可化为一元一次方程的分式方程练习题
10.5可以化为一元一次方程的分式方程作业
得（1）(4)是分式方程
所以选（B）.
进一步理解分式方程的意义.
2.检验 是否是下列分式方程的一个解？：(练习册P52/2)
（1） .
(2) .
（3） .
解：分析：要判断 是哪个分式方程的解，只要将 代入各个分式方程，若左右两边相等，则 就是这个分式方程的解.
解： 是方程（2）（3）的解.
2．解方程：（课本P85/2）
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
解：
（1）方程两边同乘以 ，得
化简得
检验，将 代入原方程，得
左边= =右边.
所以 是原方程的解.
（2）方程两边同乘以 ，得
移项，化简得
检验，将 代入原方程，得
左边= =右边.
所以 是原方程的解.
（3）方程两边同乘以 ，得
移项，化简得
理解分式方程的解的含义．
3.解方程：(练习册P53/3)
（1） .
(2) .
（3） .
（4） .
解：（1）方程两边同乘以 ，得
去括号，得
移项，化简得
检验，将 代入原方程，得
左边= =右边.
所以 是原方程的解.
（2）方程两边同乘以 ，得
去括号，得
移项，化简得
检验，将 代入原方程，得
左边= =右的根.
B组：(练习册P36/4)
1.通信员要从营地前往相距2400米的哨所去送信，然后立即按原路返回，这样出发到回到营地共花了40分钟.若通信员去送信时的速度是回来时的速度的1.5倍，求他去送信时的速度.
2.小丽和小杰一起做速算练习，小杰每分钟可以比小丽多做4道题，结果在相同的时间里，小杰做了240道速算题，而小丽只做了160道.小丽每分钟可以做多少道速算题？
华师版八年级数学下册课件 第16章 分式 可化为一元一次方程的分式方程 第2课时 列分式方程解应用题
11．(12 分)某自动化车间计划生产 480 个零件，当生产任务完成一半时， 停止生产并进行自动化程序软件升级，用时 20 分钟，
7．(10分)(威海中考)小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球． 他们两家到体育公园的距离分别是1 200米，3 000米， 小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若两人同时到达， 则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度．
解：设小明的速度是 x 米/分钟，则小刚骑自行车的速度是 3x 米/分钟， 根据题意，得
恢复生产后工作效率比原来提高了13 ， 结果完成任务时比原计划提前了 40 分钟， 求软件升级后每小时生产多少个零件？
解：设软件升级前每小时生产 x 个零件，
则软件升级后每小时生产(1＋13 )x 个零件，根据题意，得
480 x
－[24x 0
＋（12＋4013）x
＋2600
]＝4600
，解得 x＝60，
1 200 x
－4＝3
000 3x
，解得 x＝50，经检验得
x＝50 是原方程的解，
且符合题意，故 3x＝150， 答：小明的速度是 50 米/分钟，小刚骑自行车的速度是 150 米/分钟
8．(易错题)市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书， 工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案： ①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工； ②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用 5 天； ③ ，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．
可化为一元一次方程的分式方程及其应用练习题
可化为一元一次方程的分式方程导学案教学目标1.熟悉分式方程的定义及产生增根的原因。
2.掌握分式方程的解题步骤，理解验根是解分式方程的必要步骤。
