最新高一数学暑假预科讲义 第7讲 函数的单调性中等班学生版

第七讲 函数的单调性

考点1：单调性的概念

1.一般地，设函数()y f x =的定义域为D ，区间I D ⊆：

⑴ 增函数：如果对于I 上的任意两个自变量的值12x x ，，当x x <时，都有()()f x f x <，那么就称函数()f x 在区间I 上是增函数；

⑵ 减函数：如果对于I 上的任意两个自变量的值12x x ，，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就称函数()f x 在区间I 上是减函数；

2.单调性：如果函数()y f x =在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这个区间上具有单调性，区间I 叫做()y f x =的单调区间．

题型一：函数单调性的判别

例1.函数2()23f x x x =-+在(1]-∞，上单调________，在[1)+∞，上单调_______．

例2.(1)（2015秋•承德校级月考）如图是定义在区间[5-，5]上的函数()y f x =，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

(2)（2017秋•香洲区校级月考）画出函数|1|y x =-的图象，并根据图象写出函数的单调区间，以及在各单调区间上，函数是增函数还是减函数．

考点2：单调性的严格证明

用定义法证明函数单调性的一般步骤：

①取值：即设1x ，2x 是该区间内的任意两个值，且12x x <．

②作差变形：通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形． ③定号：确定差12()()f x f x -（或21()()f x f x -）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．

④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间．

题型二：定义法证明函数单调性

例3.(1)()21f x x =+，证明()f x 在R 上单调递增;

(2)证明：函数2()f x x =在(0]-∞，

上单调递减；

(3)证明：函数1

()f x x

=在(0)+∞，

上单调递减;

(4)证明:函数()f x =在[0)+∞，上单调递增;

（5）（2016秋•泰州校级期中）试用函数单调性的定义判断函数2()1

x

f x x =-在区间(0,1)上的单调性．

（6）（2012秋•青铜峡市校级期中）已知36

()x f x x

-=

（1）用单调性定义证明：()f x 在区间(0,)+∞上是增函数．

考点3：利用单调性解简单的函数不等式

遇到函数不等式相关的问题都要往函数的单调性上思考，这样的问题还需要注意函数的定义域．

题型三：利用单调性解函数不等式

例3.(1)已知函数()f x 为R 上的增函数，且(21)(2)f m f m ->+，则m 的取值范围是_______．

(2)（2017秋•翠屏区校级期中）已知函数()f x 是定义在R 上的减函数，且

(1)(21)0f m f m +-->，则m 的取值范围是 ．

（3）（2017秋•陇西县校级期中）若函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则( ) A ．()f a (2)f a > B ．2()()f a f a <

C ．2(1)()f a f a -<

D ．2(1)()f a f a +<

考点4：常见函数的单调性

常见函数的单调性：

1．一次函数()f x kx b =+（0k ≠），单调性由k 决定，12x x <，()()()1212f x f x k x x -=-，

当0k >时，()f x 在R 上单调递增；当0k <时，()f x 在R 上单调递减． 2．二次函数()()20f x ax bx c a =++≠，

当0a >时，()f x 在2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，上单调递减，在2b a ⎡⎫

-+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增；

当0a <时，()f x 在2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，上单调递增，在2b a ⎡⎫

-+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递减．

3．反比例函数()k

f x x

=

，0k ≠． 当0k >时，()f x 在()0-∞，和()0+∞，上分别单调递减； 当0k <时，()f x 在()0-∞，和()0+∞，上分别单调递增．

4．()3f x x =单调递增、()f x =单调递增. 题型四：已知单调性反求参

例4.(1)（2017秋•晋江市校级月考）已知函数y ax =和b

y x =-在(0,)+∞上都是增函数，

则函数()f x bx a =+在R 上是( ) A ．减函数且(0)0f < B ．增函数且(0)0f <

C ．减函数且(0)0f >

D ．增函数且(0)0f >

(2)（2017秋•高要市校级月考）若函数y ax =与b

y x

=-在(0,)+∞上都是减函数，则函数

2y ax bx =+在(0,)+∞上的单调性是( )

A ．先增后减

B ．先减后增

C ．单调递增

D ．单调递减

(3)已知函数2()(1)2f x a x =-+在()-∞+∞，上为减函数，则a 的取值范围为________．

(4)（2018秋•东莞市期末）已知函数2()2()f x x ax a R =-+∈在区间[1，)+∞上单调递增，则a 的取值范围为( ) A ．(2,)+∞ B ．[2，)+∞

C ．(,2)-∞

D ．(-∞，2]

(5)若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(4)-∞，

上为减函数，则a 的取值范围是 ．

(6)（2016秋•西城区校级期中）已知函数2()(13)f x ax a x a =+-+在区间(1,)+∞上递增，则a 的取值范围是 ．

(7)函数2,0(),0x x f x x x ⎧=⎨<⎩

，则((2))f f -= ；若2()2f x x ax =-+与()1a g x x =+在区间

[1，2]上是减函数，则a 的取值范围是 ．