§3.4 空间直线的方程
§3.4 空间直线的方程
一、直线的点向式方程
1. 如图3-6, 在空间给定了一点M0与一个非零矢量，那么通过点M0且与矢量平行
的直线l就唯一地被确定，矢量叫做直线l的方向矢量. 显然，任何一个与直线l平行的
非零矢量都可以作为直线l的方向矢量.
2. 取空间取标架{O;,,}, 设M0的径矢为＝，直线l上任意点M的径矢
为＝，则 ＝＝+＝＋t 叫做直线l的矢量式参数方程，其
中t为参数，它的几何意义是在{M0; }下，的坐标或分量.
3. 设M0(x0, y0, z0), M(x, y, z), ＝{X, Y, Z}, 则
叫做直线l的坐标式参数方程, 其中t为参数.
从上式中消去参数t，则得
＝＝.
叫做直线l的对称式方程或称直线l的标准方程，其中X,
Y, Z不全为0，若某一为0，例如Z＝0, 此时可理解为z
－z0＝0.
4. 通过空间两点M1(x1, y1, z1)和M2(x2, y2, z2)的直
线l的方程为
＝＋t(－).
或
即 ＝＝.
叫做直线l的两点式方程.
5. 在直角坐标系下，直线的方向矢量常取单位矢量
＝{cos, cos, cos},
这时直线l的方程为 ＝+t,
或 ＝＝.
这叫做直线l的法式方程, 其中t的绝对值恰好是直线l上两点M0与M间的距离，这是因
为| t | = |－| = ||.
6. 直线的方向矢量的方向角 与方向余弦cos, cos, cos分别叫做直线的方
向角与方向余弦；直线的方向矢量的分量X, Y, Z或与它成比例的一组数l, m, n(l: m: n=X:
Y: Z
)叫做直线的方向数，由于与直线共线的任何非零矢量，都可以作为直线的方向矢量，
因此
π－α，π－β，π－ 及cos(π－)=－cos, cos(π－)=－cos, cos(π－)=－
cos, 也可以看作是直线的方向角与方向余弦.
显然直线的方向余弦与方向数之间有下面的关系：
cos＝，cos＝，
cos＝.
由于我们讨论的直线不是有向直线，而且两非零矢量{X, Y, Z}与{X′, Y′, Z′}共线
的充要条件是 X: Y: Z= X′: Y′: Z′ ， 所以我们将用 X: Y: Z 来表示与非零矢量{X, Y,
Z
}共线的直线的方向(数).
例1. 求z轴的参数方程和对称式方程.
解：因为z轴过原点(0, 0, 0)，坐标矢量＝{0, 0, 1}显然是z轴的一个方向矢量，
从而z轴的参数方程为
对称式方程为
＝＝.
例2．求过点P(1, 2,－1)与z轴相交且与平面π：6x+2y+z－1=0平行的直线方程.
解 ：所求直线与z轴的交点为（0，0，c）,则直线方程为
＝＝，
因为 所求直线与平面π平行，
所以 两矢量{1, 2, －1－c}与{6, 2, 1}垂直，
从而 6+4+(－1－c)=0, 即c = 9.
故所求直线为
＝＝.
例3．一直线与三坐标轴间的夹角分别为, , ，证明
sin2＋sin2＋sin2＝2.
证明： 因为 cos2＋cos2＋cos2＝1 ，
所以 sin2＋sin2＋sin2
＝(1－cos2)＋(1－cos2)＋(1－cos2)
＝3－(cos2＋cos2＋cos2)
＝3－1
＝2.
二、直线的一般方程
1. 若A1:B1:C1A2:B2:C2，则1: A1x+B1y+C1z+D1＝0
2: A2x+B2y+C2z+D
2
＝0
叫做它们交线l的一般方程.
2. 直线的标准方程是一般方程的特殊情形，因为X, Y, Z不全为0，不妨设Z0，此时
可将标准方程改写成
令 a＝，b＝，C＝x0－Z0，d＝y0－z0，就有
它叫做直线l的射影式方程，其中a, b, c, d是四个独立参数，由此可知，四个条件决定
一条空间直线.
3. 直线方程的一般方程也总可以化为标准方程的形式
＝＝.
其中(x0, y0, z0)是直线上任一定点.
例4．求通过点M0(x0, y0, z0)且平行于两相交平面i：Aix+Biy+ciz+Di＝0 (i＝1,2)的直
线方程.
解：因所求直线平行于两相交平面，从而垂直于两平面的法线矢量＝{Ai, BI, Ci}(i＝
1,2)，故可取
＝
为直线的方向矢量，故所求直线的方程为
＝＝.（分母不全为0）
例5．求以下各点的坐标：
（1）在直线＝＝上与原点相距25个单位的点;
（2）关于直线与点P(2, 0,－1)对称的点.
解：（1）将直线方程化为参数式
依题意有 ,
代入整理得 7t2＋34t－248＝0,
得 t＝4 或 t＝－.
故所求点为(9, 12, 20) 或 (－，－，－).
