分形理论及其在机械工程中的应用
分形理论在齿轮箱故障诊断中的应用研究
（ ｏ ｈＵ ｉ ｒｔ ｆ ｈｎ ， ａ ｕｎ０ ０５ ，Ｃ ｉａ） Ｎ ｒ ｎｖ ｓｙｏ ｉａ Ｔ ｉ ａ ３０ ｔ ｅｉ Ｃ ｙ １ ｈｎ
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基于多重分形的风力机主轴承故障诊断应用
基于多重分形的风力机主轴承故障诊断应用孙自强，陈长征，谷艳玲，谷泉（沈阳工业大学机械工程学院，辽宁沈阳110870）来稿日期：2012-03-10基金项目：国家自然科学基金（50975180，51005159）作者简介：孙自强，（1977-），男，辽宁沈阳人，博士，目前主要从事故障诊断和噪声控制1引言风力发电机组功率越来越大，风力机主轴部分起到最重要的传动作用。
我国现有风场相当一部分地区气流的阵风因子较大，主轴承长期处于复杂的交变载荷下工作，经常超过其设计极限条件。
当出现故障时，只能吊装到地面进行维修，造成维修成本高，所以对风力机主轴承工作状态监测就非常重要。
现有的风力机故障诊断方法有时域分析，频域法，倒谱，包络谱和小波分析等[1-4]。
但在实际应用中由于动力系统的非线性和非平稳性，主轴承故障特征信号在其他噪音的干扰下很难被捕捉到。
分形理论是基于一种尺度而研究复杂信息问题的方法，对大型风力机主轴承振动时域信号进行相空间重构，研究振动信号的多重分形谱和主轴承系统工作状态的相关性。
提出了基于多重分形理论的一种大型风力机主轴承早期故障诊的新方法，某风场3WM 机组实验结果表明该方法对风力机主轴承系统早期故障快速有效。
2多重分形大型风力机动力特性复杂，振动信号出现混沌的特点，对其动力特性的数学描述基本很难建立。
混沌系统与分形具有密切的关系，混沌运动的轨道或奇怪吸引子都是分形，混沌运动的高度无序和混乱性反映在分形的复杂性上面。
对于非线性系统，分形维数描述了系统耗散能量的大小[5-6]。
主轴承座不同采样频率下垂直方向上振动速度的时域波形，如图1所示。
对比发现时域波形具有自相似性，测试传感器为德国普卢福VIBXPERT 专家级FFT 数据采集及信号分析仪。
３２１０－１－２－３Ｖ（ｍｍ／ｓ）０５０００１００００１５０００２００００ｔ（ｍｍ／ｓ）３２１０－１－２－３Ｖ（ｍｍ／ｓ）０５０００１００００１５０００２００００ｔ（ｍｍ／ｓ）３２１０－１－２－３Ｖ（ｍｍ／ｓ）０５０００１００００１５０００２００００ｔ（ｍｍ／ｓ）（a ）8kHz （b ）4kHz （c ）2kHz图1不同采样频率下的主轴承时域信号Fig.1Time Spectrums of Main Bearings onDifferent Sampling Frequencies对于主轴承振动信号的描述可以采用盒维数、信息维数和关联维数等分形方法描述，这些方法在故障诊断中已经有论证研究[7]。
基于小波分形技术提取变速器轴承故障特征
１ 小波变换
小 波 变 换 的 概 念 是 １８ ９ ４年 法 国 物 理 学 家 Ｊ ．
Ｍｏｌ 提 出 的 ， 基 本 思 想 是 利 用 小 波 函数 的伸 缩 ｒｔ ｅ 其 平移 特性 生成 一 函数 族 ， 函数 族 构 成 函数 空 间 的 使
一
些研 究者 采用 小 波 、 波 包 、 频谱 、 ｇｅ 分 布 小 倒 Ｗｉ ｒ ｎ
称 该 函数族 为小 波 函数 系 。
设 函数 ∈Ｌ （ ） （ ） 并 且 （ ）＝０ 由 ｎ ， ０ ，
经 伸缩 和平 移就 得到 一 函数 族
． ， Ｊ Ｚ、
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６
（ ｔ ）＝』ｌ 口亍 Ｉ
、
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，
ｌ口ｂ ， ≠０（） ； ， ∈Ｒ口 １
去， 实现 了信号在不 同时刻 、 同频带 的合理分离 ， 不
