建筑工程测量-第五章 测量误差的基本知识

第五章测量误差的基本知识

第三节误差传播定律

例如：三角形中，已知：A、B角的中误差为m A、m B

求：C角中误差m C

解：∠C=180°-∠A-∠B，C角是直接观测值A、B角的函数m c=?

高差测定中的h=a-b，h是直接观测值a、b的函数m c=?

一、误差传播定律

在间接观测的情况下，未知量的中误差和观测值中误差之间必有一定的关系，阐述这种关系的定律为误差传播定律。

即根据观测值的中误差去求观测值函数中误差。

二、倍数函数的中误差

倍数函数：Z=KX

则有：m Z=±Km X

观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘常数。

[例5-3]在1:500地形图上量得某两点间的距离d=234.5mm，其中误差m d=±0.2mm，求该两点的地面水平距离D的值及其中误差m D

解：D=500d=500×0.2345=117.25m

m D=±500m d=±500×0.0002=±0.10m

三、和(差)函数的中误差

和(差)函数：Z=X1±X2且X1、X2独立，则有m Z2=m x12+m x22

两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中误差的平方和。

当Z是一组观测值X1、X2……X n代数和(差)的函数时，即Z=X1±X2±...±X n

Z的中误差的平方为m Z2=m x12+m x22+...+m xn2

n个观测值代数和(差)的中误差平方，等于n个观测值中误差平方之和。

在同精度观测时，观测值代数和(差)的中误差，与观测值个数n的平方根成正比，即

[例5-4]已知水准仪距水准尺75m时，一次读数中误差为m读≈±2mm(包括照准误差、气泡置中误差及水准标尺刻划中误差)，若以三倍中误差为容许误差，试求普通水准测量观测n站所得高差闭合差的容许误差。

解：水准测量每一站高差h i=a i-b i(i=1,2...,n)

则每站高差中误差

观测n站所得总高差h=h1+h2+...+h n

则n站总高差h的总误差

若以三倍中误差为容许误差,则高差闭合差容许误差为

四、线性函数

线性函数Z=K1X1±K2X2±...±K n X n

则有m Z2=K12m X12+K22m X22+...+K n2m xn2

[例5-5]设对某一个三角形观测了其中α、β两个角，测角中误差分别为mα=±3.5"，mβ=±6.2"，现按公式γ=180°-α-β求得γ角，试求γ角的中误差mγ

解：

五、一般函数的中误差

一般函数：Z=f(X1,X2,...,X n)

则有

误差传播定律的一般形式

[例5-6]函数式：△y=Dsinα，测得：D=225.85±0.06mα=157°00'30"±20"求：△y的中误差m△y

解：

[例5-6]已知：测量矩形的两边a=20.00±0.02m, b=50.00±0.04m

求：矩形面积A及其中误差m A

解：1.函数式A=a×b=1000米2

2.全微分d A=b·da+a·db

3.中误差式

[例5-7]已知：测量斜边D'=50.00±0.05m，测得倾角α=15°00'00"±30"求：水平距离D 及其中误差

解：1.函数式D=D'cosα

2.全微分

3.化为中误差

六、应用误差传播定律的基本步骤

1. 列出观测值函数的表达式

Z=f(x1,x2,...x n)

2.对函数Z进行全微分

3.写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式

4.计算观测值函数中误差