.教学重点：熟练地进行分式方程的求解过程.教学难点：懂得解分式方程可能产生增根，理解验根的必要性并会进行检验.一、知识点：1.分式方程的概念2.解分式方程的一般步骤① ② ③3.分式方程的增根（产生增根的原因）：4.分式方程的应用二、学会应用解方程 1.114112=---+x x x 2.2911213133131x x x x x -=-+++-3.32651222-=+----x x x x x x x5.关于x 的分式方程442212-=++-x x k x 有增根x=-2，则k=1623.4222-=-++x x x x x三、本节课你学到了什么？1、什么是分式方程？举例说明2、解分式方程的一般步骤：①、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．②、解这个整式方程．③、验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若结果不是0，说明此根是原方程的根；若结果是0，说明此根是原方程的增根，必须舍去．3、解分式方程为什么要进行验根？怎样进行验根？4、解分式方程的注意点：（1）去分母时，先确定最简公分母；若分母是多项式，要进行因式分解；（2）去分母时，不要漏乘不含分母的项；（3）最后不要忘记验根。
四、应用题一．行程问题（1）一般行程问题1、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的告诉公路。
某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。
（2）水航问题2、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。
已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。
二．工程问题1、一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半，加一天乙型拖拉机，两台合耕，1天耕完这块地的另一半。
初二可化为一元一次方程的分式方程应用题
本题涉及增长（或减少）百分率问题： 增长的数目=增长前的数目×增长百分比 增长后得到的数目=增长前的数目×（1+增长百分比） 减少的数目=减少前的数目×减少百分比 减少后得到的数目=减少前的数目×（1-减少百分比）
宏达公司生产了A型、B型两种计算机，它们
的台数相同，但总价值和单价不同. 已知A型 计算机总价值为102万元；B型计算机总价值 为81.6万元，且单价比A型便宜2400元. 问A 型、B型两种计算机的单价各是多少万元.
A、B型两种不同型号的计算器，每台A型计
算器比每台B型计算器的价格高10元，已知 用1000元购买A型与用800元购买B型的台数 相同. 问A、B两种计算器每台各多少元.
为了缓解交通拥堵现象，某市决定修一条轻
轨铁路.为使工程提前2个月完成，在保证质 量的前提下，必须把工作效率提高10% .问计 划完成这项工程用多少个月.
同学们在计算机课上学打字.
李华比王妍每分 钟多录入20个字，李华录入300个字与王妍 录入200个字的时间相同. 问李华、王妍每分 钟各录入多少个字.
可化为一元一次方程的分式方 程应用题
1、什么是分式方程？ 2、解分式方程的一般步骤。
3、列方程解应用题的步骤是什么？
审题 找相等关系 设未知数 ④列方程 ⑤解方程 ⑥检验作答
动脑筋：
分析 本题的相等关系是： A型机器人搬运1000Kg所用时间=B型机器人搬运800Kg所用时 间
国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调 在政策实施后，客户每购买一台可获得补贴200元，若 同样用11万元购买此款空调，补贴后可购的台数比 补贴前多10%，则该款空调补贴前的售价为多少元？
可以化成一元一次方程的分式方程
4、结论 ：确定分式方程的解
解：设火车速度为x千米/小时， 那么高铁的速度则为2x千米/小时.
200 200 2 由题意，得 x 2x 3
方程两边同时乘以6x 1200-600=4x x=150 经检验，x=150是原方程的解 则2x=300 答：火车速度为150千米/时， 高铁的速度为300千米/时。
错误的原因是什么? ＊ 他的解题步骤完整吗？如果不完整，请说明他缺 少哪一步? 答： ； ＊ 请你解这个方程.
