§3.4 空间直线的方程
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§3.4 空间直线的方程
一、直线的点向式方程
1. 如图3-6, 在空间给定了一点M0与一个非零矢量,那么通过点M0且与矢量平行
的直线l就唯一地被确定,矢量叫做直线l的方向矢量. 显然,任何一个与直线l平行的非零矢量都可以作为直线l的方向矢量.
2. 取空间取标架{O;,,}, 设M0的径矢为=,直线l上任意点M的径矢
为=,则==+=+t叫做直线l的矢量式参数方程,其
中t为参数,它的几何意义是在{M0; }下,的坐标或分量.
3. 设M0(x0, y0, z0), M(x, y, z), ={X, Y, Z}, 则
叫做直线l的坐标式参数方程, 其中t为参数.
从上式中消去参数t,则得
==.
叫做直线l的对称式方程或称直线l的标准方程,其中X,
Y, Z不全为0,若某一为0,例如Z=0, 此时可理解为z
-z0=0.
4. 通过空间两点M1(x1, y1, z1)和M2(x2, y2, z2)的直
线l的方程为
=+t(-).
或
即==.
叫做直线l的两点式方程.
5. 在直角坐标系下,直线的方向矢量常取单位矢量
={cosα, cosβ, cosγ},
这时直线l的方程为=+t,
或==.
这叫做直线l的法式方程, 其中t的绝对值恰好是直线l上两点M0与M间的距离,这是因
为| t | = |-| = ||.
6. 直线的方向矢量的方向角γ与方向余弦cosα, cosβ, cosγ分别叫做直线的方
向角与方向余弦;直线的方向矢量的分量X, Y, Z或与它成比例的一组数l, m, n(l: m: n=X: Y: Z)叫做直线的方向数,由于与直线共线的任何非零矢量,都可以作为直线的方向矢量,因此
π-α,π-β,π-γ及cos(π-α)=-cosα, cos(π-β)=-cosβ, cos(π-γ)=-cosγ, 也可以看作是直线的方向角与方向余弦.
显然直线的方向余弦与方向数之间有下面的关系:
cosα=,cosβ=,
cosγ=.
由于我们讨论的直线不是有向直线,而且两非零矢量{X, Y, Z}与{X′, Y′, Z′}共线的充要条件是X: Y: Z= X′: Y′: Z′,所以我们将用X: Y: Z 来表示与非零矢量{X, Y, Z}共线的直线的方向(数).
例1. 求z轴的参数方程和对称式方程.
解:因为z轴过原点(0, 0, 0),坐标矢量={0, 0, 1}显然是z轴的一个方向矢量,从而z轴的参数方程为
对称式方程为
==.
例2.求过点P(1, 2,-1)与z轴相交且与平面π:6x+2y+z-1=0平行的直线方程.
解:所求直线与z轴的交点为(0,0,c),则直线方程为
==,
因为所求直线与平面π平行,
所以两矢量{1, 2, -1-c}与{6, 2, 1}垂直,
从而 6+4+(-1-c)=0, 即c = 9.
故所求直线为
==.
例3.一直线与三坐标轴间的夹角分别为α, β, γ,证明
sin2α+sin2β+sin2γ=2.
证明:因为 cos2α+cos2β+cos2γ=1 ,
所以 sin2α+sin2β+sin2γ
=(1-cos2α)+(1-cos2β)+(1-cos2γ)
=3-(cos2α+cos2β+cos2γ)
=3-1
=2.
二、直线的一般方程
1.若A1:B1:C1≠A2:B2:C2,则π1: A1x+B1y+C1z+D1=0
π2: A2x+B2y+C2z+D2=0
叫做它们交线l的一般方程.
2. 直线的标准方程是一般方程的特殊情形,因为X, Y, Z不全为0,不妨设Z≠0,此时可将标准方程改写成
令a=,b=,C=x0-Z0,d=y0-z0,就有
它叫做直线l的射影式方程,其中a, b, c, d是四个独立参数,由此可知,四个条件决定一条空间直线.
3. 直线方程的一般方程也总可以化为标准方程的形式
==.
其中(x0, y0, z0)是直线上任一定点.
例4.求通过点M0(x0, y0, z0)且平行于两相交平面πi:A i x+B i y+c i z+D i=0 (i=1,2)的直线方程.
解:因所求直线平行于两相交平面,从而垂直于两平面的法线矢量={A i, B I, C i}(i=1,2),故可取
⨯=
为直线的方向矢量,故所求直线的方程为
==.(分母不全为0)
例5.求以下各点的坐标:
(1)在直线==上与原点相距25个单位的点;
(2)关于直线与点P(2, 0,-1)对称的点.
解:(1)将直线方程化为参数式
依题意有,
代入整理得 7t2+34t-248=0,
得t=4 或t=-.
故所求点为(9, 12, 20) 或 (-,-,-).
(2)设所求对称点为P0(x0, y0, z0),由于P0与P关于已知直线对称,从而垂直于已知直线,但已知直线的一个方向矢量为
={1, 1, -4}×{2, 1, -2}={6, 6, -3}=3{2, -2, 1},
不妨就取={2, -2, 1}, 所以 =0,即2x0-2y0+z0-3=0.
另外线段PP0的中点应在已知直线上,代入化简得
三式联立求解得x0=0, y0=2, z0=7.
故所求对称点的坐标为(0, 2, 7).
例6.求通过直线向三坐标面所引的三个射影柱面.
解:分别消x, y, z, 则得直线向yOz, xOz, xOy面所引的射影柱面分别为
36y-11z+23=0, 9x-z+7=0, 11x-4y+6=0.
例7. 化直线的一般方程为射影式方程与标准方程,并求出直线的方向余弦.
解:分别消去y和z得射影式方程
或
标准方程为
==, 或==.
其中={3, -1, 5}为直线的一个方向矢量,其单位方向矢量为
={, ,},故直线的方向余弦为