并能独立进行研究。
本文将对博士数学知识点进行归纳总结，以帮助读者全面了解这一领域的基本概念和重要概念。
一、数论数论是研究整数性质和整数之间关系的分支学科。
在博士数学中，数论扮演着重要的角色。
数论的主要内容包括素数理论、同余理论、代数数论、解丢番图方程等。
博士生应掌握数论的基本概念和定理，如费马小定理、欧拉定理、高斯整数等。
同时，深入研究数论还需要了解其他相关领域的数学概念，如代数、解析数论等。
二、线性代数线性代数是数学的一个重要分支，涉及向量空间、线性变换、矩阵等概念。
在博士数学中，线性代数是一门基础课程，广泛应用于各个领域，如数学建模、图论、密码学等。
博士生应熟悉向量空间的定义和性质，掌握线性代数的基本操作和定理，如行列式的性质、特征值与特征向量等。
三、微积分微积分是数学的一门基础学科，主要研究函数的极限、导数和积分等概念。
在博士数学中，微积分是必修课程，也是理解和应用其他数学分支的基础。
博士生应熟练掌握微积分的基本理论和技巧，如极限的定义和性质、导数的计算和应用、定积分的计算和应用等。
四、概率论与数理统计概率论与数理统计是研究随机现象的规律性和统计推断的数学分支。
在博士数学中，概率论与数理统计广泛应用于各个领域，如金融数学、统计推断、图像处理等。
博士生应了解概率论与数理统计的基本概念和定理，如随机变量的概率分布、大数定律、中心极限定理等，并能够熟练运用概率统计方法解决实际问题。
五、离散数学离散数学是数学的一个分支，研究离散结构和离散对象的性质和关系。
在博士数学中，离散数学在算法分析、计算机科学等领域有广泛应用。
博士生应掌握离散数学的基本概念和定理，如图论、组合数学、计算复杂性理论等，以提高在相关领域的研究和应用能力。
六、几何学几何学是研究空间和形状性质的数学分支。
“数与代数”领域相关概念,目标与核心概念
《“数与代数”领域相关概念,目标与核心概念》的感悟《标准》中10 个核心概念分别是数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。
总体来说，这十个核心概念与小学数学都有一定的关系。
学习完《“数与代数”领域相关概念，目标与核心概念》的讲座，我对于课程的“数感”印象比较深刻。
在小学数学课程中，数感是人的一种基本数学素养，数感是一种主动地、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度与意识，即能用数学的视角去观察现实，能以数学的思维研究现实，能用数学的方法解决实际问题。
《小学数学新课程标准》对数感的表述是“数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性做出解释。
”我们也可以从两个方面理解数感，首先是数的理解与表示。
数是数量的抽象，而抽象出的数如何表示不同的数量，这就涉及到了数制即数表示的方式；其次要恰当地运用数解决问题。
培养和发展学生的数感，应该注意以下两个方面：⒈引导学生联系自己身边具体、有趣的事物；⒉注重解决生活中遇到的实际问题。
数感是一种心灵的感受，具有强烈的选择性，它与学生个性有着千丝万缕的联系。
同时，数感与个性是双向交流的。
一方面，学生总是对心灵世界直接相关的对象特别敏感，总是根据自己的兴趣、习惯对数学对象作出选择和反应；另一方面，数学教学完全可以运用数学本身的魅力去美化和感化学生的数感心灵，两者是相辅相成，互为作用的。
如何在教学过程中帮助学生建立数感呢？下面结合自己的教学实践，谈谈自己的观点：1、体验生活,建立数感。
在教学比的意义时。
这节内容看似简单，其实要讲透十分困难，这节课的一个重点就是让学生体会比是一种数量关系。
比如，甲数和乙数的比是3:2，为了让学生理解比的意义，我是这样设计的：课件出示：3杯牛奶和2杯果汁，先让学生用已有的分数知识表示出牛奶与果汁的关系，再引入比来表示牛奶和果汁的关系，从而让学生体会到比能简洁地表示出分数所能表示的两个数量关系，认识到学习比的必要性。
对高中数学核心素养——数学抽象的解读
对高中数学核心素养——数学抽象的解读随着新课改的大力推进，人们的教育观念从只注重成绩逐步转向关注学生核心素养的养成，国民核心素养的培育毫无疑问是至高无上的课题，对高中生而言，数学核心素养是绕不开的话题，而数学抽象是排在所有数学核心素养之首，是其他数学核心素养的基础，正如史宁中教授所说：数学在本质上研究的是抽象的东西，数学的发展所依赖的最重要的基本思想也是抽象的。
那么我们如何理解数学抽象呢？一、数学抽象的定义数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的素养。
从数学抽象的内涵看，数学抽象主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学符号或者数学术语予以表征。
注意这里舍去的“物理属性”不是物理科学和物理理论，而是现实的物体的特殊性质。
舍去的是它们的不同点，而得到的是它们的共同点，其中关于数量关系和空间形式的共同点就是数学研究对象——数学抽象。
另外某些共同点是物理或者其他科学的研究对象，就是物理学或其它科学的抽象。
从数学抽象的学科价值看，数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中。
它具有把具体问题用简洁的数学语言符号表示、用一般的方法来解决复杂的数学文字、变表面无关的东西为奇妙的数学结构和体系。
“抽象”一词几乎成为了数学的代名词，数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。
从数学抽象的教育价值看，通过数学抽象核心素养的培养，经历从具体到抽象的过程，能够感悟数学概念、命题、方法和体系的形成；能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质，逐渐养成一般性思考问题的习惯；能够在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题。
二、数学抽象的特点（一）数学抽象具有抽象性特点数学是一门研究度量、形式、图形和变化的学科，虽说它的研究对象脱不开现实原型，但可以绕开具体内容，理性地抽象出思维结果；另外我们可以用公理化的方法统一数学研究的各个领域。
小学数学学科核心素养解读资料
小学数学学科核心素养解读资料2014年3月30日，正式印发了《关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务的意见》。