200 பைடு நூலகம் 200 2x
x
200
2x
沪杭铁路全长约200千米,火车 和高铁的平均时速分别是多少呢？
乘高铁去杭州比火 车可以少用 2 小时 3
沪杭高铁的速度是 火车速度的２倍
解：设火车速度为x千米/小时， 那么高铁的速度则为2x千米/小时. 由题意，得
200 200 2 x 2x 3
沪杭铁路全长约200千米,火车 和高铁的平均时速分别是多少呢？
是
（3）
3x 1 2 2x 1
是
（4）
（5）
2 x 1 2 x 3 3 x
是
（6）
2x 5 x 1 4 3 2
（7）
5 1 3x 2 x 3
1 2x 2 x2 1 x
是
（8）
2 x 1 是 x x2
x 1 4 2 1 是 x 1 x 1
1 2x 2 x2 1 x
（10）
解分式方程一般步骤
1、去分母，化为整式方程
⑴把各分母分解因式; ⑵找出各分母的最简公分母; ⑶方程两边各项同乘以最简公分母;
2、解整式方程 3、检验
这里的检验要以计算 正确为前提
可化为一元一次方程的分式方程的应用题
可化为一元一次方程的分式方程的应用题
1、已知甲比乙每小时多做3个零件，甲做30个零件与乙做20个零件用的时间相同，求甲、乙两人每小时各做多少个零件？
2、为迎接市中学生田径运动会，计划由某校八年级（1）班的3个小组制作240面彩旗，后因一个小组另有任务，改由另外两个小组完成制作彩旗的任务。
这样，这两个小组的每个同学就要比原计划多做4面。
如果这3个小组的人数相等，那么每个小组有多少名学生？
3、甲、乙两公司各为“见义勇为金会”捐款30000元，已知乙公司比甲公司人均多捐款20元，且甲公司的人数比乙公司的人数多20%。
问甲、乙两公司各有多少人？
4、一项工程，甲工程队单独完成需要12个月，甲、乙合作需要4个月，那么乙工程队单独完成需要多少个月？
5、某工程队需要在规定日期内完成。
若甲队单独做正好按时完成；若乙队单独做，超过规定日期三天才能完成。
现由甲、乙合作两天，余下工程由乙队单独做，恰好按期完成，问规定日期是多少天？
6、某人骑自行车比步行每小时多走8千米，他步行12千米和骑自行车走36千米所用的时间相等，这个人步行每小时走多少千米？
7、八年级学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校120千米，一部分学生乘慢车先行，出发1小时后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区，已知快车的速度是慢车的1.5倍，求慢车的速度。
8、为响应低碳号召，肖老师上班的交通方式由自驾车改为骑自行车，肖老师家距学校15千米，因为自驾车的速度是骑自行车速度的4倍，所以肖老师每天比原来早出发45分钟，才能按原时间到校，求肖老师骑自行车每小时走多少千米．。
分式可化为一元一次方程的分式方程
分子中不含有未知数的分式方程、分子中只含有一个未知数的分式方程和分子中 含有多个未知数的分式方程。
如何将分式方程转化为方程
将分式方程转化为方程，需要将等式两边的分式通分，消去 分母，得到一个整式方程。
将分式方程转化为方程的关键是找到与等式两边分母的最简 公分母，将其作为通分后的分母。
05
分式方程与一元一次方程的联系与区 别
分式方程与一元一次方程的联系
分式方程和一元一次方程都是线性方程，具有线性结构。
一元一次方程是分式方程的特殊情况，即当分母只含有一个未知数时，分式方程 就转化为一元一次方程。
分式方程与一元一次方程的区别
1
分式方程的未知数在分母中，而一元一次方程 的未知数在等号的一侧。
将分式方程$\frac{x+1}{x} + \frac{x}{x+1} = 2$化为一元一次方程。
分式方程练习题解析
练习题1解析
首先将方程两边同乘以$(x+1)(x-1)$，将分式方程化为整式方程 ，然后解这个整式方程，最后检验即可。
练习题2解析
首先将方程两边同乘以$2(x+5)(x-2)$，将分式方程化为整式方程 ，然后解这个整式方程，最后检验即可。
方法
将分式方程变形为整式方程，通常使用通分、 约分、乘法等方式消元。
3
注意事项
在消元过程中要注意可能产生增根的情况，需 要进行检验。
换元法
概念
01
通过引入一个或多个变量替换分式方程中的某些式子，将其化
简为一元一次方程或二元一次方程组。
方法
02
根据分式方程的特点，选择合适的换元变量，将方程化简为一
元一次方程或二元一次方程组进行求解。
16.3.1可化为一元一次方程的分式方程
探究分式方程的解法
思考：怎样解分式方程呢？
为了解决这个问题，请同学们先思考并 回答以下问题： 1）、回顾一下解一元一次方程时是怎么 去分母的，从中能否得到一点启发？ 2）、有没有办法可以去掉分式方程的分 母把它转化为整式方程呢？
探究分式方程的解法
80 60 试动手解一解方程： x 3 x 3
解：方程两边同乘以x-4，得
x 4 x 5 1
解这个整式方程得 x = 5 检验：把 x = 5 代入 x -4，得x-4≠0
∴x = 5是原方程的解.
