八年级一元一次不等式(教师讲义带答案)

第四章一元一次不等式(组)

考点一、不等式的概念（3分）

1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这

个不等式的解。

3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的

解集。

4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

5、用数轴表示不等式的方法

考点二、不等式基本性质（3-5分）

1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。②如果

不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立；

考点三、一元一次不等式（6--8分）

1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两

边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的

系数化为1

考点四、一元一次不等式组（8分）

1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

5、一元一次不等式组的解法

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集

（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

6、不等式与不等式组

不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等

号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

7、不等式的解集：

①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

③求不等式解集的过程叫做解不等式。

经典例题透析类型一：解一元一次不等式组1、解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来。思路点拨：先求出不等式①②的解集，然后在数轴上表示不等式①②的解集，求出它们的公共部分即不等式组的解集。解析：解不等式①，得x≥－；解不等式②，得x＜1。所以不等式组的解集为－≤

x＜1 在数轴上表示不等式①②的解集如图。总结升华：用数轴表示不等式组的解集时，要切记：大于向右画，小于向左画。有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。举一反三：【变

式1】解不等式组：解析：解不等式①，得：解不等式②，得：

在数轴上表示这两个不等式的解集为：∴原不等式组的解集为：

【变式2】解不等式组：思路点拨：在理解一元一次不等式组时要注意以下两点：（1）不等式组里不等式的个数并未规定；（2）在同一不等式组里的未知数必须是同一个. （3）注意在数轴表示解

集时“空心点”与“实心点”的区别解法一：解不等式①，得：解不等式②，得：解不等式③，得：在数轴上表示这三个不等式的解集为：∴

原不等式组的解集为：解法二：解不等式②，得：解不等式③，得：由与得：再与求公共解集得：. 【变式3】解不等式组：

解析：解不等式①得：x＞－2 解不等式②得：x＜－7

∴不等式组的解集为无解【变式4】解不等式：－1＜≤5思路点拨：(1)把连写不等式转化为不等式组求解；(2)根据不等式的性质，直接求出连写不等式的解集。解法1：原不等式可化为

下面的不等式组解不等式①，得x＞－1，解不等式②，得x≤8 所以不等式组

的解集为－1＜x≤8。即原不等式的解集为－1＜x≤8解法2：－1＜≤5，－3＜2x－1≤15，－2＜2x≤16，－1＜x≤8。所以原不等式的解集为－1＜x≤8总结升华：对于连写形式的不等式可以化成不等式组来求解，而对于只有中间部分含有未知数的连写形式的不等式也可以按照解不等式的步骤求解，如解法2. 【变式5】求不

等式组的整数解。思路点拨：按照不等式组的解法，先求出每个不等式的解集，在数轴上表示出各个不等式的解集，取其公共部分得到不等式的解集，再在不等式组的解集内求出符合要求的整数解。解析：解不等式①，得x≥；解不等式②，得x≤4。在数轴上表示不等式①②的解集(如

图)所以不等式组的解集为≤x≤4。所以它的整数解

为3,4。类型二、含参数的一元一次不等式组2、若不等式组无解，求a的取值范围. 思路点拨：由两个不等式组成的不等式组无解只有一种情况，即“大大小小”，也就是说如果x比一个较大的数大，而比一个较小的数小，则这样的数x不存在. 解析：依题意： 2a-5 ≥ 3a-2，解得a ≤ -3 总结升华：特别地，当2a-5与3a-2相等时，原不等式组也无解，请注意体会，以后做此类型的题目不要忽略对它们相等时的考虑. 举一反三：

【变式1】若不等式组无解，则的取值范围是什么？解析：要使不等式组无解，故必须，

从而得. 【变式2】若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是什么？解析：由+1可解出，而由可解出，而不等式组的解集为，

故，即.总结升华：上面两个例题给出不等式组的解集，反求不等式组中所含字母的取值范围，故要求较高.解这类题目的关键是对四种基本不等式组的解集的意义要深刻理解，如变式2，最后归结为对不等式组解集的确定，这就要求熟悉“同小取小”的解集确定方法，当然也可借助数轴求解。【变式3】不等式

组的解集为x＜2，试求k的取值范围.解析：，由①得x＜2, 由②得

x＜k, ∵不等式组的解集为x＜2，∴ 2≤k.即k≥2. 【变式4】已知关于的不等式组的整数解共有5个，求的取值范围。解析：∵不等式组的解为: 不等式组的解为: 由于原不等式组有解，∴解集为在此解集内包含5个整数，则这5个整数依次

是∴m必须满足【变式5】若不等式组的解集为－1＜x＜1，则(a＋b)2008＝＿＿＿。解析：由①知x＞a＋2，由②知x＜，∵a＋2＝－1，＝1，∴a＝－3，b＝2，∴a＋b＝

－1，∴(a＋b) 2008＝(－1)2008＝1。类型三、建立不等式或不等式组解决实际问题3、某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，求预定每组学生的人数。思路点拨：运用不等式解应用题的方法，找出题目中的不等关系，列不等式组，本题中的两个不等关系是：①9个小组中每组比预定的人数多1人，学生总数超过200人；②9个小组中每

组比预定的人数少1人，学生总数不到190人。解析：设预定每组学生有x人，根据题意，得

解这个不等式组，得，所以不等式组的解集是，其中符合题意的整数解只有一个x ＝22。答：预定每组学生的人数为22人。总结升华：列不等式(组)解应用题，首先将题目中的不等关系用不等式表示出来，当求得未知数的值后，要检验，一是检验所求值是否是原不等式或不等式组的解，二是检验所求得的值是否与实际意义相符。举一反三：【变式1】某饮料厂为了开发新产品，用A、B两种果汁原料各19千克、17.2千克，

饮料每千克含量甲乙