钢结构第四章答案

习题参考答案

题：欧拉临界荷载的推证（一端固定，一端自由）；

解：由构件x 处截面的力矩平衡，得到方程)()(''y P x h P EIy -+-=δα，可进行数学推导，求得欧拉临界荷载值。

EI

P Ph x EI P -EI P ''δαα++

=+

y ，令EI P

k 2=，则δαα2222k h k x k -k ''++=+y ；显然平衡方程即为二阶常系数非齐次线性方程的求解。

齐次方程求解：0k ''2=+y ，令rx e y =，便可解得ki r ±=，故通解为

sinkx A coskx A y 21+=。

方程的特解求解：有0x 222e )x (k h k x k -ϕδαα=++，其中)x (ϕ为一次多项式，由于0不是特征方程的根，可令21B B y +=x ，代入方程得

δαα222212)(k h k x k B x B k ++-=+，则α-=1B ，δα+=h B 2。于是可

得方程的全解为：δαα++-+=h x sinkx A coskx A y 21。

边界条件：⎩

⎨⎧=+-=⇒⎩⎨⎧=-=++⇒==k A h A kA h A y y /)

(000)0(')0(2121αδααδα；

所以：22sinkh coskh )(y(h)δααα

δαδ++-++-==h h k

h ，将方程进行变换便

可得到h k

αα

δ-=tankh 2，即得证P84中的式（4-4b ）。

当2kh π=时，自由端位移2δ趋近于无穷大，即构件失稳，则欧拉临

界荷载为2222

E 4h

)2h (k EI P ππ===，即22E 4h EI P π=。

4.9题：要求按照等稳定条件确定焊接工字型截面轴心压杆腹板的高厚比。钢材为Q235，杆件长细比为100=λ，翼缘有火焰切割和轧制边两种。计算结果请与规范规定作对比。

解： 轴心压杆的弹性模量修正系数为，

.18287.0)10206/(235))10206/(2351000248.01(1001013.0/)/0248.011013.03

32222

≤=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=-=E

f E f y y λλη（

由表4-4，翼缘为火焰切割边的焊接工字型截面的强弱轴均为b 类截面，而翼缘为轧制边的焊接工字型截面的弱轴为c 类截面，故由杆件长细比查附表17-2和17-3得轴心受压构件的稳定系数分别为0.555和0.463。故翼缘为火焰切割边的焊接工字型截面轴心压杆腹板高厚比为，

75235

)

5.025(20.82]235555.0)3.01(12102068287.043.1[])1(1243.1[5.02325.0min 220

=+>=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-⨯=y

y w f f E t h λπϕνπη；

局部稳定性：

13235

235132351306.9162/)10300(1==<≈-=y f t b 翼缘为轧制边的焊接工字型截面轴心压杆腹板高厚比为，

75235

)

5.025(00.90]235463.0)3.01(12102068287.043.1[])1(1243.1[5.02325.0min 220

=+>=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-⨯=y

y w f f E t h λπϕνπη；

局部稳定性：

13235

235132351375.5202/)10240(1==<=-=y f t b 注意：本题等稳定条件为板件的临界应力和构件的临界应力相等，而

不是前面所述的关于x 和y 等稳定系数。

4.18题：如图所示两焊接工字型简支梁截面，其截面积大小相同，跨度均为12m ，跨间无侧向支承点，均布荷载大小相同，均作用于梁的上翼缘，钢材为Q235，试比较说明何者稳定性更好。

解： 均布荷载作用，受弯构件的弯扭失稳，计算其整体稳定性。 （1）、梁的跨中最大弯矩：2max 8

1

M ql =；梁的几何特征参数如下：

mm l l l y x 12000000===；221600101200216300mm A =⨯+⨯⨯=；

493310989.4)12002901232300(12

1

mm I x ⨯=⨯-⨯=

； 3

6910099.81232

210989.42mm h I W x x ⨯=⨯⨯==；mm A I i x x 6.4802160010989.49=⨯==；

47331021.7)101200230016(12

1

mm I y ⨯=⨯+⨯⨯=

； 3

5710807.430021021.72mm h I W y y

y ⨯=⨯⨯==；mm A I i y y 8.5721600

1021.77=⨯==；

61.2078

.5712000

0≈=

=

y

y y i l λ； 梁的整体稳定系数b ϕ，52.01232

30016

12000111≈⨯⨯==

h b t l ξ，758.013.069.0=+=ξβb ， 2928

.0235235]0)12324.41661.207(1[10099.832212160061.2074320758.0235

]

)4.4(1[432026

2212≈⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯

=++=y b y x

y b b f h t W Ah ηλλβϕ；

m kN f W M x b ⋅≈⨯⨯⨯=≤85.50921510099.82928.06max ϕ，

mm N m kN l q /33.28/33.281285

.5098M 82

2max max =≈⨯==

。 （2）、梁的跨中最大弯矩：2max 81

M ql =；梁的几何特征参数如下：