例题讲解与练习
x2 16 x2 2 例3 解方程：(2) x2 x 4 x2 解：方程两边同乘以（x-2)(x+2），得 注意：分
这个方程有何特点？
想一想
80 60 x 3 x 3
这个方程有何特点？
特征：方程两边的代数式是分式。
或者说未知数在分母上的方程。
分式方程的概念
80 60 方程 中含有分式，并且分母 x 3 x 3
中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.
分式方程的主要特征：
（1）含有分式 （2）分母中含有未知数. 你还能举出一个分 式方程吗？
做一做
判断：
x 1 2 1方程 2 1的解是x 2； x x x 1 2 方程 的解是x 1； x 1 x 1 x 1 3 把分式方程 2 化为整式方程得x 2 1； x 2 2x
课堂小结
1、什么是分式方程？举例说明 2、解分式方程的一般步骤： a 、在方程的两边都乘以最简公分母， 约去分母，化为整式方程． b、解这个整式方程． c 、验根，即把整式方程的根代入最简 公分母，看结果是不是零，若结果不是0，说 明此根是原方程的根；若结果是0，说明此根 是原方程的增根，必须舍去． 3、解分式方程为什么要进行验根？怎样 进行验根？
华东师大版八年级数学下册 16.3 可化为一元一次方程的分式方程的解法
16.3可化为一元一次方程的分式方程的解法 例1．解下列方程：（1）11035x x --=+； （2）51144x x x -+=--． 分析：去分母把分式方程转化成整式方程，求解后验根.解：（1）方程两边同乘以5(3)x +， 得5(1)(3)0x x --+=．即2x =．检验：把2x =代入方程左边，得11211035235x x ---=-=++．∵左边＝右边，∴2x =是原方程的解． （2）方程两边同乘以4x -， 得451x x -+-=．∴5x =．检验：把5x =代入方程左边，得555111454x x +-+=+=--； 把5x =代入方程右边，得111454x ==--． ∵左边=右边，∴5x =是原方程的解． 点评：1．解分式方程的思想是转化为整式方程．其一般方法是方程两边同乘以各分式的最简公分母，约去分母；2．所得结果是否为原方程的解，需要检验．例2．解方程：（1）34211x x x x -+=-++ ； （2）22162242x x x x x -+-=+-- ． 解：（1）方程两边同乘以1x +，得342(1)x x x -=+-+，32x x -=-，01x =g ． 因为任何有理数与0相乘，积都不可能是1，所以此方程无解，即原方程也无解．（2）方程两边同乘以24x -，得22(2)16(2)x x --=+，22441644x x x x -+-=++，816x =，2x =∴．检验：把2x = 代入方程左边，得22162216242244x x x ---=-+-+-． 使分母为零，分式无意义．所以2不是原方程的根，原方程无根．点评：1．把分式方程转化成整式方程后，整式方程可能有解，可能无解．如（1）题．若无解，则原分式方程必无解；既使整式方程有解，将解代到分式方程中去检验，也可能使分式方程无解．如（2）题．由此可见验根的重要性与必要性．2．使分式方程无解的原因是整式方程的解使分式方程中的分母为零．显然增根的产生是由于去分母引起的，因此检验的方法可简化成直接将整式方程的解代入最简公分母即可．例3．解方程2232511877x x x x x x x----=---+-． 分析：先将分母因式分解，再找最简公分母． 方程变形为232511(1)(7)7x x x x x x x ----=-----． 方程两边都乘以(1)(7)x x --，得2(1)(7)(3)(7)2(5)(1)x x x x x x x -----=----．去括号，整理得47x =-，∴74x =-． 检验：把74x =-代入(1)(7)0x x --≠， ∴74x =-是原方程的解． 点评：此解法在去分母的过程中使未知数出现了二次的情况，虽然最终消去了二次项，但运算过程略显复杂．若在去分母之前，先减少分子中未知数的个数，把每个分式化简，将避免二次项的出现．