要 手段 。
２０ ０ ７年 ６月 ７ Ｅ收 到 ｔ
小波变换的初始采样值Ｓｃｆ （ ） 迭代求解， ￣＝ ｎ ＝
就可得到不同尺度下原始信号的逼近结果 ｓ ｎ 和 ） 小波分解结果 』 ｎ 。离散小波 的迭代公式为 厂 ） （
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２ ０期
肖云魁 ， ： 等 基于小波分形 技术 提取变速器轴承故 障特 征
５ ８ ２３
｛ ｎ ｆ ）＝∑ ｓ一 一 ｊ ） ｓ 以ｎ ２
（） ２
为更 好地 把所 求 数 据 拟 合 成 直 线 ， 计 算 时 采 在 用 最 小二 乘法 。即设 Ｙ 一ｄ ， 中 ｋ＝１ ＝ ｘ ＋ｂ其 ， ２ … ， ｄ ｂ为直 线 的斜率 和截 距 ， ｄ则 为分 形维 ， Ｋ，、 而
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第 ７卷
第２ ０期
摩擦学的分形
摩擦学的分形摩擦学作为一门研究物体接触表面间相互作用的学科，揭示了许多有趣的现象和规律。
其中，分形是摩擦学中一个令人着迷的概念。
分形是一种几何形态，其具有自相似性和无限细节的特点，与摩擦学的研究息息相关。
分形的美妙之处在于其无限的细节。
就像大自然中的树叶和花朵一样，我们发现分形结构在物体的接触表面上也同样存在。
当我们观察一块岩石或一片树皮时，我们会发现无数微小的凹凸、起伏和纹路，它们组成了一个个微小的分形单位。
这些分形单位在不同尺度上重复出现，形成了一个整体上具有分形结构的表面。
在摩擦学中，分形结构对于物体的摩擦性能起到了重要的影响。
分形结构使得物体的接触表面更加复杂，增加了接触面积，从而增强了摩擦力的作用。
同时，分形结构也使得物体的表面不规则，形成了更多的微观接触点，提高了摩擦系数。
这种分形结构的优势在工程设计中得到了广泛的应用，例如在轮胎的花纹设计中、机械零件的表面处理中等。
分形结构的存在也为我们提供了更深入地理解摩擦学的机理的机会。
通过研究分形结构，我们可以揭示物体在接触过程中微观接触点的行为，进而优化摩擦性能。
分形结构的研究不仅仅局限于地面摩擦，还可以应用于润滑剂的开发、摩擦材料的改良等领域。
通过深入理解分形结构的特性，我们可以更好地控制和调节物体之间的摩擦行为。
尽管分形在摩擦学中起到了重要的作用，但我们仍然只是揭开了这一领域的冰山一角。
分形结构的形成机理、分形参数的优化等问题仍然值得深入研究。
只有不断探索和理解分形的奥秘，我们才能更好地利用分形结构来改善摩擦学的性能。
摩擦学的分形之美是一门令人着迷的学科。
分形结构的存在使得摩擦学更加有趣和复杂，同时也为我们提供了更多的机会来改善摩擦性能。
通过深入研究和理解分形结构，我们可以不断推动摩擦学的发展，为人类创造更好的摩擦学应用。
让我们一起走进摩擦学的分形世界，探索其中的奥秘吧！。
粗糙球形表面的分形接触力学模型
粗糙球形表面的分形接触力学模型原园;张利华;徐颖强【摘要】为了获得粗糙表面点接触的力学特性,提高接触元件的承载能力,采用Weierstrass-Man-delbrot函数生成了三维粗糙球形表面,建立了粗糙球形表面与一刚性平面接触的分形力学模型,推导出不同接触区域上各个频率指数的微凸体的截断面积密度分布函数,获得了真实接触面积与总接触载荷的解析表达式,得到了接触半宽上的接触压力分布.计算结果表明:微凸体的频率指数范围直接影响粗糙球形表面的接触力学性质;当最小频率指数nmin与临界弹性频率指数nne.满足nmin+5≤nec时,粗糙球形表面在整个接触过程中呈现弹性变形性质,当最小频率指数nmin与临界弹塑性频率指数nepc满足nmin＞ nepc时,粗糙球形表面在整个接触过程中呈现非弹性变形性质;粗糙球形表面的接触半宽主要由基圆确定,对于相同比例的下压量,接触压力峰值与最小频率指数成正比;在弹性变形与弹塑性变形阶段,接触压力在接触区域中心达到最大,向接触区域边缘方向递减,在完全塑性变形阶段,接触压力在整个接触区域近似均匀分布.