（2）设所求对称点为P0(x0, y0, z0)，由于P0与P关于已知直线对称，从而垂直于
已知直线，但已知直线的一个方向矢量为
＝{1, 1, －4}×{2, 1, －2}＝{6, 6, －3}＝3{2, －2, 1},
不妨就取＝{2, －2, 1}, 所以＝0，即2x0－2y0＋z0－3＝0.
另外线段PP0的中点应在已知直线上，代入化简得
三式联立求解得 x0＝0, y0＝2, z0＝7.
故所求对称点的坐标为(0, 2, 7).
例6．求通过直线向三坐标面所引的三个射影柱面.
解：分别消x, y, z, 则得直线向yOz, xOz, xOy面所引的射影柱面分别为
36y－11z＋23＝0, 9x－z＋7＝0, 11x－4y＋6＝0.
例7. 化直线的一般方程为射影式方程与标准方程，并求出直线的
方向余弦.
解：分别消去y和z得射影式方程
或
标准方程为
＝＝, 或 ＝＝.
其中＝{3, －1, 5}为直线的一个方向矢量，其单位方向矢量为
＝{, ,}，故直线的方向余弦为
cos＝, cos＝, cos＝.
作业题：
1. 设直线 (1) 过原点; (2) 与x轴平行; (3) 与y轴相交;
(4) 与z轴重合, 则各系数所满足的充要条件分别是什么?
2．化直线的一般方程为对称式方程.
3．当D取何值时，直线与z轴相交？
4．当B和D取何值时，直线在xOy平面内？
空间直线及其方程(IV)
目录
• 空间直线的基本性质 • 空间直线的方程 • 空间直线与平面的关系 • 空间直线的应用
01
空间直线的基本性质
空间直线的定义
01
空间直线是由三维空间中两点确 定的，它是一条无穷长的线段， 只存在于三维空间中。
02
空间直线可以用两个平面的交线 来表示，也可以用方向向量来表 示。
生活中的直线应用
交通工具
火车、地铁、飞机等交通工具的运行轨迹是直线或直线的 组合，这使得人们能够快速、安全地到达目的地。
通讯设施
电缆、光缆等通讯设施通常采用直线或直线的组合来传输 信号，这使得人们能够进行远距离的通讯和信息交流。
家居装修
在家庭装修中，直线是确定墙面、地面、天花板等位置和 走向的基本元素，也是保证装修质量的重要因素。
参数方程是用来描述空间直线的一种方式，它包含一个参数t，表示直线上任意一点 P(x,y,z)可以用参数t来表示。
参数方程的一般形式为：x=x0+at, y=y0+bt, z=z0+ct，其中(x0,y0,z0)是直线上的 一点，a、b、c是直的一般方程
利用直线的性质和定理，可以解决各种几何问题，如求点到直线 的距离、判断两条直线是否平行或垂直等。
工程中的直线应用
01
02
03
机械设计
在机械设计中，直线是构 成各种机构和零件的基本 元素，如导轨、滑块、活 塞等。
建筑设计
在建筑设计中，直线是构 建建筑结构的基本元素， 如梁、柱、墙等。
道路建设
在道路建设中，直线是确 定道路走向和宽度的基本 元素，也是保证行车安全 的重要因素。
形式
$frac{x - x_0}{a} = frac{y - y_0}{b} = frac{z z_0}{c}$
空间直线的点法式方程公式
空间直线的点法式方程公式
空间直线是三维空间中的一条直线，它可以用点法式方程公式来表示。
点法式方程公式是指通过直线上的一点和直线的方向向量来表示直线的方程。
在三维空间中，点法式方程公式可以表示为：
(x-x0)/a = (y-y0)/b = (z-z0)/c
其中，(x0, y0, z0)是直线上的一点，(a, b, c)是直线的方向向量。
点法式方程公式的优点是可以用来表示任意方向的直线，而不仅仅是水平或垂直的直线。
此外，它还可以用来表示直线的位置和方向，因为它包含了直线上的一点和直线的方向向量。
在实际应用中，点法式方程公式可以用来解决许多问题。
例如，可以用它来计算两条直线的交点，或者计算一条直线与一个平面的交点。
此外，它还可以用来计算直线的长度、角度和距离等。
需要注意的是，点法式方程公式只适用于直线，而不适用于曲线。
如果要表示曲线，需要使用其他的方程形式，如参数方程或极坐标方程。
点法式方程公式是三维空间中表示直线的一种常用方式。
它可以用来表示直线的位置和方向，以及解决许多实际问题。
在学习和应用中，需要注意其适用范围和注意事项，以充分发挥其作用。
空间直线方程的几种形式
空间直线方程的几种形式在空间解析几何中，直线是一个基本的几何要素。
直线是由两个不同的点所确定的，而其方向则由这两个点所连线的方向所决定。
在空间中，直线的方程有多种形式，本文将介绍其中的几种形式。
一、点向式点向式是指直线上的一点和直线的方向向量所构成的方程形式。
对于一条直线L，其上有一点P，而其方向向量为v，则该直线的点向式方程为：L: r = P + λv其中，r表示直线上的任意一点，λ为实数。
点向式方程的优点在于通过给定的点和方向向量，可以很容易地确定直线的方程。
同时，由于方向向量的存在，点向式方程也可以很方便地求出直线的参数方程和对称式方程。
二、参数式参数式是指直线上的任意一点可以表示为参数的函数形式。
对于一条直线L，其上有一点P，而其方向向量为v，则该直线的参数式方程为：x = x0 + tvxy = y0 + tvyz = z0 + tvz其中，t为参数，(x0,y0,z0)为直线上的一点，(vx,vy,vz)为方向向量。
参数式方程的优点在于可以方便地求出直线上的任意一点的坐标，同时也可以很容易地求出直线的对称式方程和点向式方程。
