九年级二次函数压轴题专题训练含答案和方法指导

九年级二次函数压轴题专题训练含答案和方法

指导

Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】

九年级二次函数压轴题专题训练(含答案)

方法:面积法 ,化斜为直,韦达定理,几何变换等.

1,如图1，在平面直角坐标系中，抛物线C 1：2

2a bx ax y -+=关于y 轴对称且

有最小值1-。

（1）求抛物线C 1的解析式；

（2）在图1中抛物线C 1顶点为A ，将抛物线C 1绕 点B 旋转180°后得到抛物线C 2，直线y=kx ﹣2k+4总经过一定点M ，若过定点M 的直线与抛物线C 2只有一个公共点，求直线l 的解析式．

（3）如图2，先将抛物线 C 1向上平移使其顶点在原点O ，再将其顶点沿直线y=x 平移得到抛物线C 3，设抛物线C 3与直线y=x 交于C 、D 两点，求线段CD 的长；

（1）∴y=x 2﹣1．‥‥‥‥‥‥‥2分

（2）依题意可求出抛物线C2的解析式为：y=﹣（x ﹣2）2+1， ∵直线y=kx ﹣2k+4总经过一定点M ，

∴定点M 为（2，4）， ‥‥‥‥‥‥‥4分

①经过定点M （2，4），与y 轴平行的直线l ：x=2与抛物线C3总有一个公共点（2，1）．

②经过定点M （2，4）的直线l 为一次函数y=kx ﹣2k+4时，与y=﹣（x ﹣2）2

+1联立方程组，消去y 得x 2﹣4x+3+kx ﹣2k+4=0， 即x 2﹣（4﹣k ）x+7﹣2k=0，△=k 2﹣12=0，得k 1=2，k 2=﹣2

，

∴y=2

x+4﹣4

或y=﹣2

x+4+4

，

综上所述，过定点M ，共有三条直线l ：x=2 或y=2x+4﹣4

或y=﹣

2

x+4+4

，它们分别与抛物线C 2只有一个公共点．

（3）设抛物线C 3的顶点为（m ，m ），依题意抛物线C 3的解析式为：y=（x ﹣m ）2+m ， 与直线y=x 联立

，

解方程组得：，，

∴C （m ，m ），D （m+1，m+1）

过点C 作CM ∥x 轴，过点D 作DM ∥y 轴， ∴CM=1，DM=1， ∴CD=

．

2,如图，抛物线y ＝ax 2－4ax ＋b 交x 轴正半轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于C ，且OB ＝OC ＝3 (1) 求抛物线的解析式

(2) 如图1，D 位抛物线的顶点，P 为对称轴左侧抛物线上一点，连OP 交直线

BC 于G ，连GD ．是否存在点P ，使2=GO GD

若存在，求点P 的坐标；若不存

在，请说明理由

(3) 如图2，将抛物线向上平移m 个单位，交BC 于点M 、N ．若∠MON ＝45°，求m 的值

（1）2

43y x x =-+

3（本题12分）如图1，抛物线y ＝ax 2＋(1－3a )x －3（a ＞0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线y ＝－x ＋5与抛物线交于D 、E ，与直线BC 交于P

(1) 求点P 的坐标 (2) 求PD ·PE 的值

(3) 如图2，直线y ＝t （t ＞－3）交抛物线于F 、G ，且△FCG 的外心在FG 上，

求证：t a -1为常数

．解：(1) 令y ＝0，则ax 2＋(1－3a )x －3＝0，解得x 1＝a 1

-

，x 2＝3

∴B (3，0)

令x ＝0，则y ＝－3

∴直线BC 的解析式为y ＝x －3

联立⎩⎨⎧+-=-=53x y x y ，解得⎩⎨⎧==14y x

∴P (4，1)

(2) 设D (x 1，y 1)、E (x 2，y 2)

则PD ＝2(4－x 1)，PE ＝2(4－x 2)

联立⎪⎩⎪⎨

⎧+-=--+=53)31(2x y x a ax y ，整理得

ax 2＋(2－3a )x －8＝0

∴x 1＋x 2＝a a 23-，x 1x 2＝a 8

-

∴PD ·PE ＝2(4－x 1)(4－x 2)＝2[16－4(x 1＋x 2)＋x 1x 2]＝8]881216[2=-+

-a a

(3) ∵△FCG 的外心在FG 上

∴∠FCG ＝90°

设FG 与y 轴交于点H ，则CH 2＝FH ·GH ∴(t ＋3)2＝－x F ·x G

联立⎪⎩⎪⎨⎧--+==3)31(2x a ax y t y ，整理得

ax 2＋(1－3a )x －3－t ＝0

∴x F ·x G ＝a t --3 ∴(t ＋3)2＝a t

+3 ∴31

=-t a

4.（梅苑中学九月月考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数

m x y +=

4

5

的图象与x 轴交于A (－1，0)，与y 轴交于点C ．以直线x ＝2为对称轴的抛物线C 1：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）经过A 、C 两点，并与x 轴正半轴交于点B (1) 求m 的值及抛物线C 1：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）（a ≠0）的函数表达式

(2) 设点D (0，1225

)，若F 是抛物线C 1：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）对称轴上使得△

ADF 的周长取得最小值的点，过F 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线C 1于M 1(x 1，y 1)，M 2(x 2，y 2)两点，试探究

F

M F M 211

1+

是否为定值请说明理由

(3) 将抛物线C 1作适当平移，得到抛物线C 2：y 2＝－41

(x －h )2，h ＞1．若当1＜

x ≤m 时，y 2≥－x 恒成立，求m 的最大值

如图1，已知抛物线C 1：y=x 2﹣2x+c 和直线l ：y=﹣2x+8，直线y=kx （k ＞0）与抛物线C 1交于两不同点A 、B ，与直线l 交于点P ．且当k=2时，直线y=kx （k ＞0）与抛物线C 1只有一个交点． （1）求c 的值； （2）求证：

，并说明k 满足的条件；

（3）将抛物线C 1沿第一象限夹角平分线的方向平移

t （t ＞0）个单位，再沿

y 轴负方向平移（t 2﹣t ）个单位得到抛物线C 2，设抛物线C 1和抛物线C 2交于点R ；如图2．

①求证无论t 为何值，抛物线C 2必过定点，并判断该定点与抛物线C 1的位置关系；

②设点R 关于直线y=1的对称点Q ，抛物线C 1和抛物线C 2的顶点分别为点M 、N ，若∠MQN=90°，求此时t 的值．