【期刊名称】《西安交通大学学报》【年(卷),期】2019(053)005【总页数】11页(P176-186)【关键词】粗糙球形表面;分形;微凸体;接触;频率指数【作者】原园;张利华;徐颖强【作者单位】西安理工大学机械与精密仪器工程学院,710048,西安;西安理工大学机械与精密仪器工程学院,710048,西安;西北工业大学机电学院,710072,西安【正文语种】中文【中图分类】TH117接触现象广泛存在于工程领域中。
掌握物体之间的接触力学性能,对研究润滑、摩擦、磨损及热传导等具体的工程实际问题具有十分重要的作用。
经典接触力学中普遍认为物体的接触表面是光滑连续的,当两物体接触时,其间的实际接触面积与名义接触面积是相等的。
然而,实验观测表明,物体的接触表面是由众多几何尺寸不同的微凸体构成,即接触表面是粗糙表面。
基于分形理论的斯太尔汽车发动机故障诊断的研究
中围分类号： Ｔ ３ Ｔ ６ ＨＩ３ Ｈ１５
概 貌 ．又 可 以看到信 号 的细 节 ．特 别 对非平稳 振动
０ 前言
汽车 发动机 是汽 车的心脏 部件 ，不仅其 结构 复 杂 ．而且 出现 故 障 的概 率也很 高 ．故 障的种类 也较 多…。因此 ．选 择合 适 的诊 断理论 与特 征 参数 乃是
信号的分析显示出极大的优越性 。实践证明．小波 分 析具有很 强 的信 号分解与 重构 能力 。在不 同尺度 下 作 小波变 换 ．其 实质是 不 同的中心 频率 ．品质 因 数相同的带通滤波器对信号进行滤波。 平 方 可 积 函数 ｆ（ 【 作 ｆ（ ∈Ｌ （ 】 ｔ 记 ） ｔ ２Ｒ）的积 分 ）
小波分析 窗 口形状 的变化 ，使其 可对信 号进 行 多分辨率 分析 ，利 用小波 分析 不仅可 以看 到信 号的
・ 国家 自然科 学基￣ （９Ｏ ０＂ 唐 山市科 研基金 督助 项 目。 ０ 】３ ６ Ｓ ６５０ ） ２ ２ ００ ｌ 收 到初稿 ，２０ ００ ０ １９ ３收到 惨改稿
（）对 矩 阵 １ 进 行 处 理 ，把 低 于 对 应 阀值 ３ ． ｒ 的元 素置 为零 ，得到新 的矩 阵 １ 。 ． ｒ （）利用信 号的重 构算 法 对矩 阵 ．： 行 重构 ４ ． ｒ 进 即可获得 降噪后 的信 号。 为验 证 该 方 法 的有 效性 ， 首先 用 一 含 噪 声 的 正 弦信 号进行 验证 ，效果如 图 １ 示 ，图中纵坐 标 所 为 幅值 （ 量纲 一 ） 。
分 形 维数 是用 来定 量 刻 划混 沌 吸 引子 “ 异 ” 奇 程度 的一个 十分 重要 的参数 ，它 广泛地 应用 于刻划
（
） ｄ
分形理论在摩擦学研究中的应用
分形理论在摩擦学研究中的应用随着科技和经济的发展，工程材料的摩擦性能成为影响产品品质和生产效率的关键因素之一。
由于摩擦学研究的复杂性和多样性，从传统的微观或宏观角度来理解摩擦现象已经无法满足需求。
因此，分形理论作为一种新的描述自相似性的数学理论，被广泛应用于摩擦学研究中，成为了一种新的研究方法。
分形理论是指在一定的尺度下，其形态具有与整体相似的特点，并且适用于自然和人工系统中的许多复杂的非线性问题。
分形理论在摩擦学研究中的应用有两个层面：其一是分形几何学和复杂网络理论的应用，其二是分形分析和量化的应用。
首先，分形几何学和复杂网络理论的应用可以帮助我们进一步理解摩擦学的复杂性和非线性性。
通过构建复杂网络模型，研究不同尺寸下的摩擦特性，可发现摩擦力随着尺寸的变化而呈现不同的分形特性，即满足分形几何学的自相似性。
而且，通过构建复杂网络模型，还可进一步研究多尺度摩擦现象的内部关联性和整体行为。
例如，研究合金表面形态的多尺度结构与其摩擦性能的关系，可有效探究合金材料的摩擦磨损机理和优化设计。
其次，分形分析和量化的应用可以帮助我们更精确地描述和预测摩擦性能。