三、对称式对称式是指直线上的任意一点到直线上某一点的距离等于该点到直线上另一点的距离。
对于一条直线L，其上有两个不同的点P1和P2，则该直线的对称式方程为：(x - x1)/(x2 - x1) = (y - y1)/(y2 - y1) = (z - z1)/(z2 - z1)其中，(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)为直线上的两个不同的点。
对称式方程的优点在于可以方便地求出直线上的任意一点到直线上某一点的距离，同时也可以很容易地求出直线的参数式方程和点向式方程。
四、一般式一般式是指直线的方程可以表示为三个平面的交点形式。
对于一条直线L，其方程可以表示为：Ax + By + Cz + D = 0其中，(A,B,C)为直线的方向向量的分量，D为常数。
一般式方程的优点在于可以很容易地求出直线与其他平面的交点，同时也可以很方便地求出直线的参数式方程和点向式方程。
空间直线方程的五种形式
空间直线方程的五种形式在空间几何中，直线是最基本的图形之一。
直线的方程是在数学中非常重要的一部分。
空间直线方程的五种形式是基于不同的坐标系和参数化方式，它们各自有其独特的优势和适用范围。
在本文中，我们将探讨这五种形式的具体含义和应用。
1. 点向式方程点向式方程是空间直线方程的最基本形式。
它基于点和向量的概念，可以表示为：$$vec{r}=vec{a}+tvec{b}$$其中，$vec{r}$ 是直线上任意一点的位置向量；$vec{a}$ 是直线上已知的一点的位置向量；$vec{b}$ 是直线的方向向量，它的大小和方向决定了直线的方向；$t$ 是参数，可以取任意实数值。
点向式方程的优势在于它直观地表达了直线的位置和方向。
同时，它也很容易与向量运算相结合，便于进行计算。
但是，它的缺点是不够简洁，需要使用向量的加法和数乘运算，不太方便。
2. 对称式方程对称式方程是空间直线方程的另一种基本形式。
它基于平面和点的概念，可以表示为：$$frac{x-x_0}{a}=frac{y-y_0}{b}=frac{z-z_0}{c}$$ 其中，$(x_0,y_0,z_0)$ 是直线上已知的一点的坐标；$a,b,c$ 是直线的方向比例系数，它们的比值决定了直线的方向；$x,y,z$ 是直线上任意一点的坐标。
对称式方程的优势在于它简洁明了，易于计算。
同时，它也可以很容易地转化为其他形式的方程。
但是，它的缺点是不够直观，不容易理解直线的位置和方向。
3. 参数式方程参数式方程是空间直线方程的常用形式之一。
它基于参数化的概念，可以表示为：$$begin{cases} x=x_0+at y=y_0+bt z=z_0+ct end{cases}$$ 其中，$(x_0,y_0,z_0)$ 是直线上已知的一点的坐标；$a,b,c$ 是直线的方向比例系数，它们的比值决定了直线的方向；$t$ 是参数，可以取任意实数值。
参数式方程的优势在于它直观地表达了直线的位置和方向，同时也很容易进行计算和推导。
空间两点式直线方程公式
空间两点式直线方程公式空间两点式直线方程公式空间直线是三维空间中的一种几何对象，通常由两个点之间沿着特定的方向无限延伸而成。
在空间几何学中，描述直线的方程是非常重要的，因为它可以帮助我们更加准确地描述直线在空间中的位置和走向。
空间两点式直线方程公式是空间几何学中描述直线方程的一种方式。
一、空间直线的两点式方程空间直线的两点式方程通常表示为：$$(x-x_1)/a=(y-y_1)/b=(z-z_1)/c$$其中，直线上的两个点分别为$P(x_1, y_1, z_1)$和$Q(x_2, y_2, z_2)$。
$a, b, c$为直线的方向系数。
例如，如果我们要求通过坐标点$P(1,2,3)$和$Q(4,5,6)$的直线，则该直线的两点式方程为：$$(x-1)/(4-1)=(y-2)/(5-2)=(z-3)/(6-3)$$我们可以根据这个方程计算其他点的坐标，通过这些点来描述该直线在空间中的位置和特征。
二、两点式方程的优点相对于其他形式的空间直线方程，两点式方程有如下优点：1. 直观易懂，便于理解和计算。
2. 计算简单方便，只需要确定两个点的坐标和方向系数即可。
3. 应用广泛，可以适用于多种场合和问题。
例如，当我们需要计算两个物体之间的距离或者测量物体之间的夹角时，两点式方程就可以派上用场了。
三、应用实例假设有两个点$P(2,-1,3)$和$Q(1,3,-2)$，现在要求通过这两个点的直线方程，我们可以这样计算：首先，计算$a, b, c$的值：$$a=2-1=1$$$$b=-1-3=-4$$$$c=3+2=5$$然后，代入两点式方程：$$(x-2)/1=(y+1)/(-4)=(z-3)/5$$我们可以根据这个方程计算出直线上的任何一点的坐标。
总之，空间两点式直线方程公式是描述空间几何对象的一种工具，具有直观易懂、计算方便、应用广泛等特点。
在实际应用中，我们可以根据不同的需求和问题选择不同的空间直线方程来描述空间几何对象的性质和特征。
求空间直线的标准方程
求空间直线的标准方程空间直线的标准方程是一个表示空间直线的方程，能够描述直线的位置和方向。
它通常具有形式ax + by + cz + d = 0，其中a、b、c和d是常数。
本文将介绍如何求解空间直线的标准方程。
