八年级动态几何问题

初二动态几何问题

一、动态几何问题涉及的几种情况

动态几何问题就其运动对象而言，有：

1、点动（有单动点型、多动点型）.

2、线动（主要有线平移型、旋转型）。线动实质就是点动，即点动带动线动，进而还会产生形动，因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解.

3、形动（就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动）

二、解决动态几何问题的基本思考策略与分析方法：

动态型问题综合了代数、几何中较多的知识点,解答时要特别注意以下七点:

1、把握运动变化的形式及过程；

2、思考运动初始状态时几何元素的关系，以及可求出的几何量；

3、动中取静：（最重要的一点）

要善于在“动”中取“静”（让图形和各个几何量都“静”下来），抓住变化中的“不变量”和不变关系为“向导”，求出相关的常量或者以含有变量的代数式表示相关的几何量;

4、找等量关系：利用面积关系、相似三角形的性质、勾股定理、特殊图形等的几何性质及相互关系，找出基本的等量关系式;

5、列方程：将相关的常量和含有变量的代数式代入等量关系建立方程或函数模型；

(某些几何元素的变化会带来其它几何量的变化，所以在求变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解。在解决有关特殊点、特殊值、特殊位置关系问题时常结合图形建立方程模型求解)

6、是否以及怎么分类讨论：

将变化的几何元素按题目指定的运动路径运动一遍，从动态的角度去分析观察可能出现的情况，看图形的形状是否改变，或图形的有关几何量的计算方法是否改变，以明确是否需要根据运动过程中的特殊位置分类讨论解决，

7、确定变化分界点：

若需分类讨论，要以运动到达的特殊点为分界点，画出与之对应情况相吻合的图形，找到情况发生改变的时刻，确定变化的围分类求解。

例：如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形△RQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一条直线ι上，当C、Q两点重合时开始，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2.

.解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S的值；

（2）当t=5秒时，求S的值；

（3）当5秒≤t≤8秒时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值.

实验操作

【要点导航】

通过实验操作——观察猜想——科学论证，使我们体验和学到了发现、获得知识的过程和方法. 实验操作探索——理解题意、实验操作是基本保证，观察猜想、探索结论是关键，论证猜想的结论是落实.

【典例精析】

例1取一矩形纸片进行折叠，具体操作过程如下：

第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图1；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B'，得R t△AB'E，如图2；第三步：沿EB'线折叠得折痕EF，使A点落在EC的延长线上，如图3．利用展开图4探究：

（1）△AEF是什么三角形？证明你的结论；

（2）对于任一矩形，按照上述方法能否折出这种三角形？请说明你的理由．

ι

A

B Q

C R

P

D

例2 已知：在△ABC 中，∠BAC =90°，M 为BC 中点．操作：将三角板的90°角的顶点与点M 重合，并绕着点M 旋转，角的两边分别与边AB 、AC 相交于点E 、F ．

（1）探究1：线段BE 、EF 、FC 是否能构成三角形？如果可以构成三角形，那么是什么形状的三角形？请证明你的猜想．

（2）探究2：若改变为：“角的两边分别与边AB 、直线AC 相交于点

E 、

F ．”其它条件都不变的情况下，那么结论是否还存在？请画出对应的图形并请证明你的猜想．

【训练】

1. ★★★如图，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作FG ⊥DE ，FG 与边BC 相交于点F ，与边DA 的延长线相交于点G ．

（1）操作：由几个不同的位置，分别测量BF 、AG 、AE 的长，从中你能发现BF 、AG 、

AE 的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论；

（2）连结DF ，如果正方形的边长为2，设AE=x ，△DFG 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）如果正方形的边长为2，FG 的长为2

5

，求点C 到直线DE 的距离．

2. ★★★操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD 上，并使

它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q ．

探究：设A 、P 两点间的距离为x ．

M

F

D A

C

B

D A

C

B

供试验操作用

（1）当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与线段PB 之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；

（2）当点Q 在边CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）当点P 在线段AC 上滑动时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置，并求出相应的x 的值；如果不可能，试说明理由．（图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用）

3. ★★★在△ABC 中，AB =AC ，CG ⊥BA 交BA 的延长线于点G ．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F ，一条直角边与AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B ．

（1）在图1中请你通过观察、测量BF 与CG 的长度，猜想并写出BF 与CG 满足的数量关系，然后证明你的猜想；

（2）当三角尺沿AC 方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC 边在同一直线上，另一条直角边交BC 边于点D ，过点D 作DE ⊥BA 于点E ．此时请你通过观察、测量DE 、DF 与

CG 的长度，猜想并写出DE ＋DF 与CG 之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；

（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC 方向继续平移到图3所示的位置（点F 在线段

AC 上，且点F 与点C 不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）

D

A

C

B

图

5

D

C

B

图6

D

C

B

图7

图3

图1