通过对摩擦曲线和摩擦力信号的分形分析，可以得到摩擦系统的分形维数和分形特性，从而实现对摩擦性能进行精准的描述和预测。
例如，分形分析可用于研究钢铁表面的摩擦磨损机理，预测扭曲角的变化和材料表面的耐疲劳性能。
总之，分形理论在摩擦学研究中的应用是一种新的研究思路和方法，将为我们进一步理解摩擦现象和解决相关问题提供有力的支持。
由于分形理论具有非线性、全面和多尺度的特性，应用前景非常广泛，并将在未来的研究中发挥更加重要的作用。
除了分形理论外，还有许多其他的数学方法也可以应用于摩擦学研究中，如统计力学、计算流体力学、非线性动力学等。
但是，分形理论作为一种新兴的数学理论，具有独特的优势和突出的特点。
其主要优势在于适用于自然和人工系统中的许多复杂的非线性问题，并且能够提供更全面和精确的描述和预测。
基于分形理论的旋转机械故障诊断及其应用
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２０ 年 第 ５ ０７ 期
机 械 工 程 与 自 动 化
・９ ・ ３
维数 ， 们取 未加 故 障 的转 子运 行状 态 为正 常状 量 不平 衡 状态 （ 工况 ２ 、 子 不对 中 （ ）转 工
平 衡引 起 的 。
中 图分 类 号 ：Ｔ ２ ７ Ｐ ７ 文 献 标 识 码 ：Ａ
０ 引言
定义 关联 积分 函数 Ｃ（） ： ￡为
Ｎ Ｎ
分形 是在 空间 标度 下表 现 出来 的 自相似 性 ，分形 理论 揭示 了非线 性 系统 中有序 与无 序 、确定 性 与随机
ｃ 一 ㈤
∑
ｉ １ ＝
（－ ｒ） 。 ６ ｉ ｊ
一
． 观 尺 ； 从 Ｎ个 中 ｛ ｏ为 测 度ｒ 这 点 ｌ ０ ￡ “ ； ０ ＜ ｉ ｊ 是
任选 一 个 参考 点 ｙ ， 算 其 余 Ｎ １个 点 到 ｙ 的距 计 一 离 ， ｒ —ｄ ｆ ） ｌ — ，ｌ 且 ｉ （ — ，一 ｌ ｌ。
对所 有 的 ｙ （一１ ２ … ， ） 复该 过 程 ， 到所 ， ， Ｎ 重 得 有 的点对 距离 ， 然后计 算 Ｃ（） ￡。
画 出标 度 曲线 ｌ， ｎ ， ， 标 度 中 的 直 线 部 ｎ ～ｌＣ（ ） 取 ． ． 分 ，其斜 率 即 为对 应 时间 序列 的关 联维数 。这 种方 法
能有 效地 识别 研究 对象 状态 的特 征 量 。 ２ 关联 维数 在旋 转机械 故 障诊 断 中的应 用
其 中 ， 为原 始时 间序 列点数 ； 为嵌入 维数 ； Ⅳ ｒ为时
维数。
根据 Ｔａ ｅ ｓ 理 ， ｋｎ 定 当嵌 入维 数 ＞２ ＋１ 为 吸 （
引子 的真 实维 数 ） ，则 重构 相空 间 ： 时
分形几何在自然科学中的应用
生 物 学 中的全 息 现 象 如
肺 、 脏 等 的 分 形 描 述 ； 料 的 损 伤 断 裂 … … 无 不 显 示 心 材 出分 形 理 论 和方 法 的威 力 ＿ ｒ。
图 １ 电解 实验 形体 图
１ 在 物 理 学 和 工 程 技 术 中 的应 用
展对称性 ， 对后 者 而 言 人 们 不 甚 清 楚 。近 ２ ０年 来 ， 形 分 理 论 被 推 广应 用 到 若 干 远 离 平 衡 态 的 不 可 逆 生 长 过 程 中 ， 些 过 程显 示 了 自相 似 的扩 展 对 称 性 。分 形 物 理 所 这
研究 的 内容 主 要包 括 分 形 结 构 晶 格 （ 子在 晶 体 中 排 列 原 规律 的 空 间格 架 叫做 晶 格 ） 物 质 中 的 力 、 、 、 性 或 热 光 电
的物 理 机 理 。 比如 ， 于 活 化 密 度 ， 实 验 得 出 的 经 验 对 从
自仿 射 意 义 的 物 理 现 象 。如 分 形 凝 聚 ， 形 动 力 学 ， 分 分 形 中 的相 变 ， 料 科 学 中 的 分 形 ， 理 中 的 多 重 分 形 。 材 物
图 １和 图 ２是 文 Ｅ ３ 文 ［ ］ 出 的 电 解 实 验 和 热 对 流 ２和 ３给