1. 通过两点求解在三维空间中，一条直线由两个点确定。
因此，我们可以通过已知的两个点来求解空间直线的标准方程。
假设有直线L，已知点P1(x1,y1,z1)和点P2(x2,y2,z2)在直线L上。
则L的方向向量可以表示为：$\vec{d} = \begin{pmatrix} x2-x1\\ y2-y1\\ z2-z1 \end{pmatrix}$并且任意一点P(x,y,z)在直线上的条件为：$\begin{pmatrix} x-x1\\ y-y1\\ z-z1 \end{pmatrix} = k\vec{d}$其中k为任意实数。
将上式代入直线L的标准方程中，则可以得到：$\frac{x-x1}{x2-x1}=\frac{y-y1}{y2-y1}=\frac{z-z1}{z2-z1}$这就是空间直线的标准方程。
2. 通过点和方向向量求解如果我们已知直线L的一个点P(x1,y1,z1)和方向向量$\vec{d}$，则可以通过如下步骤求解直线L的标准方程：1. 将点P代入标准方程中，得到：ax1 + by1 + cz1 + d = 02. 由于直线L的方向向量为$\vec{d}$，因此直线上任意一点的坐标可以表示为：$\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x1\\ y1\\ z1 \end{pmatrix} + k\vec{d}$其中k为实数。
3. 将上式代入标准方程中，得到：a(x1 + kd) + b(y1 + kd) + c(z1 + kd) + d = 04. 对于任意一组实数k，上式都应成立。
我们可以将d看做自由变量，从而得到方程组：ax1 + by1 + cz1 + d = 0ax2 + by2 + cz2 + d = 0其中：$\vec{d} = \begin{pmatrix} x2-x1\\ y2-y1\\ z2-z1 \end{pmatrix}$通过解方程组，即可求解出空间直线的标准方程。
解析几何第三章知识点
第三章 平面与空间直线版权所有，侵权必究§3.1 平面的方程1．平面的点位式方程在空间给定了一点M 0与两个不共线的向量a ，b 后，通过点M 0且与a ，b 平行的平面π 就惟一被确定. 向量a ，b 叫平面π 的方位向量. 任意两个与π 平行的不共线的向量都可作为平面π 的方位向量.取标架{}321,,;e e e O ，设点M 0的向径0r =0OM ={}000,,z y x ，平面π 上任意一点M 的向径为r =OM = {x ，y ，z }（如图）. 点M 在平面π上的充要条件为向量M M 0与向量a ，b 共面. 由于a ，b 不共线，这个共面的条件可以写成M M 0= u a ＋v b而M M 0= r －r 0，所以上式可写成r = r 0＋u a ＋v b(3.1－1)此方程叫做平面π 的点位式向量参数方程，其中u ，v 为参数.若令a = {1X ，1Y ，1Z }，b = {2X ，2Y ，2Z }，则由(3.1－1)可得⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=vZ u Z z z v Y u Y y y vX u X x x 210210210 (3.1－2)此方程叫做平面π 的点位式坐标参数方程，其中u ，v 为参数.(3.1－1)式两边与a ×b 作内积，消去参数u ，v 得(r －r 0，a ，b ) = 0(3.1－3)此即222111000Z Y X Z Y X z z y y x x ---=0 (3.1－4)这是π 的点位式普通方程.已知平面π上三非共线点i M （i = 1，2，3）. 建立坐标系{O ；e 1, e 2, e 3}，设r i = i OM ={i x ，i y ，i z }，i = 1，2，3. 对动点M ，设r =OM ={x ，y ，z }，取21M M 和31M M 为方位向量，M 1为定点，则平面π的向量参数方程，坐标参数方程和一般方程依次为r = 1r ＋u(2r －1r )＋v(3r －r 1)(3.1－5) ⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=-+-+=-+-+=)()()()()()(131211312113121z z v z z u z z y y v y y u y y x x v x x u x x(3.1－6)131313121212111z z y y x x z z y y x x z z y y x x ---------= 0(3.1－7)(3.1－5)，(3.1－6)和(3.1－7)统称为平面的三点式方程.特别地，若i M 是π 与三坐标轴的交点，即1M (a ，0，0)，2M (0，b ，0)，3M (0，0，c )，其中abc ≠0，则平面π 的方程就是caba z y a x 00---=0 (3.1－8)即1=++czb y a x (3.1－9)此方程叫平面π的截距式方程，其中a ，b ，c 称为π 在三坐标轴上的截距.2．平面的一般方程在空间任一平面都可用其上一点M 0(x 0，y 0，z 0)和两个方位向量a = {1X ，1Y ，1Z }，b = {2X ，2Y ，2Z }确定，因而任一平面都可用方程将其方程(3.1－4)表示. 