黄冈中学高考数学易错题精选(二)集合与简易逻辑、极限与复数

4．C 解：特殊值法
(1 1 ) p 1
1
由题意取 p 1, q 2 ，则 lim n
lim
n
n lim
1 p ，可见选 C．
n (1 1 ) q 1
n 1 2
n 1 2n
2
q
n
n2 n
5．①②
解：∵集合 S 为复数集，而复数集一定为封闭集，∴①是真命题．
②由封闭集定义知②为真命题． ③是假命题．如 S {0} 符合定义，但是 S 为有限集．
当
A
中有两个元素时，
9
8a
0
；所以
a
|
a
9
,或a
0
，
a
|
a
9
．
8
8
7．[3, 0) (3, ) 解：依题意有 M [0, ) ， N [3, 3] ，所以 M N (3, ) ， N M [3, 0) ，
故 M N （ M N）（ N M ） [3, 0) (3, ) ．
故选 C．
2．B 解：当 a 0 时，不等式的解集为{ x | x R且 x 0} ，不符合题意，所以 a 0 ，由
不等式 ax 1 a 得： ax 1 a 或 ax 1 a ，即 1 0 或 2 ax 1 0 ，则有 x 0 或
x
x
x
x
x
0 x 1 ，又 2 M ，所以 1 2 ，即有 a 1 ，故选 B．
22．已知函数
f (x)
1 2
x2
x
2
，数列{an }
满足递推关系式：
a n 1
f (an )(n N ) ，且 a1
1．
（1）求 a2 、 a3 、 a4 的值；
（2）用数学归纳法证明：当 n
5
时， an
2
1 n 1
；
n
（3）证明：当 n 5 时，有
1
n 1．
a k 1 k
23．已知数列{an } 为等差数列，公差 d 0 ，由{an } 中的部分项组成的数列 ab1 , ab2 , , abn ，…，
）
x
A． ( 1 , ) 4
B．[ 1 , ) 4
C． (0, 1 ) 2
D． (0, 1 ] 2
3．已知 P {m | 4 m 0}, M {m | mx 2 mx 1 0对 一 切 实 数 x都 成 立} ，则下列关
系式中成立的是（
）
A． P Ø M
B． M Ø P
C． M P
20 ．已知 数列 {an }
的各项都是正数，且满足：
a0
1, an 1
1 2
an (4 an )
，
n
N
，证明：
an an1 2 ， n N ．
21．试证明：不论正数 a、b、c 是等差数列还是等比数列，当 n 1, n N 且 a、b、c 互不
相等时，均有： a n c n 2b n ．
14 ． 设 集 合 A {( x, y ) | ay 2 x 1 0}, B {( x, y ) | 4 x 2 2 x 2 y 5 0} ， C {( x, y) | y kx b} ． （1）当 a 0 时，求 A B ； （2）当 a 1 时，问是否存在正整数 k 和 b ，使得 ( A C ) ( B C ) ，若存在，求出 k 、 b 的值；若不存在,说明理由．
为等比数列，其中 b1 1 ， b2 5 ， b3 17 ． （1）求数列{bn } 的通项公式；
（2）记 Tn
C
1 n
b1
C
2 n
b2
C
3 n
b3
C
n n
bn
，求
lim
n
Tn 4n
bn
．
24．已知公比为 q(0
q
)
的无穷等比数列{an } 各项的和为
9，无穷等比数列
{
a
2 n
}
各项的和
为 81 ．
15．已知不等式 x 2 4 x a x 3 5 的解集中的最大解为 3，求实数 a 的值．
16．设 x 2 a 时，不等式 x 2 4 1 成立，求正数 a 的取值范围．
17．设 p : 方程 x 2 2 m x 1 0 有两个不相等的正根；q : 方程 x 2 2(m 2) x 3m 10 0 无实根，求使 p 或 q 为真， p 且 q 为假的实数 m 的取值范围．
13．解：因为 A C R B A ，所以 A C R B ．又 B [0, ) ，所以 A ( , 0) ．所以方
8．1
解：因为 S n
1 ban 1 (1 b ) n
1 b ( S n S n 1 ) 1 (1 b ) n
(0 b 1) ，
所以
lim
n
S
n
b(lim
n
S
n
1
lim
n
S n 1 )
1
lim
n
(1
b)n
，
得 lim Sn n
1 1 lim
n (1 b ) n
，则 0
黄冈中学高考数学易错题精选（二） 集合与简易逻辑、极限与复数
1．已知集合 M { x | x Z , 且 12 N } ，则 M 的非空真子集的个数是（
）
10 x
A．30 个
B．32 个
C．62 个
D．64 个
2．不等式 ax 1 a 的解集为 M ，且 2 M ，则 a 的取值范围是（
三组相等． 11．解：(1)因为 A B A B ，所以 A B ，又由对应系数相等可得 a 5 和 a 2 19 6 同时成立，即 a 5 ； (2)由于 B { 2 , 3}， C {4, 2} ，且 Ø A B ， A C ，故只可能 3 A .此时
a 2 3a 1 0 0 ， 即 a 5 或 a 2 ， 由 (1) 可知， 当 a 5 时 ， A B { 2 , 3}，此 时 A C ，与已知矛盾，所以 a 5 舍去，故 a 2 ； (3) 由 于 B { 2 , 3 }， C {4, 2} ， 且 A B A C ， 此 时 只 可 能 2 A ， 即 a 2 2 a 1 5 0，也即 a 5 ，或 a 3 ，由(2)可知 a 5 不合题意，故 a 3 ．
12．解：（1）当 m 3 时， E { x | x 1 3} { x | x 2或 x 4} ，
F { x | 10 1} { x | 6 x 4} ， x6
E F {x | x 2或 x 4} { x | 6 x 4} { x | 6 x 2} ；