Ｎ ～ （ ／，ａ ） Ｌ —Ｃｍ ｘ ｍ
ｆ
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Ａ
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其 中 ， ， ，Ｄ 分 别 为 加 热 面上 最 大 活化 穴 直 径 和活 Ｄ 化穴直径 ， ～ 为 加 热 壁 面 上 的 活 化 核 心 密 度 ， （＝
能 ， 一 是 研 究若 干属 于 随 机 分 形 的具 有 统 计 自相 似 或 另
基于分形理论的便携式故障诊断系统的设计与开发
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ａｐ ｌｃ ｔ ｎ ｏ ｒ ｃａ ｈ ｏ ｙ ｉ ｕｒｅ ｔｓｕ ｙ ｈ ｔｐ ｔｉ ｈ ｅｄ ｏ ｃ ａ ｉ ａ ａ ｌ ｉｇ ｏ ｉ． Ａ ａ ｌ — ｐ ｉａ ｉ ｆｆａ ｔｌｔ ｅ ｒ ｓｃ ｒ ｎ ｔ ｄ ｏｓ ｏ ｎ ｔ ｅ ｆ ｌ ｆｍｅ ｈ ｎ ｃ ｌｆｕ ｔｄａ ｎ ｓｓ ｏ ｉ ｆｕ ｔｄｉ
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分形理论及其在机械工程中的应用
作者：赵涛
来源：《科技资讯》2014年第18期
摘要：分形理论是近年来刚刚发展起来的，十分新颖，高级的新型学科。
分形理论中的“分形”是由某著名数学家首次提出的，分形理论的基础学科是分形几何学，分形几何学就是指研究分形集合以及由此衍生出的分形信息，分形结构和分形设计等。
分形理论的一个特点就是要利用分数维度的视角和数学方法描述客观事物，与一维，二维，三维甚至四维空间的描述相比，它的真实性和直观性都更为优秀。
分形理论的这一特点特别适合应用在机械工程上，这不但可以直观的展现机械物，还可以降低工程难度，提高工程效率。
本文就围绕分子理论及其在机械工程程的应用这一问题，具体叙述分子理论的特点及将其应用在机械工程的具体方式。
关键词：分子理论机械工程应用方式
中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）03（b）-0083-01
分形理论的概念在70年代的时候被正式提出，从此以后就获得了飞速的发展，如今，分形理论已经成为了一个各个行业都不缺少的新型技术，在化学，机械工程，计算机科学，社会科学等领域中都有着广泛的应用。
作为评价我国科技发展水平的重要指标，机械工程的发展也离不开分形理论。
就机械工程领域来看，分形理论在机械摩擦，机械故障审查，断裂力学以及精细机械产品的分形处理方面都有着很重要的应用，通过分形理论，可以直观的向人们展现机械物体以及机械运动过程，提高工程效率，促进机械工程行业的发展。
如何充分的在机械工程中利用机械理论也成为了诸多学者所研究的问题，同时这也是我国未来机械工程领域发展的重要突破口。
1 分形理论简介
在传统的几何问题中，我们往往利用直线，曲线，圆柱，长方体等简单规则的几何体来描述楼梯，轮胎，断面等机械物体，并且由于这些物体本身就是由这些简单规则的几何体组成，因此，传统的方法也有一定的道理，但是，不可否认，自然界中还存在着大量具有不规则几何形状的物质，如山川，河流，植物等，我们对这些物质的研究并没有十分深入。
为了描述这些广泛存在但又有着复杂形状的物体，美国哈佛大学的教授 Beno it B.M ande l brot首先提出了分形理论这一概念，之后它便为我们描述形状不规则并十分复杂的机械体提供了一个简单有效的方法。
因为分形理论是一门新型学科，所以当目前为止还没有一个明确的，严格的，统一的科学定义，但是从字面上可以这样理解，分形指的是由一些零碎且复杂的，具有一定相似性的物质所构成的系统。
通常来讲，分形具有比例性，这是指分形体系在一定程度内，会连续的放大体系中的每个部分，但其不规则程度不变。
通常条件下，分形都具有置换不变性，也就是所它的
