2020年漳州市高一数学下期末试题(附答案)

的标准方程．
23．已知平面向量 a ， b 满足 a b 1. （1） a b 1，求 a 与 b 的夹角； （2）若对一切实数 x ，不等式 a xb a b 恒成立，求 a 与 b 的夹角 . 24．如图，在等腰直角 OPQ 中， POQ 900 ， OP 2 2 ，点 M 在线段 PQ 上.
2020 年漳州市高一数学下期末试题(附答案)
一、选择题
1． ABC 中，已知 a b c ，则 ABC 为（ ） sin A cos B cosC
A．等边三角形
B．等腰直角三角形
C．有一个内角为 30°的直角三角形
D．有一个内角为 30°的等腰三角形
2．设集合 A {1, 2,3, 4}， B 1,0, 2,3， C {x R | 1 x 2}，则 (A B) C
sin B 2b
b 2b
2
由于在
ABC 中， sin B
7 4
， S△ ABC
57 4
，所以 S
ABC
1 2
ac sin B
57 4
，
a
5 2
c
联立
1 2
ac
sin
B
5
7 4
，解得： a 5 ， c 2
sin B
7 4
由于 B 为锐角，且 sin B 7 ，所以 cos B 1 sin2 B 3
2, 2
2 2
，
2 , 2
2 2
，则
A
B 中有 2 个元
素.故选 B.
【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和 化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解 题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否
26． ABC 中，三个内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，若 m (cos B, cosC) ，
n (2a c,b) ，且 m n .
（1）求角 B 的大小；
（2）若 b 7 ， a c 8，求 ABC 的面积.
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一、选择题
1．B
若 ABC 中，已知 a,b, B 且 B 为锐角，若 0 b asin B ，则无解；若 b asin B 或
b a ，则有一解；若 asin B b a ，则有两解. 8．C
解析：C 【解析】
选取两支彩笔的方法有
C52
种，含有红色彩笔的选法为
wenku.baidu.com
C
1 4
种，
由古典概型公式，满足题意的概率值为
D．4
B 中元素的个数为
（）
A．3
B．2
C．1
D．0
5．在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边为 a ， b ， c ，且 B 为锐角，若 sin A 5c ， sin B 2b
sin B
7 4
， S△ ABC
57 4
，则 b （
）
A． 2 3
B． 2 7
C． 15
D． 14
6．设 l ， m 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是 （ ）
A．
2，4
3 3
B．
2，4
3
3
C．
2，4
3
3
D．
2,
4
3 3
8．有 5 支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这 5 支彩笔中任
取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为
A． 4 5
B． 3 5
C． 2 5
9．已知 sin
3
1 4
，则
【点睛】 本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平 行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图 （尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原 命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否 命题等价.
cos
3
2
（
）
A． 5 8
B． 5 8
C． 7 8
D． 1 5
D． 7 8
10．已知函数
f
(x)
x
a x
1
(x 1)
x2 2x (x 1)
A． 0,1
B． 0,1
在 R 上单调递增，则实数 a 的取值范围是
C． 1,1
D． 1,1
n
11．已知二项式
2
x
1
x
(n N*) 的展开式中第 2 项与第 3 项的二项式系数之比是 2︰
方程 f（x）=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是________________.
20．某三棱锥的三视图如下图所示，正视图、侧视图均为直角三角形，则该三棱锥的四个 面中，面积最大的面的面积是 ．
三、解答题
21．某市为了考核甲，乙两部门的工作情况，随机访问了 50 位市民，根据这 50 位市民对 这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
因为 a b c ，所以 sin A sin B sin C B C ,
sinA cosB cosC
sin A cos B cos C
4
即 ABC 为等腰直角三角形.
故选：B.
2．C
解析：C 【解析】
分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果.
A． { 1,1}
B．{0,1}
C．{ 1, 0,1}
D．{2,3, 4}
3．已知集合 A x | x2 3x 2 0, x R , B x | 0 x 5, x N ，则满足条件
A C B 的集合 C 的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
4．已知集合 A (x, y) x2 y2 1 ， B (x, y) y x ，则 A
(Ⅰ) 若 OM 5 ，求 PM 的长；
（Ⅱ）若点 N 在线段 MQ 上，且 MON 300 ，问：当 POM 取何值时， OMN 的
面积最小？并求出面积的最小值.
25．在 ABC 中， BC 5, AC 3,sin C 2sin A .
（Ⅰ）求 AB 的值；
（Ⅱ）求
sin
2
A
4
的值．
9．C
解析：C 【解析】
由题意可得： sin
3
sin
2
6
cos
6
1 4
，
则
cos
3
2
cos
2
6
2 cos2
6
1
2 1 16
1
7 8
.
本题选择 C 选项.