将(3.1－4)展开就可写成Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0(3.1－10)其中A =2211Z Y Z Y ，B =2211X Z X Z ，C =2211Y X Y X由于a = {1X ，1Y ，1Z }与b = {2X ，2Y ，2Z }不共线，所以A ，B ，C 不全为零，这说明空间任一平面都可用关于a ，b ，c 的一三元一次方程来表示.反之，任给一三元一次方程(3.1－10)，不妨设A ≠0，则(3.1－10)可改写成02=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+ACz ABy A D x A即000=--+ACA B zy AD x 它显然表示由点M 0 (－D / A ，0，0)和两个不共线的向量{B ，－A ，0}和{C ，0，－A }所决定的平面. 于是有定理3.1.1 空间中任一平面的方程都可表为一个关于变数x ，y ，z 的三元一次方程；反过来，任一关于变数x ，y ，z 的三元一次方程都表示一个平面.方程(3.1－10) 称为平面π 的一般方程. 3．平面的法式方程若给定一点M 0和一个非零向量n ，则过M 0且与n 垂直的平面π也被惟一地确定. 称n 为π的法向量. 在空间坐标系{O ；i ，j ，k }下，设0r = 0OM ={x 0，y 0，z 0}，n = {A ，B ，C }，且平面上任一点M 的向径r =OM ={x ，y ，z }，则因总有M M 0⊥n ，有n (r －r 0) = 0(3.1－11) 也就是A (x －x 0)＋B (y －y 0)＋C (z －z 0) = 0(3.1－12)方程(3.1－11)和(3.1－12)叫平面π 的点法式方程. (3.1－12)中的系数A ，B ，C 有简明的几何意义，它们就是平面π 的一个法向量的分量.特别地，取M 0为自O 向π 所作垂线的垂足，而n 为单位向量. 当平面不过原点时，取n 为与OP 同向的单位向量n 0，当平面过原点时取n 0的正向为垂直与平面的两个方向中的任一个.设|OP | = p ，则OP = p n 0，由点P 和n 0确定的平面的方程为 n 0(r －p n 0) = 0式中r 是平面的动向径. 由于1)(20=n ，上式可写成n 0r －p = 0(3.1－13)此方程叫平面的向量式法式方程.若设r = {x ，y ，z }，n 0 = {cos α，cos β，cos γ}，则由(3.1－13)得x cos α＋y cos β＋z cos γ－p = 0(3.1－14)此为平面的坐标法式方程，简称法式方程.平面的坐标法式方程有如下特征：1°一次项系数是单位向量的分量，其平方和等于1； 2°常数项－p ≤0（意味着p ≥ 0）. 3°p 是原点到平面的距离. 4．化一般方程为法式方程在直角坐标系下，若已知π的一般方程为Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0，则n = {A ，B ，C }是π的法向量，Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0可写为nr ＋D = 0(3.1－15)与(3.1－13)比较可知，只要以2221||1CB A ++±=±=n λ 去乘(3.1－15)就可得法式方程λAx ＋λBy ＋λCz ＋λD = 0 (3.1－16)其中正负号的选取，当D ≠0时应使(3.1－16)的常数项为负，D ＝0时可任意选.以上过程称为平面方程的法式化，而将2221CB A ++±=λ叫做法化因子.§3.2 平面与点的相关位置平面与点的位置关系，有两种情形，就是点在平面上和点不在平面上. 前者的条件是点的坐标满足平面方程. 点不在平面上时，一般要求点到平面的距离，并用离差反映点在曲面的哪一侧.1．点与平面间的距离定义3.2.1 自点M 0向平面π 引垂线，垂足为Q . 向量0QM 在平面π的单位法向量n 0上的射影叫做M 0与平面π之间的离差，记作δ = 射影n 00QM(3.2－1)显然δ = 射影n 00QM = 0QM ·n 0 =∣0QM ∣cos ∠(0QM ，n 0) =±∣0QM ∣当0QM 与n 0同向时，离差δ > 0；当0QM 与n 0反向时，离差δ < 0. 当且仅当M 0在平面上时，离差δ = 0.显然，离差的绝对值|δ |就是点M 0到平面π 的距离. 定理3.2.1 点M 0与平面（3.1－13）之间的离差为δ = n 0r 0－p (3.2－2)推论1 若平面π 的法式方程为 0cos cos cos =-++p z y x γβα，则),,(0000z y x M 与π间的离差=δp z y x -++γβαcos cos cos 000(3.2－3)推论2 点),,(0000z y x M 与平面Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0间的距离为()2220000,CB A DCz By Ax M d +++++=π (3.2－4)2．