在这份文件中，首次提出了“核心素养”这一概念，明确了学生应当具有的为毕生发展和社会发展所需的必备品行和关键能力，完全地构建了学生在各学段的发展核心素养体系。
这个文件深入回答了“培养什么人、怎样培养人”的问题。
要请教育者根据社会对人才的需求及学生的成长规律，把社会主义核心价值观和对学生发展整体要求进行细化、具体化。
目前，核心素养是通过顶端设计，贯通各学科来进行研究的。
在实现学生自身的基本素养和能力的转化、落实核心素养培养的教育教学进程中，课程起着至关重要的桥梁作用。
它是落实社会主义核心价值观，培养学生核心素养的根本途径。
构建怎样的课程体系，将意味着我们能给学生核心素养的培养提供怎样的平台。
近年来，随着教育标准的情势逐渐发展变化，以学科知识结构为核心的传统课程标准体系已经逐渐被以个人发展和毕生学习为主体的核心素养模型所代替，许多国家和国际组织不断研究，逐渐构建了学生核心素养模型。
为何会显现这种趋势呢？第一，在培养对象上，教育领域的趋势是以培养学生核心素养作为重心来推动教育改革与发展。
学生核心素养是从全面发展角度动身，解决“培养什么样人”的教育问题，体现了“增进人的全面发展、适应社会需要”。
以学科知识为核心的课程标准是从具体学科动身，解决“教什么”的问题，实现教育进程应当满足的标准。
其次，在价值取向上，核心素养反应了学生毕生学习所需的素养与国家、社会公认的价值观。
培养全面发展的人，培养、塑造青少年能力与品行，保持身心健康，使每个人发挥自己的才华和潜能，是教育必须承当的责任。
每个人是社会一分子，都肩负对社会群体的义务和责任。
通过个人的努力奋斗和奉献实现自身的价值，找到自己的位置，获得生命的意义。
再次，在内容结构上，系统性、特点性是学生核心素养体系的特点。
尽管世界各国构建学生核心素养的指标不全相同，但是目的一样，都是为了培养全面发展的人，建立健全的社会。
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04 几何直观
如何培养学生的几何直观 1、借助图形感知几何直观，培养学生空间想象力。 2、激发学生画图兴趣，培养学生几何直观能力。 3、注重数形结合，发展学生几何直观能力。
数学核心概念知多少
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05 数据分析观念
《标准》将“统计观念”更名为“数据分析观念”，点 明了统计的核心是数据分析。
数学核心概念知多少
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03 空间观念
形状
相互关系
变化
大小
位置
数学核心概念知多少
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03 空间观念
把发展学生的空间观念落到实处，可采取以下相应的措施： 1、利用生活实例，培养空间观念 2、借助操作实践，培养学生的空间观念 3、加强应用，沟通联系，提高空间观念
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核心概念的意义
核心概念是蕴涵于具体的课程内 容之中，或者与课程内容紧密结合的。
核心概念是数学的核心或聚焦点， 它有利于我们把握课程内容的线索和 层次，抓住教学中的关键。并在数学 内容的教学中有机地去发展学生的数 学素养。
数学核心概念知多少
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03
核心概念的理解
数学核心概念知多少
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01 数感
数与数量，
实际上就是建 数与数量 数量关系
立起抽象的数
和现实中的数 量之间的关系。
运算结果 的估计
数量关系包括数的大 小关系及其所对应的数量 之间的多少关系，也包括 变化的量之间的函数关系 等。
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08 模型思想
如何培养学生的模型意识 1、把生活原型抽象为数学模型。 2、把实际数学问题建构数学模型。 3、培养学生数学符号化思想是学生模型思想得以
发展的关键。
数学核心概念知多少
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数学核心概念知多少
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07 推理能力
归纳
类比
统计
数学核心概念知多少
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07 推理能力
培养小学生的推理能力,应该做到以下两点： 1、把培养学生的推理能力贯穿在日常数学教学中。 2、把推理能力的培养落实到《标准》的四个内容
数学核心概念知多少
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01 数感
数感是一种主动地、自觉地或自动化地理解数 和运用数的态度与意识，即能用数学的视角去观察 现实，能以数学的思维研究现实，能用数学的方法 解决实际问题。
数学核心概念知多少
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02 符号意识
符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、 数量关系和变化规律。这一条强调了符号表示的作用。
符号感是人对符号的意义、符号的作用的理解，以 及主动地使用符号的意识和习惯。
数学核心概念知多少
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02 符号意识
发展学生的符号感可以同时从两方面进行： ⒈结合数学内容，及时教给学生一些数学符号； ⒉鼓励学生创造性地使用自己的独特符号。
结束语
我们需要什么样的数学教学
史宁中教授： 中国未来小学数学教育将转入更加
注重内涵的改革深化阶段。 其一，注重思考力的培养； 其二，注重过程性经验的积累； 其三，注重真正意义上的“理解”。
THANKS
谢谢观看
数学核心概念知多少