10．C
解析：C
【解析】
x⩽1 时,f(x)=−(x−1)2+1⩽1，
x>1
时,
f
x
x
a x
1,
f
x
1
a x2
1, 2 ，易知 B x | 0 x 5, xN 1,2,3,4.
因为 A C B ，所以根据子集的定义， 集合 C 必须含有元素 1,2，且可能含有元素 3,4，
原题即求集合3, 4 的子集个数，即有 22 4 个，故选 D.
【点评】 本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列
D．M 既不在直线 AC 上，也不在直线 BD 上
二、填空题
13．在直角 ABC 中，三条边恰好为三个连续的自然数，以三个顶点为圆心的扇形的半径 为 1，若在 ABC 中随机地选取 m 个点，其中有 n 个点正好在扇形里面，则用随机模拟的 方法得到的圆周率 的近似值为__________．（答案用 m ， n 表示）
p
C41 C52
4 10
2 5
.
本题选择 C 选项.
考点：古典概型
名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件
的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这 5 支彩笔
中任取 2 支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
已知 a,b, B ，若 ABC 有两组解，则 asin B b a ，可解得 x 的取值范围.
【详解】
由已知可得 asin B b a ，则 xsin 60 2 x ，解得 2 x 4 3 .故选 A. 3
【点睛】
本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断.
5，则 x3 的系数为（ ）
A．14
B． 14
C．240
D． 240
12．在空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上分别取 E，F，G，H 四点，如 EF 与 HG 交于
点 M，那么 ( )
A．M 一定在直线 AC 上
B．M 一定在直线 BD 上
C．M 可能在直线 AC 上，也可能在直线 BD 上
出集合 C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高. 4．B
解析：B 【解析】
试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合 A 表示以 0, 0 为圆心，1为半径的单
位圆上所有点组成的集合，集合 B 表示直线 y x 上所有的点组成的集合，又圆
x2 y2 1 与直线 y x 相交于两点
4
4
所以在 ABC 中，由余弦定理可得： b2 a2 c2 2ac cos B 14，故 b 14 （负数
舍去）
故答案选 D
【点睛】
本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用 l, 可能平行判断 A ，利用线面平行的性质判断 B ，利用 l // m 或 l 与 m 异面判断 C ， l 与 m 可能平行、相交、异面，判断 D .
后，水面宽 米.
17．△ ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 bsinC csinB 4asinBsinC ， b2 c2 a2 8 ，则△ ABC 的面积为________．
18．设
，则
________
x,
xm
19．已知函数
f
(x)
x
2
2mx
4m,
x
m
其中 m 0 ，若存在实数 b，使得关于 x 的
详解：由并集的定义可得： A B 1,0,1, 2,3, 4，
结合交集的定义可知： A B C 1,0,1.
本题选择 C 选项. 点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.
3．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 求解一元二次方程，得
A x | x2 3x 2 0, x R x | x 1x 2 0, xR
【详解】
l m ， m ，则 l, 可能平行， A 错； l ， l // m ，由线面平行的性质可得 m ， B 正确； l / / ， m ，则 l // m ， l 与 m 异面； C 错， l / / ， m / / ， l 与 m 可能平行、相交、异面， D 错，.故选 B.
（1）分别估计该市的市民对甲，乙两部门评分的中位数； （2）分别估计该市的市民对甲，乙两部门的评分高于 90 的概率； （3）根据茎叶图分析该市的市民对甲，乙两部门的评价．
22．已知直线 l1 : 2x y 1 0，l2 : ax 2 y 8 a 0, 且 l1//l2 ． （1）求直线 l1, l2 之间的距离； （2）已知圆 C 与直线 l2 相切于点 A，且点 A 的横坐标为 2 ，若圆心 C 在直线 l1 上，求圆 C
14．设 a ， b ， c 分别为 ABC 内角 A ， B ， C 的对边.已知 2a 3b 3c ，则 cos B cos C
a2 c2 b2 的取值范围为______. ac
15．函数 f x sin2 x sin x 3的最小值为________.
16．如图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，水位下降 1 米
满足互异性.
5．D
解析：D 【解析】
【分析】
利用正弦定理化简 sin A 5c ，再利用三角形面积公式，即可得到 a, c ，由 sin B 2b
sin B 7 ，求得 cos B ，最后利用余弦定理即可得到答案． 4
【详解】
由于 sin A 5c ，有正弦定理可得： a 5c ，即 a 5 c
0 在(1,+∞)恒成立，
故 a⩽x2 在(1,+∞)恒成立，
故 a⩽1，
而 1+a+1⩾1，即 a⩾−1， 综上,a∈[−1,1]， 本题选择 C 选项. 点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个
单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调
A．若 l m ， m ，则 l
B．若 l ， l // m ，则 m
C．若 l / / ， m ，则 l // m
D．若 l / / ， m / / ，则 l // m
7．在 ABC 中，已知 a x,b 2, B 60 ，如果 ABC 有两组解，则 x 的取值范围是
()