平面划分空间问题，三元一次不等式的几何意义 设平面π的一般方程为Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0那么，空间任何一点M （x ，y ，z ）与平面间的离差为=δp z y x -++γβαcos cos cos = λ (Ax ＋By ＋Cz ＋D )式中λ为平面π的法化因子，由此有Ax ＋By ＋Cz ＋D =δλ1(3.2－5)对于平面π同侧的点，δ 的符号相同；对于在平面π的异侧的点，δ 有不同的符号，而λ一经取定，符号就是固定的. 因此，平面π：Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0把空间划分为两部分，对于某一部分的点M (x ，y ，z ) Ax ＋By ＋Cz ＋D > 0；而对于另一部分的点，则有Ax ＋By ＋Cz ＋D < 0，在平面π上的点有Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0.§3.3 两平面的相关位置空间两平面的相关位置有3种情形，即相交、平行和重合. 设两平面π1与π2的方程分别是π1： 11110A x B y C z D +++=(1)π2： 22220A x B y C z D +++=(2)则两平面π1与π2相交、平行或是重合，就决定于由方程（1）与（2）构成的方程组是有解还是无解，或无数个解，从而我们可得下面的定理.定理3.3.1 两平面（1）与（2）相交的充要条件是111222::::A B C A B C ≠(3.3－1)平行的充要条件是11112222A B C D A B C D ==≠(3.3－2)重合的充要条件是11112222A B C D A B C D ===(3.3－3)由于两平面π1与π2的法向量分别为11112222{,,},{,,}n A B C n A B C ==，当且仅当n 1不平行于n 2时π1与π2相交，当且仅当n 1∥n 2时π1与π2平行或重合，由此我们同样能得到上面3个条件.下面定义两平面间的夹角.设两平面的法向量间的夹角为θ，称π1与π2的二面角∠(π1，π2) =θ 或π－θ为两平面间的夹角.显然有12cos (,)ππ∠=±cos θ =(3.3－4)定理3.3.2 两平面（1）与（2）垂直的充要条件是0212121=++C C B B A A(3.3－5)例 一平面过两点 1(1,1,1)M 和2(0,1,1)M -且垂直于平面x ＋y ＋z = 0，求它的方程.解 设所求平面的法向量为n = {A ，B ，C }，由于12{01,11,11}{1,0,2}M M =----=--在所求平面上，有12M M n ⊥， 120M M n ⋅=，即20A C --= .又n 垂直于平面x ＋y ＋z = 0的法线向量{1，1，1}，故有 A ＋B ＋C = 0 解方程组20,0,A C A B C --=⎧⎨++=⎩得2,,A CBC =-⎧⎨=⎩ 所求平面的方程为2(1)(1)(1)0C x C y C z --+-+-=，约去非零因子C 得2(1)(1)(1)0x y z --+-+-=，即2x －y －z =0§3.4 空间直线的方程1．由直线上一点与直线的方向所决定的直线方程在空间给定了一点0000(,,)M x y z 与一个非零向量v = {X ，Y ，Z }，则过点M 0且平行于向量v 的直线l 就惟一地被确定. 向量v 叫直线l 的方向向量. 显然，任一与直线l 上平行的飞零向量均可作为直线l 的方向向量.下面建立直线l 的方程.如图，设M (x ，y ，z ) 是直线l 上任意一点，其对应的向径是r = { x ，y ，z }，而0000(,,)M x y z 对应的向径是r 0，则因M M 0//v ，有t ∈R ，M M 0= t v . 即有r －r 0= t v所以得直线l 的点向式向量参数方程r = r 0＋t v (3.4－1)以诸相关向量的分量代入上式，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z Y X t z y x z y x 000根据向量加法的性质就得直线l 的点向式坐标参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=Ztz z Yt y y Xtx x 000 (3.4－2)消去参数t ，就得直线l 的点向式对称方程为Zz z Y y y X x x 000-=-=- (3.4－3)此方程也叫直线l 的标准方程.今后如无特别说明，在作业和考试时所求得的直线方程的结果都应写成对称式.例1 设直线L 通过空间两点M 1(x 1，y 1，z 1)和M 2(x 2，y 2，z 2)，则取M 1为定点，21M M 为方位向量，就得到直线的两点式方程为121121121z z z z y y y y x x x x --=--=-- (3.4－4)根据前面的分析和直线的方程(3.4－1)，可得到||||||||||00v M M v t =-=r r 这个式子清楚地给出了直线的参数方程(3.4－1)或(3.4－2)中参数的几何意义：参数t 的绝对值等于定点M 0到动点M 之间的距离与方向向量的模的比值，表明线段M 0M 的长度是方向向量v 的长度的 |t | 倍.