每个部分的旋转，放大以及移位过程都彼此相似。
比例性和置换不变性是分形体系的基本特性，这两个特性保证了分形并不是杂乱无章，毫无规则的。
事实上，物质世界中的所有形状都能通过其中的较小组成部分来反映出整体的不规则形。
2 分形理论的发展历程
总体来说，到目前为止，分形理论经历了以下三个发展阶段：
第一阶段：1870年到1930年。
这一阶段是分子理论的提出阶段，人们在这段时间内逐渐认识到了分子理论并成功的构造了一些分形对象，为以后分子理论的发展奠定了基础。
这一阶段有几下几个代表事例：1872年Weierstrass证明了存在着在任一点都不具有导数（包括有限和无限）的连续函数，1904年冯·科赫利用初等函数构造了一条在处处不可微的连续函数，并叙述了这一函数的基本性质，除此之外的代表事例还有皮亚诺曲线的提出，布朗运动的发现等。
这些都成为了以后研究分形理论的主要工具。
第二阶段：1930年到976年。
这一阶段是分形理论的成熟阶段，人们在这一阶段更加深入的研究了分形了理论，不但形成了系统的理论体系，也将此延伸到了数学领域的其他分支中并且还提出了维数的概念。
但是分形理论这一时期的发展还有一定的局限性，主要表现在它并未与其他学科产生关联。
第三阶段：1976年至今。
这一阶段是分形理论的完善阶段，其间不但形成了分形理论的独立学科，还将此应用到来其他科学领域中。
目前分子理论不但保持者着快速的发展，还在材料结构，力学体系，模式识别，分子链技术等领域中有着深入的应用，在机械工程的深入应用也成为了目前的重要发展方向。
3 分形理论在机械工程中的应用
分形理论因为它特有的性质在机械工程领域中有着广泛的应用，具体可分为以下几点。
3.1 应用于研究机械摩擦
在机械摩擦中应用分形理论，是在机械工程中利用分形理论的重要研究方向，研究表明，分形理论可以通过描述机械粗糙面的性质，机械体的接触，磨损情况估计以及摩擦温度等方面应用在机械摩擦领域中。
在机械摩擦中应用分形理论这一方法与以往的研究方法相比具有直观，简单的特点，它利用分形参数建立机械摩擦研究模型，受测量仪器精度和取样精度的影响很小，同时，所建立的机械摩擦研究模型可以通过分形参数所唯一特性，因此也就有高度的准确性和合理性。
3.2 应用于研究机械体的疲劳断裂分析
实验研究发现，疲劳断裂裂纹的延伸路径往往具有不规则形，这一不规则形导致了机械体的断裂行为具有不确定性。
并且调查发现，传统方法如标准方差法，峰值分布法，以及面积比例法等在分析疲劳断裂面都不是十分有效，而应用分形理论能够很好的解决这一问题，但要保证裂纹是平直延伸的。
目前已经有专家利用分形理论建立了疲劳裂纹的分析系统，并系统的阐述了裂纹扩展对疲劳行为的影响。
此外，利用分形理论研究疲劳断裂能够使应力强度的范围比外加的范围小，也能保证虚拟裂纹的扩展行为比实际裂纹扩展行为慢。
现已通过实验证明了这一应用的合理性和高效性。
4 结语
当前，自然科学正面临着深刻的变化。
学科之间的相互渗透，正在推动着许多交叉和综合性科学的产生。
突飞猛进地发展的非线性科学就是影响深远的综合性科学之一。
而分形理论又是非线性科学的重要组成部分。
它使人们能以新的观念、新的手段来处理自然科学中的许多难题，透过扑朔迷离的无序的混乱现象和不规则的形态，揭示隐藏在复杂现象背后的规则、局部和整体间的本质联系。
尽管作为一种全新的数工具，分形理论诞生的时间还很短，目前正处于发展之中，它涉及面广但还不够成熟，但是，我们深信，随着分形理论的深入研究，其在机械工程领域必将得到更加广泛的应用。
参考文献
[1] 张建润.分形在有限元网格图形细化中的应用[J].南京理工大学学报，1996.
[2] 肖人彬.分形设计：复杂产品设计的新途径[J].高技术通讯，1997.
[3] 葛世荣.粗糙表面的分形特征与分形表达研究[J].摩擦学学报，1997.
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