例4 解关于x 的方程：2211m n m n x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22()m n ≠. 分析：对于含字母系数的方程可转化为含字母系数的一元一次方程求解.解：方程两边同乘以x ，得2323m x m n x n -=- ，移项整理，得2233()m n x m n -=-． ∵22m n ≠， ∴方程两边同除以22m n -，得3322m n x m n -=- 即22m mn n x m n ++=+．经检验：22m mn n x m n++=+是原方程的解． 点评：对于字母系数思路与数字系数相同，同样要验根.例5 k 为何值时，方程433x k x x -=--会产生增根？ 分析：此例类似解分式方程，但不同的是有待定系数k ，k 的取值决定着未知数x 的值，故可用k 的代数式表示x ．结合增根产生是最简公分母30x -=时产生的，可建立新的方程求解．解：去分母，得4(3)x x k --=， ∴123k x -=． 当30x -=即3x =时，方程会产生增根，∴1233k -=，∴3k =． 点评：利用待定系数法求解，将待定系数作为已知数，求出未知数（用代数式表示），由最简公分母为零，求出未知数（增根）的值，再建立新方程求解.例6 一小船由A 港到B 港顺流需行6小时，由B 港到A 港逆流需行8小时．一天，小船早晨6点由A 港出发顺流到B 港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小时后找到救生圈．问：（1）若小船按水流速度由A 港漂流到B 港要多少小时？（2）救生圈是何时掉入水中的？分析：本题的关键是：（1）弄清顺流速度、逆流速度与船在静水中速度和水速的关系；（2）弄清问题中的过程和找出所包含的相等关系．解：（1）设小船由A 港漂流到B 港用x 小时，则水速为1x． 由静水速度＝顺流速度－水速＝逆流速度＋水速，∴111168x x-=+， 解得48x =（小时）． 经检验48x =是原方程的解． 答：小船按水流速度由A 港漂流到B 港要48小时．（2）设救生圈在y 点钟落入水中，由问题（1）可知水流速度为每小时148．小船顺流由A 港到B 港用6小时，逆流走1小时，同时救生圈又顺流向前漂了1小时，依题意有：()1111121648848y ⎛⎫⎛⎫--=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g ，解得：11y =． 答：救生圈在中午11点落水．点评：列方程解应用题注意分析题目中的数量，分清哪些是未知数，哪些是已知数，再找出这些数量间的关系，尽量找出多的数量关系，然后从中找出题目中需要的.例7 抗洪抢险，需要在一定时间内筑起拦洪大坝．甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙队合作2天后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需要多少小时？ 分析：这是工程问题，要涉及到的是工作效率、工作时间和总工作量．若把总工作量看成1，设出甲、乙队各需的时间，可得到各自的工作效率，于是甲、乙的工作量可求出． 解：设单独完成全部工作甲需x 小时，乙需(3)x +小时．依题意，得222133x x x x -++=++． 解之得6x =． 经检验6x =是原方程的解．∴39x +=． 答：甲、乙两队单独完成全部工程各需要6小时和9小时．点评：实际上总工作量可以设成m ，但在运算过程中可以消去，也就是说，总工作量是个无关的量，因此一般把总工作量看成1．。
16.3.1可化为一元一次方程的分式方程
t ?
引入问题：
轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60 千米所需的时间相同。已知水流的速度是3千米/时。 求轮船在静水中的速度。
解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，根
据题意，得
80 60 x 3 x3
这个方程与以前学过的方程一样 吗？它有何特点？
方程两边都是有理式，并且分母中含有未知数.