特别地，若取方向向量为单位向量v 0 = {cos α，cos β，cos γ}则(3.4－1)、(3.4－2)和(3.4－3)就依次变为r = r 0＋t v 0(3.4－5)⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=γβαcos cos cos 000t z z t y y t x x (3.4－6)和γβαcos cos cos 000z z y y x x -=-=- (3.4－7)此时因 |v | = 1，t 的绝对值恰好等于l 上两点M 0与M 之间的距离.直线l 的方向向量的方向角α，β，γ cos α，cos β，cos γ 分别叫做直线l 的方向角和方向余弦.由于任意一个与v 平行的非零向量v'都可作为直线l 的方向向量，而二者的分量是成比例的，我们一般称X ：Y ：Z 为直线l 的方向数，用来表示直线l 的方向.2．直线的一般方程空间直线l 可看成两平面π1和π2的交线. 事实上，若两个相交的平面π1和π2的方程分别为π1： 11110A x B y C z D +++= π2： 22220A x B y C z D +++=那么空间直线l 上的任何一点的坐标同时满足这两个平面方程，即应满足方程组111122220,0.A x B y C z D A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩ (3.4－8)反过来，如果点不在直线l 上，那么它不可能同时在平面π1和π2上，所以它的坐标不满足方程组(3.4－8).因此，l 可用方程组(3.4－8)表示，方程组(3.4－8)叫做空间直线的一般方程.一般说来，过空间一直线的平面有无限多个，所以只要在无限多个平面中任选其中的两个，将它们的方程联立起来，就可得到空间直线的方程.直线的标准方程(3.4－3)是一般方程的特殊形式. 将标准方程化为一般式，得到的是直线的射影式方程.将直线的一般方程化为标准式，只需在直线上任取一点，然后取构成直线的两个平面的两个法向量的向量积为直线的方向向量即可.例1将直线的一般方程10,2340.x y z x y z +++=⎧⎨-++=⎩ 化为对称式和参数方程.解 令y = 0，得这直线上的一点（1，0，－2）.两平面的法向量为a = {1，1，1}，b = {2，－1，3}因a ×b = {4，－1，－3}，取为直线的法向量，即得直线的对称式方程为12413x y z -+==--令t z y x =-+=-=-32141，则得所求的参数方程为 14,,23.x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=--⎩§3.5 直线与平面的相关位置直线与平面的相关位置有直线与平面相交，直线与平面平行和直线在平面上3种情形. 设直线l 与平面π 的方程分别为L ：000x x y y z z X Y Z ---== (1) π ：Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0(2)将直线l 的方程改写为参数式⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=tZz z tY y y tX x x 000. (3)将（3）代入（2），整理可得(AX ＋BY ＋CZ )t = －(Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D )(4)当且仅当AX ＋BY ＋CZ ≠0时，（4）有惟一解CZBY AX DCz By t +++++-=000Ax这时直线l 与平面π 有惟一公共点；当且仅当AX ＋BY ＋CZ = 0，Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D ≠0时，方程（4）无解，直线l 与平面π 没有公共点；当且仅当AX ＋BY ＋CZ = 0，Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D = 0时，（4）有无数多解，直线l 在平面π 上. 于是有定理3.5.1 关于直线（1）与平面（2）的相互位置，有下面的充要条件： 1）相交： AX ＋BY ＋CZ ≠02）平行：AX ＋BY ＋CZ = 0，Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D ≠03）直线在平面上： AX ＋BY ＋CZ = 0，Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D = 0以上条件的几何解释：就是直线l 的方向向量v 与平面π 的法向量n 之间关系. 1）表示v 与n 不垂直；2）表示v 与n 垂直且直线l 上的点（x 0，y 0，z 0）不在平面π 上； 3）表示v 与n 垂直且直线l 上的点（x 0，y 0，z 0）在平面π 上. 当直线l 与平面π 相交时，可求它们的交角. 当直线不与平面垂直时，直线与平面的交角ϕ 是指直线和它在平面上的射影所构成的锐角；垂直时规定是直角.设v = {X ，Y ，Z }是直线l 的方向向量，n = {A ，B ，C }是平面π 的法向量，则令∠(l ，π ) =ϕ，∠(v ，n ) = θ ，就有ϕ=-2πθ 或 ϕ= θ－2π（θ 为锐角） 因而sin ϕ =∣cos θ∣=vn v n ⋅⋅=222222ZY X CB A CZ BY AX ++++++ (3.5－1)§3.6 空间直线与点的相关位置任给一条直线l 的方程和一点M 0，则l 和M 0的位置关系只有两种：点在直线上和点不在直线上。
