二次函数解决实际问题(可用)

利用二次函数解决实际问题

类型一：利用二次函数解决面积最值（面积优化问题）（不含相似形知识点）

1、某广告公司设计一幅周长为20 m的矩形广告牌，设矩形的一边长为x m，广告牌的面积为S m2．

(1)写出广告牌的面积S与边长x的函数关系式； (2)当x为何值时，广告牌面积S最大？最大值为几？

2、如图，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．

(1)如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米？

(2)能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．

3、用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开

2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?

4、明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一

个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围

出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？

5、如图，已知正方形ABCD边长为8，E，F，P分别是AB，CD，AD上的点，(不与正方形顶点

重合)，且PE⊥PF，PE＝PF，问当AE为多长时，五边形EBCFP面积最小？最小面积是多少？

▲6、（探究）如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的

x

养鸡场，设它的长度为x 米．

(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？

(2)如果中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？

x

7、如图，在ABC ∆中，90B ∠=，12mm AB =，24mm BC =，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以

2mm/s 的速度移动（不与点B 重合）

，动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm/s 的速度移动（不与点C 重合）

．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过几秒，四边形APQC 的面积最小，最小面积为多少？

☆类型二、利用二次函数解决利润最值问题（利润优化问题）

1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．

（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？利润最多为多少元？

▲2、（讨论）某商店经营T 恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?最大利润为多少？

3、某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划增加承租x （100≤x ≤150）亩。预计，原种植的360亩水稻今年每亩可收益440元，新增地今年每亩的收益为（440-2x ）元，试问：该种粮大户今年要增加承租多少亩水稻，才能使收益最大？最大收益是多少？

4、某商场以每件42元的价格购进一批服装，由试销知，每天的销售量t （件）与每件的销售价x （元/件）之间的 函数关系是t=-3x+204.

（1）写出商场每天销售这种服装的毛利润y （元）与每件的销售价x （元）的函数关系式（每件服装销售的毛利润

是指每件服装的销售价与进货价的差）

(2)商场要想每天获得最大销售毛利润，每件的销售价应定为多少元？最大销售毛利润为多少元？

5、(20XX年南宁市)随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润

与投资

量成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润

与投资量

成二次函数关系，如图12-②所示(注：利润与投资量的单位：万元)

（1）分别求出利润与

关于投资量

的函数关系式；

（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？

6．（2010山东青岛）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：10500y x =-+．

（1）设李明每月获得利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？

（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，

那么他每月的成本最少需要多少元？（总成本＝进价×销售量）

▲7．（2010 河北）某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．

若只在国内销售，销售价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y =100

1-x ＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w 内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）；

若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳100

1x 2 元的附加费，设月利润为w 外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）． （1）当x = 1000时，y = 元/件，w 内 = 元；