16.3.1可化为一元一次方程的分式方程
数学世界应该是一个让你感到幸福和 快乐的世界，希望你能体会到数学的好， 数学给你带来的美！
引入问题：
轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行 60千米所需的时间相同。已知水流的速度是3千米/时。 求轮船在静水中的速度。
分析：
顺 逆
S 80 60
V x+3 x-3
解这个整式方程得 x 1
因为解分式方程时可能会产生增根，所 以解分式方程必需检验。
怎样进行检验呢？
方法一：把整式方程的根代入原分式方程， 方法三：把整式方程的根代入最简公分母， 方法二：把整式方程的根代入原分式方程 看它是否能使原分式方程中左右两边的值 如果最简公分母的值等于0，则是增根，如 各分母，看它是否能使原分式方程中有的 相等。若相等则是根，反之则是增根，需 果最简公分母的值不等于0，则是根。 分母等于零。 （简单，最佳） 舍去。
2 3 6 解：原方程可变为: x 1 x 1 ( x 1)( x 1)
两边都乘以最简公分母 （x+1）(x-1) 得
3 6 2 x 1 ( x 1) 2 x 1 ( x 1) x 1 x 1 x 1 2( x 1) 3( x 1) 6
一、分式方程的概念
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分式方程练习题
1．若分式方程14733xxx有增根，则增根为
2．分式方程572xx的解为
3．分式方程2857xx的解为
4．若分式751y的值为12，则y＝
5．当x＝ 时，分式5xx与另一个分式62xx的倒数相等。
6．当x＝ 时，分式5x与523x的值相等。
7．若分式552x与552x的和为1，则x的值为 -
8．在x克水中加入a克盐，则盐水的浓度为
9．某公司去年产值为50万元，计划今年产值达到x万元，使去年的产值仅为去年与今
年两年产值和的20%，依题意可列方程
10．AB两港之间的海上行程仅为s km，一艘轮船从A港出发顺水航行，以a km／h的
速度到达B港，已知水流的速度为x km／h，则这艘轮船返回到A港所用的时间为
( ) h。
11．分式方程11128x的解为 （ ）
A．x=8∕3 B．83x C．8x D．8x
12．对于分式方程3233xxx,有以下说法:①最简公分母为(x－3)2；②转化为整式方
程x＝2＋3，解得x＝5；③原方程的解为x＝3；④原方程无解，其中，正确说法的个数
为 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
13．一个数与6的和的倒数，与这个数的倒数互为相反数，设这个数为x，列方程得
（ ）
A．116xx B．16xx C．1106xx D．1106xx
14．甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，已知两人每天共做140个零件，
若设甲每天做x个零件，列方程得 （ ）
A．360480140xx B．360480140xx C．360480140xx D．360480140xx
15．某面粉厂现在平均每小时比原计划多生产面粉330kg，已知现在生产面粉33000kg
所需的时间和原计划生产23100kg面粉的时间相同，若设现在平均每小时生产面粉
x kg，则根据题意，可以列出分式方程为 （ ）
A．330023100330xx B．3300023100330xx
C．3300023100330xx D．3300023100330xx
16．解方程。
（1）271326xxx （2）221046(1)1xxxx
17．一个工厂接了一个订单，加工生产720 t产品，预计每天生产48 t，就能按期交货，
后来，由于市场行情变化，订货方要求提前5天完成，问：工厂应每天生产多少吨？
18．用价值100元的甲种涂料与价值240元的乙种涂料配制成一种新涂料．其每千克售
价比甲种涂料每千克售价少3元，比乙种涂料每千克的售价多1元，求这种新涂料
每千克的售价是多少元？
19．近几年高速公路建设有较大的发展，有力地促进了经济建设．欲修建的某高速公路
要招标．现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作，24天可以完成，费用为120
万元若甲单独做20天后剩下的工程由乙做，还需40天才能完成，这样所需费用110
万元，问：
（1）甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少天？
（2）甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少万元？