空间直线及其方程
1 1 1
在直线
L
上取一点
M1
1 2
，
1 2
，0
，则
M0M1
1 2
，
3 2
，1
．
*1.5 平面束
例9
求通过直线
L
:
x x
y y
z z
0 ， 和点 1 0
M0 (1，1，1)
的平面方程．
设所求平面的法向量为 n ，因为 n s ，n M0M1 ，所以
例5
用对称式方程及参数方程表示直线
x y 2x
z 1 0， y 3z 4 0
．
解
当
x
1
时，有
y
z y
0 ， 此方程组的解为 3z 2，
y
1 2
，z
1 2
，因此，可得直
线上一个点的坐标
1，
1 2
，1 2
．
直线的方向向量为
i jk s (i j k) (2i j 3k) 1 1 1 4i j 3k ，
s
MN
2 7
2
，13 7
1，
3 7
3
12 7
，6 7
，
24 7
6 7
(2 ，1，4)
．
故所求直线的方程为
x 2 y 1 z 3 ． 2 1 4
1.3 两直线的夹角
两直线方向向量的夹角（通常指锐角或直角）称为两直线的夹角．设 s1 (m1 ，n1 ，p1) 和
s2 (m2 ，n2 ，p2 ) 分 别 为 直 线 L1 和 L2 的 方 向 向 量 ， 则 L1 和 L2 的 夹 角 应 是 (s1 ，s2 ) 和
空间直线点法式
空间直线点法式空间直线是三维空间中的一条线段，由两个点所确定。
空间直线的参数方程可以用点和向量的形式表示，又称为向量方程。
空间直线还可以用点和点的形式表示，又称为点法式或一般方程。
为了方便描述，我们假设空间直线L平面上的一点为P0(x0,y0,z0)，空间直线L的方向向量为a(x1,y1,z1)。
一、点向式空间直线L的点法式可以表示成如下形式：(x-x0)/x1 = (y-y0)/y1 = (z-z0)/z1这种表示方法的含义是，设L上的点Q(x,y,z)，以P0点作为基准点，沿着方向向量a，假设走的距离为t（其中t为实数），则Q点的坐标可以用P0点的坐标和方向向量a的分量来表达，即：x=x0+tx1这样就得到了空间直线L的参数方程式。
二、一般式我们已经知道了点向式，现在来看一下空间直线的另一种表示方法——一般式。
其中，(A,B,C)为向量a的一个法向量。
这个式子怎么来的呢？我们可以将L上任一点P用向量形式表示，即P=P0+ta再将P带入空间直线L所在平面的解析式中，得到：(Ax1+By1+Cz1)-(Ax0+By0+Cz0)=0整理一下得到以上的一般式。
三、点向式和一般式的转换我们可以通过以下方式实现点向式和一般式的转换：1、从点向式转换为一般式：将点向式的分式形式变形，消去分母，即可得到一般式。
首先，把点向式中所有的“=”换为“-”，即得到以下形式：然后再将上述三个式子变形消去分母，得到一般式：(y1*z0-y0*z1)x+(x1*z0-x0*z1)y+(x0*y1-x1*y0)z+(x0*y1-x1*y0) = 02、从一般式转换为点向式：选取方向向量，利用向量的模长求分量，得到点向式。
首先，选取一个方向向量a(x1,y1,z1)，其中至少有一个分量不为零。
我们可以假设x1=1，则有：因为x1=1，所以y1和z1都不为零。
我们可以求出y1和z1的模长，然后再利用上式求出y和z的分量，即可得到点向式。
空间直线的点向式方程
空间直线的点向式方程空间直线的点向式方程是描述一条直线上的点的坐标与直线上的向量之间的关系。
它是空间几何中重要的概念之一，对于研究和解决空间中的问题具有重要意义。
本文将从直观的角度出发，以人类的视角来解释空间直线的点向式方程，以使读者更好地理解和应用这一概念。
我们来了解一下什么是空间直线。
在三维空间中，直线是由无数个点连成的无限延伸的图形。
直线具有方向，可以用一条箭头来表示。
当我们确定了直线上的一个点和直线的方向后，我们就可以通过点向式方程来描述直线上的其他点。
空间直线的点向式方程可以表示为：P = P0 + tV其中，P是直线上的任意一点的坐标，P0是直线上已知的一个点的坐标，V是直线的方向向量，t是一个实数。
这个方程的含义是，直线上的任意一点P的坐标可以由已知点P0的坐标和直线的方向向量V来确定。
我们可以通过改变t的值来得到直线上的不同点。
例如，假设我们有直线L，已知直线上的一个点P0的坐标为(1, 2, 3)，直线的方向向量为(2, 3, 4)。
那么直线L上任意一点P的坐标可以表示为：P = (1, 2, 3) + t(2, 3, 4)这个方程的意思是，直线上的任意一点P的坐标可以通过已知点(1, 2, 3)的坐标加上方向向量(2, 3, 4)乘以任意实数t来确定。
通过点向式方程，我们可以解决一些与直线相关的问题。
例如，我们可以通过已知直线上的两个点的坐标来确定直线的方向向量，进而得到点向式方程。
我们也可以通过点向式方程来确定直线上的某个特定点的坐标。
除了点向式方程，还有其他表示直线的方程，如参数方程和一般式方程。
每种方程都有其适用的场景和特点。
点向式方程在研究直线的方向和点的坐标之间的关系时具有独特的优势。
空间直线的点向式方程是一种描述直线上点坐标与方向向量之间关系的重要工具。
通过点向式方程，我们可以方便地计算直线上的任意点的坐标，解决与直线相关的问题。
它在空间几何中具有广泛的应用，是我们理解和研究空间中直线性质的基础。