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10励学生“质疑——发现问题和提出问题”。 2、鼓励学生“在做中积累经验”。 3、教师做表率作用，拥有创新意识，注重变式教
学，培养求异思维。
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领域之中。
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08 模型思想
《标准》首先说明了模型思想的价值，即建立了数 学与外部世界的联系。
小学阶段有两个典型的模型“路程＝速度×时间”、 “总价＝单价×数量”，有了这些模型，就可以帮助我 们去解决问题。
数学核心概念知多少
04
结束语
the end
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它们之间是密切联系的， 所以核心概念有一个承上 启下的作用。上面连着目 标，下面联系着内容，是 非常重要的，所以也把它 称为核心概念。
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04 几何直观
几何直观主要是指“利用图形描述和分析问题。 借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形 象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。”。
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数学核心概念知多少
——小学数学新课标十个核心概念解读
shu xue he xin gai nian zhi duo shao --xiao xue shu xue xin ke biao shi ge he xin gai nian jie du
国培数学班5组：曾莉（镇东小学）
数学核心概念知多少
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09 应用意识
应用意识是综合运用已有的知识和经验，经过自主 探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有一 定挑战性和综合性的问题。
数学核心概念知多少
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09 应用意识
培养学生的应用意识，应注意以下几点： ⒈指导学生选好题目； ⒉明确活动目标； ⒊强调自主性与交流的要求； ⒋总结与评价。
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10 创新意识
《标准》指出：“创新意识的培养是现代数学教育 的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自 己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考 是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证， 是创新的重要方法。”
目录
catalog
01
数学课程标准
02
核心概念的意义
03
核心概念的理解
04
结束语
数学核心概念知多少
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01
数学课程标准
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《标准》指出:“在数学课程中,应当注重发展学生的 数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、 运算能力、推理能力和模型思想。为了适应时代发展对 人才培养的需要,数学课程还要特别注重发展学生的应用 意识和创新意识。”
06 运算能力
如何培养运算能力： 1.培养良好的计算习惯。（审题、书写、检验） 2.在动手操作中理解算理，优化算法。 3.在计算教学中重视口算训练。
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07 推理能力
合情推理是根据已有的知识和经验，在某种情境和过程 中推出可能性结论的推理。
01 数感
培养和发展学生的数感，应该注意以下两个方面： ⒈引导学生联系自己身边具体、有趣的事物； ⒉注重解决实际问题。
数学核心概念知多少
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02 符号意识
符号感
符号意识
数学核心概念知多少
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数学核心概念知多少
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数感 空间观念 数据分析观念 推理能力 应用意识
符号意识 几何直观 运算能力 模型思想 创新意识
数学核心概念知多少
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02
核心概念的意义
数学核心概念知多少
“数据分析观念”更加突出了统计与概率独特的思维方 法：体会数据中蕴涵着信息；根据问题的背景选择合适的 方法；通过数据分析体验随机性。
数学核心概念知多少
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05 数据分析观念
如何培养数据分析观念： 1.让学生经历完整的收集、整理、描述、分析的统计全 过程， 2.设计合理的的问题情境，让学生体会到收集分析数据 的必要性。 3.开展实践活动。
数学核心概念知多少
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06 运算能力
《标准》指出：“运算能力主要是指能够根据法则 和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于 学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问 题”。