（2）因为 E { x | x 1 m} ，
5
（1）求数列{an } 的首项 a1 和公比 q ；
（2）对给定的 k (k 1, 2, , n) ，设 T (k ) 是首项为 ak ，公差为 2a k 1 的等差数列，求数列 T (2) 的
前 10 项之和； （3）设 bi 为数列 T (i) 的第 i 项， S n b1 b2
存在且不等于零．
b
1 ，故1 1 b
2 ，所以 lim S n n
1．
9． 5 2
解： lim ( x 2 x
x
x 2 4 x ) = lim
x
5x lim
x2 x x2 4 x x
5
5．
1
42
1 1
x
x
10．4，5，3．解：z , z, z, z 2 四个为虚数；| z |, | z |, z z , | z |2 , | z 2 | 五个为实数；z z , | z || z |, z z | z |2
个，是实数的有
个，相等的有
组．
11．设 A x | x 2 ax a 2 19 0 ， B x | x 2 5 x 6 0 ， C x | x 2 2 x 8 0
(1) A B A B ，求 a 的值； (2) Ø A B ，且 A C ，求 a 的值； (3) A B A C ，求 a 的值．
D． M P
(1 1 ) p 1
4．已知 p 和 q 是两个不相等的正整数，且 q 2 ，则 lim n
=（
n (1 1 ) q 1
n
A．0
B．1
C． p
q
） D． p 1
q 1
5．设 S 为复数集 C 的非空子集．若对任意 x, y S ，都有 x y , x y , xy S ，
1 z
（3）求 u 2 的最小值．
集合与简易逻辑、极限与复数易错题（参考答案）
1．C 解：因为1 2 1 1 2 2 6 3 4 ，又 x Z 且 12 N ，所以 10 x
10 x 1, 2, 3, 4, 6,12 ，故 M {9, 8, 7, 6, 4, 2} ，所以它的非空真子集有 2 6 2 62 个．
bn
，求
Sn
，并求正整数 m (m
1)
，使得 lim
n
Sn nm
25．当 x 时，函数 f ( x) x n (m , n N ) 的极限是否存在？若存在，求出其极限．
xm b
26．设 z 是虚数， z 1 是实数，且 1 ．
z
（1）求 | z | 的值及 z 的实部的取值范围； （2）设 u 1 z ，求证： u 为纯虚数；
18．试判断 a 3 是关于 x 的方程 x 2 ax 1 0 在区间[ 1,1] 上有解的什么条件？并给出 判断理由．
19．已知不等式① x 3 2 x ；② x 2 1 ；③ 2 x 2 m x 1 0 ． x2 3x 2
（1）若同时满足①、②的 x 也满足③，求实数 m 的取值范围； （2）若满足③的 x 至少满足①、②中的一个，求实数 m 的取值范围．
6．已知集合 A {x | ax 2 3 x 2 0} 至多有一个元素，则 a 的取值范围
；
若至少有一个元素，则 a 的取值范围
．
7 ． 对 任 意 两 个 集 合 M 、 N ， 定 义 ： M N { x| x 且 M x }， N
M N （ M N）（ N M ），设 M {y | y x 2,x R } ， N { y | y 3 sin x, x R} ，
12．已知集合 E { x | x 1 m}, F { x R | 10 1} ． x6
（1）若 m 3 ，求 E F ；
（2）若 E F R ,求实数 m 的取值范围．
13 ． 设 R 为 全 集 ， 集 合 A { x | x2 a x 1 0 , x R}， B { y | y x 1 , x R} , 若 A C R B A ,求实数 a 的取值范围．
2a
2a
4
3．A 解：当 m 0 时， 1 0 ，对一切实数 x ，不等式 m x 2 m x 1 0 恒成立；当 m 0 时 ， 要 使 不 等 式 恒 成 立 ， 则 m 0 且 m2 4m 0 ， 即 4 m 0 ， 所 以 M { m | 4 m 0，} 故选 A ．
则M N ＝
．
8．已知数列{an } 的前 n 项和 S n
ban
1
1 (1 b ) n
，其中 b
是与 n
无关的常数，且 0
b
1，
若
来自百度文库
lim
n
Sn
存在，则
lim
n
S
n
．
9． lim ( x 2 x x 2 4 x ) =
．
x
10．如果 z a bi(a, b R , 且 a 0) 是虚数，则 z , z , z , | z |, | z |, z z, z 2 , | z |2 , | z 2 | 中是虚数的有
则称 S 为封闭集．下列命题： ①集合 S {a bi | a , b为 整 数 ， i为 虚 数 单 位 } 为封闭集；
②若 S 为封闭集，则一定有 0 S ； ③封闭集一定是无限集； ④若 S 为封闭集，则满足 S T C 的任意集合T 也是封闭集．
其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)
④是假命题．如 S Z ，T 为整数和虚数构成集合，满足 S T C ，但T 不是封闭集，
如 3 2i, 3 2i 都在T 中，但 ( 3 2i) ( 3 2i) 2 3 T ，所以正确的是①②．
6．
a
|
a
9
,或a
0
，
a
|
a
9
8
8
解：当 A 中仅有一个元素时， a 0 ，或 9 8a 0 ； 当 A 中有 0 个元素时， 9 8a 0 ；
当 m 0 时， E R , E F R ,满足条件； 当 m 0 时， E { x | x 1 m或 x 1 m} ，由 E F R ， F { x | 6 x 4} ，得：
1 m 6
1 m 4
m
0
解得 0 m 3 .综上，实数 m 的取值范围为 ( , 3] ．